精品解析：吉林白山市第一中学等校2026届高三考前模拟测试二数学试题

2026届考前模拟测试二 数学学科试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将条形码粘贴在答题卡相应位置，并且把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只上交答题卡，试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设p：，q：，则p是q的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】解两命题对应不等式，然后由充分，必要条件与集合包含之间的关系可得答案. 【详解】，， 注意到与集合之间无包含关系，则命题是命题的既不充分也不必要条件. 2. 已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理写出的展开式通项，分两部分求解的系数，进而建立关于的方程，求解的值. 【详解】根据二项式定理，的通项为（）. 展开式中项由两部分组成： ①的常数项乘以的项，因中项的系数为， 因此这部分的系数为. ②的一次项乘以的项，因中项的系数为， 因此这部分的系数为. 依题意，，解得. 3. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）. A. 7 B. 10 C. 7π D. 10π 【答案】A 【解析】 【分析】利用祖暅原理将不规则几何体体积转化为正四棱台体积. 【详解】正四棱台的上底面边长为，故上底面积； 下底面边长为，故下底面积，棱台高 所以. 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）. A. 10 B. 9 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为为正项等比数列，所以，即， 所以. 5. 将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）. A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 图像关于直线对称 D. 图像关于点对称 【答案】A 【解析】 【分析】利用逆向变换求出的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项A、B，根据对称轴与对称中心的性质判断C、D. 【详解】将沿x轴向右平移个单位长度，横坐标变为原来的， 可得. 选项A，的，最小正周期，A正确； 选项B，当时，，在单调递增， 在单调递减，故在不是单调递减，B错误； 选项C，正弦函数对称轴处函数值为，代入： ，因此不是对称轴，C错误； 选项D，正弦函数对称中心处函数值为，代入： ，因此不是对称中心，D错误. 6. 若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】 可得. 因为 所以. 7. 若恒成立，则下列结论正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数求出的单调性和零点，然后由题目条件可得a，b间的关系，最后根据不等式的性质及二次函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】时，易得恒成立； 当，令， ， 从而在上单调递增，注意到， 则时，，时，. 当时，为使，从而， 当时，为使，从而. 故且， 对于A，显然错误； 对于B，，则，故B错误； 对于CD，， 因函数在上单调递减，则时，， 即，故C错误，D正确. 8. 已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若，，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性推导函数的周期，求出一个周期内各项的值，再计算50包含多少个完整周期和余下的项，最后求和. 【详解】是上奇函数，因此满足 ，且 ； 是上偶函数，因此满足 ，则关于直线对称. 由，换元得， 结合奇函数性质，得： 再替换为，得：， 因此是周期为. 已知，， 一个周期的和：. ，即50项包含6个完整周期， 剩余最后两项，， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若实数且满足，则以为实部，为虚部的复数z的模长为 B. 已知是抛物线C：上不同于原点O的两点，若，则直线经过定点 C. 不等式，当时，解集为 D. 函数的零点为 【答案】AB 【解析】 【分析】对选项A：利用对数的定义逐步求出的值，再计算，最后根据复数模长公式计算模长；对选项B：设、，利用向量垂直的坐标关系得到与的关系，再求出直线的方程，分析是否过定点；对选项C：结合二次函数的性质判断的取值范围；对选项D：结合函数零点定义判断即可. 【详解】选项A，由，根据对数定义得：， 因此，则， 复数，模长，A正确； 选项B，设直线，代入抛物线得， 设，则. 由得， 因为，故，得，即. 直线恒过定点，B正确； 选项C，当时，不等式变为， 当时不等式不成立，解集不是，C错误； 选项D，函数的零点是满足的自变量的值，不是点， 由，得的零点为，不是，D错误. 10. 某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x（单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间）进行市场调研.从全国门店随机抽取了100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x（小时） 消费者人数y 2 38 a b 6 已知最佳饮用时长x的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），根据调研数据可认为x近似服从正态分布，用样本平均值作为的值，样本标准差s作为的值.则下列说法正确的是（ ）. （参考数据：若随机变量，则，，） A. ， B. 饮用时长在小时内的消费者占比估计值为13.59% C. 饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D. 若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得，由，可得，据此可判断选项正误；对于BCD，由题可得，则，然后由正态分布知识可判断选项正误. 【详解】对于A，由题可得， ， 解得：，故A正确； 对于B，由题可得，则， 由正态分布知识，， 则，故B正确； 对于C，因，则，故C错误； 对于D，由题可得， 从而或 ， 因小概率事件范围与题目所涉及范围无交集， 则该调查中未发生小概率事件，故D正确. 11. 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C和圆交于四个点，且自上而下次序为M，N，P，Q，O为坐标原点，直线与C的准线交于点E，则下列说法正确的是（ ）. A. B. C. D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】先确定的坐标，设出直线的方程，联立直线与抛物线、圆的方程.对于选项A，利用圆的性质或联立方程得到的坐标关系，结合向量数量积公式分析；对于选项B，利用抛物线定义，结合直线与圆的位置关系分析范围；对于选项C，只需证明纵坐标相等；对于选项D，利用抛物线的定义将转化为坐标相关的表达式，再结合基本不等式求最值. 【详解】抛物线，焦点，准线，焦半径公式 ；圆，圆心为，半径， 如图所示，四个点从上到下顺序：. 选项A：设过的直线为，代入圆方程得， 故，则， 则 ,A正确； 选项B：因为 ，且共线，故. 联立直线与抛物线得，故，得 ， 即，当时，即,B错误； 选项C：在轴上，只需证纵坐标相等即可. 因，则直线的方程为，令得. 由得，故轴，C正确； 选项D：化简得：（）， 故， 当且仅当时取等，即的最小值为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C：（a，），以其左右焦点为直径的圆与其渐近线交第一象限于点A，若直线的斜率为，则双曲线C的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题干写出圆的方程，利用渐近线方程和圆的方程联立求解的坐标，进而利用斜率公式建立方程求解、、的关系，再利用离心率公式求解离心率. 【详解】过且以为直径的圆方程为，双曲线的渐近线方程为， 将代入， 得， 因A在第一象限，故，得，即； 直线的斜率，即， 两边平方代入，可得， 则，由， 消去得， 所以. 13. 如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，利用三角函数参数表示点，推导出的表达式，再利用三角函数的性质求最大值. 【详解】取中点（圆心）为原点，在轴上，由△ABC是边长为2的等边三角形，三线合一得，， 因此各点坐标为：，，，， 设（为与轴夹角），由在上半圆，得。 ，，， 由，对应坐标相等得：， 则， 因为，的最大值为， 所以. 14. 从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 【答案】1064 【解析】 【分析】因为要组成奇数，所以个位必须是奇数，先确定个位数字的选取来源和选法，分两类情况讨论：第一类是从0，1，2，3，4中选1个奇数作为个位，此时要注意0不能在首位，再从剩下的数字中选1个，同时从5，6，7，8，9中选2个数字；第二类是从5，6，7，8，9中选1个作为个位，再从剩下的数字中选1个，同时从0，1，2，3，4中选2个数字；对于每一类，先选数字，再用排列组合的方法计算能组成的无重复数字的奇数个数，最后将两类结果相加. 【详解】情况1：个位是来自第一组（0，1，2，3，4）的奇数（即个位为1或3，共2种选择） 再分两小类： 子情况1a：第一组另一个取到0： 第一组取法：（个位）（取0）种；第二组取2个：种； 排前三位：0不能放首位，首位有2种选择，剩余两位全排列，共种排法； 总数：. 子情况1b：第一组另一个不取0： 第一组取法：（个位）种；第二组取2个：种； 前三位无特殊限制，全排列共种排法； 总数：，情况1总个数： 情况2：个位是来自第二组（5，6，7，8，9）的奇数（即个位为5，7，9，共3种选择） 再分两小类： 子情况2a：第一组取出的两个数含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：（取0后再取1个非0）种； 排前三位：0不能放首位，共种排法； 总数：. 子情况2b：第一组取出的两个数不含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：种； 前三位全排列共种排法； 总数：，情况2总个数：. 将两类相加：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. （1）若，求数列的前n项和； （2）若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，求出的通项公式；利用等比数列通项公式求出的通项公式，再结合错位相减法求； （2）将、的通项代入不等式，整理得到关于的恒成立问题，所以构造新数列，通过研究新数列的单调性求出其最大值，进而确定的取值范围. 【小问1详解】 已知：时，； 时，， 验证也满足，故. 是首项为1、公比为2的等比数列，故，. ，则：① 两边同乘得：②. ①-②得： 中间等比数列求和得， 代入整理得：. 【小问2详解】 不等式，对恒成立， 代入得：. 设，作差得： 时，； 时，； 时，， 故的最大值为，因此，即. 16. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线与的斜率之积为，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为，由求解. （2）当直线斜率不为零时，设直线为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得和，由三角形面积求解即可，当直线斜率为零时，设其方程为,与椭圆方程联立，求出坐标，直线与的斜率之积为，即可求出n，进而求得的面积． 【小问1详解】 由题意得， 解得， ∴，， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不为零时，设直线的方程为：，， 联立，消元得， 由韦达定理得：， 已知，即， 则 ， ， 代入韦达定理化简得，， 又 ， 则， 当直线斜率为零时，设其方程为， 联立，解得， 设在左侧，则， 由，则， 解得，此时， 则， 所以的面积是 . 17. 如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． （1）证明：平面． （2）求五面体的体积． （3）求平面与平面ABC所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何体的性质，以及勾股定理，证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，将五面体分解成四棱锥和三棱锥，求出锥体的体积，进而求出结果； （3）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而根据面面夹角的余弦值的向量法求出面面角的余弦值，进而求出角的大小. 【小问1详解】 在矩形中，，， 因为，，所以平面， 因为平面，所以，即， 如图所示，过点E作，垂足为F， ，，，，， 所以，即． 又，所以平面． 【小问2详解】 如图所示，连接BE．该五面体可由四棱锥和三棱锥组成． 四棱锥的体积， 三棱锥的体积， 五面体的体积． 【小问3详解】 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，． 由（1）可得平面的一个法向量为． 易知平面ABC的一个法向量为， 则， 所以平面与平面ABC所成角的大小为． 18. 已知函数，. （1）记，，求的最小值； （2）若对任意恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）注意到，由导数知识可得，从而，然后由单调性可得最小值； （2）分，，三种情况，求出在相应区间上的最值可得答案. 【小问1详解】 ， 令，， ， 从而在上单调递增，在上单调递减， 从而 ，， 因 ， 则 .令， 则， ， 从而在上单调递减， 则； 【小问2详解】 . 当，则对任意实数恒成立； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递增，在上单调递减， 则，即此时； 当，则由恒成立可得， 令，， ，， 从而在上单调递减，在上单调递增， 则 ，即此时. 综上可得对恒成立时， 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，可以得到含的代数式表示，运用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （3）根据古典概型运算公式，结合题意得到、、、之间的关系，结合数学期望的运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， 【小问2详解】 因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， 【小问3详解】 因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届考前模拟测试二 数学学科试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将条形码粘贴在答题卡相应位置，并且把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只上交答题卡，试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设p：，q：，则p是q的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知（）的展开式中的系数为13，则实数b的值为（ ）. A. B. C. D. 3. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）. A. 7 B. 10 C. 7π D. 10π 4. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）. A. 10 B. 9 C. 5 D. 5. 将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）. A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 图像关于直线对称 D. 图像关于点对称 6. 若，则（ ）. A. B. C. D. 7. 若恒成立，则下列结论正确的是（ ）. A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若，，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若实数且满足，则以为实部，为虚部的复数z的模长为 B. 已知是抛物线C：上不同于原点O的两点，若，则直线经过定点 C. 不等式，当时，解集为 D. 函数的零点为 10. 某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x（单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间）进行市场调研.从全国门店随机抽取了100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x（小时） 消费者人数y 2 38 a b 6 已知最佳饮用时长x的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），根据调研数据可认为x近似服从正态分布，用样本平均值作为的值，样本标准差s作为的值.则下列说法正确的是（ ）. （参考数据：若随机变量，则，，） A. ， B. 饮用时长在小时内的消费者占比估计值为13.59% C. 饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D. 若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 11. 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C和圆交于四个点，且自上而下次序为M，N，P，Q，O为坐标原点，直线与C的准线交于点E，则下列说法正确的是（ ）. A. B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线C：（a，），以其左右焦点为直径的圆与其渐近线交第一象限于点A，若直线的斜率为，则双曲线C的离心率为____________. 13. 如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 14. 从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. （1）若，求数列的前n项和； （2）若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 16. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线与的斜率之积为，求的面积． 17. 如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． （1）证明：平面． （2）求五面体的体积． （3）求平面与平面ABC所成角的大小． 18. 已知函数，. （1）记，，求的最小值； （2）若对任意恒成立，求实数t的取值范围. 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $