精品解析：湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题 考试时间：2026年5月21日 一、单选题 1. 在等差数列中，，则（   ） A. 108 B. 62 C. 56 D. 54 2. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. 120 C. D. 240 3. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 4. 某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则，，. A. 6636 B. 8186 C. 8400 D. 9759 5. 已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ） A. B. C. D. 6. 用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（ ） A. 280 B. 420 C. 720 D. 1680 7. 已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8. 如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ） A. 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B. 随机变量 C. 随机变量的数学期望为 D. 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 10. 已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（ ） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. D. 若，则 11. 如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 函数有两个极值点 C. 当时先减后增且恒为负 D. 三、填空题 12. 在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为______ 13. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________． 四、解答题 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 17. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； （2）设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 18. 如图，椭圆的左、右顶点分别为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程： （2）过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于两点． （ⅰ）证明直线过定点，并求出该定点坐标： （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，求的最大值； （3）若函数有零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题 考试时间：2026年5月21日 一、单选题 1. 在等差数列中，，则（   ） A. 108 B. 62 C. 56 D. 54 【答案】D 【解析】 【详解】在等差数列中， ，解得， 所以 . 2. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. 120 C. D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项系数和得，再写出的展开式通项，结合乘积形式写出展开式中含项的系数. 【详解】由题意，时，所以二项式为， 其中的展开式通项为，， 所以，则，此时， ，则不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含项的系数为. 3. 设等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公比为，推导出，即可求出的值. 【详解】设公比为， 当时，不符合题意； 当时， 又， 所以，解得. 故选：B 4. 某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则，，. A. 6636 B. 8186 C. 8400 D. 9759 【答案】C 【解析】 【详解】由已知， 所以， 故数学分数介于75到115之间的人数为. 5. 已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】表示第3次正好取出第2个正品，前两次为1正品1次品，可能情况为： 正、次、正：概率为； 次、正、正：概率为； ． 6. 用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（ ） A. 280 B. 420 C. 720 D. 1680 【答案】A 【解析】 【分析】通过捆绑法即可求解. 【详解】要求3个2相邻，因为3个2是相同数字， 将3个2捆绑为1个整体，捆绑内部无需排列， 捆绑后共 个元素， 由重复元素的排列公式得，  因此符合要求的十位数个数为280. 7. 已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得当的值最小，即时，取得最小值. 【详解】圆，圆心，半径是圆的两条切线， ，由圆的知识可知四点共圆，且， . 又当的值最小，即时，取得最小值. 的最小值为. 8. 如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可． 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得，解得， 故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为． 二、多选题 9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ） A. 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B. 随机变量 C. 随机变量的数学期望为 D. 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分层抽样方法来判断A，利用超几何分布概率公式及期望公式可判断BCD. 【详解】根据分层抽样的方法，可得： 从甲社团抽取的人数为； 从乙社团抽取的人数为； 从丙社团抽取的人数为；故A正确； 由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣， 用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有， 则， 此时服从超几何分布，故B错误， 则随机变量的数学期望为， 故C正确； 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则，故D错误； 故选：AC. 10. 已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（ ） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆与双曲线渐近线相切得到，结合离心率公式及可判断选项A、B；根据，求出，进而求出，判断选项C；根据，得到，，，进而得到点，坐标，求出直线方程，结合垂径定理及点到直线的距离可判断选项D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，即. 圆：的圆心为，半径为. 由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以. 对于A：，故A正确. 对于B：，所以渐近线方程为，故B正确. 对于C：，，因为，所以点的横坐标为， 代入双曲线方程，解得. 取，则，， 所以，故C错误. 对于D：若，则，，，，. 直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 由垂径定理可得，，故D正确. 11. 如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 函数有两个极值点 C. 当时先减后增且恒为负 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造，利用导数去确定的单调区间，再判断每个选项的正确性. 【详解】由题意，与交于两点，即方程有两个正根，等价于有两个解. 令，则，令，. 极大值 又，，的取值范围，A选项正确. ，，令，得，故只有一个极值点，B选项错误. 由，得. 当，，单调递减；时，，单调递增. 是交点，，且，故时，先减后增，且，C正确. 在递增，在递减，，又. ，，同理，. ，D正确. 三、填空题 12. 在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为______ 【答案】 【解析】 【详解】在第一次取到不合格品后，在余下9件产品中有5件合格品，4件不合格品， 所以在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为. 13. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 【答案】2025 【解析】 【分析】由新定义确定的对称中心，即可求解. 【详解】解：因为，所以，， 令，得，又， 所以的对称中心是，所以， 所以． 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】设直线AB的方程为，，，并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出AB中点M的坐标，再进一步求出直线EM的方程，据此得到E点的坐标，进而得到，同时根据梯形中位线及抛物线性质求出，最后比较两者可得、之间的比例关系，结合题干所给条件分别求出、的具体值即可． 【详解】如图所示， 设过F的直线AB的方程为， 联立直线与抛物线方程，可得，整理得， 设，，由韦达定理， 所以AB的中点M满足，， 即，又垂直平分线EM的斜率为， 所以EM的方程为， 展开整理，则EM与y轴的交点满足， 即，所以， 根据梯形中位线可得， 所以，解得，所以， 所以． 四、解答题 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） ， 【解析】 【分析】（1）分析可知数列是首项为3，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）利用分组求和及错位相减法运算求解. 【小问1详解】 因为， 则，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为 , 所以 ， 设, 则， 两式相减可得： ， 所以， 又， 所以, 16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【小问1详解】 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. 【小问2详解】 由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 17. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； （2）设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】（1） （2）这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【解析】 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. 【小问2详解】 （i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 18. 如图，椭圆的左、右顶点分别为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程： （2）过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于两点． （ⅰ）证明直线过定点，并求出该定点坐标： （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析，定点坐标为（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率公式及的关系式，求解参数后得到椭圆标准方程. （2）（ⅰ）先排除特殊直线情况，设直线的横截式，联立椭圆方程，借助向量垂直的数量积为结合韦达定理求解参数，确定直线所过定点. （ⅱ）通过韦达定理表示纵坐标差值，构建三角形面积表达式，换元后利用对勾函数单调性求解面积最大值. 【小问1详解】 由已知可得：，解得：，， 所以，椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）易知点，设点、，则， 若直线轴，则，， 所以，，不合乎题意， 设的直线方程为， 联立，整理得， ， 由韦达定理可得，． 因为，且，， 所以， ，， ， ， 整理得，解得或（舍去）， 所以，直线的方程为，故恒过. （ⅱ）， 则． 令，则， 由对勾函数单调性知，函数在上为增函数， 则． 所以，当且仅当时，即时等号成立，此时最大值为． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，求的最大值； （3）若函数有零点，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过对求导，分和两种情况，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）法1，先由得到，再验证当时恒成立，从而确定的最大值为；法2，分、、三种情况讨论，利用函数最小值非负得到，构造函数，通过求导求其最大值，得到的最大值为的最大值为； （3）由存在零点，将问题转化为点到直线的距离不大于，再利用对不等式放缩，最终得证；通过三角换元，将问题转化为三角函数有界性问题，再利用对不等式放缩，最终得证. 【小问1详解】 因为，所以， ①若，则，所以在上单调递增； ②若，则由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 法1：由，即，得． 当，时，，下面证明此时成立， 此时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以成立． 综上，的最大值为． 法2：①若，则 当时，， 当时，， 所以当且时，，不合题意． ②若，则的值域为， 所以，所以． ③若，则结合（1）得，， 即，即，所以， 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以， 当时，． 综上，的最大值为． 【小问3详解】 法1：若有零点，设零点为， 则， 即， 即， 这说明点在直线上， 设点到直线的距离为， 则，即， 由（2）知，，仅当时，“=”成立， 所以 所以． 法2：若有零点，设零点为， 则， 即， 即， 设，则， 即，其中， 所以， 所以， 由（2）知，，仅当时，“=”成立， 所以 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $