八年级数学下学期期末模拟试卷（鲁教版五四制八下全册：特殊平行四边形+二次根式+一元二次方程+图形的相似）

八年级期末数学试卷 数学·全解全析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分 一、选择题：共10小题，每小题3分，满分30分。 1．计算：(    ) A． B． C． D． 【答案】A  【解析】解：原式， 故选A． 2．下列有关特殊四边形的说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．邻边相等的矩形是正方形 C．取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形 D．矩形的每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．逐一分析各选项是否符合特殊四边形的判定或性质． 【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅四边形对角线垂直不一定是菱形（如对角线垂直的梯形），故A错误． B． 矩形邻边相等时，四条边均相等且四个角为直角，符合正方形定义，故B正确． C． 平行四边形四条边中点连线构成的四边形是平行四边形（中点四边形性质），而非矩形，仅当原四边形对角线垂直时中点四边形为矩形，但平行四边形对角线不一定垂直，故C错误． D． 矩形对角线相等且平分，但仅当矩形为正方形时对角线平分对角，普通矩形对角线不满足此性质，故D错误． 故选：B． 3．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解： 方程化为一般形式为 ∴二次项系数、一次项系数和常数项是1，3，， 故选：D 4．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴两个相似三角形的周长比为； 故选B． 5．如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（   ） A．若，，则四边形是平行四边形 B．若，，且；则四边形是矩形 C．若，则四边形是正方形 D．若，，，则四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，熟练掌握各种判定方法是解题关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，能判定四边形是平行四边形，此选项正确，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； C、∵， 四边形是菱形，故此选项错误，符合题意； D、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； 故选：C． 6．估计的运算结果应在(    ) A． 到之间 B． 到之间 C． 到之间 D． 到之间 【答案】C  【解析】解：原式， ， ， 故选C． 7．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个实数根的条件是二次项系数不为零且判别式非负．据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程为二次方程， ∴． ∵方程有两个实数根（包括相等的情况）， ∴， ∴ ∴且． 故选：A． 8．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．设，由，可得，由此构建方程即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，． 设． ． ． ，解得． ． 故选：A． 9．如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形．以，所在的直线构造矩形，且点H，I在边，上．已知的面积为1，矩形的面积为20，则矩形的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】如图所示，延长交于J，延长交于K，设，，证明出，得到，，然后表示出，，然后由的面积为1得到，然后由矩形的面积为20得到，整理后代入求出，然后利用完全平方公式求出，然后根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】如图所示，延长交于J，延长交于K，设， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵四边形是矩形，四边形是正方形 ∴， 同理可得， ∴ ∵四边形是正方形，四边形是矩形 ∴ ∴， ∵的面积为1 ∴，即 ∵矩形的面积为20 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴矩形的周长． 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 10．定义：为函数（，、为实数）的“性质数”．若函数，的“性质数”为，函数的“性质数”为，当时，则（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用．理解“性质数”定义是解题的关键． 根据“性质数”定义，将函数表达式转化为对应形式，比较参数和的大小． 【详解】∵ 函数的“性质数”为， ∴对应函数形式为， ∴， ∵函数的“性质数”为， ∴对应函数形式为， ∴， ∴ ∵ ∴． ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∴当时，， 故选：B． 第二部分 二、填空题：共6小题，每小题3分，满分18分。 11．已知，，则的值为          ． 【答案】或  【解析】由题意得，a=5，b=±3，所以的值为或 12．若是方程的两个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：2 13．如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质．利用勾股定理求得，再证得，进而可得，进而可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 14．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，延长、相交于M，根据正方形的性质可得出，，，，证明四边形是矩形，得出，，，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长、相交于M， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程；通过解方程，可得出方程的根，分为两方程相同的实数根或为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意；②若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意．综上此题得解． 【详解】解：解方程，得：． ①若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ； ②若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 16．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题：共8小题，满分72分。 17．计算下列各式： ① ② ③ 【答案】解：① ②， ③ ④原式 ． ⑤原式 ． 18．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是关键； （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 （2）解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 19．如图，四边形是菱形，，．求： (1)的度数和的长． (2)若，求的长． 【分析】（1）根据菱形的性质垂直平分，平分和，平分和，，得出，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）由含30度角的直角三角形的性质及菱形的性质得出，，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴垂直平分，平分和，平分和，， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴是直角三角形， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理解三角形，含角直角三角形性质等，解题的关键是根据菱形的性质得到角与角之间的关系、线段与线段之间的关系． 20．观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； 根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． 针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，不需要证明． 【答案】解：， 验证：； 的整数．  【解析】本题考查了二次根式的性质与化简：，数式规律问题的有关知识． 21．如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，即得，由光的反射的性质可以得出，再结合和 ，可以证得，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 又， ， ， 即， ， 解得， 答：崇文塔的高度为， 22．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 23．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）根据正方形性质，得，结合，得，即得； （2）①证明：如图，作于M，于N，证明四边形是矩形，得，得，由角平分线性质，得，得，得，即得矩形是正方形；②根据正方形性质，得， ，得，得，∴．由，得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①证明：如图，作于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②， 理由如下， ∵矩形为正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形判定和性质，矩形判定和性质，全等三角形判定和性质，角平分线判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 24．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，李老师让各小组制作矩形，并将其绕点顺时针旋转得到矩形，以此为基础展开探究． 猜想证明： (1)如图1，“实践小组”将其矩形旋转至点落在边上，并延长交于点．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 实践探究： (2)如图2，“腾飞小组”发现将其矩形旋转至点落在边的延长线上时，矩形的对角线交点刚好与点重合，此时，交于点．过点作的平行线交于点．请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (3)“创新小组”提出问题：在旋转过程中，当点，，三点共线时，直线交直线，分别于点，，若，，求的值．请你思考此问题，直接写出结果． 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转得，，可得，，再根据同角的余角相等得到，从而证明，即可得出结论； （2）先利用两组对边分别平行的四边形得到四边形是平行四边形，根据矩形的性质和旋转能够得到为等边三角形，可求，根据两直线平行，内错角相等得到，即，得到，即可证明； （3）分为：当点转到直线的上方时，画出图形，利用相似可得；当点转到直线的下方时，画出图形，利用相似可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作于点，   ， 则四边形是矩形， ， 由旋转得，，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 由旋转得，，， ， 在矩形中， ， 又矩形的对角线交点刚好与点重合， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （3）解：<1>当点转到直线的上方时，    过点作于点， 易得，，，， ， ， 即， 即， ， ， ， ， ， 即， ， ， 即， <2>当点转到直线的下方时，    易得，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司18 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末数学试卷 数学·试题版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分 一、选择题：共10小题，每小题3分，满分30分。 1．计算：(    ) A． B． C． D． 2．下列有关特殊四边形的说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．邻边相等的矩形是正方形 C．取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形 D．矩形的每一条对角线平分一组对角 3．方程的二次项系数、一次项系数和常数项可以是（　　） A．1，，4 B．1，3，4 C．1，， D．1，3， 4．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（   ） A．若，，则四边形是平行四边形 B．若，，且；则四边形是矩形 C．若，则四边形是正方形 D．若，，，则四边形是菱形 6．估计的运算结果应在(    ) A． 到之间 B． 到之间 C． 到之间 D． 到之间 7．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 8．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．一问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（    ） A． B．4 C． D． 9．如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形．以，所在的直线构造矩形，且点H，I在边，上．已知的面积为1，矩形的面积为20，则矩形的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 10．定义：为函数（，、为实数）的“性质数”．若函数，的“性质数”为，函数的“性质数”为，当时，则（　　） A． B． C． D．无法比较 第二部分 二、填空题：共6小题，每小题3分，满分18分。 11．已知，，则的值为          ． 12．若是方程的两个根，则 ． 13．如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 14．如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，那么的长是 ． 15．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 16．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 三、解答题：共8小题，满分72分。 17．计算下列各式： ① ② ③ 18．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 19．如图，四边形是菱形，，．求： (1)的度数和的长． (2)若，求的长． 20．观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； 根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． 针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，不需要证明． 21．如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 22．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 23．如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 24．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，李老师让各小组制作矩形，并将其绕点顺时针旋转得到矩形，以此为基础展开探究． 猜想证明： (1)如图1，“实践小组”将其矩形旋转至点落在边上，并延长交于点．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 实践探究： (2)如图2，“腾飞小组”发现将其矩形旋转至点落在边的延长线上时，矩形的对角线交点刚好与点重合，此时，交于点．过点作的平行线交于点．请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： (3)“创新小组”提出问题：在旋转过程中，当点，，三点共线时，直线交直线，分别于点，，若，，求的值．请你思考此问题，直接写出结果． 学科网（北京）股份有限公司 $