七年级数学下学期期末真题重组卷（新教材北师大版）

**基本信息** 本卷为北师大版七年级下册期末模拟卷，整合多地区期末真题，以智能机器人竞速、剪纸艺术等真实情境设计问题，兼顾基础知识与创新应用，有效考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形、轴对称、变量关系等|结合剪纸（第2题）、加油站数据（第3题）考查几何直观与数据意识| |填空题|6/18|平行线性质、概率面积估算等|以杆秤（第11题）、二维码实验（第12题）体现生活应用| |解答题|9/72|几何证明、函数图像、探究性问题等|21题木墙三角板证明考查推理能力，22题登山函数图像培养模型观念，25题“一线三等角”探究发展创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列长度(单位：)的3根小木棒首尾顺次相接能搭成三角形的是（  ） A．1，2，5 B．3，3，6 C．4，5，6 D．6，7， 2．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，人们常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（   ） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，其数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东聊城·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．生活中“水涨船高”描述的是随机事件 B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市有的地区降雨 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 D．试验次数越少，频率越接近概率 7．（25-26八年级上·北京·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 9．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（   ） A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了 B．该机器人在测试点乙处停留了 C．测试点乙与测试点丙之间的距离为 D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为 10．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（    ） A． B． C．9 D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 13．（24-25七年级下·重庆·期末）已知的三边分别为，化简：__________ 14．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在直角三角形中，，，，是线段上的一个动点，当点从点向点运动时，运动到点停止，设，的面积为，则与之间的关系式为____． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： (1) (2) 18．（24-25七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合） 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 21．（25-26八年级上·江西宜春·期末）王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 22．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： (1)该问题情境中，自变量是________________，因变量是________________； (2)在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是________________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________________米／分； (3)将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 600 800 (4)他们出发后_______________分钟，离山脚的相对高度是700米． 23．（25-26七年级上·河南南阳·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 25．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列长度(单位：)的3根小木棒首尾顺次相接能搭成三角形的是（  ） A．1，2，5 B．3，3，6 C．4，5，6 D．6，7， 2．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，人们常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（   ） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，其数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东聊城·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．生活中“水涨船高”描述的是随机事件 B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市有的地区降雨 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 D．试验次数越少，频率越接近概率 7．（25-26八年级上·北京·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 9．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（   ） A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了 B．该机器人在测试点乙处停留了 C．测试点乙与测试点丙之间的距离为 D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为 10．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（    ） A． B． C．9 D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 13．（24-25七年级下·重庆·期末）已知的三边分别为，化简：__________ 14．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在直角三角形中，，，，是线段上的一个动点，当点从点向点运动时，运动到点停止，设，的面积为，则与之间的关系式为____． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： (1) (2) 18．（24-25七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合） 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 21．（25-26八年级上·江西宜春·期末）王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 22．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： (1)该问题情境中，自变量是________________，因变量是________________； (2)在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是________________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________________米／分； (3)将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 600 800 (4)他们出发后_______________分钟，离山脚的相对高度是700米． 23．（25-26七年级上·河南南阳·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 25．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列长度(单位：)的3根小木棒首尾顺次相接能搭成三角形的是（  ） A．1，2，5 B．3，3，6 C．4，5，6 D．6，7， 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，核心知识点是“三角形任意两边之和大于第三边”，判断三根线段能否组成三角形，只需验证较短两边的长度之和是否大于最长边的长度，此方法可简化判断过程． 【详解】解：对于选项A，，不满足三角形三边关系，不能搭成三角形； 对于选项B，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能搭成三角形； 对于选项C，，满足三角形三边关系，能搭成三角形； 对于选项D，，不满足三角形三边关系，不能搭成三角形； 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，人们常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项A中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（   ） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量． 故选：D． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的相关运算法则，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及单项式除以单项式的运算法则，需依据这些法则对每个选项进行计算判断． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ∴A选项中，，A错误． ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘 ∴B选项中，，B错误． ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ∴C选项中，，C正确． ∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂分别相除 ∴D选项中，，D错误． 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，其数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可求解． 【详解】解：用科学记数法表示为． 6．（25-26九年级上·山东聊城·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．生活中“水涨船高”描述的是随机事件 B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市有的地区降雨 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 D．试验次数越少，频率越接近概率 【答案】C 【分析】本题考查事件的定义、概率的意义、求简单事件的概率以及频率与概率的关系，结合相关概念逐一判断选项正误是解决问题的关键． “水涨船高”是一定会发生的事件，属于必然事件；天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市降雨的可能性为；掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，正面朝上的概率为；试验次数越多，频率越接近概率，试验次数越少，频率不一定接近概率；从而确定答案． 【详解】解：A、“水涨船高”是一定会发生的事件，属于必然事件，不是随机事件，选项原说法错误，不符合题意； B、天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市降雨的可能性为，选项原说法错误，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，正面朝上的概率为，选项原说法正确，符合题意； D、由频率与概率的关系可知，试验次数越多，频率越接近概率；试验次数越少，频率不一定接近概率；选项原说法错误，不符合题意； 故选：C． 7．（25-26八年级上·北京·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键；根据折叠的性质可得，进而可求的周长． 【详解】解：由折叠可得， ， 的周长为， 故选：A． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 【答案】C 【分析】本题考查方向角的定义，准确识别方向角对应的角度是解题关键．明确各角的位置关系，结合余角、补角、角平分线的定义及角的和差运算，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项A：由方向角可知， B在南偏东， 则，， 故， 则，满足互补角定义，故A选项正确； 选项B：儿童乐园C在西南方向，即， ∵A在北偏西， 则， 故， ∵B在南偏东， 则，， 故， ∴， ∴平分，故B选项正确；   选项C：，，   两角和为，不满足余角定义，故C选项错误；   选项D：∵B在南偏东， 故，   ， ， ∴，故D选项正确． 故选：C． 9．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图1，2025年首届具身智能机器人运动会在江苏省无锡市举办．某研发公司为了测试某新型智能机器人的竞速跑情况，在一条笔直的跑道上设置了甲，乙，丙三个测试点．该机器人从甲处以的速度匀速跑到乙处，停留一会儿后，再以的速度匀速跑到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该机器人离测试点甲的距离与离开测试点甲的时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（   ） A．该机器人从测试点甲到测试点乙用了 B．该机器人在测试点乙处停留了 C．测试点乙与测试点丙之间的距离为 D．该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象正确获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．A根据时间=路程÷速度计算即可；B．根据A和图象计算即可；C．根据路程=速度×时间计算即可；D．根据速度=路程÷时间计算即可． 【详解】解：该机器人从测试点甲到测试点乙用了， ∴A正确，不符合题意； 该机器人在测试点乙处停留了， ∴B正确，不符合题意； 测试点乙与测试点丙之间的距离为， ∴C正确，不符合题意； 该机器人从测试点丙返回到测试点甲的速度为， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 10．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 作交于点，根据“”证明，，得到，，计算即可求解． 【详解】解：如图，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ，， ， ， 在和中， ， （） ， ． 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 【答案】2.8 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 13．（24-25七年级下·重庆·期末）已知的三边分别为，化简：__________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 首先根据三角三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可． 【详解】解：的三边分别为， ，， ， ， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂，熟练掌握并运用实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂是解题的关键． 首先根据任何数的0次幂都是1对a进行计算，再利用平方差公式对b进行化简计算，最后结合实数的奇偶次幂对c进行化简计算，再比较结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在直角三角形中，，，，是线段上的一个动点，当点从点向点运动时，运动到点停止，设，的面积为，则与之间的关系式为____． 【答案】 【分析】本题考查了用关系式表示两个变量的关系，三角形的面积，正确求出的长是解题的关键．过点作于点，根据直角三角形的面积公式求出的长，再根据的面积公式计算即可． 【详解】解：，，，， ， 过点作于点， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则_______． 【答案】或 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角的和差运算，先构建图形，再分两种情况求解即可. 【详解】解：如图，∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 如图， ∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：为或. 故答案为：或 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算积的乘方和幂的乘方，以及单项式乘以单项式，最后合并即可； （2）原式先计算有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂，再计算除法，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·山东济南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算、绝对值的非负性、偶次方的非负性，掌握整式的化简方法是解题关键． 先利用完全平方公式、平方差公式计算括号内的运算，再计算整式的除法，然后根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，最后代入求解即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 19．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图的应用和设计，中线，三角形全等，角平分线的性质，相似三角形的性质，掌握网格线的特征是解题的关键． （1）根据角平分线的性质作图； （2）根据中线性质作图； （3）根据全等三角形的性质作图． 【详解】（1） 如图，点D即为所求． （2） 如图，取中点为，连接即为所求． （3） 如图，，，，所以． 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）现有正面分别写有“最”“美”“乾”“县”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“乾”字的卡片有4张，写有“县”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“乾”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“乾”字卡片的概率为，求m的值． 【答案】(1)随机 (2) (3)4 【分析】本题考查事件的分类，根据概率公式求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【详解】（1）解：事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为随机事件． 故答案为：随机． （2）由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， 所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为． （3）由题意可知：，解得， 所以m的值为4． 21．（25-26八年级上·江西宜春·期末）王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40cm (3) 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：，，，， ， ，， ． 在和中， ； （2）解：由题意得：，． ， ，， ， 故两堵木墙之间的距离为． （3）解：依题意，四边形是梯形， ∴四边形的面积． 22．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： (1)该问题情境中，自变量是________________，因变量是________________； (2)在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是________________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________________米／分； (3)将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 600 800 (4)他们出发后_______________分钟，离山脚的相对高度是700米． 【答案】(1)出发后的时长；离山脚的相对高度y (2)15；20 (3)见解析 (4)60或105 【分析】本题主要考查了用函数图象表示变量之间的关系，解答时理清函数图象的意义是解题的关键． （1）由图即可求解； （2）根据速度，并结合图象即可求解； （3）根据他们的速度和运动时间，求出他们所处的高度即可； （4）根据图象分两种情况：他们登山时或下山时，离山脚的相对高度是700米时的出发时间即可． 【详解】（1）解：该问题情境中，自变量是出发后的时长x，因变量是离山脚的相对高度y； （2）解：在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度为： （米/分）； 他们下山的相对高度平均变化速度是： （米/分）； （3）解：出发20分钟时，离山脚的相对高度为（米）， 出发110分钟时，离山脚的相对高度为（米）； 将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 300 600 800 600 （4）解：在山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度是： （米/分）， （分钟）， 即他们出发后60分钟，离山脚的相对高度是700米； （分钟）， 即他们出发后105分钟，离山脚的相对高度是700米； 综上分析可知：他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的相对高度是700米． 23．（25-26七年级上·河南南阳·期末）（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）75；（2），理由见解析；（3）．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：75； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： ∵， ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)52 【分析】本题考查了完全平方式、完全平方公式、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得□，再结合完全平方式的定义计算即可得出结果； （2）由题意可得□，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （3）由（2）可知，，，由正方形的性质可得，，，，从而得出，，再结合阴影部分的面积为计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可得： □ ， ∵□是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：根据题意可得： □ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 25．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C B C A C D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．/度 12．2.8 13． 14． 15． 16．或 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(6分) 【详解】（1）解： ；..............3分 （2）解： ．..............6分 18．(6分) 【详解】解：原式 ，..............3分 ， ， 原式．..............6分 19．(6分) 【详解】（1） 如图，点D即为所求．..............2分 （2） 如图，取中点为，连接即为所求．..............4分 （3） 如图，，，，所以．..............6分 20．(6分) 【详解】（1）解：事件“随机抽取4张，全是写有‘县’字的卡片”为随机事件． 故答案为：随机．..............2分 （2）由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， 所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为．..............4分 （3）由题意可知：，解得， 所以m的值为4．..............6分 21．(8分) 【详解】（1）证明：，，，， ， ，， ． 在和中， ；..............3分 （2）解：由题意得：，． ， ，， ， 故两堵木墙之间的距离为．..............6分 （3）解：依题意，四边形是梯形， ∴四边形的面积．..............8分 22．(8分) 【详解】（1）解：该问题情境中，自变量是出发后的时长x，因变量是离山脚的相对高度y；..............2分 （2）解：在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度为： （米/分）； 他们下山的相对高度平均变化速度是： （米/分）；..............4分 （3）解：出发20分钟时，离山脚的相对高度为（米）， 出发110分钟时，离山脚的相对高度为（米）； 将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 300 600 800 600 ..............6分 （4）解：在山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度是： （米/分）， （分钟）， 即他们出发后60分钟，离山脚的相对高度是700米； （分钟）， 即他们出发后105分钟，离山脚的相对高度是700米； 综上分析可知：他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的相对高度是700米．..............8分 23．(8分) 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：75；..............2分 （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；..............5分 （3）．理由如下： ∵， ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴．..............8分 24．(12分) 【详解】（1）解：根据题意可得： □ ， ∵□是一个完全平方式， ∴， 解得；..............4分 （2）解：根据题意可得： □ ， ∵， ∴， ∴， ∴；..............8分 （3）解：由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ．..............12分 25．(12分) 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，..............4分 （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；..............8分 ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18．..............12分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $