专题12 平行四边形动点模型与几何综合问题（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦平行四边形动点模型与几何综合，通过分层考点构建从动态基础到综合探究的训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点问题|15题|多动点运动、分类讨论|结合平行四边形性质，培养动态分析与方程思想| |规律与探究|8题|图形规律、操作验证|从特殊到一般，发展抽象能力与归纳推理| |最值问题|10题|几何最值、中点模型|运用转化思想，提升空间观念与模型意识| |递进式探究|15题|综合证明、拓展应用|整合多知识点，强化逻辑推理与创新意识|

专题12 平行四边形动点模型与几何综合问题 考点01 平行四边形动点问题 考点02 规律与探究 考点03 最值问题 考点04 平行四边形递进式探究 考点01 平行四边形动点问题 1．如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图：   ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．设运动时间为．秒，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，①当四边形是平行四边形时，由平行四边形的性质得，，即可求解；②当四边形是平行四边形时，同理可求；能利用平行四边形的性质进行求解及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：是的中点， ， 根据题意得：，， ①当四边形是平行四边形时， ， ， ， 解得：； ②当四边形是平行四边形时， ， ， ， 解得：； 综上所述：的值为1或； 故选：C． 3．如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是动点问题函数图象、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是分段考虑，正确表示出时关于的函数解析式． 分三种情况可得该时间段内关于的函数解析式，结合二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质即可判断正确图象． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴点达到点所需要的时间为：（秒）， 点达到点所需要的时间为：（秒）， ∴，故选项C、D错误； 当时，点在上运动，此时，， 如图，作交于点， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向上的抛物线， 当，点在上运动， 如图，过点作交于点， ， ∴； 根据一次函数的性质此时表示与函数关系的图象是一条斜向上的线段； 当，点在上运动，作交延长线于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得，此时表示与函数关系的图象应为开口向下的抛物线； 则选项错误、选项正确． 故选：B． 4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线A-B-C-D方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动、已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，点P，Q停止运动，设运动时间为t秒，在这个运动过程中，若△BPQ的面积为20cm2  ， 则满足条件的t的值有（ ）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过A作AH⊥DC，由勾股定理求出DH的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值． 【详解】解：过A作AH⊥DC，∴AH=BC=8cm，DH= ==6． i）当P在AB上时，即时，如图，，解得：； ii）当P在BC上时，即＜t≤6时，BP=3t-10，CQ=16-2t，，化简得：3t2-34t+100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解． iii）当P在线段CD上时，若点P在线段CD上，若点P在Q的右侧，即6≤t≤，则有PQ=34-5t，，＜6（舍去）； 若点P在Q的左侧时，即，则有PQ=5t-34，； t=7.8． 综上所述：满足条件的t存在，其值分别为，t2=7.8． 故选B． 【点睛】本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答． 5．如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】用含t的式子表示出，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有1个． 6．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∵，， ∴，， 当四边形为矩形时，， 即，解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即，解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即，解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示，    则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有个． 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 7．如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒． (1)线段的长为____________（用含的代数式表示）． (2)当平分时，求的值． (3)如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为 或8或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得 ，可求解； （3）根据题意得：，利用平行四边形的性质分四种情况：当点Q没有到达点B时；当点Q到达点B后，返回时；当点Q到达点C后，返回时；当点Q第二次到达点B后，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴． 故答案为：； （2）解：在中，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，， ∴， 当点Q没有到达点B时， ， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， ， ∴， 当点Q到达点C后，返回时， ， ∴， 当点Q第二次到达点B后， ， ∴． 综上所述：t的值为或8或 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形，，．在上取一点D，沿折叠，点B恰好落在上的点E处． (1)点E的坐标为 ； (2)求的周长； (3)动点P从点C出发沿边以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点P运动的时间为秒．另一动点Q从点O出发以每秒2个单位的速度，在上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请求出t的值． 【答案】(1) (2)的周长为6 (3)时，以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（1）根据折叠和矩形的性质可求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； （2）先求出，然后根据三角形周长公式求解即可； （3）由知，要使以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，则有，然后分点Q没有到达点A，点Q到达点A后两种情况讨论． 【详解】（1）解：（1）∵矩形沿折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得：，， 由（1）知， ∴， ∴的周长； （3）解：由题意可知， 当点Q没有到达点A时，， ∴， 当点Q到达点A后，返回时，， ∴， 此时点P与点B重合，不合题意舍去． 综上所述，时，以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，平行四边形的性质，一元一次方程的应用等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 9．如图，在▱ABCD中，AB＝13，BC＝50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ． （1）当t＝5时，AP＝________． （2）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）． （3）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式． （4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值． 【答案】（1）32；（2）AP的长为8t﹣8或108﹣8t；（3）S＝；（4）t＝7，t＝，t＝． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值； （3）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式； （4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图③，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑥，根据菱形的性质建立方程求出其解即可． 【详解】解：（1）由题意得AP＝8×（5-1）=32， 故答案为：32； （2）当点P沿A﹣D运动时，AP＝8（t﹣1）＝8t﹣8， 当点P沿D﹣A运动时，AP＝50×2﹣8（t﹣1）＝108﹣8t； 综上所述，AP的长为8t﹣8或108﹣8t； （3）当点P与点A重合时，BP＝AB，t＝1． 当点P与点D重合时，AP＝AD，8t﹣8＝50，t＝． 当0＜t≤1时，如图①． 过点Q作QE⊥AB于点E． S△ABQ＝AB•QE＝BQ×12， ∴QE＝＝＝． ∴S＝﹣30t2+30t． 当1＜t≤时，如图②． S＝AP×12＝×（8t﹣8）×12， ∴S＝48t﹣48； 综上所述，S与t之间的函数关系式为S＝； （4）如图③，当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时， ∴∠C′OQ＝∠OQC． ∵△C′OQ≌△COQ， ∴∠C′OQ＝∠COQ， ∴∠CQO＝∠COQ， ∴QC＝OC， ∴50﹣5t＝50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t＝8（t﹣1）﹣50+13， 解得：t＝7或t＝． 当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图④． 同理由菱形的性质可以得出：OD＝PD， ∴50﹣5t+13＝8（t﹣1）﹣50， 解得：t＝． ∴当t＝7，t＝，t＝时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．         【点睛】本题主要考查了四边形综合，准确计算是解题的关键． 10．如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结． (1)直接写出点与点重合时的值． (2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． (3)当时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)5 (2) (3)2或 (4)4 【分析】（1）由题意可得，即可； （2）根据题意可得，从而得到，即可； （3）分两种情况，点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形；点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形，即可解决问题； （4）分两种情况，结合等腰梯形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为5； （2）解：当点Q沿运动时， 由题意得：， ∴， 即的长为； （3）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， 分两种情况： 点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； ②点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， 同①得：， ∴，解得：， 综上所述，当时，t的值为2或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形， 如图3，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由（3）得：， ∴，解得：； 当点Q沿运动时， ∵， ∴， 当四边形是等腰梯形时，如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由（3）得：， ∴，解得：； 如图，当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为4或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰梯形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 11．如图，在四边形中，，，，，高，点从点出发，沿运动，点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度． 、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连结、．设点运动时间为（秒）（）． (1)_______； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P从D向A运动时，四边形始终是平行四边形．请说明理由； (4)当经过四边形其中一条对角线的中点时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)6 (2) (3)见解析 (4)， 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定； （1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据题意，当，分别列出代数式，即可求解； （3）当点P从D向A运动时，得出，又，则四边形是平行四边形， （4）分两种情况讨论，当点从向运动时，则四边形是平行四边形，当点P从D向A运动时，当为平行四边形时，分别讨论，即可求解． 【详解】（1）在中， ∴； 故答案为：． （2）解：∵， 点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度 ∴运动时间为秒， ∵，， 当时， 当时， ∴ （3）当点P从D向A运动时， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， （4）解：当点从向运动时， ∵ 又∵又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴经过的中点， 当点P从D向A运动时， 当为平行四边形时，如图所示， ∴ 即 解得： 综上所述，或时，经过四边形其中一条对角线的中点 12．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点E， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，点Q在线段上，此时， 当时，点Q在线段的延长线上，此时； （3）解：∵以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：当点Q在上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，当时，点P在上，，不能为钝角，不合题意； 当点Q在线段的延长线上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 综上所述：或时为钝角三角形． 13．如图，在中，，，于点E，且．点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点停止时，点也随之停止，连接．设点运动的时间为秒．    (1)的长是 　 　； (2)用含的代数式表示的长； (3)设面积为，求关于的函数关系式； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或9 【分析】（1）在中，利用勾股定理可解； （2）利用时间乘以速度等于路程可解，需要分类讨论； （3）利用，根据（1）和（2）即可得到关于的函数关系式； （4）需要分类讨论，点在点左侧还是右侧时，分别进行求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 故填：； （2）解：∵四边形是平行四边形， 当P点运动到点E时，， 当点P运动到点C时，， ①当时，； ②当时，； ∴用含的代数式表示的长为：； （3）当时， ； 当时， ； ∴关于的函数关系式为：； （4）解：①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或9时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、勾股定理和动点问题，解题关键是能够分情况讨论关于的表达式并能确定取值范围求解． 14．如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)当点从向运动时，______，______； 当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）． (2)当直线恰好平分的面积时，求的值． (3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)，， (2)当秒或秒时，直线恰好平分的面积； (3)的值为或． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积，则，分两种情况讨论，列式计算即可求解； （3）分五种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：当点从向运动时，，，，； 当点从向运动时， ；（用含的代数式表示）． 故答案为：，，； （2）解：当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：设平行四边形的高为，则平行四边形的面积为， 当时，，， 由题意得，，解得； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得； 综上，的值为或． 15．如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ． （1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）． （2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式． （3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值． （4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值． 【答案】（1）108﹣8t． （2）． （3）当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分． （4）当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC． 【详解】试题分析：（1）分情况讨论：当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值． 当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8； 当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t． （2）分类讨论：当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式． 当点P与点A重合时，BP=AB，t=1． 当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=． 当0＜t＜1时，如图， 作过点Q作QE⊥AB于点E， S△ABQ=， 即． ∴． ∴S=． 当1＜t≤时，如图， S=． 综上所述， ． （3）分类讨论：当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可． 点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=． 当0＜t≤1时，如图， ∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM． ∵AB∥QR， ∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR． 在△BPM和△RQM中，， ∴△BPM≌△RQM（AAS）．∴BP=RQ． ∵RQ=AB，∴BP=AB． ∴13t=13，解得：t=1． 当1＜t≤时，如图， ∵BR平分阴影部分面积，∴P与点R重合． ∴t=． 当＜t≤时，如图， ∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR． ∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分． （4）分类讨论： 当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，如图， ∴∠C′OQ=∠OQC． ∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ． ∴∠CQO=∠COQ．∴QC=OC． ∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13， 或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13， 解得：t=7或t=． 当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图， 同理由菱形的性质可以得出：OD=PD． ∴50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1）， 或50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）． 50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1）无解； 由50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）解得：t=． 综上所述，当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC． 考点02规律与探究 16．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】B 【分析】观察图形的变化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有10个平行四边形， 第②个图形中一共有14个平行四边形， 第③个图形中一共有19个平行四边形， 第④个图形中一共有25个平行四边形， 第⑤个图形中一共有32个平行四边形， 则第⑥个图形中平行四边形的个数为40． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 17．如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到图形的变化规律，可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， 每次轴对称变换重复一轮， ， 经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为． 18．如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2024个小等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： ，、、分别为、、的中点， 、、分别为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长是， 第n个小等边三角形的周长为 第2024个小等边三角形的周长为． 故选：A． 19．如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律、平行四边形的性质，根据题意先求出前几个平行四边形的对称中点的坐标，从而可找出规律，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴点M、A重合， ∴， 则的中点即为平行四边形的对称中点，其坐标为， 同理可得，，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为， 同理可得，第3个平行四边形的对称中点的坐标为， ⋯， 同理可得，第n个平行四边形的对称中心的坐标为， ∴第8个平行四边形的对称中心的坐标是，即， 故选：C． 20．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则___． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 故答案为：. 21．如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：在中，，由点分别是边的中点，点分别是的中点，， 点分别是的中点， 可得， 故． 故答案为：． 22．解答题 (1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] (2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l； (3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？    【答案】(1)见解析 (2) (3)（无限接近于2） 【分析】（1）先作出图形，延长至F，使，然后根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，然后证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得且，然后整理即可证明结论； （2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形的周长等于周长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可解答； （3）根据规律，l的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可解答． 【详解】（1）解：已知：在中，D、E分别是边的中点， 求证：且， 证明：如图，延长至F，使， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴且（平行四边形的对边平行且相等）， ∵， ∴且．    （2）解：∵分别是的中点， ∴， ∴四边形的周长1， 同理可得，四边形的周长， 四边形A3B3C3D3的周长， …， ∴四边形的周长之和． （3）解：由图可知，（无限接近于1）， 所以（无限接近于2）． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理的证明、平行四边形的判定与性质、数字规律等知识点，正确作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键． 23．小达同学在一次学习过程中，发现了一个规律：在平行四边形中，如图所示，分别以点和点为顶点向四边形内部作等于，分别交、于点、，分别交、于点、，连接、，则四边形为平行四边形．为了验证上述结论，小达同学按以下步骤进行探究： (1)【初步探究】如图，用尺规完成以下基本作图：以为顶点，以为边向平行四边形内部作等于，另一条边分别交、于点、，连接，；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)【验证结论】以上述为条件，证明四边形是平行四边形，请补全下列证明过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①　 　， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴（）， ∴② 　，， ∴③ 　， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． (3)【深入探究】如果四边形为菱形，则按照题干中的操作可以得到四边形应该为④　 　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，①，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，且，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形， （3）连接交于，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴②，， ∴③， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，，． （3）解：连接交于， ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形与菱形的性质和判定、全等三角形的判定与性质以及基本作图，熟练掌握平行四边形和菱形的性质、全等三角形判定及基本作图方法是解题的关键． 考点03最值问题 24．如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，，设，在中和在中，运用两次勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由题意得，的最小值就是与之间的距离，即平行四边形的高， ∴， 当P与重合、与重合时，取到最大值， ∴， ∵平行四边形周长为24， ∴，即， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 在中， 解得， ∴． 25．如图，在四边形中，，，，点P，Q分别是边，上的动点（点P不与点C重合），连接，，，点M，N分别是，的中点，连接，对于的长度有以下说法： ①当点Q的位置固定时，的长度随点P位置的变化而变化； ②当点Q的位置变化时，的长度的最大值为5； ③当点Q的位置变化时，的长度的最小值为4． 其中正确的说法是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 根据点M，N分别是，的中点，得出；再根据当点Q与点C重合时，此时最大；点Q与点D重合时，此时最小，即可判断． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点Q的位置固定时，的长度不变，故①不正确； 当点Q与点C重合时，此时最大， 由勾股定理，得， 此时的长度的最大，，故②正确； 当点Q与点D重合时，此时最小， 此时的长度的最小，，故③正确； 故选：C． 26．如图，在平行四边形中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值为______，最小值为__________ 【答案】 【分析】连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差． 【详解】解：如图，连接，过A作于M； 则； ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得； ∵点为的中点，点为的中点， ∴； 当G与C重合时，最长且为，此时； 当G与M重合时，最短且为，此时； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为___，的最大值为____． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到是解题的关键． 连接，由轴对称的性质可知，在中由三角形三边关系可知，则可求得答案． 【详解】解：连接，如图： 平行四边形的坐标分别为、、、， ，， 若点关于的对称点为， ， 在中，由三角形三边关系可知：， ，即的最小值为，最大值为． 故答案为：，． 28．如图，四边形中，，，，点为线段的中点，为线段上的动点（含端点），点，分别为，的中点，则长度的最小值为________，最大值为________． 【答案】 1 2 【分析】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，连接，根据三角形的中位线定理，得到，进而得到当最小时，最小，最大时，最大，根据垂线段最短，结合为线段上的动点（含端点），得到最小为的长，最大为的长，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小，最大时，最大， ∵为线段上的动点（含端点）， ∴时，最小， ∵， ∴当点与点重合时，最小，为的长为2， ∴的最小值为1， 当点与点重合时，最大，为的长， ∵，，， ∴， ∴的最大值为2． 故答案为：1，2． 29．如图，已知，，，，D是平面内的一个动点，且，连接，点E是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为__________．    【答案】 【分析】延长到点F，使得，连接，由中位线定理得到，由勾股定理求出，由D是平面内的一个动点得到，求出，当且仅当C、D、F三点共线时，有最小值，有最大值，由得到的最小值为，的最大值为，即可到的最大值与最小值的差． 【详解】解：延长到点F，使得，连接，    ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵D是平面内的一个动点， ∴， ∴，即， 当且仅当C、D、F三点共线时， 有最小值，有最大值， ∵， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理、最短路径问题等知识，熟练掌握勾股定理、三角形中位线定理是解题的关键． 30．如图，在四边形中，，，E、F分别是边的中点，连接．则长的最大值为_________． 【答案】4 【分析】连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得出，，根据三角形三边关系可知 ，从而得出答案即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接，，如图所示， ，分别为边，的中点， 是的中位线， 同理，是的中位线， ， 根据三角形三边关系可知： ， 当，，三点共线时，最大，且最大值为． 31．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，． （1）如图①，若点为的中点，求的长； （2）如图②，若点在轴上，且，求的度数； （3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）15°；（3）存在，图见解析，3 【分析】（1）根据所对的直角边等于斜边的一半以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论； （2）由题意可知是等腰直角三角形，先证明，得即可证明是等腰直角三角形，结论可得； （3）作点O关于BF的对称点D，过点作轴于点，并与射线交于点，连接,此时的值最小，求出的长即可． 【详解】解：（1），, ， 又∵点为的中点， ∴； （2），， ∴, 是等腰直角三角形， ， 过点作轴于点， ∵, ∴是等腰直角三角形， ∵, ∴， ∵, ∴, ∵,, ， ，， ， 是等腰直角三角形， 即， ∵, ； （3）存在点，；作点O关于BF的对称点D， 过点作轴于点，并与射线交于点， 连接, 则BF垂直平分OD， ∴,, ∴, 当D，N，M在一条直线上时， m最小，最小值为DN的长度， ∵, ∴, ∴为AB的中点， ∵, ∴, ∴, ∴． 故的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径问题，中位线定理，熟知性质定理是解题的关键． 32．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)2，1，2 (2)①6；②或 【分析】（1）当点E在点B或点D处时，的长最大，根据两点间距离公式求解即可，当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，即可解答； （2）①先求出，再求出，，即可得到答案； ②先求出，分和两种情况，分别求出，的值，即可分别列不等式求解． 【详解】（1）解：由图可知，当点E在点B或点D处时，的长最大，最大值为， 当点E在平行四边形与y轴的交点处时，的长最小，最小值为1， ，， ； （2）解：①如图，当时，，， 设直线为， 把代入，得， ， 直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 由图可知，线段上的点到上的点之间的距离的最大值为的长， ，即， 最小值为线段与之间的距离，即， ； ②将代入，得， ， ， 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 当时，线段上的点到上的点之间的最大距离为的长， ，即， 最小距离为线段与之间的距离，即， ， ， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题在解答时要先理解“距离关联值”的定义，并结合图形逐步求解，对于第（2）小题要注意分类讨论． 33．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形、给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，若、两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形和图形的“距离比”，记为．已知顶点坐标为，，，， ． (1)若点为边上任意一点，则的最大值为________，最小值为______，因此______； (2)若点为对角线上一点，点为对角线上一点，其中． ①若，则_______； ②若，求的取值范围； (3)若的对角线交点为，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)，，2 (2)①；②或 (3)当时，；当时， 【分析】（1）设与y轴的交点为M，根据题意，得的最大值为，计算；当E与点M重合时，的最小值为，计算，利用新定义计算“距离比”计算即可； （2）①设与y轴的交点为M，与y轴交于点N，当，此时点为对角线上一点，点为对角线上一点，利用待定系数法求得的解析式，进而得到点坐标，即可求得，，根据定义计算即可． ②同①可求得，当时， ，，得到，结合，解不等式，即可求得的取值范围；当时，同样思路，再解答一次即可． （3）当时，根据题意，得轴，设与y轴交于点Q，，，解答，当时，同样思路，可得． 【详解】（1）解：设与y轴的交点为M，连接，如图所示， 根据题意，得的最大值为， ∵， ∴ ∴； 当E与点M重合时，的最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，2． （2）①解：设与y轴的交点为M，与y轴交于点N，当，此时点为对角线上一点，点为对角线上一点，如图所示， ∵，，，， ∴，，， 设的解析式为， 故， 解得， ∴的解析式为， ∵点为对角线上一点， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． ②设与y轴的交点为M，与y轴交于点N，此时点为对角线上一点，点为对角线上一点，如图所示， ∵，，，， ∴，，， ∴当时， 由①可知的解析式为， ∵点为对角线上一点， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴， 解得； ∴ 当时，同种方法，可得． 综上所述，的取值范围是或． （3）解：设与y轴的交点为M，与y轴交于点Q，的对角线交点为，且顶点在直线上，顶点在直线上，如图所示， ∴轴， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴当时， 由（2）可知的解析式为， ∵点在直线上， ∴ 解得， ∴ ∴， ∴，， ∴， 当时，同样思路，可得， 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了新定义“距离比”，平行四边形的性质，待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 考点04平行四边形递进式探究 34．【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到三角形的面积； （2）连接，根据平移的性质得到，，根据平行四边形的性质即可得到； （3）过作于，根据全等三角形的判定和性质定理和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：把重合中的向左平移成， ， 点恰好是边的中点， ， ， ， 三角形的面积； （2）证明：连接， 把重合中的向左平移成， ，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：过作于，交于，如图， ， ， ， ， ， ， ≌， ， ， ， ，， ≌， ， ． 35．点是的边的中点，请你利用无刻度的直尺，完成以下探究与操作： 操作与证明 (1)如图1，连接对角线，，交于点，连接并延长，交边于点，求证：点是的中点． 拓展与探究 (2)请尝试用无刻度的直尺，在图2的中作出边的中点．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质，及三角形全等，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质以及三角形三条中线交于一点（重心），即可证明结论． 【详解】（1）四边形是， ，，， 点是边的中点， ， ， ， 在和中，，， ， ，， ． ∴点是的中点． （2）连接对角线，，交于点，连接，交于点H，连接并延长交于点G． 四边形是， ，即是的中线， 点是边的中点， ∴也是的中线， 、的交点H是的重心， ∴也是的中线， 即点是边的中点． 36．在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【初步探究】：；【深入探究】：；【拓展延伸】，理由见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握判定全等三角形的条件与直角三角形斜边中线的性质，结合角平分线的性质推导角的关系． [初步探究]由 ,结合平行四边形的性质可证，从而得到； [深入探究]延长至点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，仿照[初步探究]证明，从而得到，进而推出； [拓展延伸]根据深入探究的结论，得到，，故，结合平分，推出． 【详解】[初步探究]数量关系： 解： 四边形是平行四边形， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 又, ， ． [深入探究]数量关系： 证明：如图，延长到点，使，即，连接， 是斜边上的中线， ． 四边形为平行四边形． ， 又， ，在和中， ， ． [拓展延伸] 解：理由如下：取和的斜边的中点，连接交于点， 由[深入探究]得， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， 所在的直线是线段的垂直平分线， ， ． 37．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．现将线段向上平移4个单位，再向右平移2个单位，得到线段，点A，B的对应点分别为点D，C．连接、． (1)【初步感知】如图①，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)【深入探究】点在轴上，当的面积与四边形的面积相等时，求出点的坐标； (3)【拓展应用】如图②，点是直线上的一个动点，连接，，当点在直线上移动时（不与B，C重合），直接写出之间满足的数量关系． 【答案】(1)，；32 (2)或 (3)①当点在线段上移动时，；②当点在的延长线上时，；③当点在的延长线上时， 【分析】（1）利用平移性质，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可； （2）设坐标为，利用三角形的面积公式和坐标与图形求解即可； （3）分为①当点在线段上移动时；②当点在的延长线上时；③当点在的延长线上时三种情况，添加平行线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴由平移性质得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ； （2）解：设坐标为． ， ， 解得， 或； （3）解：①当点在线段上移动时，， 理由如下：如图，过点作， 由平移得到，则， ， ， ； ②当点在的延长线上时，如图，过点作， 同①的方法得，； ③当点在的延长线上时，如图，过点作， 同①的方法得，． 38．我们在研究四边形时，可以把它转化成三角形；同样利用四边形的性质可以研究三角形的有关问题．比如我们探索并证明三角形的中位线定理，就是利用平行四边形的性质解决的．请你按要求填空，并完成证明． (1)【定理探究】定理内容三角形的中位线 ． (2)【定理探究】定理证明 已知：如图1，点D，E分别是的边，的中点． 求证： ． 证明：延长到点M，使得，连接，，．……（请你补充完整） (3)【拓展应用】如图2，梯形中，，点T，S分别是，的中点，连接．写出与，的关系，并说明理由． 【答案】(1)平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 (2)，且；见解析 (3)且，见解析 【分析】（1）直接根据三角形的中位线定理，进行作答即可； （2）根据三角形的中位线定理补全求证，延长到点M，使得，易证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）连接并延长交的延长线于点N，证明，得到，再根据三角形的中位线定理结合线段的和差关系，即可得出结论. 【详解】（1）解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，且． 证明：延长到点M，使得，连接，，． ∵点E是的中点， 又 ∴四边形是平行四边形 ， ∵点D是的中点， ，且 ∴四边形是平行四边形 ，， 又 ，且． （3）解：且，理由如下： 连接并延长交的延长线于点N， ∵点S是的中点 ； 在和中 ， ∴ 在中，T，S分别为，的中点， ，， ，， 且； 39．综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 40．探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】问题情境：；问题探究：图见详解；问题拓展：图见详解 【分析】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图，熟练掌握平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图是解题的关键； 问题情境：根据“平行线间的距离都相等”可进行求解； 问题探究：先得出四边形的面积，然后根据等积法可进行作图； 问题拓展：根据平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定可进行作图． 【详解】解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底， ∴与面积相等的三角形是； 故答案为； 问题探究：由网格可知：， ∴， 所以所作如图所示： 问题拓展：所作如图所示： 分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 41．【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理得出，，结合题意求出，即可得证； （2）证明，得出，由，，得出，证明四边形是平行四边形，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵点是边的中点，点是边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 42．【综合与实践】 【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明． 如图（2），和的面积相等，求证：． 证明：分别过点、点作和底边上的高线，． 【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由． 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：如图（4），______． 求证：______． 证明： 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）分别过点、点作和底边上的高线，，利用三角形的面积公式与已知条件得到，则，再利用平行四边形的判定与性质解答即可； （2）利用平行线之间的距离相等，同底等高的三角形面积相等的性质解答即可； （3）连接，，过点作于点，过点作于点，利用等底同高的三角形的面积相等的性质得到，由（1）的证明过程可知：；利用等底同高的三角形面积相等的性质得到，则，化简即可得出结论． 【详解】证明：分别过点、点作和底边上的高线，，如图， 的面积，的面积，和的面积相等， ， ． ，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴； （2）1．连接， 2．过点作，交的延长线于点， 3．连接， 则为所画的三角形．如图， 理由：∵， 与为同底等高的三角形， ，， ． 四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变； 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：中，点为的中点，点为的中点． 求证：，． 证明：连接，，过点作于点，过点作于点，如图， 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ． 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ， ． 由（1）的证明过程可知：，． 点为的中点， ， 与为等底同高的三角形， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，四边形的面积，平行四边形的判定与性质，平行线之间的距离相等，三角形的中位线定理的证明，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 43．探究解题 【知识再现】 (1)如图1，在中，点，分别是边，的中点，则和的关系为___________； 【性质应用】 (2)如图2，在四边形中，点，，分别是，，的中点，，的延长线交于点，若，求的度数； 【拓展证明】 (3)如图3，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交于点，且．求证：． 【答案】(1)且 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得结论． （2）证明，，可得，进一步结合角的和差运算与三角形的外角的性质求解即可． （3）取中点，连接，，证明，证明且，且，证明，进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，点，分别是边，的中点， ∴，． （2）解：点，，分别是，，的中点， ∴，， ， ， ． （3）解：取中点，连接，． ， 点分别是的中点， ∴且，且， ． ， ， 又 ． 44．探究解题 (1)问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，； ，， 又 ____________ D是中点 且 ∴四边形______是平行四边形； ______；______ (2)问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______； (3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想． 【答案】(1)；；；； (2)平行； (3)见详解 【分析】（1）作平行线，构造三角形全等，得到边相等，再证明四边形是平行四边形，最终证明中位线平行于底边，且等于底边一半； （2）四边形是梯形，是中位线，平行于底边，等于两底边和的一半； （3）连接，并延长交的延长线于点G，先证明，得到边相等，是的中位线，底边是梯形上下底之和，利用三角形的中位线性质，即可证明． 【详解】（1）证明：， ，， 又， ， ， D是中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ，． （2）平行；，证明过程见（3）详解， （3）证明：连接，并延长交的延长线于点G，如下图 ， ， ， ， ， ． 45．小红根据学习平行四边形的经验，对平行四边形进行了拓展探究． 【问题探究】 如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中找一点D，画线段且使，连接； (2)在括号内填写根据： ∵且CD＝BA， ∴四边形是平行四边形（____________） 【拓展延伸】 (3)如图2，在四边形中，，厘米，厘米，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以1厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．请问：经过几秒，直线将四边形截出一个平行四边形？ 【答案】(1)见解析 (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (3)经过1秒或秒或3秒，直线PQ将四边形截出一个平行四边形 【分析】（1）根据相关要求作图即可； （2）直接运用平行线四边形的判定性质即可解答； （3）经过x秒，直线将四边形截出一个平行四边形平行四边形，根据平行四边形的判定分情况分析求解即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由平行四边形的判定定理可得判定四边形是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （3）解：经过x秒，直线将四边形截出一个平行四边形平行四边形，则： 米，米，米，米， ∵， ∴只需或或或，即得四边形是平行四边形． ①由，得：，解得： ； ②由，得：，解得：，不合题意，舍去； ③由，得：，解得：； ④由，得：，解得：． 答：经过1秒或秒或3秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】本题主要考查了作平行四边形、平行四边形的判定等知识点，掌握平行四边形的判定定理是解答本题的关键． 46．在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： (1)操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． (2)探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． (3)拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由翻折的性质得出，，由平移的性质得出，，由平行线的性质得出，进而可得出，再证明，由全等三角形的性质得出． （2）同（1）过程一致． （3）先得出，平移平移到，则，证明点C，B，G三点共线，进而可得出，再得出，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质以及角度的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴． （2）解：成立，理由如下： ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴ 即的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立． （3）解：∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴． 如下图平移平移到，则， ∴， ∵点A，B，F三点共线， ∴点C，B，G三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则， 则，且， ∴四边形为平行四边形， 设， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，翻折的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定以及性质等知识，掌握平移的性质，翻折的性质是解题的关键． 47．问题探究： （1）完成填空并得出结论： 如图1，于点，探究三者之间的数量关系． 证明：过点作交延长线于点 四边形为平行四边形 ___________，___________ ___________ 应用结论： （2）如图3，在中，与相交于点，点为的中点，且．求的长． 拓展应用： （3）如图4，已知为的中线，交于点，交于点，求的长． 【答案】（1），，；（2）12；（3）3 【分析】（1）根据解题思路，结合平行四边形的判定和性质，勾股定理证明即可． （2）连接，证明，由结论得解答即可． （3）延长至点，使，连接和，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用结论解答即可． 【详解】（1）证明：过点作交延长线于点 四边形为平行四边形 ，， ， 故答案为：，，=． （2）解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， 由（1）结论可得 即： ． （3）解：延长至点，使， 连接和． 四边形为平行四边形 ， 设，则 ． 方法二：取的中点，连接 ， 设，则 由（1）中结论可得 即 解得 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，解方程，三角形中位线定理的应用，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 48．综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 【答案】（1） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）根据题意得出三点共线，根据已知得，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （2）证明，得出，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （3）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质可得，进而可得，则，设交于点，交于点，根据中位线的性质可得则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求解； （4）延长至，连接，同理可得则，进而根据中位线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴三点共线， 又∵， ∴ 即 ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （2）如图，连接， ∵ ∴即 又∵， ∴ ∴ ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （3）解：如图，设交于点，交于点， ∵ ∴即 又∵ ∴ ∴ 如图，设交于点，交于点， ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， （4）如图，延长至，使得，连接， ∵ ∴ 同理可得 ∴ 又∵点是的边的中点，分别为的中点 ∴ ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 平行四边形动点模型与几何综合问题 考点01 平行四边形动点问题 考点02 规律与探究 考点03 最值问题 考点04 平行四边形递进式探究 考点01 平行四边形动点问题 1．如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 2．如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．设运动时间为．秒，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 3．如图，在中，，，，动点，同时从出发，点以每秒3个单位长度沿向终点运动；点以每秒1个单位长度沿向终点运动，当其中一动点运动至终点时，另一动点随之停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线A-B-C-D方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动、已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，点P，Q停止运动，设运动时间为t秒，在这个运动过程中，若△BPQ的面积为20cm2  ， 则满足条件的t的值有（ ）   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒． (1)线段的长为____________（用含的代数式表示）． (2)当平分时，求的值． (3)如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形，，．在上取一点D，沿折叠，点B恰好落在上的点E处． (1)点E的坐标为 ； (2)求的周长； (3)动点P从点C出发沿边以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点P运动的时间为秒．另一动点Q从点O出发以每秒2个单位的速度，在上往返运动，P，Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以O、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请求出t的值． 9．如图，在▱ABCD中，AB＝13，BC＝50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ． （1）当t＝5时，AP＝________． （2）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）． （3）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式． （4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值． 10．如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结． (1)直接写出点与点重合时的值． (2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． (3)当时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 11．如图，在四边形中，，，，，高，点从点出发，沿运动，点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度． 、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连结、．设点运动时间为（秒）（）． (1)_______； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P从D向A运动时，四边形始终是平行四边形．请说明理由； (4)当经过四边形其中一条对角线的中点时，直接写出t的取值范围． 12．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 13．如图，在中，，，于点E，且．点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点停止时，点也随之停止，连接．设点运动的时间为秒．    (1)的长是 　 　； (2)用含的代数式表示的长； (3)设面积为，求关于的函数关系式； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 14．如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)当点从向运动时，______，______； 当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）． (2)当直线恰好平分的面积时，求的值． (3)如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值． 15．如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ． （1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）． （2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式． （3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值． （4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值． 考点02规律与探究 16．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A．39 B．40 C．41 D．42 17．如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 20．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则___． 21．如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 22．解答题 (1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）] (2)如图2，在中，对角线交点为分别是的中点，分别是的中点，…，以此类推．若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l； (3)借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？    23．小达同学在一次学习过程中，发现了一个规律：在平行四边形中，如图所示，分别以点和点为顶点向四边形内部作等于，分别交、于点、，分别交、于点、，连接、，则四边形为平行四边形．为了验证上述结论，小达同学按以下步骤进行探究： (1)【初步探究】如图，用尺规完成以下基本作图：以为顶点，以为边向平行四边形内部作等于，另一条边分别交、于点、，连接，；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)【验证结论】以上述为条件，证明四边形是平行四边形，请补全下列证明过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①　 　， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴（）， ∴② 　，， ∴③ 　， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． (3)【深入探究】如果四边形为菱形，则按照题干中的操作可以得到四边形应该为④　 　． 考点03最值问题 24．如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 25．如图，在四边形中，，，，点P，Q分别是边，上的动点（点P不与点C重合），连接，，，点M，N分别是，的中点，连接，对于的长度有以下说法： ①当点Q的位置固定时，的长度随点P位置的变化而变化； ②当点Q的位置变化时，的长度的最大值为5； ③当点Q的位置变化时，的长度的最小值为4． 其中正确的说法是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 26．如图，在平行四边形中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值为______，最小值为__________ 27．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为___，的最大值为____． 28．如图，四边形中，，，，点为线段的中点，为线段上的动点（含端点），点，分别为，的中点，则长度的最小值为________，最大值为________． 29．如图，已知，，，，D是平面内的一个动点，且，连接，点E是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为__________．    30．如图，在四边形中，，，E、F分别是边的中点，连接．则长的最大值为_________． 31．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴上，点，，，． （1）如图①，若点为的中点，求的长； （2）如图②，若点在轴上，且，求的度数； （3）如图③，设平分交轴于点，点是射线上一动点，点是射线上一动点，的最大值为，判断是否存在这样点，，使的值最小？若存在，请在答题卷上作出点，，并直接写出作法和的最小值；若不存在，请说明理由． 32．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M，N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值为，最小值为，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为_____，最小值为_____，因此 (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则_____； ②若，请直接写出m的取值范围． 33．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形、给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，若、两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形和图形的“距离比”，记为．已知顶点坐标为，，，， ． (1)若点为边上任意一点，则的最大值为________，最小值为______，因此______； (2)若点为对角线上一点，点为对角线上一点，其中． ①若，则_______； ②若，求的取值范围； (3)若的对角线交点为，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含的代数式表示． 考点04平行四边形递进式探究 34．【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 35．点是的边的中点，请你利用无刻度的直尺，完成以下探究与操作： 操作与证明 (1)如图1，连接对角线，，交于点，连接并延长，交边于点，求证：点是的中点． 拓展与探究 (2)请尝试用无刻度的直尺，在图2的中作出边的中点．（不写作法，保留作图痕迹）． 36．在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 37．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．现将线段向上平移4个单位，再向右平移2个单位，得到线段，点A，B的对应点分别为点D，C．连接、． (1)【初步感知】如图①，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)【深入探究】点在轴上，当的面积与四边形的面积相等时，求出点的坐标； (3)【拓展应用】如图②，点是直线上的一个动点，连接，，当点在直线上移动时（不与B，C重合），直接写出之间满足的数量关系． 38．我们在研究四边形时，可以把它转化成三角形；同样利用四边形的性质可以研究三角形的有关问题．比如我们探索并证明三角形的中位线定理，就是利用平行四边形的性质解决的．请你按要求填空，并完成证明． (1)【定理探究】定理内容三角形的中位线 ． (2)【定理探究】定理证明 已知：如图1，点D，E分别是的边，的中点． 求证： ． 证明：延长到点M，使得，连接，，．……（请你补充完整） (3)【拓展应用】如图2，梯形中，，点T，S分别是，的中点，连接．写出与，的关系，并说明理由． 39．综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 40．探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 41．【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 42．【综合与实践】 【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明． 如图（2），和的面积相等，求证：． 证明：分别过点、点作和底边上的高线，． 【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由． 【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理． 已知：如图（4），______． 求证：______． 证明： 43．探究解题 【知识再现】 (1)如图1，在中，点，分别是边，的中点，则和的关系为___________； 【性质应用】 (2)如图2，在四边形中，点，，分别是，，的中点，，的延长线交于点，若，求的度数； 【拓展证明】 (3)如图3，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交于点，且．求证：． 44．探究解题 (1)问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，； ，， 又 ____________ D是中点 且 ∴四边形______是平行四边形； ______；______ (2)问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______； (3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想． 45．小红根据学习平行四边形的经验，对平行四边形进行了拓展探究． 【问题探究】 如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中找一点D，画线段且使，连接； (2)在括号内填写根据： ∵且CD＝BA， ∴四边形是平行四边形（____________） 【拓展延伸】 (3)如图2，在四边形中，，厘米，厘米，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以1厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．请问：经过几秒，直线将四边形截出一个平行四边形？ 46．在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： (1)操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． (2)探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． (3)拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 47．问题探究： （1）完成填空并得出结论： 如图1，于点，探究三者之间的数量关系． 证明：过点作交延长线于点 四边形为平行四边形 ___________，___________ ___________ 应用结论： （2）如图3，在中，与相交于点，点为的中点，且．求的长． 拓展应用： （3）如图4，已知为的中线，交于点，交于点，求的长． 48．综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $