精品解析：湖北武汉市常青第一中学2025-2026学年下学期高二3月月考数学试题

湖北武汉市常青第一中学2025-2026学年下学期高二3月月考 数学试题 一、单选题（40分） 1. 等比数列前n项和为，则公比等于（ ） A. B. C. 1 D. 1或 2. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 3. 在数列中，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（ ） A. B. C. D. 8. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 等差数列的前项和为，则，，成等差数列 B. 数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值只能为13 C. 等差数列的前项和记为，若，，则当且仅当时， D. 正数等比数列前项积为，若，则 11. 已知函数，，则（ ） A. 若函数有两个不同的零点，则 B. 若函数恒成立，则 C. 若函数和共有两个不同的零点，则 D. 若函数和共有三个不同的零点，记为、、，且，则 三、填空题（15分） 12. 已知各项均为正项的等比数列，则________． 13. 已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是___________． 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知函数的一个极值点是. （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 18. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值. 19. 已知函数. （1）判断的单调性，并比较与的大小； （2）若函数有两个不同的零点，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北武汉市常青第一中学2025-2026学年下学期高二3月月考 数学试题 一、单选题（40分） 1. 等比数列前n项和为，则公比等于（ ） A. B. C. 1 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式和求和公式，结合方程思想求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则由， 可得， 即，解得或. 故选：D. 2. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】 由导函数图象与原函数图象关系可解. 【详解】由导函数图象知，在和上单增，在，上单减，在处取极大值，在处取极小值. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导函数图象研究原函数的单调及极值 导数法研究函数在 内单调性的步骤： (1)求；(2)确定在内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 3. 在数列中，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的周期，最后求出结果． 【详解】数列中，已知，， 则， ， ， ， 所以数列的周期为3， 故． 故选：A 4. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义建立方程求解即可. 【详解】设切点为，由可得，则， 所以，解得，即. .故选：D. 5. 已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可 【详解】由题,, 因为,则若函数在区间存在单调递减区间, 即在上有解, 即存在,使得成立, 设,则, 当时,, 所以,即, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论． 【详解】设，函数的定义域为，求导得， 当曲线在点处的切线平行于直线时，， 则，而，解得，于是， 平行于的直线与曲线相切的切点坐标为， 所以点到直线的最小距离即点到直线的距离． 故选：D 7. 已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由叠加法求出数列通项公式，再代入，求出数列通项公式，再由列项相消法求出. 【详解】由得，，，…，，， 叠加得， 由题可知也适合上式，故； 所以， 则数列前n项的和. 故选：B. 8. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，所以，， 又因为，所以，函数在上只有一个零点； 因为函数只有一个零点，则函数在上无零点， 则当时，，则， 由可得，由可得. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，只需，解得. 故选：C. 二、多选题（18分） 9. 函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数恰有3个单调区间，可得导函数有两个不同的零点，从而可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】， 因为函数恰有3个单调区间， 所以函数有两个不同的零点， 所以，解得且， 所以， 则函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是BD两个选项. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 等差数列的前项和为，则，，成等差数列 B. 数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值只能为13 C. 等差数列的前项和记为，若，，则当且仅当时， D. 正数等比数列前项积为，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，方法1运用等差数列前n项和基本量及等差中项法证明即可，方法2：运用等差数列依次n项的和仍为等差数列；对于选项B，方法1：由数列的正负项来判断，方法2：利用等差数列的前项和最大时项数的求法来判断；对于选项C，运用等差数列的等和性及等差数列的前n项和来判断；对于选项D，利用等比数列的等积性质判断. 利用等差数列的性质判断AC， B，利用等比数列的性质判断D. 【详解】对于选项A，方法1：∵等差数列，设首项为，公差为， ∴，，， ∴，， ∴ ∴，，成等差数列. 故选项A正确； 方法2：等差数列的性质，若为等差数列，则，，，成等差数列.故选项A正确； 对于选项B，方法1：∵数列的通项公式，∴， ， ∴数列是首项为24，公差为－2的等差数列， 当时，且，当时，且，所以当或时，取得最大值.故选项B错误； 方法2：∵数列的通项公式，∴， ， ∴数列是首项为24，公差为－2的等差数列， ∴， ∴要使此数列的前项和最大，则的值为12或13，故选项B错误； 对于选项C，∵为等差数列，，∴，即， ∵，∴，， ∴，，∴当时，.故选项C错误； 对于选项D，∵正数等比数列前项积为，若，则，故选项D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，，则（ ） A. 若函数有两个不同的零点，则 B. 若函数恒成立，则 C. 若函数和共有两个不同的零点，则 D. 若函数和共有三个不同的零点，记为、、，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可判断A选项；对于B，由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最小值，可判断B选项；对于C，由参变量分离法可知，直线与函数、的图象共有两个交点，数形结合可判断C选项；对于D，先利用同构法得到，再利用的单调性结合图像得到，，进而证得，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得， 令，则直线与函数的图象有两个交点， ，由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为，函数的极小值为，如图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 即函数有两个不同的零点，A对； 对于B选项，由可得，令，其中， ，由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 故，所以，，B对； 对于C选项，令，可得， 因为函数、共有两个不同的零点， 则直线与函数、的图象共有两个交点， 由图可知，当时，直线与函数、的图象共有两个交点， 因此，若函数和共有两个不同的零点，则，C错； 对于D选项，若函数和共有三个不同的零点， 则直线经过与的交点，如图所示， 因为，所以， 因为，所以， 又，且在上单调递减，故， 同理：，即， 又由得，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、填空题（15分） 12. 已知各项均为正项的等比数列，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得，计算出后再利用即可． 【详解】解：由是等比数列，得，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 13. 已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】当时，， 当时， ， 当时，， 故， 故答案为： 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，转化为有三个解，令，利用导数求出的单调性和极值可得答案. 【详解】，设，则， 所以，，所以， 因为与的图象若恰有3组对称点， 所以有三组解，可得即有三个解， 令，即函数与的图象有3个不同的交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是转化为有三个解，然后构造函数结合图象. 四、解答题 15. 已知函数的一个极值点是. （1）求函数的极值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）极小值为，极大值为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据有一个极值点求出，再利用导数确定单调区间，即可求出极值； （2）由（1）根据函数的单调性求出最值. 【小问1详解】 ， 有一个极值点是， 即又， 3 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 当时，有极小值，极小值为； 当时，有极大值，极大值为； 【小问2详解】 由（1）知，在上递减，上递增，上递减， 又， 在上的最大值为， 在上的最小值为. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得出是首项为3，公差为5的等差数列，根据等差数列通项公式求得，即可求得数列的通项公式； （2）结合（1），根据错位相减法求解即可． 【小问1详解】 由题意知，所以由，得， 所以，又， 所以是首项为3，公差为5的等差数列， 所以，即． 【小问2详解】 由（1）得， 所以①， ②， ①②，得 ， 所以． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出时的导数，然后利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求得，根据的符号讨论出函数的单调性，若在上恰有2个零点，则必须满足，解不等式可得结果. 【小问1详解】 当，则，， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为，因此曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，， 当时，，，此时在上单调递增； 当时，，，此时在上单调递减； 因此，若在上恰有2个零点， 则必须满足：，解得：， 所以实数a的取值范围为. 18. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件证明数列为等比数列，利用累加法求数列的通项公式； （2）数列中在之前共有项，由此确定前项的值，再分组，结合等比求和公式可求得答案. 【小问1详解】 因为， 所以，又， 所以数列为首项为1，公比为的等比数列， 所以， 所以当时， ， 所以， 所以当时，，又也满足该关系， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 数列中在之前共有项， 当时，，当时 19. 已知函数. （1）判断的单调性，并比较与的大小； （2）若函数有两个不同的零点，，证明： 【答案】（1）的单调递增区间为；单调递减区间为，；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，分别令，求得得到区间，然后再根据单调性比较与的大小； （2）由，为的两个不同零点，得到，，将证明，转化为证明，即成立即可 【详解】（1）∵，∴ 令，即，解得； 令，即，解得. 所以的单调递增区间为；单调递减区间为 ∴，即， 即， 所以. （2）∵，为的两个不同零点， 不妨设，∴， 所以，， ∴，. 要证明，只需要证明成立即可. ∵， ∴可转化为证明成立即可， 也即只需证明成立即可 令，则，所以只需要证明成立即可 设， ∵， 所以在上是增函数. 因为当时，， ∴，即得证. 所以，成立 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式，这是用导数证明不等式的基本思路． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $