吉林省吉林市第四中学2026届高三下学期模拟测试数学试题

**基本信息** 以筒车文化、棍网球赛事为情境载体，通过分层设计（基础题如集合子集、提升题如函数恒成立、创新题如筒车动态高度）考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识），适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、三角函数、排列组合|第5题筒车问题结合三角函数建模，体现数学眼光| |多选题|3/18|函数性质、三角函数、立体几何|第11题正方体动态点问题，考查空间观念与推理能力| |填空题|3/15|导数应用、数列、圆|第13题数列递推结合对勾函数，凸显数学思维| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率统计、导数、圆锥曲线|第17题棍网球概率模型，第19题抛物线综合题，考查数学语言与创新应用|

吉林四中高三年级模拟测试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（） A． B． C． D． 3．点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．现一排有7个座位，安排甲、乙、丙3名同学就坐，若这3位同学不相邻，则不同的安排方法有（ ） A． B． C． D． 5．筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于的时间为（    ） A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒 6．函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 8．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知是定义在上的函数，，且满足为奇函数，当时，，下列结论正确的是（    ） A． B．的周期为2 C．的图象关于点中心对称 D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是以为周期的周期函数 B．在上单调递减 C．的最大值为 D．存在，使得为奇函数 11．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．存在点，使，，，四点共面 B．存在点，使//平面 C．三棱锥的体积为 D．此正方体外接球的表面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知函数，，若恒成立，则实数m的取值范围为______． 13．已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为__________． 14．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 四、解答题（共77分） 15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（12分） (1)求A； (2)若D为BC的中点，，的面积为，求a. 16．如图，在三棱锥中，在底面上的射影位于底面的高上；是侧棱上的一点，使截面与底面所成的角等于，求证垂直于截面．（15分） 17．第12届世界运动会将于2025年在中国四川成都举行，其中棍网球比赛被同学们关注：甲、乙两名同学进行棍网球攻防3次训练，甲进攻乙防守，根据以往训练结果，在乙的防守下，甲每次能够射门的概率为，射门一次进球的概率为，射门两次进球的概率为，射门三次进球的概率为，且每次射门进球与否互不影响.（15分） (1)设表示甲能够射门的次数，求的分布列与数学期望； (2)求甲射门进球的概率. 18．已知函数．（17分） (1)求函数的极小值； (2)求不等式的解集． 19．已知圆的一条直径与抛物线的通径（过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦）恰好构成一个正方形的一组邻边．（18分） (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，过，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，证明：； (3)点 在上，过且斜率为2的直线与直线交于点，且MQ=OP．设直线与的另一个交点为，焦点到直线的距离是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 测试答案 1．D 【分析】构造函数，借助导数计算可得该函数有且仅有一个零点，即可得中有且仅有一个元素，即可得的子集个数. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故有且仅有一个零点， 即图象与图象有且仅有一个交点， 即中有且仅有一个元素，故的子集个数为. 2．B 【分析】由复数的除法运算及模的运算可得，再结合复数虚部的概念即可得解. 【详解】解：复数满足，则， 即复数的虚部为， 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算及模的运算，重点考查了复数虚部的概念，属基础题. 3．A 【分析】先证明，然后给出的例子，即可得到的最大值是. 【详解】设外接圆圆心为，则，. ①一方面，我们有 . 故一定有. ②另一方面，当时，有，故在的外接圆上，此时 . 综合①②两个方面，可知的最大值是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数量积的运算性质的使用. 4．B 【详解】先将4个空座位排成一排，形成5个可插入的空隙， 再将3名同学安排在这5个空隙中，共有种方法. 5．D 【分析】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案. 【详解】假设所在直线垂直于水面，且米，如下示意图， 由已知可得， 所以，处在劣弧时高度不低于米， 转动的角速度为/每秒， 所以水筒P距离水面的高度不低于的时间为秒， 故选：D. 6．A 【分析】不等式变形为，引入新函数，，利用导数判断函数的单调性， 利用单调性化简不等式可得，取对数，变形为，再引入新函数，x∈（0，+∞），求得它的最大值即可得参数范围． 【详解】因为，对恒成立， 又， 所以，即， 即， 令，， ∴，设， 则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 可得时，函数取得极小值即最小值，， ∴恒成立， ∴函数在上单调递增，又原不等式等价于， 所以，即，即恒成立， 令，，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 可得时，函数取得极大值即最大值.， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 7．D 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 8．D 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 9．ACD 【分析】由为奇函数可得，取可求，判断A，举反例判断B，由奇函数的性质结合图象变换判断C，由条件判断其周期，结合周期性性质判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以， 所以， 所以，A正确； 因为当时，， 所以， 因为， 所以，故， 所以2不是的周期， 故B错误； 因为为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 所以的图象关于点中心对称，C正确； 由，， 可得， 所以， 所以函数为周期函数，周期为， 所以， 又当时，， 所以，D正确； 故选：ACD. 10．AC 【分析】利用周期函数的定义判断A；举例说明判断B；在内求出的最大值，结合周期性判断C；利用奇函数图象特征判断D. 【详解】对于A，， ，因此是以为周期的周期函数，故A正确； 对于B，，， 则，故B错误； 对于C，当时，， 令 ，，， 当时，， 令， ，， 因此函数在上的最大值为， 由选项A得在定义域R上的最大值为，故C正确； 对于D，由选项C知，函数在定义域R上的值域为， 函数的图象总在上方，因此函数不可能是奇函数， 即不存在，使得为奇函数，故D错误. 故选：AC 11．ABC 【分析】利用平行公理推理判断A；利用线面平行的判定推理判断B；求出三棱锥的体积判断C；求出正方体外接球直径计算判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接，由分别是的中点， 得，又，则，因此四点共面， 即当Q与点重合时，四点共面，A正确； 对于B，连接，当Q是的中点时，由，得， 而平面平面，则平面，B正确； 对于C，，而平面，，则，C正确； 对于D，正方体外接球直径等于，该球表面积，D错误. 12． 【分析】先分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】由题意可得函数的定义域为， 不等式等价于恒成立，即恒成立， 令，则． 令，则在上单调递增， 因为，， 所以存在，使得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以， 由于，可得，即， 所以， 又恒成立，即，所以， 所以实数m的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2．利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3．根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与有解问题的区别． 13． 【分析】先对的递推式取倒数构造等差数列求，再用累加法求的通项，最后转化为对勾函数求正整数范围内的最小值. 【详解】因为，，显然， 对递推式两边取倒数得： ，即，. 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 因此 ，. 又因为，时，即 由累加法得：， ，， 验证时，符合上式，故，. 令，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，. 所以数列在上单调递减，在上单调递增， 因此当时数列取得最小值，当时，数列取得最小值，且， 因此，当时数列取得最小值. 14． 【详解】联立解得 ∴圆的圆心坐标为． 圆心到直线的距离， 且圆的半径，圆截直线所得弦的长度为4． 由，解得． 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换和二倍角公式可求得或，进而可求得A； （2）由题意可得，结合向量的数量积可得，由的面积为，可得，进而利用余弦定理可求解. 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以，解得或， 又，所以； （2）若D为边上的中点，则， 所以， 又，所以，所以 因为的面积为，所以，所以， 所以， 由余弦定理可得， 所以. 16．证明见解析 【分析】要证明垂直于截面，利用三垂线定理以及已知条件，只证明，即可． 【详解】证明：因为是底面的垂线，是斜线在底面上的射影， 所以平面，所以 又，平面 所以平面，所以 连接， 因为，， 所以垂直于和所决定的平面， 又因在这个平面内，所以， 是截面与底面所成二面角的平面角，， 在和中，因为，是公共角， 所以从而， 由，，又截面 所以截面． 17．(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出的可能取值，判断服从的分布，求出各值的概率，求出的分布列与数学期望； （2）利用全概率公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知的可能取值为0，1，2，3，且， 所以， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ； （2）记甲射门次为事件， 则由（1）可知，，， 记甲射门进球为事件，则，，， 由全概率公式可知， 故甲射门进球的概率为. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，得到函数的极小值点，从而求得极小值； （2）先分和进行讨论，显然符合题意，再对具体分析，将不等式变形为，时不符合题意，当时构造函数，求导判断单调性，并求导证明，即可证明．当时，原不等式等价于，构造新函数，，求导，结合单调性，即可求解. 【详解】（1）由，得，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以． （2）由， 当时，，不等式恒成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令，得， 所以函数在上单调递减，所以，即， 令，，得， 则时，，y单调递减；时，，y单调递增， 所以，所以， 所以； ②当时，由，得， 令，， 则，函数在上单调递增，所以， 由，得，所以不等式成立， 综上，不等式的解集为． 19．(1) (2)证明见解析 (3)存在，． 【分析】（1）结合题意判断出抛物线过的点，代入求解抛物线方程即可. （2）结合题意分别表示出各个边长，再证明目标式即可. （3）结合题意得到，进而求出的方程，再求出直线必过的定点，最后求解最大值即可. 【详解】（1）因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条直径与轴垂直， 且圆的直径的右端点就是抛物线通径的下端点， 因为圆的圆心为，半径为， 所以该圆与轴垂直的直径的右端点为， 即抛物线经过点，则，即， 故抛物线方程. （2）如图，作出符合题意的图形，设，， 由（1）知，显然直线的斜率不为， 设直线的方程为， 所以，， 由，得， 所以，．， 得到， 且 ， 所以． （3）如图，设过点斜率为的直线为， 由，得， 可得，设， 由MQ=OP，得， 即，解得， 所以． 所以直线方程为，联立可得， 解得，得，结合 所以， 则直线方程为， 整理得， 因此直线过定点， 又，所以， 所以点到直线的最大距离为． 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $