吉林省吉林市第四中学2026届高三下学期模拟测试数学试题

吉林四中高三年级模拟测试

数学试题

一、单选题（每题5分，共40分）

1．已知集合，，则的子集个数为（     ）

A．8 B．6 C．4 D．2

2．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（）

A． B． C． D．

3．点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

4．现一排有7个座位，安排甲、乙、丙3名同学就坐，若这3位同学不相邻，则不同的安排方法有（     ）

A． B． C． D．

5．筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（    ）

A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒

6．函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ）

A．15 B．17 C．80 D．82

8．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ）

A． B．2 C． D．

 

二、多选题（每题6分，共18分）

9．已知是定义在上的函数，，且满足为奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ）

A． B．的周期为2

C．的图象关于点中心对称 D．

10．已知函数，则下列说法正确的是（   ）

A．是以为周期的周期函数 B．在上单调递减

C．的最大值为 D．存在，使得为奇函数

11．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（   ）

A．存在点，使，，，四点共面

B．存在点，使//平面

C．三棱锥的体积为

D．此正方体外接球的表面积为

三、填空题（每题5分，共15分）

12．已知函数，，若恒成立，则实数m的取值范围为______．

13．已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为__________．

14．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________．

 

四、解答题（共77分）

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（12分）

(1)求A；

(2)若D为BC的中点，，的面积为，求a.

16．如图，在三棱锥中，在底面上的射影位于底面的高上；是侧棱上的一点，使截面与底面所成的角等于，求证垂直于截面．（15分）

17．第12届世界运动会将于2025年在中国四川成都举行，其中棍网球比赛被同学们关注：甲、乙两名同学进行棍网球攻防3次训练，甲进攻乙防守，根据以往训练结果，在乙的防守下，甲每次能够射门的概率为，射门一次进球的概率为，射门两次进球的概率为，射门三次进球的概率为，且每次射门进球与否互不影响.（15分）

(1)设表示甲能够射门的次数，求的分布列与数学期望；

(2)求甲射门进球的概率.

18．已知函数．（17分）

(1)求函数的极小值；

(2)求不等式的解集．

19．已知圆的一条直径与抛物线的通径（过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦）恰好构成一个正方形的一组邻边．（18分）

(1)求抛物线的标准方程；

(2)抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，过，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，证明：；

(3)点 在上，过且斜率为2的直线与直线交于点，且MQ=OP．设直线与的另一个