八年级数学下学期期末真题重组卷（新教材北师大版）

**基本信息** 本试卷覆盖北师大版八年级数学下册全册内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合图形性质、函数应用、几何探究等，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、分式方程、一次函数图像|结合多边形镶嵌（第6题）考查几何直观| |填空题|6/18|因式分解、二次根式、等腰三角形分类|以一次函数旋转（第14题）体现空间观念| |解答题|9/72|不等式组、几何证明、规律探究、应用题|含电热毯利润（第22题）模型应用，几何动态探究（第24题）发展推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东德州·期末）若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（   ）个 （1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20 A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·吉林·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）因式分解：____． 13．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为___． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______ 15．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 16．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 在中，，， 若以为一边画等腰三角形， 且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 19．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)将向下平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ． 21．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 22．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 24．（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 25．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“如果一个图形沿一条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”及“如果一个图形绕某个点旋转180度后能够与原图完全重合的图形叫做中心对称图形”进行求解即可． 【详解】A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴若，则，选项A正确； ∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，则，选项B正确； ∵当时，，此时，不满足， ∴选项C的说法不正确； ∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴若，则，选项D正确； 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质． 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 故选：D． 5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26八年级上·山东德州·期末）若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】先去分母求解分式方程，再根据解为正数且分式有意义列出不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】∵ 原方程为，将方程变形为， 两边同乘去分母得：， 整理求解得：， ∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ∴ ，且， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴ 且． 8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可知；根据角平分线的性质可知，根据等角对等边可知，根据含角的直角三角形的性质，可知，等量代换可知；可知，根据，可得：，所以可得：；由等腰三角形的三线合一可得，所以可知垂直平分线段，进而可得答案． 【详解】解：连接，， 由作法得，， 垂直平分， ，故①正确； ，， ， 由作法得平分， ， ， ， 在中，， ， ，故②正确； 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ，    ， ， 垂直平分线段，故④正确． 故正确的个数有3个． 10．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（   ）个 （1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据图象，结合运动路程，把握好关键性界点，过点B作于点H， 利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中线与三角形的面积等知识解答即可． 本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义． 【详解】解：根据图形和图象，得当时，，故； 点P从点B运动到点D，行走路程为，； 当点P运动到点D时，，此时； 故平行四边形的周长为； 当时，，此时点P为的中点， 故的面积与的面积相等，且为的面积的一半， 过点B作于点H， ∵， ∴， 故， 故的面积为， 故的面积为24； 故（1）（2）（3）正确；（4）错误； 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·吉林·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 解得． 12．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）因式分解：____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再运用平方差公式继续因式分解即可． 【详解】解： ． 13．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为___． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，灵活利用三角形中位线的性质，是解答本题的关键； 取的中点，连接，根据三角形中位线的判定与性质可得，，且有直线与直线重合，进而可得证明，即可得四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵为的中点，点为的中点，， ∴，，， ∵，直线与直线重合， ∴直线与直线重合， ∵，， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______ 【答案】 【分析】先设出点的坐标，利用一次函数表达式表示其纵坐标，再根据点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为得到点的坐标，最后将代入一次函数解析式，解方程求出参数，进而得到点的坐标． 【详解】解：因为点在一次函数的图像上， 设点的坐标为， 则点旋转后的对应点的坐标为， 因为点在一次函数的图像上， 所以，解得 将代入点的纵坐标表达式，得， 故点的坐标为． 15．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 【答案】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义进一步确定a的取值范围，确定符合条件的整数a的值即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于x的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， 将关于y的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴或或， 解得或或或或或， 又∵分式方程的增根是， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴符合条件的整数a的和为． 16．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 在中，，， 若以为一边画等腰三角形， 且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是由等边对等角求出角的度数；分别按三边两两相等进行分情况讨论． 【详解】解：当时，顶角为； 当时，，顶角为； 当时，在边上，， 顶角； 当时，在边上，顶角为； 综上所述：顶角为：或或； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】；见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 18．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当或时，原分式没有意义； 当时，原式； 当时，原式． 19．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理； （1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)将向下平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，连接，交点即为旋转中心点M， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． 21．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键； （1）根据上述等式，写出第5个等式即可； （2）根据上述等式，可得第个等式：，再证明整式左边等式右边即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）第个等式：， 证明如下： 等式左边 等式右边， 故等式成立． 故答案为：． 22．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：； 故答案为：，； （2）根据题意得； 解得： ∵关于的不等式组无解， ∴； （3）根据题意得， 整理得：， 此不等式解集为， ，且， 整理得：， 所求不等式化简得：，即， 把代入得： ，解得：， ∴ 解得：． 24．（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 25．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则，，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B B B B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.x≥2026 12 a(a+5)(a-5) 13.3 4原号 15.-1 16.90°或84°或48 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 2(x+2)>x① 【详解】解： 1-27@ 解不等式①得：x>-4, 解不等式②得：x≤-1， 不等式组的解集为：4<x≤-1,3分 ∴表示在数轴上为： -5-4-3-2-10123456分 18.(6分) 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3-a÷ 【详解】解：2a-4 a+2- a-2 3-a a-2 2(a-2)(a+3)(a-3) 1 2a+6,3分 当a=2或a=3时，原分式没有意义； 11 当a=1时，原式2a+68: 11 当a=4时，原式=2a+614·6分 19.(6分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴.∠ADE=∠CED, 又DE是∠ADC的角平分线， .∠ADE=∠CDE, ∴.∠DEC=∠CDE, .CD=CE;3分 (2)解：由(1)可知CD=CE, ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD. .BE=CE, .AB=BE, ∴.∠AEB=∠B4E= 180°-∠B 2 =55 :AD∥BC, .∠DAE=∠AEB=55°.6分 20.(6分) △ABC1 【详解】(1)解：如图所示， 即为所求； 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 元.…2分 B A C (2)解：如图所示，△4B,C,即为所求； B A B 衣.4分 B A BB2,CC2 (3)解：如图，连接 ，交点即为旋转中心点M, A B B A 由图可知，点M的坐标为 0,3) 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0,3) 故答案为： 6分 21.(8分) 52 4 -5+2= 【详解】(1)解：5+2 5+2: 52 故答案为： 5+2 -5+2=4 5+2.3分 n2 4 (2)第n个等式：n+2n+2= n+2, 证明如下： 等式左边= n2 2-n-2) =n2-(n+20n-2) n+2 =2-(n2-4) n+2 4 n+2 =等式右边， 故等式成立 n2 故答案为：n+2 -n+2=4 n+2..8分 22.(8分) 1.4 解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床 84004500=20 根据题意，得 x 解得：x=90 经检验，x=90是所列分式方程的解， 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 ×90=120(元). 3 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元..4分 120a+90100-a)≤10000 (2)解：根据题意，得： 解得：as100 20×(1+20%)=144 A款电热毯的售价为 （元)， 0×(1+20%)=108 B款电热毯的售价为 (元)， W=(144-120)a+(108-90)(100-a)=6a+1800 6>0, .W随a的增大而增大， :as10 且x为正整数， ÷当a=3时，甲的值最大， W装大=6×33+1800=1998 答：最大利润为1998元.8分 23.(8分) 【详解】①)解：把6,2)=7.f4,3)=10代入x)=+ 3a+2b=7 得：4a+3b=10, a=1 解得：b=2; 故答案为：1,2：2分 -x-3+2(x+2)≥0 (2)根据题意得2x+2(x-t)<0: 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x≥-1 解得： t f(-x-3,2+x)20 :关于x的不等式组f(2xx-t)<0无解， .t≤-2；5分 mx+3n+2(2m-x)≥3m+4n (3)根据题意得 (m-2n)x≥n-m 整理得： :此不等式解集为≤3， n-m_1 m-2n<0,且m-2n3, 5 整理得：m=4n(m≠0，n≠0)， mx-2m+2(3n-x)>-m+n（m-2n)x>m-5n 所求不等式化简得： ,即 5 把m=4”代入得： m-2n=2n-2n<0,解得：n>0: 4 5 -2m-列 解得：x<5.8分 24.(12分) 【详解】解：(1)：∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠ACB=45°， ,AD⊥AE, .∠DAE-=90°， 6/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC=∠DAE, :.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 又，AB=AC,AD=AE, △BAD≌△CAE(SAS) .BD=CE,∠B=∠ACE=45°， :.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， .BD⊥CE: .BD=CE,BD⊥CE: 故答案为：BD=CE,BD⊥CE;4分 (2)2DA=BD2+CD2,证明如下： 如图所示，连接CE, B D :∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠ACB=45°， ∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 又AB=AC,AD=AE, :△BHD2 CE(SAS)) .BD=CE,∠B=∠ACE=45°. .∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， .CD2+CE2=DE2, .CD2+BD2=DE2: .AD=AE,∠DAE=90° .'DE2=AD2+AE2=2AD2, 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2AD2=BD2+CD2;8分 (3)将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接DE,CE, B .AD=AE,∠DAE=90°， .DE2=AD2+AE2=2AD2,∠ADE=45°， :∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°， ∴.∠BAC=90° .∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 又：AB=AC,AD=AE, ,△BAD≌△CAE(SAS) .BD=CE=5, ,∠ADE=45°，∠ADC-45°」 .∠CDE=90°， .DE2 CE2-CD2 又：BD=CE=5,CD=3, .DE2=CE2-CD2=16, DE2=AD2+AE2=2AD2, .AD2=8, .AD=22.12分 25.(12分) 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：四边形EBFD是平行四边形，理由如下， :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD ,点E是AB的中点， ..AE=EB, AM MN, .EM是△ABN的中位线， .EM∥BN, .BE∥DF,DE∥BF, ∴.四边形EBFD是平行四边形..4分 (2)①解：MC=2AG;理由如下： 如图，作FK∥MC交DE于点K, D 万 M E :FK∥MH,FH∥MK, ∴.四边形MHFK是平行四边形， .MH=FK, ,四边形EBFD、ABCD是平行四边形， 班-时伯 AB=CD' -CD ..CF=FD. .FK∥MH,DE∥BF, .∠CFH=∠FDK,∠FCH=∠DFK, △CFH≌△FDK(ASA) .CH=FK. .CH=FK=MH, 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..MC=2FK, :AG∥MC,FK∥MC, AG∥FK, ∴.∠AGD=∠FKE, .180°-∠AGD=180°-∠FKE, .∠AGE=∠FKD, :AB∥CD ∴.∠AEG=∠FDK, 又AE=BE=FD, △AEG≌△FDK(AAS) .AG=FK. .MC=2AG.8分 ②如图，延长AP交DC的延长线于点R, D R G 点P为BC中点，AB∥CD, .∠PCR=∠PBA,CP=BP, 又∠CPR=∠BPA, ACPR≌△BPA(ASA) .'RC=AB,RP=AP=b, ∴.AR=2AP=2b, 作RL∥BF交AB的延长线于点L,作CO L AL于点Q, RF∥BL, ∴.四边形RFBL是平行四边形， .'RL=BF=a, 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BL-RF-RC+CF-AB+1AB-34B 2 AL-AB+BL-4B+3AB=54B 2 2 25AB2=a2+4b2 41 ξ4B=d2+(2b 2 .'AL2 RL2+AR2, ∴.△ARL是直角三角形，且∠ARL=90°， S号L4R=0x26=a, 2 8a业-0-348c0-8c0, 4B-c0=, 4 ..SABCD =AB.CO=ab 5 4 ·GABCD的面积为5ab.12分 11/11 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东德州·期末）若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 8．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 9．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分线段，正确的个数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中正确的有（   ）个 （1）；（2）；（3）平行四边形的周长为44；（4）当时，的面积为20 A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·吉林·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）因式分解：____． 13．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，延长到点，使得，过的中点作（点在点的右侧），且，连接，若，则的长为___． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点是一次函数图像上一点，将线段绕点顺时针方向旋转后，点的对应点恰好落在一次函数图像上，则点的坐标是______ 15．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的和是_______． 16．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图， 在中，，， 若以为一边画等腰三角形， 且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为_____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 19．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知在中，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)将向下平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ． 21．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 22．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 23．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 24．（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 25．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $