精品解析：广东揭阳市普宁市勤建学校2025-2026学年高二下学期第二次调研考试数学试卷

勤建学校高二年级下学期第二次调研考试 数学试卷 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数和组合数公式求解即可. 【详解】由， 得， 即，所以. 故选：B. 2. 已知，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理和赋值法计算即可. 【详解】已知， 根据赋值法，令可得． 3. 李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）种 A. 24 B. 14 C. 10 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论利用分步乘法原理和分类加法计数原理计算即可. 【详解】分两类： 第一类：选衬衣加裤子，共有种选法； 第二类：选连衣裙，共有种选法， 根据分类加法计数原理共有种选法. 4. 若随机事件满足，则的值为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.08 【答案】D 【解析】 【详解】根据条件概率公式，可得． 5. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 6. 某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ） A. 18 B. 21 C. 36 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由分类计数原理得到甲地的分派方法数目，再在剩余的3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生， 若甲地派2名女生，有种情况； 若甲地分配1名女生，有种情况， 则甲地的分派方法有种方法； 甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法， 由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种. 故选：D. 7. 某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去A，B餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅， 则,， 则, 故 , , 则 ， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要求出第2天去A，B餐厅的概率，继而结合全概率公式求解. 8. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得即求取出的4个球为3白1黑、2白2黑和1白3黑的概率,由此求解即可. 【详解】由题意可得取出的球的情况有： 4白0黑，此时分； 3白1黑，此时分； 2白2黑，此时分； 1白3黑，此时分； 0白4黑，此时分； 由，可得， 即求取出的4个球为3白1黑、2白2黑和1白3黑的概率, 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.3 0.4 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据表中数据可直接求出，即可求出，再由可得. 【详解】由表可知， 则， 所以. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，为增函数 B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【详解】函数的定义域为，求导可得， 选项A：当时，因为对任意恒成立， 所以，为增函数； 选项B：当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，函数在处取得极小值，也是最小值，无最大值； 选项C：当时，的最小值为， 令，因为， 所以化简可得，解得， 当时，的最小值为； 选项D：设函数，求导可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，在处取得极大值， 所以对任意，. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2026行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D. 210在杨辉三角中出现了6次 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据杨辉三角，利用二项式定理结合组合数运算性质逐一判断即可. 【详解】选项A，第6行第4个数为，故A正确； 选项B，第2026行共2027项，最大项为只有一项，为第1014个数，故B错误； 选项C，， 所以，故C正确； 选项D，设，由对称性只需考虑的情况． 对逐个代入验算，可得当时，成立； 当时，，因为，故没有其他组合数等于210， 综上210可以表示为共6个，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率为______________． 【答案】 【解析】 【分析】记事件A：某天的空气质量为优，事件B：第二天的空气也为优，由题意可得，，再由条件概率公式即可得解. 【详解】记事件A：某天的空气质量为优，事件B：第二天的空气也为优， 由题意，，则. 故答案为：. 【点睛】本题考查了条件概率的求解，属于基础题. 13. 3名女生和3名男生站成一排拍照留影，男生甲不站两端，女生乙和丙必须相邻，一共有___________种不同的站法．（用数字回答） 【答案】144 【解析】 【详解】乙丙看成一个整体，共有2种站法； 将乙丙整体、另一名女生、甲、另两名男生看作5个元素排列， 甲不能排在首尾，故甲可从中间3个位置中任选一个，有3种方法， 剩下四个元素全排列有种， 由分步乘法计算可得共有种. 14. 已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】函数，，有，， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线l与函数和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，两边同乘  得：①， 由可得，即，代入①可得 ，即； 又由可知，， 则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】先由二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，求出； （1）令，根据，即可求出结果； （2）令，根据（1）的结果，即可得出结果； （3）对原式两边同时求导，将代入求导后的等式，即可得出结果. 【详解】二项式展开式的第项为， 令，则，所以； （1）令代入得 ，所以； （2）令代入得 ， 所以 ， 因此； （3）对两边同时求导， 得到， 将代入得. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，涉及导数的计算，属于常考题型. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 所以，且，即切点坐标为，切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 证明：由函数，可得函数的定义域为， 由不等式，即， 要证，即证，即证， 令， 可得，其中， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取值最大值，所以， 即在恒成立，所以． 17. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． （1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记 为“恰好获得1个纪念品”，列出事件包含的子事件，求出这些子事件的概率再求和即可； （2）据题意得到 的可能值并求对应事件的概率，求 x 的分布列，再根据期望公式计算即得. 【小问1详解】 设每次抽中纪念品为事件，未抽中为事件 ，且， . 记 为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况： 第1次中，第2次未中，第3次未中：； 第1次未中，第2次中，第3次未中：； 第1、2两次均未中，则第3次必得：； 所以. 【小问2详解】 记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则 的可能取值为1,2,3. ； ； . 分布列 . 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，再按，，，分类求出函数的单调区间； （2）由（1）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即，因此，即 所以实数的最小值. 19. 为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. （1）若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； （2）若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； （3）在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 【答案】（1）处取得最大值，. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先分析第三次乙投的两种情况，算出对应概率相加得.是二次函数，根据开口方向和对称轴求最大值. （2）分别确定取时的对应情况算概率，用期望公式计算. （3）根据第次甲投的条件得递推式，变形后结合求出表达式，分析奇偶性时的单调性，得出取值范围. 【小问1详解】 已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况A：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为. 情况B：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为. 所以. 对于二次函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值，. 【小问2详解】 已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，. 当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则 ； 当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为， 第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为， 第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则， 所以. 【小问3详解】 已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为. 那么第次是甲投篮有两种情况： 第次是甲投篮且没投进，概率为. 第次是乙投篮且投进，概率为. 所以. 则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 当为奇数时，，，单调递增，，且. 当为偶数时，，，单调递减,，且. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高二年级下学期第二次调研考试 数学试卷 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 2. 已知，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 3. 李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）种 A. 24 B. 14 C. 10 D. 9 4. 若随机事件满足，则的值为（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.08 5. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（ ） A. 18 B. 21 C. 36 D. 42 7. 某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则＝（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.3 0.4 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，为增函数 B. ， C. ， D. ， 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是20 B. 第2026行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 C. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D. 210在杨辉三角中出现了6次 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6．已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率为______________． 13. 3名女生和3名男生站成一排拍照留影，男生甲不站两端，女生乙和丙必须相邻，一共有___________种不同的站法．（用数字回答） 14. 已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：． 17. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品． （1）求某球迷恰好获得1个纪念品的概率； （2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的最小值． 19. 为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. （1）若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； （2）若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； （3）在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $