吉林白山市第一中学2026届高三下学期考前模拟测试二数学学科试题

2026届考前模拟测试二 数学学科试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将条形码粘贴在答题卡相应位置，并且把自己的姓名，准考 证号填写在答题卡上 2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在 答题卡相应位置上.写在本试卷上无效 3考试结束后，只上交答题卡，试卷不回收、 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.设：x1.g0.则p是g的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知(1-2x)仍+x)(b∈R)的展开式中x4的系数为13，则实数b的值为(). 4号 B号 c. D. 3.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容 异”，意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相 等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂 势既同”，则该不规则几何体的体积为()， A.7 B.10 C.7元 D.10元 4.已知等比数列{a,}的各项均为正数，且4·a。+44a4,=18,则log4+log,a2+..+1og,4o= () A.10 B.9 C.5 D.1+l0g;5 5.将函数∫(x)图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左 试卷第1页，共5页 平移个单位长度，得到8()=si血x+3, 则下列结论正确的是() 6 A.f(x)的最小正周期为π B.f)在0 上单调递减 C.()图像关于直线x受对称 D.图俊关点（0对称 6.若cosa+四coa-3m） 4cos a- 4 6 ,则sin2a=(） 1 1 A.- 6 B. C.3 D. 6 2-3 7.若/)-(2血ae+h-3到<0恒成立，则下列结论正确的是（) A.a+b<3 B.ab>0 C.a2+b2<9 D.a2+b2≥9 8.已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(x+2)是定义域为R的偶函数，若f(1)=-1, f(2)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+..+f(50)=() A.-6 B.-3 C.0 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.下列说法中正确的有() A.若实数t>1且满足log(logt)=4,则以√2为实部，1og(1og2t)为虚部的复数z的模长 为√⑧3 B.己知A,B是抛物线C:y2=x上不同于原点O的两点，若OA⊥OB,则直线AB经过定点 (1,0) C.不等式am3x-6<0,当a=时，解集为R D.函数f(x)=nx+x-1的零点为(1,0) 10.某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时 长”x(单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间)进行市场调研.从全国门店随机抽取了 100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x(小时) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) 试卷第2页，共5页 消费者人数y 2 38 6 6 已知最佳饮用时长x的平均值x=4.5(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，根据调 研数据可认为x近似服从正态分布N(,o2),用样本平均值x作为4的值，样本标准差5作 为σ的值.则下列说法正确的是() (参考数据：若随机变量x~N(4,σ2)，则P(u-o≤x≤+σ)=0.6827， P(4-2o≤x≤4+2o)=0.9545,P(L-3o≤x≤4+3o)=0.9973) A.a=24,b=30 B.饮用时长在[5.5,6.5]小时内的消费者占比估计值为13.59% C.饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D.若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款 茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 11.己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线1与C和圆(x-1)2+y2=1交于四个点， 且自上而下次序为M,NP,Q,O为坐标原点，直线MO与C的准线交于点E,则下列说 法正确的是()· A.ON.OP=0 B.MN>1 C.EQ/IOF D.P9+2MP的最小值为8+4V2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2.已知双曲线C:等片1(a,b>0),以其左右焦点为直径的圆与其近线交第一象 限于点A,若直线A?的斜率为，则双曲线C的离心率为 13.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，以AC为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上 的一个动点，若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为 14.从0,1,2,3,4中取两个数字，从5,6,7,8,9中取出两个数字，可组成 试卷第3页，共5页 个没有重复数字的奇数 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.己知数列{an}的前n项和为Sn,满足S.=n2+n,{b}为等比数列，首项为1，且公 比为2 (四若c,2 ,求数列{cn}的前n项和In; (2)若不等式(n-1)a。<k.bn对neN恒成立，求实数k的取值范围】 16.已知椭圆C:等+片1a>b>0的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为 2 √2+1. (1)求椭圆C的标准方程： 1 (2)若直线交椭圆C于A,B两点，O为坐标原点，直线OA与OB的斜率之积为-2，求△AOB 的面积. 17.如图，在五面体ABCEAB中，平面ABB,A⊥平面ABC,四边形ABB,A为矩形，△ABC 是等腰直角三角形，AB⊥AC,AB=AC=√5，AA=4,CE=1,CE/lAA. (1)证明：AE1平面AB,E. (2)求五面体ABCEA B,的体积. (3)求平面ABE与平面ABC所成角的大小. 18.已知函数f()=血x-x+1,g(x)= e 试卷第4页，共5页 ①i记e)-g(-.xe[e, 求(x)的最小值： (回若8)≤+月对任意x∈R恒成立，求实数r的取值范国 19.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆的性质，即第+1 次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1,n-2,n-3,…次状态无关.马尔科夫链是 概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、 金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,B两个盒子，各装有2个黑球和1 个红球，现从A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行(n∈N)次这 样的操作后，记A盒子中红球的个数为X,恰有1个红球的概率为p. (1)求1，P2的值： (2)求P.的值（用n表示）； (3)求证：X,的数学期望E(Xn)为定值 试卷第5页，共5页 1.D 【分析】解两命题对应不等式，然后由充分，必要条件与集合包含之间的关系可得答案 【详解】2x-3<1→-1<2x-3<1→2<2x<4→1<x<2, 3≤0&-3(x-2)s0=2<x≤3， x-2 x≠2 注意到{x2<x≤3}与集合{x1<x<2}之间无包含关系，则命题P是命题9的既不充分也不 必要条件. 2.D 【分析】利用二项式定理写出(b+x)4的展开式通项，分两部分求解x4的系数，进而建立关 于b的方程，求解b的值 【详解】根据二项式定理，亿+x)的通项为T1=Cb4-x(k=0,12,3,4). 展开式中x4项由两部分组成： ①1-2x)的常数项1乘以(b+x)的x4项，因(b+x)4中x4项的系数为C4b°=1， 因此这部分x4的系数为1×1=1. ②A-2x)的一次项-2x乘以(b+x)4的x项，因(b+x)4中x项的系数为Cb=4b, 因此这部分x4的系数为(-2)×4b=-8b. 依题意，1-8b=13,解得b=-3 3.A 【分析】利用祖暅原理将不规则几何体体积转化为正四棱台体积. 【详解】正四棱台的上底面边长为1，故上底面积S=12=1; 下底面边长为2，故下底面积S、=22=4,棱台高=3 所以r=x3x0+4+V1x4)=1x5+2)=7. 3 4.A 【详解】因为{a}为正项等比数列，所以a·4+44,=2a,4,=18,即4，a4=9, log;a +log;a +...+log;ao=log;(adao)=log;(ad)'=l0g;9=510g:9=10. 5.A 答案第1页，共16页 【分析】利用逆向变换求出f(x)的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项 A、B,根据对称轴与对称中心的性质判断C、D 【详解】将8(x)沿x轴向右平移严个单位长度，横坐标变为原来的？， 6 可得f(国-m2+爱. 选项)的02，故小正周期7哥-元，A正确 选项B,当e0,孕时，2x+=(,2,smu在后单调递增， A 66’3 在（节单调递减，放7）在(0孕不是单调递减，B错误 选项C,正弦函数对称轴处函数值为士1，代入x= 12 2士1，因此x=亚不是对称轴，C错误： 32 12 选项D,正弦函数对称中心处函数值为0，代入x= 6 f马=sim2.严+=im亚=1≠0，因此及，0)不是对称中心，D错误 6 66 2 6 6.D 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】o时a+-sasn 4 2 -(cosa-sina) wo-ioeo9oamo年aeaa -(cosa-sina)2=-I 可得(eosa-ma旷-号 (cosa-sin a)2=cos2 a-2sina cos a+sin2a=1-sin 2a 所以1-sim2a=→sin2a=2 3 3 7.D 【分析】令g()=x-上-21x,X>0,利用导数求出8(x)的单调性和零点，然后由 题目条件可得α，b间的关系，最后根据不等式的性质及二次函数的性质，逐一分析各个选 项，即可得答案 答案第2页，共16页 【详解】a=0,b=3时，易得f(x)≤0恒成立： 当a≠0，令g(y)=x-1-2lnx,x>0, g01+是21-è0 x2 从而g(x)在(0，+o)上单调递增，注意到g(1)=0, 则x∈(0,1)时，8(x)<0,x∈(1，+o)时，8(x)>0. 当x∈(0,1)时，为使f(x)≤0，从而ae-1+b-3≥0， 当x∈(L,+n)时，为使f(x)≤0，从而ae-1+b-3≤0. 故a<0且a+b-3=0, 对于A,显然a+b<3错误： 对于B,a+b=3→b=3-a≥3>0，则ab≤0，故B错误； 对于cD,d+b=a2+3-a=2a-m+9=2a-3+9 221 a)2x-号在0上单调递减，则x≤0时，ay之a0 即a2+b2≥9，故C错误，D正确。 8.B 【分析】利用函数奇偶性推导函数f(x)的周期，求出一个周期内f(x)各项的值，再计算50 包含多少个完整周期和余下的项，最后求和， 【详解】f(x)是R上奇函数，因此满足f(-x)=-f(x),且f(O)=0; f(x+2)是R上偶函数，因此满足f(2-)=f(2+x),则f(x)关于直线x=2对称 由f(2-x)=f(2+x),换元得f(-x)=f(x+4), 结合奇函数性质f(-x)=-f(x),得：f(+4)=-f(x) 再替换x为x+4,得：f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 因此f(x)是周期为8。 己知f0)=-1,f(2)=-2, f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f1)=-1 f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0 答案第3页，共16页 f(⑤)=f(4+1)=-f①)=1 f(6)=f(4+2)=-f(2)=2 f(7)=f(4+3)=-f3)=1 f(8)=f(4+4)=-f(4)=0 一个周期的和：f0)+f(2)+..+f(8)=-1-2-1+0+1+2+1+0=0. 50=6×8+2,即50项包含6个完整周期， 剩余最后两项f(49)=f1),f(50)=f(2), 所以f(1)+f(2)+f(3)+.+f(50)=6×0+f0)+f(2)=-1+(-2)=-3. 9.AB 【分析】对选项A:利用对数的定义逐步求出t的值，再计算log,(log2t),最后根据复数模 长公式计算模长：对选项B:设A(y,y)、B(y,y2),利用向量垂直的坐标关系得到y与y2 的关系，再求出直线AB的方程，分析是否过定点L,O);对选项C:结合二次函数的性质判 断a的取值范围；对选项D:结合函数零点定义判断即可. 【详解】选项A,由logg(logst)=4,根据对数定义得：logst=9=3, 因此t=8°=(2)3°=23”，则log(1og2t)=1og,(3)=9, 复数z=√2+9i,模长z上√W2)}+92=√2+81=V⑧3，A正确： 选项B,设直线AB:x=my+n,代入抛物线y2=x得y2-y-n=0, 设A(y,y),B(,y2),则yy2=-n. 由OA⊥OB得OAOB=x2+y2=yy2)2+y2=0, 因为yy2≠0，故y2=-1,得-n=-1,即n=1. 直线AB:x=y+1恒过定点1,0)，B正确： 选项C,当a意，不等式变为3x60日含c<0, 8 8 当x=4时不等式不成立，解集不是R,C错误； 选项D,函数的零点是满足f(x)=O的自变量x的值，不是点， 由f(1)=ln1+1-1=0,得f(x)的零点为x=1,不是1,0)，D错误 10.ABD 答案第4页，共16页 【分析】对于A,由题可得a+b=54,由x=4.5,可得4.5a+5.5b=273,据此可判断选 项正误；对于BCD,由题可得s2=o2=1,则 P(2.5≤x≤6.5)=0.9545，P(3.5≤x≤5.5)=0.6827，然后由正态分布知识可判断选项正误. 【详解】对于A,由题可得a+b=54, x=2×2.5+3.5×38+45a+5.5b+6.5x6=45→45a+5.5b=273, 100 解得：a=24,b=30,故A正确： 对于B,由题可得=2×2+38x1+30×1+6×2=1,则。=1， 100 由正态分布知识，P(4.5-2≤x≤4.5+2)=0.9545，P(4.5-1≤x≤4.5+1)=0.6827， 则P55≤565)-09545,06827-01359=1359%，故B正确： 2 对于C,因P35≤x≤55=06827，则P(K>55)=1-06827-015865=15865%,故C 2 错误； 对于D,由题可得P(4.5-3≤x≤4.5+3)=0.9973， 从而P(x<1.5或x>7.5)=1-0.9973=0.0027, 因小概率事件范围[0,1.5)(7.5，+∞)与题目所涉及范围[2,7]无交集， 则该调查中未发生小概率事件，故D正确. 11.AC 【分析】先确定F的坐标，设出直线的方程，联立直线与抛物线、圆的方程对于选项A, 利用圆的性质或联立方程得到N,P的坐标关系，结合向量数量积公式分析；对于选项B, 利用抛物线定义，结合直线与圆的位置关系分析范围；对于选项C,只需证明E,Q纵坐标相 等；对于选项D,利用抛物线的定义将PQ+2MP转化为坐标相关的表达式，再结合基本 不等式求最值， 【详解】抛物线C:y2=4x,焦点F(1,0),准线x=-1,焦半径公式 M=xM+1,FO=x。+1:圆(x-1)2+y2=1,圆心为F,半径r=1, 如图所示，四个点从上到下顺序：M,N,P,Q 选项A:设过F的直线为x=w+1,代入圆方程得y=,1 1+m21 答案第5页，共16页 1 故w+m-w,则=l+0七=l-, 则ONOp=xwxp+yyp=(（1-myw2）-yw2=1-y2(1+m2）=1-1=0,A正确： 选项B:因为M=xM+1,NF=1，且M,N,F共线，故MW=M-NF=xM: 联立直线与抛物线得y2-4w-4=0,故yu。=-4,得xwx。 (ywe)=1 16 。,当号>1时w<1,即M=w<1,B错误 1 即XM= 选项C:OF在x轴上，只需证E,Q纵坐标相等即可. 因o=业红=4 Xy yM 则直线OM的方程为号x,令=1得：4 由y。=-4得6=-4 =yE,故EQ/1x轴，C正确： 选项D:化简得：PO=Pg-|P=。(xw=), 故P0+2m=+2,+2=2,+4≥22+4=25+4， 当且仅当xw=5时取等，即PQ+2P的最小值为4+2N5≠8+4N2,D错误 2 【分析】结合题干写出圆的方程，利用渐近线方程和圆的方程联立求解A的坐标，进而利用 斜率公式建立方程求解a、b、c的关系，再利用离心率公式求解离心率 【详解】过R,耳，且以E,为直径的圆方程为x2+y2=c2,双曲线的渐近线方程为y= x: a 将y=x代入x+y=c, 得x+学e-答c, 因A在第一象限，故x=a,得y=b,即A(a,b): 答案第6页，共16页 b-0b3 直线AF的斜率k a-(c)a+c4,即4b=3(a+o), 两边平方代入b2=c2-a2,可得16(c2-ad2)=9(a+c)2, 则16(c-a(c+)=9(a+c)2,由c+a≠0， 消去得16(c-a)=9(a+c)→7c=25a, 所以e=C=25 a 7 13.3+5 3 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，利用三角函数参数表示点P,推导出x+y的表达式， 再利用三角函数的性质求最大值 【详解】取AC中点O(圆心)为原点，AC在x轴上，由△ABC是边长为2的等边三角形， 三线合一得BO⊥AC,BO=√5， 因此各点坐标为：O0,0),A(-1,0),C1,0),B(0,-√5)， 设P(cos0,sim)(0为OP与x轴夹角)，由P在上半圆，得B∈[0，。 BP=(cose,sin+3),BA=(-1,3),BC=(1,3), 「c0sθ=-x+y 由BP=xBA+yBC,对应坐标相等得： sine+3=v3(x+)' 则x+y=sim6+V =1+sin0 √5 3 因为0e[0,,sin6的最大值为1， 13+V5 所以（化+y)mx=1+ 53 答案第7页，共16页 14.1064 【分析】因为要组成奇数，所以个位必须是奇数，先确定个位数字的选取来源和选法，分两 类情况讨论：第一类是从0,1,2,3,4中选1个奇数作为个位，此时要注意0不能在首位， 再从剩下的数字中选1个，同时从5,6,7,8,9中选2个数字；第二类是从5,6,7,8， 9中选1个作为个位，再从剩下的数字中选1个，同时从0,1,2,3,4中选2个数字；对 于每一类，先选数字，再用排列组合的方法计算能组成的无重复数字的奇数个数，最后将两 类结果相加 【详解】情况1：个位是来自第一组(0,1,2,3,4)的奇数（即个位为1或3，共2种选 择) 再分两小类： 子情况1a:第一组另一个取到0： 第一组取法：2（个位）×1（取0）=2种；第二组取2个：C?=10种： 排前三位：0不能放首位，首位有2种选择，剩余两位全排列，共2×A?=4种排法： 总数：2×10×4=80 子情况1b:第一组另一个不取0： 第一组取法：2（个位）×C=6种；第二组取2个：C=10种； 前三位无特殊限制，全排列共A=6种排法： 总数：6×10×6=360，情况1总个数：80+360=440 情况2：个位是来自第二组(5,6,7,8,9)的奇数（即个位为5,7,9，共3种选择） 再分两小类： 子情况2a:第一组取出的两个数含0： 第二组取法：3（个位）×C4=12种；第一组取法：C1=4(取0后再取1个非0)种： 排前三位：0不能放首位，共2×A=4种排法： 答案第8页，共16页 总数：12×4×4=192 子情况2b:第一组取出的两个数不含0： 第二组取法：3（个位）×C4=12种；第一组取法：C=6种： 前三位全排列共A=6种排法： 总数：12×6×6=432，情况2总个数：192+432=624. 将两类相加：440+624=1064 15.()T=4-n+2 2-1 (2)(3,+0) 【分析】(1)利用a,与Sn的关系，求出{a}的通项公式：利用等比数列通项公式求出{b} 的通项公式，再结合错位相减法求T: (2)将4、b的通项代入不等式，整理得到关于n的恒成立问题，所以构造新数列，通过 研究新数列的单调性求出其最大值，进而确定k的取值范围。 【详解】(1)已知S=n2+n:n=1时，4=S=2； n≥2时，an=Sn-Sn1=(n2+m-[(n-1)2+n-1]=2n, 验证n=1也满足，故a,=2n. {也，}是首项为1、公比为2的等比数列，故b.=21，b1=2”. 总空品则刀-*号会 +号++回 两边铜：@ 1,2， @得=1++)分 1）n 11- 中间等比数列求和 21- 1、 2； 代入整理得：=2生2T=4-+2 1 2” 2-1 (2)不等式(n-1)an<k.b.,对neN恒成立， 代入a2,得：k>0-a=21-D_4n0-少 b, 2-l 2 答案第9页，共16页 设了0m=4-D,作差得f0+1)-了0m=3-m 2” 2-1 n=1,2时，f(n+1)>f(m: n=3时，f(4)=f3)=3; n≥4时，f(n+1)<f(n), 故a的最大值为3，因此k>3,即k∈(3，+o): 16号r4 a+c=1+V5 【分析1(1)根据离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为1+反，由C互 2 a 2 求解。 (2)当直线AB斜率不为零时，设直线AB为：x=四+t,与椭圆方程联立，利用韦达定 理求得m=2r2-2利-以，由三角形面积S=y-4求解即可，当直线AB斜率 为零时，设其方程为y=(-1<n<1),与椭圆方程联立，求出A,B坐标，直线OA与OB的斜 率之积为-，即可求出，进面求得△40B的面积。 a+c=1+√2 【详解】(1)由题意得{c一5，解得 =v2 c=11 La 2 a2=2,b2=2-c2=1, 深图C的方程为号产少1 （2)当直线AB斜率不为零时，设直线AB的方程为：x=y+t,A(x,y),氏x2,y2), x=ny+t 联立 2=-1:消元得m2+2y2+2n+2-2=0, 2 2 答案第10页，共16页 t2-2 由韦达定理得：+y2头+之 已知ka=宁即之长- x22 则2yy2=-(y+t)(y2+t), 2yy=-[m2y2+mt(y+y2)+], 代入韦达定理化简得，m2=212-2, 又4-=Vy+y,)2-4y -2t 4-2 2V2(m2+2-t)2W2rV5 Vm2+2 2+2 m2+2 22I 则9是 当直线AB斜率为零时，设其方程为y=n(-1<n<1), v=n 联立 解得x=±V2-2r, 设A在左侧，则4-V2-2n,,BN2-2m,m, n 解得n=±5，此时4B-22-2f=2 2 则5州a-9e- 2 所以△OAB的面积是5 2 17.(1)证明见解析 e明 o5 【分析】(1)根据几何体的性质，以及勾股定理，证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定 理，证明结果即可： （2)根据几何体的性质，将五面体ABCEAB,分解成四棱锥E-ABB,A和三棱锥E-ABC, 求出锥体的体积，进而求出结果： 答案第11页，共16页 (3)根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而 根据面面夹角的余弦值的向量法求出面面角的余弦值，进而求出角的大小 【详解】(1) Z B F B 在矩形ABBA中，ABAB,AB⊥A4, 因为AB L AC,AA∩AC=A,所以AB⊥平面AACE, 因为AEC平面AACE,所以AB⊥AE,即AB,⊥AE, 如图所示，过点E作EF⊥AA,垂足为F, AB=√AC2+CE2-2,AF=1,AF=3,BF=√3，AE=√AF2+EF2-23, 所以AE2+AE2=AA4,即AE⊥AE. 又AB∩AE=A,所以AE⊥平面AB,E. (2)如图所示，连接BE.该五面体可由四棱锥E-ABB,A和三棱锥E-ABC组成. 四棱锥E-AB,4的体积斯=×V5×4x5=4, 3 三棱维尽-AC的体积-兮行5x5x1-分 五面休46C4民的休积7K+} (3)以A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x,y,2轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(0,0,0),E(0,V3,1 由(1)可得平面4B,E的一个法向量为A亚=(0，V5,1). 答案第12页，共16页 易知平面ABC的一个法向量为i=(0,0,1), 则cos(AE,= AE.i 1 AE园2' 所以平面4BE与平面ABC所成角的大小为 18.@日 1 (2四26≤t≤20 【分析】(1)注意到h(x)=nx-x+1-e,x∈ 由导数知识可得 nr-x=t∈[1-e,-l],从而h(x)=q(t)=t+1-e,t∈[1-e,-1],然后由q(t)单调性可得h(x) 最小值： 2)分=宁《种情，求指 e*x+ 在相应区间上的最值可得 答案 【详解】a))=-x+x-1=e-x--1xe[c] 令p(x)=lnx-x,x∈ ep)=1-11-x 17 p)>a→x=[pe)03小 从而p(y)在是上单调道增，在L,上单调递减， 从而p()sp0=1,p)2m但po}-m11- 因-1-1-0-8）-6-2-}-e2-2e-1e--2,1720 则p(x)≥p(e)=1-e.令nr-x=te[1-e,-1], 则h(x)=q()=e-1-t,te[1-e,-l,q(t)=e-1, 从而q(t)在[1-e,-1]上单调递减， 则4()=g国≥g=是 答案第13页，共16页 2)8)sx+习→sx+ 当x=则≤0对任意实数恒成立： 1 2e2 当>白+恒立可得之 令e()t -I21 c'x+1,xs-1 2+ e2+月 1 2 2 e x+ 2 x2、1 +1>03-1<x<1,-x2-1x 1 X+ <0→x> 2 2 2 从而e()在(2 11 )上单调送溶，()在[行-上单调道减。 (1)_1 则e(=e22,即此时r 1 2ve 当x片则后+》成立可得 &) -x2 2 2 +1)2 c'*+2 2x+>0-1<<-3 +号<05<1， 2 从而a()在()上单调递减，a()在〔L 上单调递增， 则a(x)mn=a(-1)=2e,即此时t≤2e. 综上可得+号对eR恒成立时 .,1 2W6s1s28 1 5 49 19.()p=9P,= 81 ②B= 21-3 5g+ (3)证明见解析 【分析】(1)根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可： (2)根据古典概型运算公式，可以得到含P-1的代数式表示Pn,运用构造法，结合等比数 答案第14页，共16页 列的定义进行求解即可： (3)根据古典概型运算公式，结合题意得到9。、qn-1、Pn、卫-1之间的关系，结合数学期 望的运算公式进行求解即可， 【详解】(I)设第n(n∈N)次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为q.,则没有红球的概 率为1-p。-q 由题意知p= cic+cicl5 CC9' CC!2 4= cC+cE+4c8+0-a-a)C-81 cC249 P2=P1 CC CC (2)因为Pn=P C2C2+CC1+g2+(1-Pa-1-4a-）F cc=_1p cc CC 3 ；行0，所以口一引是以行为言项，写为公比的等比微列 又因为卫545 所以肌 3 (3)因为4= CCp 1 1-gn-Pn= en,80a)-0,n小© 所以①-②，得24+卫，-1=（24+P1-0. 又因为24+乃-1=0，所以24.+p.-1=0,所以q,=1-卫 2 X的可能取值是0,1,2， 答案第15页，共16页 P(x=0)=1-p,g,=1-L 2 P(X.=1)=P. 1-Pn P(X=2)=4.=2 所以X.的概率分布列为 X 0 1 2 ò 1-Pn 2 P. 1- 2 所以E(X)=0×1-卫+1xp,.+2x-卫=1. 所以X.的数学期望E(Xn)为定值1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求P-1、P.之间的关系，利用等比数列的定义进行 求解 答案第16页，共16页