广东深圳市第七高级中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷

2023-2024深圳第七高级中学高二（下)期中数学试卷 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写 在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填 涂考生号。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑：如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知fx)=2,im伍+A-f2的值是（) 2△x 1 1 A.- B.- c D ”4 6 8 2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有() A.4种 B.6种 C.7种 D.9种 3.已知函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么对于函数y=f(x),下列说法正确的是() A.在(-0，-1)上单调递增 B.在(1，+oo)上单调递减 C.在x=1处取得最大值 D.在x=2处取得极大值 4.已知函数f(x)=r°+bx在x=1处取得极大值4，则a-b=() A.8 B.-8 C.2 D.-2 5,现有8道四选一的单选题，学生甲对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率 第1页共4页 为、9 没有思路的题只好任意猪一个答案，猜对答案的概率为}学生甲从这8道题中随机选择1题，他做 对的概案为() 9 33 333 A40 B. C.5o D. 80 80 400 6.当neN时，将三项式(x2+x+I)°展开，可得到下列等式： 广义杨辉三角 (x2+x+1°=1 第0行 1 (x2+x+1)=x2+x+1 第1行 111 (x+r+1=x+2x+3r+2r+1 第2行 12321 (x2+x+1=x°+3x346x+7x2+62+3r+1 第3行1367631 (x2+x+1=x'+4x+10+16r419r+16r2+10r2+4r+1第4行14101619161041 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为 1,以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共 有2k十1个数，则在(1+ax)(x2+x+1)的展开式中，x的系数为75，则实数a的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 7.某学校团委为了丰富学生课外活动，组织了一批社团，学生们都能选择自己喜欢的社团。目前话剧社团、 书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学想申请加入，按学校 规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为() D! “6 8 8.已知定义在(0，+o)上的函数f(x)满足f'(x)-f(x)0,且f(2)=2,则f(e)-e>0的解集是( ) A.(-o,ln2) B.n2,-o) c.(0,e2) D.(e,+o)】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列导数运算正确的有() 1 A.(Vx)'=- -2x B.(xcosx)'=cosx+sinx C()-x D.(in2x)'= 10.在(2x-1)°的展开式中，则() A.二项式系数最大的项为第3项和第4项B.所有项的系数和为0 第2页共4页 C.常数项为-1 D.所有项的二项式系数和为64 11.已知函数f(x)=(x+)lnx,则() A.f(x)存在唯一的极值点 B.f(x)存在唯一的零点 C.直线2x-y-2=0与f(x)的图像相切 D.若f(a)≥fnx,则a≥ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若随机变量X满足D0=0.6,则D3X+2 13.将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每 项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有 种.（用数字作答） 14.已知函数f(x)=ax2-xnx,若f'(I)=3,则a=:若函数f(x)在[-，+o)单调递增， 则实数a的取值范围是」 四、解答题：本题共5小题，共7门分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=-x+3x+3 (1)求函数f(x)在点(0，f(O)处的切线方程： (2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值和最小值. 16.(15分)记Sn,为等差数列{an}的前n项和，已知a,=S3=15. (1)求an}的通项公式： ②记b,=一，求数列的前n项和T 17.(15分)为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委开展了“我们的元宵节”主题知 识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数 统计如下： 个人奖 奖项组别 团体赛获奖 等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率： 第3页共4页 (2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列及 期望。 18.(17分)如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD, ADLDC,ABDC,4B=2CD=AD-l,M为棱PC的中点 (1)证明：BM/平面PAD: (2)若PC=√5，PD=1, (i)求平面DMP与平面BDM夹角的余弦值： B (ii)在线段PA上是否存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离 26?若存在，求出PD的值：若 不存在，说明理由。 19.(17分)已知函数f(x)=e-ar-2,a∈R,e是自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若关于x的方程f(x)+2=0有两个不等实根，求a的取值范围： (3)若41，k为整数，且当x0时，《-)恒成立，求k的最大值 x+1 第4页共4页 20232024深圳第七高级中学高二（下)期中数学试卷 参考答案 一、选择题：每小题5分，共40分 题号 3 5 6 答案 A A D B A 二、选择题：每小题6分，共18分。 题号 2 2 答案 AD AC BCD 三、填空题：每小题5分，共15分。 12.5.4 13.5014.2 四、解答题： 15.(13分)【详解】(1)因为函数fx)=-x3+3x+3,则f"(x)=-3x2+3…1分 .f(0)=3,f'(0)=3…3分 .切线方程为y一3=3x即y=3x十3…5分 (2)令f'(x)>0=-3x2+3>0=-1<x<1,f(x)<0=-3x2+3<0=x<-1或x>1 故函数f)在区间(-L,)上单调递增，在区间(-0，-)和(L,+∞)上单调递减…7分 ·f)在区间[0，上单调递增：在（山，2引上单调递减…9分 二函数的极大值也为最大值f)=-+3×1+3=5…11分 两端点f(0)=03+3×0+3=3,f(2)=-2+3×2+3=1,即最小值为(2)=1…13分 ∴函数f)在[0,2]上的最大值和最小值分别为5和1 16.(15分) 【详解】(1)设数列{an}的公差为d,由 a2=15 即4+6d=15 …4分 a+a+a,=15 a+d=5 解得4=3 .an=2n+1 …7分 d=2 第1页，共4页 (2)由（①知，4，=2n+1,9-n3+2n+-n2+2…9分 2 1 -11 6=5n+22n*2) …11分 1 111 六Tn=b+b2++bn= 232+ n-1n+1nn+2 非点eg …15分 17.(15分) 【详解】(1)记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A,“任取1名学生，该生为高一 学生"为事件B P利-蕊P 202 4分 20 P(BIA)= P(AB)350-5… …6分 P(4) 369 350 (2)由己知得X的可能取值为01,2…7分 P(x=0)=100x150 1 1502002 P(X=)=10x50+50x1505 15020015020012 P(X=2)= 50x50-1 …13分 15020012 X的分布列为 X P(X=k) J 1212 E(X)=0×.+7× 5 +2× …15分 12 1212 18.(17分) 【详解】(1)取PD的中点N,连接4AW,MN,如图所示： :M为棱PC的中点，∴MN∥CD,MN=CD…l分 AB∥CD,AB=CD,AB∥MN,AB=MN2分 ∴.四边形ABMN是平行四边形，.BM∥AN…3分 第2页，共4页 又BMg平面PAD,MNC平面PAD,∴.BMI/平面PAD…4分 (2)PC=5,PD=l,CD=2,PC2=PD2+CD2,PD⊥DC…5分 :平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PDC平面PDC PD⊥平面ABCD…6分 又AD,CDC平面ABCD,∴.PD⊥AD,而PD⊥CD,AD⊥DC ∴以点D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图： 则P0,0,1,D0,0,0,A1,0,0,C(0,2,0…7分 W为棱PC的中点.六MQ》81o) DDN-Ql},D丽=L1o (i)设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z), 1 则nDm=y+22=0,令：=2，则y=-1x=1,∴万=儿-12小…10分 iDB=x+y=0 平面PDM的一个法向量为DA=(L,0,0）…山分 cos<元，DA>- DA 。1-6平面DMP与平面BDM夹角的余弦值为5.…12分 DA 1×√66 6 (i)假设在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是2W6 设P0=PA,0<1<1,则Q(2,0,1-),B0=(亿-1，-1,1-2)）…14分 由(2)知平面BDM的一个法向量为i=(L,-L,2),B0·i=元-1+1+2(1-元）上2-元， ∴点Q到平面BDM的距离是 B02-元26 …15分 √6 9 ·A=2,∴P0=22 …17分 3 3 19.(17分) 【详解】(1)f广(x)=e-a…1分 若a≤0，则f(x)>0恒成立，所以f(x)在(-o,+∞)上单调递增…2分 第3页，共4页 若a>0,f(x)=0,得x=na 当x∈(-o,lna)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(（na,+）时，f广(x)>0,f(x)单调递增…4分 综上可知，a≤0时，f(x)的增区间是(-0，+o), 当a>0时，f(x)的减区间是(-o,lna),增区间是(lna,+o) (2)方程y)+2=c-=0,显然当x=0时，方程不成立，则a=三，x≠0…5分 若方程有两个不等实根，即y=a与g)=二有2个交点，g)-任-e …6分 x2 当x∈(-∞，0)U(0,1)时，g'(x)<0,g(x)在区间(-o,0)和(0,1)单调递减 g(x) 并且x∈(-o,0)时，g(x)<0,当x∈(0,1)时，g(x)>0…8分 当x∈(L,+o)时，g'(x)>0,g(x)单调递增 x>0时，当x=1时，g(x)取得最小值，g()=e…10分 如图，函数g(x)的图象，y=a与g()=g有2个交点，则a>c…11分 (3)当a=1时，f(x)=e-x-2,f(x)=e-l 所以-)<1台(k-xe-)<x+1,当x>0时，e-1>0,k<+! x+1 ef-I+r 令，0，则216-2 …13分 (e*-1)(e*-1) 由(1)可知，m(x)=e-x-2在(0，+0)单调递增，而且m()<0,m(2)>0 所以m(x)在(0，+∞）上存在唯一的零点，即h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点…14分 设此零点为x。,则x。∈（山，2），且e*=x+2 当x∈(0，x)时，N(x)<0,h(x)单调递减， 当xE(x,+o)时，h(x)>0,h(x)单调递增 所以()的最小值为h(飞)=。+ 。-+=+1e(2,3到…16分 所以k<h(x)）,所以整数k的最大值为2…17分 第4页，共4页