专题02 相交线与平行线（期末复习讲义+10重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材北师大版

专题02 相交线与平行线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角同位角内错角同旁内角的辨别 题型02 利用对顶角相等求角 题型03 求一个角的余角、补角 题型04 利用对顶角余角补角直角求角 题型05 点到直线的距离与垂线段最短 题型06 判断两条直线是否平行 题型07 平行线的判定和性质多结论题 题型08 平行线的性质在生活中的应用 题型09 平行线的判定和性质综合问题 题型10 根据平行线的判定与性质探究角的关系 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角、余角、补角 1. 理解对顶角、余角、补角的概念；2. 掌握对顶角相等、余角、补角的性质并能计算。 基础必考点，选择、填空常考角度计算，易混淆邻补角与补角。 垂线及其性质 1. 理解垂线的定义，掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”；2. 会画垂线，理解垂线段最短的性质。 高频基础点，常结合实际问题考查垂线段最短，作图题常考。 同位角、内错角、同旁内角 能准确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角。 概念辨析题高频，是平行线判定与性质的基础，易认错角的位置。 平行线的判定 掌握平行线的 3 种判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能证明两直线平行。 中考核心考点，解答题证明题必考，是几何推理的基础。 平行线的性质 掌握平行线的 3 条性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能进行角度计算与证明。 高频考点，选择、填空、解答均有涉及，常与判定结合考查。 尺规作图（作角、平行线） 掌握用尺规作一个角等于已知角、过直线外一点作平行线的方法。 基础作图题常考，需规范作图步骤并说明依据。 平行线间的距离 理解平行线间距离的概念，知道平行线间距离处处相等。 距离处处相等。基础考点，常与面积计算结合考查。 知识点01 对顶角 1. 对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。 2. 性质：对顶角相等。 示例：直线AB、CD交于点O，∠AOC=30°， 则对顶角∠BOD=30°。 易错点：1. 把“有公共顶点的角”都当成对顶角，忽略两边互为反向延长线； 2. 计算角度时漏看图形位置。 知识点02 余角与补角 1. 余角：两个角的和为90°，互为余角。 2. 补角：两个角的和为180°，互为补角。 3. 性质： 同角（或等角）的余角相等； 同角（或等角）的补角相等。 示例：∠A=30°，余角是60°，补角是150°； - 若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。 易错点：1. 余角、补角只看度数和，与位置无关，不要只认相邻的角； 2. 把“余角”记成和为180°，“补角”记成和为90°； 3. 计算钝角的余角，钝角没有余角。 知识点03 垂线及其性质 1. 两条直线相交所成四个角中有一个是直角，则两直线互相垂直。 2. 性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 3. 点到直线的距离：点到直线的垂线段长度。 示例：过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则PQ最短。 易错点：1. 把“垂线段”和“垂线”混淆：垂线是直线，垂线段是线段； 2. 忘记“同一平面内”这个前提； 3. 求距离时不垂直，随便连一段线段当距离。 知识点04 同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线（截线）所截： 1. 同位角：位置相同，都在截线同侧、两被截线同一方； 2. 内错角：在两被截线之间，截线两侧； 3. 同旁内角：在两被截线之间，截线同侧。 示例：找出图中 ∠1的同位角、内错角、同旁内角。 易错点：1. 分不清哪条是截线，哪两条是被截直线； 2. 把不在“三线八角”里的角硬套概念； 3. 内错角、同旁内角位置混淆。 知识点05 平行线的概念及画法 1. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 3. 平行推论：若a∥b，b∥c，则a∥c。 示例：过点P作直线AB的平行线，有且只能画一条。 易错点：1. 忽略“同一平面内”，误以为空间不相交就是平行； 2. 说成“过直线上一点也能作平行线”； 3. 推论中漏传平行关系。 知识点06 平行线之间的距离 1. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 2. 平行线间的距离处处相等。 示例：两条平行线间的垂线段长度都相等，可用于求面积。 易错点：1. 用斜线段长度当距离； 2. 认为距离是两平行线间任意线段长； 3. 与“两点间距离”混淆。 知识点07 平行线的判定 1. 同位角相等两直线平行； 2. 内错角相等两直线平行； 3. 同旁内角互补两直线平行； 4. 推论：都垂直于同一直线的两直线平行。 示例：若 ∠1=∠2（同位角），则AB∥CD。 易错点：1. 判定与性质混用，因果颠倒； 2. 角找错，用不对应的角判定平行； 3. 同旁内角“相等”当成平行条件，正确应为“互补”。 知识点08 平行线的性质 1. 两直线平行同位角相等； 2. 两直线平行内错角相等； 3. 两直线平行同旁内角互补。 示例：已知AB∥CD，∠1=50°，则内错角∠2=50°，同旁内角∠3=130°。 易错点：1. 因果关系写反：把“角等”写在前面，“平行”写在后面； 2. 同旁内角写成相等； 3. 复杂图形中找不到对应的平行线与角。 题型一 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 解｜题｜技｜巧 对顶角由两直线相交形成，形状像“X”；同位角、内错角、同旁内角需两条被截线与一条截线，看位置关系：同位角“F”型，内错角“Z”型，同旁内角“U”型，找准截线是关键。 【典例1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 【典例2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【变式1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【答案】C 【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断． 【详解】解：A、与是内错角，说法错误； B、与不是内错角，说法错误； C、与是同位角，说法正确； D、与是对顶角不一定互补，说法错误； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是（     ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，熟练掌握这几个定义是解题的关键．根据对顶角、邻补角、同旁内角、内错角的定义判断即可． 【详解】解：A、与是邻补角，说法正确，故此选项不符合题意； B、与是对顶角，说法正确，故此选项不符合题意； C、与是同旁内角，说法正确，故此选项不符合题意； D、与不是内错角，说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 题型二 利用对顶角相等求角 解｜题｜技｜巧 先找出对顶角，根据对顶角相等建立等量关系；常结合邻补角互补、平行线性质或三角形内角和，将未知角与已知角通过等量代换联系起来，设未知数列方程求解。 【典例1】（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【答案】25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 【典例2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 __________． 【答案】/76度 【分析】本题考查了角的度量及对顶角，对顶角的性质：对顶角相等．首先计算出的度数，再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：如图， 由题意可知：， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角的度数，小莉分别延长、至点、，测得，则________． 【答案】 【分析】本题考查对顶角的性质，关键是准确识别出与是对顶角，利用“对顶角相等”的性质即可直接求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴； 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 题型三 求一个角的余角、补角 解｜题｜技｜巧 两角互余和为90°，互补和为180°；已知一个角求余角用90°减，补角用180°减，注意单位换算，设未知数列方程，常结合角平分线或倍分关系建立等量关系。 【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）若，则余角的度数为__________． 【答案】20 【分析】本题考查余角的定义，两个角的和为则互为余角，因此用减去已知角的度数即可求解． 【详解】解：∵， ∴的余角． 故答案为：20． 【典例2】（25-26七年级上·北京·期末）已知，则的补角大小为_________________． 【答案】 【分析】根据补角的性质即可求解． 【详解】解：的补角大小为． 【变式1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）（1）_____； （2）角的余角是_____，补角是______． 【答案】 /78.9度 /54度 /144度 【分析】本题考查角度的换算，余角和补角的有关计算．利用度分换算关系，将分转换为度后相加；根据余角和补角的定义直接计算． 【详解】解：（1）； （2）角的余角是，补角是， 故答案为：；；． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期末）已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大 ，则______． 【答案】70 【分析】本题考查了补角、余角的定义，一元一次方程的应用，关键是掌握补角、余角的定义； 【详解】解：设的度数为，则的度数为，根据补角的定义，的补角为；根据余角的定义，的余角为， 由题意列方程： 去括号得： 合并同类项得： 移项得： 解得： 则 故答案为：70. 题型四 利用对顶角、余角、补角、直角求角 解｜题｜技｜巧 先找对顶角相等，再根据余角或补角关系转化，结合垂直得90°，用方程思想表示各角；将分散角集中到三角形或多边形中，利用内角和、外角性质建立等量关系求解。 【典例1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，以及，即可求解； （2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【典例2】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，易求，再根据角平分线的定义，可求，最后利用，计算即可； （2）由（1）知，根据余角的定义，可求，从而可得，再根据，计算即可求解． 【详解】（1）解：因为点O为直线上一点， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以； （2）由（1）知， 因为与互余， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 【变式1】（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，． (1)若，满足，则 ， ，与的特殊关系是 ； (2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由； (3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数． 【答案】(1)；；互补 (2)与仍互补，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了角度的和差计算，互补、互余的定义，非负数的性质，分类讨论的思想． （1）先由非负数的性质得出，，进而得，再由圆周角的性质得，再根据互补的定义即可得出结论； （2）分别用，表示出与，再将两角相加，即可得出结论； （3）根据和是否在内部分情况讨论，分别画出图形，结合（1）中条件，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴与的特殊关系是互补． （2）解：仍具有．理由如下：将图1中的绕点逆时针旋转至图2时， 有，， ∵， ∴， 即将图1中的绕点逆时针旋转至图2时，与的特殊关系是互补； （3）解：在（1）的条件下，，， 当和都在外部时，如图1，此时，不可能与互余； 当和都在外部时，如图， 此时，不可能与互余； 当和都在内部时，如图， ∴，不满足与互余； 当在内部，在外部时，如图， ∴，， ∵与互余， ∴，即， ∴， ∴； 当在外部，在内部时，如图， ∴，， ∵与互余， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值； (3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值． 【答案】(1)，不是 (2) (3)或 【分析】（）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断，是否是“分补角”； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； （）根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，不是一对“分补角”； （2）解：∵，平分，平分， ∴，， ∴， ∵，是一对“分补角”， ∴，即， 解得； （3）解：∵平分，平分，且在内部， ∴，， ∴， 如图，当时， 则， ∴； 如图，当时， 则； 综上，的可能值为或． 题型五 点到直线的距离与垂线段最短 解｜题｜技｜巧 点到直线垂线段长度即距离，唯一且最短；求距离常作垂线构造直角三角形，利用面积法或勾股定理计算，比较线段长短时优先考虑垂线段，注意区分垂足位置。 【典例1】（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是___________，测量点P到直线l的距离是___________（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 【典例2】（24-25七年级下·广东珠海·期末）为了测量村庄是否对河道施工有影响，需测量村庄到河道的距离．某测绘队（点）沿河道规划路线进行测量，如图，测量角度与线段的长度如表所示，则村庄到河道的距离为______米． 的度数/度 52.3 69.5 90 93 105.8 117.8 的长度/米 693 586 549 552 570 620 【答案】549 【分析】本题考查的是点到直线的距离，理解题意是解本题的关键．由表格信息可得当时，即可得到答案. 【详解】解：根据点到直线的距离可得：村庄A到河道的距离为549米， 故答案为：549 【变式1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)，两点之间线段最短． 【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据射线的画法作图即可； （2）根据线段的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可； （4）根据垂线的长度求解即可； （5）根据线段的性质求解即可． 【详解】（1）解：射线如图1所示， （2）解：连接，交于点，如图2所示， （3）解：过点作于点，如图3所示， （4）解：点到的距离是线段的长度； 故答案为：； （5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 题型六 判断两条直线是否平行 解｜题｜技｜巧 根据平行判定：同位角相等、内错角相等或同旁内角互补；结合图形已有条件，从角的关系入手，添加角相等或互补条件，也可利用垂直同一直线或平行公理推论，注意结论唯一性。 【典例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 【典例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法依次判定即可．本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和是同位角，，则，A选项正确； B、和是对顶角，不能得出，B选项错误； C、和是邻补角，不能得出，C选项错误； D、和既不是同位角也不是内错角，不能得出，D选项错误； 故选：A． 题型七 平行线的判定和性质多结论题 解｜题｜技｜巧 先根据已知判定平行，再运用性质推导角的关系；每个结论逐一验证，避免混淆判定与性质，利用“两直线平行”作桥梁，结合对顶角、邻补角等转化，注意逻辑链条完整。 【典例1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义；过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义，分别表示出，分三种情况讨论，根据点的位置．当在和之间时，，即，得出，当在的上方时，当在的下方时，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 当在和之间时，，即 ∴， 当在的上方时，如图所示， 同理可得 当在的下方时，如图所示， 同理可得 故选：D． 【典例2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线判定与性质、三角板中角度计算问题． 若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②错误； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 即正确的结论有3个． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 题型八 平行线的性质在生活中的应用 解｜题｜技｜巧 将实际问题抽象为平行线模型，利用同位角、内错角相等或同旁内角互补，结合测量数据建立方程；常借助标杆、光线等构造平行线，通过角度计算求距离或高度。 【典例1】（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 【典例2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与地面平行，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期末）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2），理由如下 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 题型九 平行线的判定和性质综合问题 解｜题｜技｜巧 先由角的关系判定平行，再由平行推导新角关系，反复交替使用；常作辅助线（如过拐点作平行线）沟通已知与未知，将分散角集中转化，结合三角形内角和与方程思想求解。 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 【典例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角度的和差关系计算． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）知，，根据得，然后根据得，由此解出α即可得出的度数； （3）由平分，，得到，从而推出，再由已知条件结合角平分线的性质证得，最终利用角度的和差关系可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的度数为． （3）解：∵平分，， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D． (1)______． (2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)数量关系不变，，理由见解析 (3)直角三角形；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质与角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得到，则可得到，据此可得答案； （2）根据平行线的性质可得，，则由角平分线的定义可得，据此可得结论； （3）由平行线的性质和已知条件可得，则可证明，则由角平分线的定义可得．求出，据此可得结论． 【详解】（1）解：， ． ， ． 又平分，平分， ． 又， ； 故答案为； （2）解：数量关系不变，，理由如下： ， ，， 平分， ， ； （3）解：是直角三角形，理由如下： ， ，． ， ∴ ，即． 分别平分和， ，． ． ，， ． ． ，故是直角三角形． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 题型十 根据平行线的判定与性质探究角的关系 解｜题｜技｜巧 从结论或已知出发，分析需证角相等或互补，利用平行线将角转移，结合对顶角、邻补角，常过拐点作辅助平行线构造“三线八角”，通过等量代换建立角之间的数量关系。 【典例1】（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 【典例2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 【变式1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，当秒时，，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【详解】（1）解： ， 平分，平分， ，， ； （2）结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； （3）存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 【变式2】（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（   ）    A．与互余 B．与是同位角 C．与不是对顶角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】此题主要考查了对顶角、同旁内角和同位角．根据对顶角、同旁内角、同位角定义分别分析即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，不一定互余，故原题说法错误； B、与是同旁内角，故原题说法错误； C、与是对顶角，故原题说法错误； D、与是同位角，故原题说法正确； 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵于O， ∴， ∵， ∴． ∴， 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知与互为余角，，则_______ ． 【答案】 【分析】根据余角的定义，互为余角的两角和为，通过减去的度数计算． 【详解】与互为余角， ， ． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第______秒时，边所在直线恰好与射线平行． 【答案】2或20 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差计算； 设旋转时间为t，分两种情况，分别画出图形，求出对应的旋转角度，进而计算即可． 【详解】解：设旋转时间为t， 分两种情况： ①如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴秒； ②如图2，反向延长至点D， ∵，， ∴， ∴此时旋转的角度为： ， ∴秒； 综上，在旋转的过程中第2秒或第20秒时，边所在直线恰好与射线平行， 故答案为：2或20． 7．（25-26七年级上·江苏南通·期末）直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、垂直定义、几何图形中的角度计算，找到角之间的数量关系是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，然后利用平角定义求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义及垂直定义列方程求得，则可得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 8．（25-26八年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 【答案】（），理由见解析；（）． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后通过角度和差即可求解； （）过作，则有，所以，，则有，又平分，平分，则，，根据平行线的性质可得，从而得，则，从而求解． 【详解】解：（），理由， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接交于点F，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（  ） A．①或② B．①或④ C．②或④ D．②或③ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是明确平行线的判定方法． 根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，可以判断各个小题中的结论是否符合题意． 【详解】解：， ，不能判断，故①不符合题意； ， ，故②符合题意； ， ， ，故③符合题意； ， ，不能判断，故④不符合题意； ∴能判断的是②或③， 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且，平分，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由及，得，从而可判定③；由，得；由及平分，得，再结合，求得，可判定①；由及求得的度数即可判定②；根据现有条件无法判断④；最后可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故③正确； ∵， ∴； ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴ ∴， 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴； ∵， 但无法得出， ∴无法得到 因而无法判断④正确； 综上，正确的有②③． 故选：C． 4．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 【答案】3或39 【分析】分两种情况：当转动时，，一共转动，． 【详解】解：当转动时，，如图： ∴， 当再转动时，，如图： ∴一共转动， ∴， 综上所述，t为3或39时，． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 7．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差关系，余角、补角和角平分线的定义： （1）根据补角、角平分线的定义及角的和差关系求解； （2）根据与互余求出即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：与互余，， ， ∴； 8．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 9．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 【答案】【探究】判断与平行，理由见解析；【迁移】（1）20 ；（2）30 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，掌握平行线性质及角平分线性质是解题关键． 【探究】根据平行线性质即可求证； 【迁移】（1）根据平行可得，，利用平分，即可求解； （2）根据平行可得，则，根据等式可得，求解即可． 【详解】解：【探究】判断与平行，理由如下： ， ， 又， ， ， ， ； 解：【迁移】（1）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 故答案为：20； （2）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：30. 10．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点． (1)如果，，求的度数； (2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的值为6或15或24或27或30． 【分析】（1）过点作直线根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，进而根据，即可求解； （2）猜想：，过点作，设，，进而分别表示出，即可求解； （3）根据垂直的定义，，得出，根据，得出，由（2）可得，则，进而分5种情况讨论，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作直线， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：猜想：，理由如下， 过点作，如图所示， ∵， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴，， 设，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴； ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到， ∴； ①当时，如图所示， ∴， ∴， 解得：； ②如图所示，当时，延长交于点， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③如图所示，当在上，则， ∴， 解得：， 此时， ∴， 而， ∴， ∴， ④当时， ∴， ∴， 解得：； ⑤当时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为6或15或24或27或30． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 对顶角同位角内错角同旁内角的辨别 题型02 利用对顶角相等求角 题型03 求一个角的余角、补角 题型04 利用对顶角余角补角直角求角 题型05 点到直线的距离与垂线段最短 题型06 判断两条直线是否平行 题型07 平行线的判定和性质多结论题 题型08 平行线的性质在生活中的应用 题型09 平行线的判定和性质综合问题 题型10 根据平行线的判定与性质探究角的关系 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 对顶角、余角、补角 1. 理解对顶角、余角、补角的概念；2. 掌握对顶角相等、余角、补角的性质并能计算。 基础必考点，选择、填空常考角度计算，易混淆邻补角与补角。 垂线及其性质 1. 理解垂线的定义，掌握 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”；2. 会画垂线，理解垂线段最短的性质。 高频基础点，常结合实际问题考查垂线段最短，作图题常考。 同位角、内错角、同旁内角 能准确识别三线八角中的同位角、内错角、同旁内角。 概念辨析题高频，是平行线判定与性质的基础，易认错角的位置。 平行线的判定 掌握平行线的 3 种判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能证明两直线平行。 中考核心考点，解答题证明题必考，是几何推理的基础。 平行线的性质 掌握平行线的 3 条性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），能进行角度计算与证明。 高频考点，选择、填空、解答均有涉及，常与判定结合考查。 尺规作图（作角、平行线） 掌握用尺规作一个角等于已知角、过直线外一点作平行线的方法。 基础作图题常考，需规范作图步骤并说明依据。 平行线间的距离 理解平行线间距离的概念，知道平行线间距离处处相等。 距离处处相等。基础考点，常与面积计算结合考查。 知识点01 对顶角 1. 对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角。 2. 性质：对顶角相等。 示例：直线AB、CD交于点O，∠AOC=30°， 则对顶角∠BOD=30°。 易错点：1. 把“有公共顶点的角”都当成对顶角，忽略两边互为反向延长线； 2. 计算角度时漏看图形位置。 知识点02 余角与补角 1. 余角：两个角的和为90°，互为余角。 2. 补角：两个角的和为180°，互为补角。 3. 性质： 同角（或等角）的余角相等； 同角（或等角）的补角相等。 示例：∠A=30°，余角是60°，补角是150°； - 若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3。 易错点：1. 余角、补角只看度数和，与位置无关，不要只认相邻的角； 2. 把“余角”记成和为180°，“补角”记成和为90°； 3. 计算钝角的余角，钝角没有余角。 知识点03 垂线及其性质 1. 两条直线相交所成四个角中有一个是直角，则两直线互相垂直。 2. 性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 3. 点到直线的距离：点到直线的垂线段长度。 示例：过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则PQ最短。 易错点：1. 把“垂线段”和“垂线”混淆：垂线是直线，垂线段是线段； 2. 忘记“同一平面内”这个前提； 3. 求距离时不垂直，随便连一段线段当距离。 知识点04 同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线（截线）所截： 1. 同位角：位置相同，都在截线同侧、两被截线同一方； 2. 内错角：在两被截线之间，截线两侧； 3. 同旁内角：在两被截线之间，截线同侧。 示例：找出图中 ∠1的同位角、内错角、同旁内角。 易错点：1. 分不清哪条是截线，哪两条是被截直线； 2. 把不在“三线八角”里的角硬套概念； 3. 内错角、同旁内角位置混淆。 知识点05 平行线的概念及画法 1. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 3. 平行推论：若a∥b，b∥c，则a∥c。 示例：过点P作直线AB的平行线，有且只能画一条。 易错点：1. 忽略“同一平面内”，误以为空间不相交就是平行； 2. 说成“过直线上一点也能作平行线”； 3. 推论中漏传平行关系。 知识点06 平行线之间的距离 1. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 2. 平行线间的距离处处相等。 示例：两条平行线间的垂线段长度都相等，可用于求面积。 易错点：1. 用斜线段长度当距离； 2. 认为距离是两平行线间任意线段长； 3. 与“两点间距离”混淆。 知识点07 平行线的判定 1. 同位角相等两直线平行； 2. 内错角相等两直线平行； 3. 同旁内角互补两直线平行； 4. 推论：都垂直于同一直线的两直线平行。 示例：若 ∠1=∠2（同位角），则AB∥CD。 易错点：1. 判定与性质混用，因果颠倒； 2. 角找错，用不对应的角判定平行； 3. 同旁内角“相等”当成平行条件，正确应为“互补”。 知识点08 平行线的性质 1. 两直线平行同位角相等； 2. 两直线平行内错角相等； 3. 两直线平行同旁内角互补。 示例：已知AB∥CD，∠1=50°，则内错角∠2=50°，同旁内角∠3=130°。 易错点：1. 因果关系写反：把“角等”写在前面，“平行”写在后面； 2. 同旁内角写成相等； 3. 复杂图形中找不到对应的平行线与角。 题型一 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 解｜题｜技｜巧 对顶角由两直线相交形成，形状像“X”；同位角、内错角、同旁内角需两条被截线与一条截线，看位置关系：同位角“F”型，内错角“Z”型，同旁内角“U”型，找准截线是关键。 【典例1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【典例2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【变式1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【变式2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列说法错误的是（     ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 题型二 利用对顶角相等求角 解｜题｜技｜巧 先找出对顶角，根据对顶角相等建立等量关系；常结合邻补角互补、平行线性质或三角形内角和，将未知角与已知角通过等量代换联系起来，设未知数列方程求解。 【典例1】（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【典例2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 __________． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角的度数，小莉分别延长、至点、，测得，则________． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 题型三 求一个角的余角、补角 解｜题｜技｜巧 两角互余和为90°，互补和为180°；已知一个角求余角用90°减，补角用180°减，注意单位换算，设未知数列方程，常结合角平分线或倍分关系建立等量关系。 【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）若，则余角的度数为__________． 【典例2】（25-26七年级上·北京·期末）已知，则的补角大小为_________________． 【变式1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）（1）_____； （2）角的余角是_____，补角是______． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期末）已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大 ，则______． 题型四 利用对顶角、余角、补角、直角求角 解｜题｜技｜巧 先找对顶角相等，再根据余角或补角关系转化，结合垂直得90°，用方程思想表示各角；将分散角集中到三角形或多边形中，利用内角和、外角性质建立等量关系求解。 【典例1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 【典例2】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，． (1)若，满足，则 ， ，与的特殊关系是 ； (2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由； (3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数． 【变式2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，若，，，是一对“分补角”，且在的外部，求β的值； (3)如图3，．若和是一对“分补角”，且在内部，请直接写出的所有可能值． 题型五 点到直线的距离与垂线段最短 解｜题｜技｜巧 点到直线垂线段长度即距离，唯一且最短；求距离常作垂线构造直角三角形，利用面积法或勾股定理计算，比较线段长短时优先考虑垂线段，注意区分垂足位置。 【典例1】（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是___________，测量点P到直线l的距离是___________（精确到）． 【典例2】（24-25七年级下·广东珠海·期末）为了测量村庄是否对河道施工有影响，需测量村庄到河道的距离．某测绘队（点）沿河道规划路线进行测量，如图，测量角度与线段的长度如表所示，则村庄到河道的距离为______米． 的度数/度 52.3 69.5 90 93 105.8 117.8 的长度/米 693 586 549 552 570 620 【变式1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【变式2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 题型六 判断两条直线是否平行 解｜题｜技｜巧 根据平行判定：同位角相等、内错角相等或同旁内角互补；结合图形已有条件，从角的关系入手，添加角相等或互补条件，也可利用垂直同一直线或平行公理推论，注意结论唯一性。 【典例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A．B．C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（   ） A． B． C． D． 题型七 平行线的判定和性质多结论题 解｜题｜技｜巧 先根据已知判定平行，再运用性质推导角的关系；每个结论逐一验证，避免混淆判定与性质，利用“两直线平行”作桥梁，结合对顶角、邻补角等转化，注意逻辑链条完整。 【典例1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 题型八 平行线的性质在生活中的应用 解｜题｜技｜巧 将实际问题抽象为平行线模型，利用同位角、内错角相等或同旁内角互补，结合测量数据建立方程；常借助标杆、光线等构造平行线，通过角度计算求距离或高度。 【典例1】（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【典例2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期末）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 题型九 平行线的判定和性质综合问题 解｜题｜技｜巧 先由角的关系判定平行，再由平行推导新角关系，反复交替使用；常作辅助线（如过拐点作平行线）沟通已知与未知，将分散角集中转化，结合三角形内角和与方程思想求解。 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【典例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D． (1)______． (2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 题型十 根据平行线的判定与性质探究角的关系 解｜题｜技｜巧 从结论或已知出发，分析需证角相等或互补，利用平行线将角转移，结合对顶角、邻补角，常过拐点作辅助平行线构造“三线八角”，通过等量代换建立角之间的数量关系。 【典例1】（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【典例2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【变式1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（   ）    A．与互余 B．与是同位角 C．与不是对顶角 D．与是同位角 2．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知与互为余角，，则_______ ． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 6．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第______秒时，边所在直线恰好与射线平行． 7．（25-26七年级上·江苏南通·期末）直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 8．（25-26八年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图，在四边形中，点E在的延长线上，连接交于点F，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（  ） A．①或② B．①或④ C．②或④ D．②或③ 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且，平分，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 4．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 7．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 9．（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 10．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点． (1)如果，，求的度数； (2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $