专题01 整式的乘除（期末复习讲义+12重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材北师大版

专题01 整式的乘除（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断整式运算是否正确 题型02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型03 完全平方式中的字母参数问题 题型04 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型05 幂的混合运算及逆运算 题型06 零指数幂、负整数指数幂综合计算 题型07 整式混合运算——化简求值 题型08 利用乘法公式简便运算 题型09 整式乘法与图形面积 题型10 乘法公式中几何图形的应用 题型11 多项式乘法中的规律性问题 题型12 整式的运算中的新定义型问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 熟练掌握幂的 4 大运算公式，能准确进行幂的变形与计算。 基础必考点，多以选择、填空考查，易与指数运算混淆。 零指数幂与负整数指数幂 理解 a0=1(a≠0) 与 a−p=(a≠0) 的意义才能正确计算。 高频基础点，常与科学记数法结合考查，易忽略底数不为 0 的条件。 整式的乘法（单项式乘、多项式乘） 掌握整式乘法法则，能规范进行系数、指数运算并合并同类项。 必考基础计算，解答题开篇常考，符号与漏乘是高频丢分点。 整式的除法（单项式除、多项式除） 能熟练进行整式除法运算，掌握多项式除以单项式的法则。 基础考点，易与乘法互逆运算结合考查，计算步骤易出错。 乘法公式（平方差、完全平方） 熟记公式结构，能灵活运用公式进行简便计算与变形应用。 中考核心考点，解答题压轴常考，公式混淆、应用不熟练是易错点。 整式乘除的综合应用 能综合运用乘除法则解决化简求值、实际问题，提升运算能力。 综合考查点，多与解方程、几何结合，侧重考查计算准确性与逻辑思维。 知识点01 同底数幂的乘法 公式：am an = am+n（m,n为正整数） 法则：底数不变，指数相加。 示例：x3 x2 = x3+2=x5 易错点 ：1. 指数相乘，写成x6； 2. 底数不同强行套用公式； 3. 忽略a=a1，如a a3 错写成a3。 知识点02 幂的乘方 公式：(am)n = amn 法则：底数不变，指数相乘。 示例：（x2）3 = x2×3=x6 易错点： 1. 指数相加，写成x5； 2. 系数不乘方，如 (2x2)3错写成2x6。 知识点03 积的乘方 公式：(ab)n = anbn 法则：每个因式分别乘方，再把结果相乘。 示例：(2xy)3 = 23x3y3= 8x3y3 易错点： 1. 只给字母乘方，不给系数乘方； 2. 漏乘某个因式； 3. 负数乘方时符号判断错误：(-a)2=a2，(-a)3=-a3。 知识点04 同底数幂的除法 知识点 公式：am÷ an = am-n(a≠0，m>n） 法则：底数不变，指数相减。 示例：x5÷ x2 = x5-2=x3 易错点： 1. 指数相除； 2. 底数不同直接除； 3. 忘记底数不能为0。 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数：a0 = 1（a≠0） 2. 负指数：a-p =（a≠0） 示例： 30=1，2-2= 易错点： 1. 认为00=1； 2. 负指数变成负数，如2-2=-4； 3. 忘记底数不为0的限制条件 知识点06 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄。 示例：2x2y×3xy2 = 6x3y3 易错点： 1. 系数不乘或算错； 2. 漏写单独字母； 3. 指数运算错误。 知识点07 单项式乘多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再相加。a(b+c)=ab+ac 示例： 2x(x+3)=2x2+6x 易错点： 1. 漏乘某一项； 2. 符号出错，尤其是括号前是负号； 3. 结果未合并同类项。 知识点08 多项式乘多项式 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn\) 示例： (x+2)(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6 易错点： 1. 漏项，常见只乘首尾两项； 2. 符号错误； 3. 未合并同类项。 知识点09 平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2结构：相同项²−相反项² 示例：(x+3)(x-3)=x2-9 易错点： 1. 记成(a-b)2； 2. 符号混乱，写成b2-a2； 3. 系数不平方，如(2x+1)(2x-1)错写成2x2-1。 知识点10 完全平方公式 (a b)2 = a22ab + b2口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央。 示例：(x+2)2=x2+4x+4 易错点： 1. 漏掉中间2ab项； 2. 中间项系数忘乘2； 3. 符号错误：(a-b)2中间项写成正。 知识点11 单项式除以单项式 知识点 法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里的字母照抄。 示例：6x3y ÷ 2xy = 3x2 易错点： 1. 系数相除算错； 2. 指数相减变相加； 3. 漏写剩余字母。 知识点12 多项式除以单项式 法则：多项式每一项除以单项式，再把商相加。(a+b+c)÷m = a÷m + b÷m + c÷m 示例：(4x2-2x)÷2x = 2x-1 易错点： 1. 漏项； 2. 符号出错； 3. 某一项除不尽时保留分式。 知识点13 科学记数法 知识点 1. 大数：a×10n（1≤ a<10） 2. 小数：a×10-n 示例：0.00023=2.3×10-4 易错点： 1. 指数数错位数； 2. 小数负指数写成正指数； 3.a不在1～10范围内。 知识点14 整式乘除化简求值 知识点 先化简（乘除、公式、合并同类项），再代入数值计算。 示例： 化简(x+2)2 - x(x-1)再代入x=1。 易错点： 1. 未化简直接代入，计算量大易出错； 2. 公式用错导致结果全错； 3. 代入负数时符号混乱。 题型一 判断整式运算是否正确 解｜题｜技｜巧 先看运算顺序，再检查法则：幂运算注意指数乘除，合并同类项看系数字母指数，整式乘除注意符号与分配律，可代特殊值快速验证，避免跳步出错。 【典例1】（25-26九年级下·辽宁丹东·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方法则、单项式除以单项式法则，对各选项逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解： A、同底数幂相乘，底数不变指数相加，，故此选项不符合题意； B、∵ 与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、积的乘方等于各因式分别乘方，，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 【典例2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的相关运算法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及单项式除以单项式的运算法则，需依据这些法则对每个选项进行计算判断． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ∴A选项中，，A错误． ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘 ∴B选项中，，B错误． ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ∴C选项中，，C正确． ∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂分别相除 ∴D选项中，，D错误． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、多项式除以单项式、平方差公式． 根据合并同类项、积的乘方、多项式除以单项式、平方差公式的运算法则，逐一验证每个选项的运算是否正确即可． 【详解】解：，故A选项错误． ，故B选项正确． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算、多项式乘法和除法，需运用指数法则和代数运算规则逐一验证选项，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 题型二 用科学记数法表示绝对值小于1的数 解｜题｜技｜巧 将小数点右移至第一个非零数字后，指数为负，指数绝对值等于左移位数；注意保持有效数字位数，结果写成a×10⁻ⁿ形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，前面补零不计。 【典例1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）某球形病毒的直径约为，该直径用科学记数法表示应为______________． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值是解题关键，当原数绝对值小于时，为负数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解：． 【典例2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）我国“祖冲之号”量子计算机的超导比特尺寸约为米，请用科学记数法表示该尺寸为________ （单位：米）． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义，绝对值小于1的正数可以表示为的形式，其中，为原数左起第一个非零数字前面零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：． 【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）科技发展芯片被誉为现代工业的掌上明珠．某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为_____________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个非零数字前面所有零的个数． 【详解】解：． 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·期末）2025年4月19日，全球首场人形机器人半程马拉松赛在北京举行．人形机器人的发展是科学技术进步的结果，比如说人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.8微米，（1米微米），请将米用科学记数法表示应为___________米． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型三 完全平方式中的字母参数问题 解｜题｜技｜巧 先写成(a±b)²形式展开对比，常数项为一次项系数一半的平方；含参数时，设完全平方后展开对应系数相等，注意符号，两解勿漏，有时需考虑二次项系数为完全平方数。 【典例1】（25-26八年级上·重庆潼南·期末）若是一个完全平方式，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央． 根据完全平方式的特点作答即可． 【详解】解：∵即可以用完全平方式来分解因式， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知多项式是完全平方式，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特点列出关于的方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， 解得或， 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 【答案】（或或） 【分析】本题考查完全平方式． 根据完全平方式的结构特征，即可求解． 【详解】解：， 若添加一次项，则需添加，得到， 若添加四次项，设，则需添加， ∵原多项式为， ∴， ∴， ∴， ∴添加的单项式可以是或或． 故答案为：（或或）． 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解｜题｜技｜巧 先按法则展开合并同类项，令该项系数为零列方程求解；注意“不含”指该项系数为零，有时需考虑二次项、一次项或常数项，展开时细心防止漏项，结果代入验证。 【典例1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知展开式中不含x的一次项，则m的取值为___． 【答案】8 【分析】本题考查了整式的混合运算无关项问题，掌握整式的混合运算，无关项的系数为0是解题的关键． 运用多项式乘以多项式，再合并同类项，由无关项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：展开 ， 得， ∵展开式中不含x的一次项， ∴， 解得，， 故答案为：8 ． 【典例2】（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键，展开多项式，合并同类项，得到项的系数表达式，令其等于，解方程求． 【详解】解：展开 ． ∵项的系数为 ， ∴， 解得． 故答案为 3． 【变式1】（25-26八年级上·重庆南川·期末）若关于x的多项式与的乘积中不含x项，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式中的无关型问题，计算两个多项式的乘积，合并同类项后，令x项的系数为零，解方程求b即可． 【详解】解： 其中项系数为， 令， 解得． 故答案为∶2． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 题型五 幂的混合运算及逆运算 解｜题｜技｜巧 同底数幂乘除指数加减，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式乘方；逆运算常化同底数或同指数，利用指数相等列方程，注意底数为负时指数奇偶性，底数非零为前提。 【典例1】（25-26八年级上·广东中山·期末）计算：． 【答案】． 【分析】先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 【典例2】（25-26八年级上·广西河池·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，先分别计算各项，再进行合并同类项． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键； 先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： , , ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算． （1）先得到新定义运算的式子，再计算即可； （2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴，， ∴， ∴ ∴． 题型六 零指数幂、负整数指数幂综合计算 解｜题｜技｜巧 零指数幂底数非零结果为1，负指数化为倒数正指数；运算时先化负指数为正，再按幂运算法则计算，注意底数为分数时取倒数，结果化为正整数指数形式，避免符号错误。 【典例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【典例2】（25-26八年级上·广东肇庆·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及正整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂的运算规则．关键是掌握相关运算法则，先分别计算各项的乘方、负指数幂、零指数幂，再进行乘法运算，最后按照从左到右的顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）把原式变形为，进一步变形为，据此计算求解即可； （2）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 整式混合运算——化简求值 解｜题｜技｜巧 先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号内，合并同类项化简；代入数值时负数添括号，注意整体代入或利用条件变形简化计算，避免直接代入增加运算量，结果要最简。 【典例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，准确运用公式和合并同类项法则是解题关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，最后用括号内的每一项分别除以，化简后代入数值计算． 【详解】解： ， 当，， ． 【典例2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2026 【分析】此题考查了整式的混合运算和代数式的求值．利用平方差公式和完全平方公式展开括号内部分，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 【变式1】（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】； 【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】对于本题，重点掌握完全平方公式，平方差公式． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先由完全平方公式和平方差公式计算中括号，再计算多项式除以单项式，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 题型八 利用乘法公式简便运算 解｜题｜技｜巧 观察式子结构，凑成平方差、完全平方或立方公式形式；将数字拆解成和或差，逆向运用公式简化计算，注意符号与系数，避免直接硬算。 【典例1】（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【典例2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)10404 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）计算 (1) (2)简便运算： 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，平方差公式． （1）先根据零指数幂、负整数指数幂的意义、绝对值的意义化简，再算加减； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）用简便方法计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用乘法的分配律进行简算； （2）处理数字以后再运用乘法的分配律和完全平方公式进行简算，； 【详解】（1）原式 （2）原式 题型九 整式乘法与图形面积 解｜题｜技｜巧 根据图形分割或补全，用不同方法表示总面积，列出整式乘法恒等式；常利用矩形、正方形面积模型解释乘法公式，通过等面积法建立方程，数形结合验证运算结果。 【典例1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)此时种植区的总面积S为130平方米 【分析】（1）把两个阴影长方形拼成一个长为米，宽为米的长方形，根据长方形面积公式列式，再进行多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：此时种植区的总面积S为130平方米． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）用长方形活动场地的面积减去长方形舞台的面积即可得答案； （2）把，代入（1）中所求代数式，得出塑胶跑道的面积，再乘以单价即可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为， ∴长方形活动场地的面积为， ∵长方形舞台的长为，宽为， ∴长方形舞台的面积为， ∴塑胶跑道的面积为． （2）解：∵，， ∴塑胶跑道的面积， ∵铺设塑胶跑道的价格为元， ∴铺设塑胶跑道共需（元）． 【变式2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十 乘法公式中几何图形的应用 解｜题｜技｜巧 用图形面积验证或推导公式，如平方差用长方形与正方形拼补，完全平方用大正方形分割；根据图形边长关系列面积等式，转化为代数恒等式，直观理解公式结构。 【典例1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【答案】(1)；； (2) (3)3 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方式的几何背景、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积， （2）根据这两个面积相等列出等式即可； （3）根据（2）得结论，可得，再代入已知计算，即可求解． 【详解】（1）解：利用图1，可以得到等式：； 利用图2，可以得到等式：； 利用图3，可以得到等式：； （2）类比（1）可得： （3）， ， 即： ， ， 解得． 【典例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形． (1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________； (2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值； (3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，之间的等量关系式是解题的关键. （1）根据大正方形的面积等于个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）设两个正方形，边长分别为，，先根据完全平方公式的变形求出，利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可. 【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于个小长方形面积和小正方形面积之和， ， ； 故答案为：； （2）解：由（1）得， 又∵， ∴； （3）解： 设两个正方形，边长分别为，， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）【教材原理】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为_____ 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． ()设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； ()设，利用完全平方公式变形求解即可； ()利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值： ， 所以， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值：， 解得：， ∴； （3）解：如图可得：， 设，则，且， 根据完全平方公式：， ∴． 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 解｜题｜技｜巧 先计算前几项或特殊值，观察系数、指数变化规律，猜想一般式；常用公式如平方差、完全平方推广，或利用杨辉三角找系数，注意项数与次数关系，通过验证确保正确。 【典例1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【答案】（1）；；；；（2）发现的规律为（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】（1）通过多项式乘法法则，计算前几个具体的多项式乘积，得到对应结果，为规律探究提供基础。 （2）根据前几步的计算结果，归纳出一般规律，再通过多项式展开的方法对规律进行证明，验证其正确性。 （3）将所求的等比数列求和式进行变形，构造出符合所发现规律的形式，代入规律公式进行简便计算。 【详解】（1）解：； ； ； ； …… 故答案为：；；； （2）解：根据以上等式发现：，理由如下： ∵左边 右边， ∴； （3）解： 【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7． (1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？ (2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？ 【答案】(1)（答案不唯一），符合规律 (2)有，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握新定义运算规则． （1）根据规则列出算式进行计算即可； （2）根据规则列出代数式，然后利用整式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一），符合规律； （2）解：方框中的左上角的数为，则其他3个数为， 方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减， 列式得，， ， ， 结果为7，所以有同样的规律． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【答案】(1)5621；9016 (2)；理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【详解】（1）， ； 故答案是：；． （2）用代数式表示规律：； 理由如下：， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 题型十二 整式的运算中的新定义型问题 解｜题｜技｜巧 仔细阅读新定义，明确运算法则与符号意义，将新运算转化为常规整式运算；按定义代入计算，注意运算顺序与括号，可先举例理解规则，再按步骤化简求值，避免直接套用旧习惯。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 【典例2】（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)5000 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为5000． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)56 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：原式， 是完全平方公式， 或． 故答案为：2或； （3）解：原式 ， ，， ，， ． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，需运用完全平方公式、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方法则逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵，∴A选项错误； ∵，∴B选项正确； ∵，∴C选项错误； ∵，∴D选项错误； 故选：B． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开等式左边的多项式，再利用多项式相等时对应项系数相等的性质求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】解：， 根据多项式相等对应项系数相等，得，， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘、除法法则是解决问题的关键． 利用幂的乘方法则，同底数幂的乘、除法法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）小数0.000065用科学记数法表示为_____． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值小于1的数的方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数． 【详解】解：小数0.000065用科学记数法表示为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若中不含m的一次项，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，要求表达式展开后不含的一次项，需使的一次项的系数为零． 【详解】解： ， 不含的一次项， ， ． 故答案为 ：． 6．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）将边长分别为的两个正方形纸片按如图所示方式摆放，其中点在同一条直线上，点在边上，连接，记阴影部分面积为，若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示阴影部分的面积是正确解答的关键． 先根据，计算出的值，再用含m，n的式子表示出，即可求解． 【详解】解： ， ， 由题意知，，， ， ， ， ∴ 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、幂的混合运算及合并同类项等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后再计算减法即可； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为；值为1 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式、合并同类项及多项式除以单项式的运算法则． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则与整式的乘法运算，需根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式的法则逐一验证选项． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意，将指数化为相同，底数越大，值越大，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选：D ． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：图①中，图②中， ∴． 4．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】 ， ∵代数式的展开式中不含的二次项， ∴， 解得． 5．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数_______． 【答案】1或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式，即可求得一次项系数． 【详解】解：整式是完全平方式，且， ． 故答案为：1或． 6．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知等式成立，则实数的值为_____． 【答案】 5或3或 【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．考虑等式成立的三种情况：底数且指数为任意实数；底数且指数为偶数；指数且底数，分别求解对应方程． 【详解】解：情况一：当底数时，解得，此时指数，有，等式成立； 情况二：当底数时，解得，此时指数，为偶数，有，等式成立； 情况三：当指数时，解得，此时底数，有，等式成立； 综上，实数的值为5或3或． 故答案为：5或3或． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题考查绝对值，零次幂，负整数指数幂等实数的运算，幂的运算等，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，再计算加减； （2）先计算同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先计算乘法公式、多项式除以单项式，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 9．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）将能被3整除的正整数在数轴上表示的点记为P，到点P距离为1的点对应的数分别记为a，b．定义：若，则称m为“隔一三倍数”．例如：若P所表示的数为3，则，，那么；若P所表示的数为12，则，，那么，所以12，147是“隔一三倍数”． (1)若点P所表示的数为6，则______，______，______； (2)试说明所有的“隔一三倍数”均能被3整除． 【答案】(1)5；7；39 (2)见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，完全平方公式，平方差公式． （1）根据数轴上两点间的距离得到，，代入计算即可； （2）设点P表示的数为（k为正整数），根据数轴上两点间的距离得到，，代入，结合乘法公式求出，可知所有的“隔一三倍数”均能被3整除． 【详解】（1）解：点P所表示的数为6， 则到点P距离为1的点对应的数分别是，， 即，， ∴ ， 故答案为：5，7，39； （2）解：∵能被3整除的正整数在数轴上表示的点记为P， ∴设点P表示的数为（k为正整数）， 则到点P距离为1的点对应的数分别是，， 即，， ∴ ， ∴所有的“隔一三倍数”均能被3整除． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)52 【分析】本题考查了完全平方式、完全平方公式、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得□，再结合完全平方式的定义计算即可得出结果； （2）由题意可得□，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （3）由（2）可知，，，由正方形的性质可得，，，，从而得出，，再结合阴影部分的面积为计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可得： □ ， ∵□是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：根据题意可得： □ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的乘除（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断整式运算是否正确 题型02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型03 完全平方式中的字母参数问题 题型04 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型05 幂的混合运算及逆运算 题型06 零指数幂、负整数指数幂综合计算 题型07 整式混合运算——化简求值 题型08 利用乘法公式简便运算 题型09 整式乘法与图形面积 题型10 乘法公式中几何图形的应用 题型11 多项式乘法中的规律性问题 题型12 整式的运算中的新定义型问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 熟练掌握幂的 4 大运算公式，能准确进行幂的变形与计算。 基础必考点，多以选择、填空考查，易与指数运算混淆。 零指数幂与负整数指数幂 理解 a0=1(a≠0) 与 a−p=(a≠0) 的意义才能正确计算。 高频基础点，常与科学记数法结合考查，易忽略底数不为 0 的条件。 整式的乘法（单项式乘、多项式乘） 掌握整式乘法法则，能规范进行系数、指数运算并合并同类项。 必考基础计算，解答题开篇常考，符号与漏乘是高频丢分点。 整式的除法（单项式除、多项式除） 能熟练进行整式除法运算，掌握多项式除以单项式的法则。 基础考点，易与乘法互逆运算结合考查，计算步骤易出错。 乘法公式（平方差、完全平方） 熟记公式结构，能灵活运用公式进行简便计算与变形应用。 中考核心考点，解答题压轴常考，公式混淆、应用不熟练是易错点。 整式乘除的综合应用 能综合运用乘除法则解决化简求值、实际问题，提升运算能力。 综合考查点，多与解方程、几何结合，侧重考查计算准确性与逻辑思维。 知识点01 同底数幂的乘法 公式：am an = am+n（m,n为正整数） 法则：底数不变，指数相加。 示例：x3 x2 = x3+2=x5 易错点 ：1. 指数相乘，写成x6； 2. 底数不同强行套用公式； 3. 忽略a=a1，如a a3 错写成a3。 知识点02 幂的乘方 公式：(am)n = amn 法则：底数不变，指数相乘。 示例：（x2）3 = x2×3=x6 易错点： 1. 指数相加，写成x5； 2. 系数不乘方，如 (2x2)3错写成2x6。 知识点03 积的乘方 公式：(ab)n = anbn 法则：每个因式分别乘方，再把结果相乘。 示例：(2xy)3 = 23x3y3= 8x3y3 易错点： 1. 只给字母乘方，不给系数乘方； 2. 漏乘某个因式； 3. 负数乘方时符号判断错误：(-a)2=a2，(-a)3=-a3。 知识点04 同底数幂的除法 知识点 公式：am÷ an = am-n(a≠0，m>n） 法则：底数不变，指数相减。 示例：x5÷ x2 = x5-2=x3 易错点： 1. 指数相除； 2. 底数不同直接除； 3. 忘记底数不能为0。 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 1. 零指数：a0 = 1（a≠0） 2. 负指数：a-p =（a≠0） 示例： 30=1，2-2= 易错点： 1. 认为00=1； 2. 负指数变成负数，如2-2=-4； 3. 忘记底数不为0的限制条件 知识点06 单项式乘单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄。 示例：2x2y×3xy2 = 6x3y3 易错点： 1. 系数不乘或算错； 2. 漏写单独字母； 3. 指数运算错误。 知识点07 单项式乘多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再相加。a(b+c)=ab+ac 示例： 2x(x+3)=2x2+6x 易错点： 1. 漏乘某一项； 2. 符号出错，尤其是括号前是负号； 3. 结果未合并同类项。 知识点08 多项式乘多项式 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn\) 示例： (x+2)(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6 易错点： 1. 漏项，常见只乘首尾两项； 2. 符号错误； 3. 未合并同类项。 知识点09 平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2结构：相同项²−相反项² 示例：(x+3)(x-3)=x2-9 易错点： 1. 记成(a-b)2； 2. 符号混乱，写成b2-a2； 3. 系数不平方，如(2x+1)(2x-1)错写成2x2-1。 知识点10 完全平方公式 (a b)2 = a22ab + b2口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央。 示例：(x+2)2=x2+4x+4 易错点： 1. 漏掉中间2ab项； 2. 中间项系数忘乘2； 3. 符号错误：(a-b)2中间项写成正。 知识点11 单项式除以单项式 知识点 法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里的字母照抄。 示例：6x3y ÷ 2xy = 3x2 易错点： 1. 系数相除算错； 2. 指数相减变相加； 3. 漏写剩余字母。 知识点12 多项式除以单项式 法则：多项式每一项除以单项式，再把商相加。(a+b+c)÷m = a÷m + b÷m + c÷m 示例：(4x2-2x)÷2x = 2x-1 易错点： 1. 漏项； 2. 符号出错； 3. 某一项除不尽时保留分式。 知识点13 科学记数法 知识点 1. 大数：a×10n（1≤ a<10） 2. 小数：a×10-n 示例：0.00023=2.3×10-4 易错点： 1. 指数数错位数； 2. 小数负指数写成正指数； 3.a不在1～10范围内。 知识点14 整式乘除化简求值 知识点 先化简（乘除、公式、合并同类项），再代入数值计算。 示例： 化简(x+2)2 - x(x-1)再代入x=1。 易错点： 1. 未化简直接代入，计算量大易出错； 2. 公式用错导致结果全错； 3. 代入负数时符号混乱。 题型一 判断整式运算是否正确 解｜题｜技｜巧 先看运算顺序，再检查法则：幂运算注意指数乘除，合并同类项看系数字母指数，整式乘除注意符号与分配律，可代特殊值快速验证，避免跳步出错。 【典例1】（25-26九年级下·辽宁丹东·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 用科学记数法表示绝对值小于1的数 解｜题｜技｜巧 将小数点右移至第一个非零数字后，指数为负，指数绝对值等于左移位数；注意保持有效数字位数，结果写成a×10⁻ⁿ形式，其中1≤|a|＜10，n为正整数，前面补零不计。 【典例1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）某球形病毒的直径约为，该直径用科学记数法表示应为______________． 【典例2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）我国“祖冲之号”量子计算机的超导比特尺寸约为米，请用科学记数法表示该尺寸为________ （单位：米）． 【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）科技发展芯片被誉为现代工业的掌上明珠．某种芯片每个探针单元的面积为，用科学记数法可表示为_____________． 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·期末）2025年4月19日，全球首场人形机器人半程马拉松赛在北京举行．人形机器人的发展是科学技术进步的结果，比如说人形机器人的碳纤维骨架的表面粗糙度不超过0.8微米，（1米微米），请将米用科学记数法表示应为___________米． 题型三 完全平方式中的字母参数问题 解｜题｜技｜巧 先写成(a±b)²形式展开对比，常数项为一次项系数一半的平方；含参数时，设完全平方后展开对应系数相等，注意符号，两解勿漏，有时需考虑二次项系数为完全平方数。 【典例1】（25-26八年级上·重庆潼南·期末）若是一个完全平方式，则_____． 【典例2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）已知多项式是完全平方式，则的值是______． 【变式2】（25-26八年级上·江西上饶·期末）多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解｜题｜技｜巧 先按法则展开合并同类项，令该项系数为零列方程求解；注意“不含”指该项系数为零，有时需考虑二次项、一次项或常数项，展开时细心防止漏项，结果代入验证。 【典例1】（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知展开式中不含x的一次项，则m的取值为___． 【典例2】（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【变式1】（25-26八年级上·重庆南川·期末）若关于x的多项式与的乘积中不含x项，则______． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________． 题型五 幂的混合运算及逆运算 解｜题｜技｜巧 同底数幂乘除指数加减，幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式乘方；逆运算常化同底数或同指数，利用指数相等列方程，注意底数为负时指数奇偶性，底数非零为前提。 【典例1】（25-26八年级上·广东中山·期末）计算：． 【典例2】（25-26八年级上·广西河池·期末）计算：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算：． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 题型六 零指数幂、负整数指数幂综合计算 解｜题｜技｜巧 零指数幂底数非零结果为1，负指数化为倒数正指数；运算时先化负指数为正，再按幂运算法则计算，注意底数为分数时取倒数，结果化为正整数指数形式，避免符号错误。 【典例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）计算： 【典例2】（25-26八年级上·广东肇庆·期末）计算： 【变式1】（25-26七年级上·上海·期末）计算： 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 题型七 整式混合运算——化简求值 解｜题｜技｜巧 先乘方再乘除最后加减，有括号先算括号内，合并同类项化简；代入数值时负数添括号，注意整体代入或利用条件变形简化计算，避免直接代入增加运算量，结果要最简。 【典例1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【典例2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·山西长治·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 题型八 利用乘法公式简便运算 解｜题｜技｜巧 观察式子结构，凑成平方差、完全平方或立方公式形式；将数字拆解成和或差，逆向运用公式简化计算，注意符号与系数，避免直接硬算。 【典例1】（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【典例2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）计算 (1) (2)简便运算： 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）用简便方法计算下列各式： (1)； (2)． 题型九 整式乘法与图形面积 解｜题｜技｜巧 根据图形分割或补全，用不同方法表示总面积，列出整式乘法恒等式；常利用矩形、正方形面积模型解释乘法公式，通过等面积法建立方程，数形结合验证运算结果。 【典例1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【典例2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【变式2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 题型十 乘法公式中几何图形的应用 解｜题｜技｜巧 用图形面积验证或推导公式，如平方差用长方形与正方形拼补，完全平方用大正方形分割；根据图形边长关系列面积等式，转化为代数恒等式，直观理解公式结构。 【典例1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，体现出形与数的紧密联系．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式． (1)请你根据等积法，利用图1，图2，图3可以得到一些等式： 利用图1，可以得到等式：________________； 利用图2，可以得到等式：________________； 利用图3，可以得到等式：________________． (2)请你根据等积法，利用图4，写出你得到的一个等式__________； (3)结合用（2）中你得到的等式解决问题：若实数，，满足，，求的值； 【典例2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，将四个这样的长方形拼成如图2所示的“回”字形图其中四边形是正方形，中间的四边形也是正方形． (1)观察图2，直接写出，，之间的等量关系式：____________； (2)如果长方形的两条边，满足：，，求的值； (3)将两个正方形，如图3摆放，是边上任意一点，若两个正方形面积之和为34，，求图中阴影部分面积之和． 【变式1】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）【教材原理】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为_____ 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若满足，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 解｜题｜技｜巧 先计算前几项或特殊值，观察系数、指数变化规律，猜想一般式；常用公式如平方差、完全平方推广，或利用杨辉三角找系数，注意项数与次数关系，通过验证确保正确。 【典例1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）观察、归纳：请填上正确答案 __________； __________； __________； __________； …… （2）总结：根据以上等式你能发现什么规律，请写出来并证明； （3）运用：利用你发现的规律计算： 【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7． (1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？ (2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？ 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）观察下列各式： ； ； … (1)请根据上述规律直接写出计算结果：______；______． (2)设这两个两位数的十位数字都为a，其中一个两位数的个位数字为b，另一个两位数的个位数字为c，且．请用代数式表示上述规律，并用所学的知识说明上述规律的正确性． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 题型十二 整式的运算中的新定义型问题 解｜题｜技｜巧 仔细阅读新定义，明确运算法则与符号意义，将新运算转化为常规整式运算；按定义代入计算，注意运算顺序与括号，可先举例理解规则，再按步骤化简求值，避免直接套用旧习惯。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【典例2】（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 4．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）小数0.000065用科学记数法表示为_____． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若中不含m的一次项，则________． 6．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）将边长分别为的两个正方形纸片按如图所示方式摆放，其中点在同一条直线上，点在边上，连接，记阴影部分面积为，若，则的值为_____________． 7．（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2) 8．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知代数式的展开式中不含的二次项，则______． 5．（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数_______． 6．（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知等式成立，则实数的值为_____． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）计算与化简： (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）先化简，再求值：，其中，． 9．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）将能被3整除的正整数在数轴上表示的点记为P，到点P距离为1的点对应的数分别记为a，b．定义：若，则称m为“隔一三倍数”．例如：若P所表示的数为3，则，，那么；若P所表示的数为12，则，，那么，所以12，147是“隔一三倍数”． (1)若点P所表示的数为6，则______，______，______； (2)试说明所有的“隔一三倍数”均能被3整除． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $