专题03 期末复习压轴题22个考点（举一反三期末专项训练）七年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 聚焦期末压轴22个核心考点，以“题型归类-方法提炼-变式迁移”构建系统性训练体系，覆盖方程、不等式、几何三大模块逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填压轴篇|10考点，每考点1例3变式|参数求解（代入法/消元法）、几何性质应用（中线分面积/内角和公式）|从代数参数问题到几何计算，形成“概念-性质-应用”递进链| |解答压轴篇|12考点，含综合探究题|换元法解特殊方程组、不等式组参数范围确定、双角平分线模型|代数综合（方程与不等式结合）到几何综合（动态问题/面积探究），体现模型意识与推理能力|

专题03 期末复习压轴题22个考点 【新教材华东师大版】 【选填压轴篇】 2 【考点1 由一元一次方程的解求参数】 2 【考点2 由二元一次方程（组）的解求参数】 4 【考点3 二元一次方程（组）与几何图形综合】 6 【考点4 利用二/三元一次方程（组）解决实际问题】 10 【考点5 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 14 【考点6 方程组与不等式（组）综合应用】 16 【考点7 根据不等式的性质求取值范围】 20 【考点8 由三角形的中线求面积】 22 【考点9 由三角形的内(外)角和求角度】 27 【考点10 多边形内角和与外角和的综合】 30 【解答压轴篇】 33 【考点11 解特殊的一元一次方程】 33 【考点12 由一元一次方程的解求参数】 36 【考点13 一元一次方程的实际应用】 41 【考点14 二元一次方程组的特殊解法】 48 【考点15 求解二元一次方程组中的参数】 53 【考点16 二/三元一次方程组的应用】 57 【考点17 求一元一次不等式（组）中参数】 64 【考点18 解特殊不等式组】 69 【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 75 【考点20 三角形的中线与三角形面积有关的计算】 79 【考点21 与双角平分线有关的计算】 87 【考点22 图案设计】 96 【选填压轴篇】 【考点1 由一元一次方程的解求参数】 【例1】（25-26七年级上·重庆·期末）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过解方程得到关于的表达式，再根据为正整数确定的取值． 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 【变式1-1】已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案． 【详解】∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 【变式1-2】已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【变式1-3】（24-25七年级下·重庆万州·月考）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【考点2 由二元一次方程（组）的解求参数】 【例2】已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 【变式2-1】已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为______． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 【变式2-2】在一本书上写着方程组的解是，其中P，□被墨汁盖住了，不过，我们仍可解出P的数值为______. 【答案】- 【分析】将x=5代入x+y=1，可求得y的值，将x，y’的值代入x+py=2，即可求得p的值 【详解】解：将x=5代入x+y=1，得y=-4；将x=5，y=-4代入x+py=2中得：5-4p=2，解得p=- 【点睛】解答本题的突破口在于找到将x代入x+y=1中求得y，进而才可求P. 【变式2-3】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a=_____，b=_____，c=_____． 【答案】 ﹣2 ﹣2 ﹣2 【详解】分析：先把代入得 ，由方程组中第二个式子可得：c=-2，然后把解代入ax+by=-2即可得出答案． 解答：解：把代入， 得，解得，c=-2． 再把代入ax+by=-2， 得 ， 解得： ， 所以a=-2，b=-2，c=-2． 故答案为-2，-2，-2． 点评：本题考查了二元一次方程组的解，难度适中，关键是对题中已知条件的正确理解与把握． 【考点3 二元一次方程（组）与几何图形综合】 【例3】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中．若⑤为正方形，则②的周长为_____；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为______． 【答案】 8 1.4 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，利用整体代入求值． 设，，，，通过长方形的周长为16，则，求出⑤的长和宽为和，再通过⑤为正方形，即可求解②的周长为；长方形①的周长为9.4，则，得，由⑤的长和宽为和，即可求⑤的长与宽之差． 【详解】解：设，，，， ∵长方形的周长为16， ∴， 则⑤的长和宽为：和， 若⑤为正方形， 则， ∴， ∴， ∴②的周长为， 故答案为：8； ∵①的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵⑤的长和宽分别为和， ∴⑤的长与宽之差为， 故答案为：1.4． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O在上，与互补，平分平分，若与互余，则的度数为_______． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了角平分线、余角与补角、几何图形中的角度计算、二元一次方程组的应用等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 设，，由角平分线的定义可得，则；再根据与互余可得①；然后根据与互补可得②，①②联立求得x的值即可解答． 【详解】解：设，， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵与互余， ∴，即①； ∵与互补， ∴，即②， ①②联立可得：，解得：， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（2025八年级上·全国·专题练习）茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据图形中的等量关系列出方程组是解题的关键．设小盒茶叶的长为，宽为，根据图①和图②的包装情况列出方程组，求解出、，进而得出正方形礼盒的边长． 【详解】解：设小盒茶叶的长为，宽为． 由得，代入得 正方形礼盒边长为（） 故选：． 【变式3-3】现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a，b的方程组，解方程组得出a，b的值；利用a，b的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比． 【详解】解：根据题意、结合图形可得： ， 解得：， ∴阴影部分面积， 整个图形的面积， ∴阴影部分面积与整个图形的面积之比， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键． 【考点4 利用二/三元一次方程（组）解决实际问题】 【例4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第一次和第二次购买的总价建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级上·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是________元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是________元． 【答案】 79 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，二元一次方程组的应用，正确求解二元一次方程的整数解及利用整体思想求解二元一次方程组是解题的关键． 设B款丁香花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝，则可求出每种款式簪花各种花的用量，再根据三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为，可列出方程，化简得，可求得x与y的值，即可进一步求得答案；若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，可列方程组，求解方程组得，将此解代入计算，即得答案． 【详解】解：设B款丁香花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝， 则三款簪花的用量可列表为： A款 B款 C款 丁香花（枝） 3 x 海棠花（枝） 2 y 玉兰花（枝） 2 y 所以， 化简，得， ，， 可求得方程的正整数解为， 故C款簪花的成本是（元）； 故答案为：； 同时，A款簪花的成本是（）元，B款簪花的成本是（）元， 若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元， 则， ，得， ， 将代入①，得， 解得， ， 故C款簪花的成本是79元． 故答案为：，79． 【变式4-2】王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为___________．（每个组人数大于1人） 【答案】13 【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 【详解】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 【变式4-3】某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ） A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 【答案】B 【详解】解：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，有9天下雨， 即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨， ①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天； ②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天； 列方程组， 解得， 所以一共有11天， 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用． 【考点5 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例5】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 【变式5-1】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 【变式5-2】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的所有整数解的和为， ∴当整数解为时， ∴， ∴， ∴， 当整数解为时， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式5-3】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组有5个整数解， ∴， 解得，， ， 移项合并得，， ∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， 综上，， ∴的值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点6 方程组与不等式（组）综合应用】 【例6】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查根据不等式组的解集，一元一次方程的解求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解，得到关于的不等式组，求出的范围，再求出方程的解，根据方程有整数解，求出符合条件的整数的值，再求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴，整数解为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【变式6-2】若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先去掉绝对值符号，再通过对b分类讨论得结论． 解即可． 【详解】解：∵方程||x-a|-b|=5有解， ∴方程|x-a|-b=±5， 即|x-a|=b±5， （1）当b=-5时，即|x-a|=0或|x-a|=-10， ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=-10，此时方程无解． 所以当b=-5时，方程只有一个解； （2）当-5＜b＜5时，即b+5＞0，b-5＜0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＜0时，方程无解． 所以当-5＜b＜5时，方程有两个不相等解； （3）当b=5时，即|x-a|=0或|x-a|=10 ①|x-a|=0时，方程有一个解； ②|x-a|=10，此时方程有两个不相等解． 所以当b=5时，方程有三个解； （4）当b＞5时，即b±5＞0， ①b+5＞0时，方程有两个不相等解， ②b-5＞0时，方程有两个不相等解． 所以当b＞5时，方程有四个不相等解． 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【变式6-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出的取值范围，结合方程的解为自然数确定整数的具体整数值，最后求出它们的积． 【详解】解：解方程， ， 为自然数， ，且为的倍数，为奇数 ， 解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解， ， ，即或或， 当 时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 【考点7 根据不等式的性质求取值范围】 【例7】（25-26七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又 ， ， ． 又 ， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 【变式7-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．由条件可得，先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴， 解得：， 而， ， ∵， ， ∴ ， ， ， ， ∴t的取值范围是：． 故答案为：． 【变式7-2】若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，再求出不等式的解集，得出关于m的不等式，求出即可. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键. 【变式7-3】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 【考点8 由三角形的中线求面积】 【例8】如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积． 【详解】解：如图，连接、，设的面积为，    ， 的面积为，的面积为， 的面积为， , 的面积为，的面积为，的面积为， ， ，即的面积为2 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键． 【变式8-1】如图，已知分别为的边的中点，连接为的中线，连接．若，四边形的面积为20，则的边上的高为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、三角形的面积、三角形的高等知识点，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 如图：连接，设，边上高长为h，由三角形中线的性质得，，即得，，进而得，，即得到，再根据四边形的面积为得，解得，即得到，最后根据三角形面积公式求解即可， 【详解】解：如图：连接，设，边上高长为h， ∵为的中线， ∴点F为的中点， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，解得， ∴， ∴，解得：， ∴的边上的高为8. 故答案为8. 【变式8-2】（25-26七年级下·重庆·期末）在中，点D是边上一点，且，连接，点F为中点，连接并延长，交于点E．若，则 【答案】30 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：30． 【变式8-3】如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角形中线、三角形的面积，当两个三角形同底时，面积比等于高之比；当两个三角形同高时，面积比等于底之比．设，则，由可得，，设，则，于是，，利用列出方程，求得，则． 【详解】解：如图，连接， 是的中线， ，， 设， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ． 【考点9 由三角形的内(外)角和求角度】 【例9】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图是一个不规则的“五角星”，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是“数形结合”，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．根据三角形外角的性质得到，，再根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：如图所示；    故选：A． 【变式9-1】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，， 即和各增加， ∵， ∴当增加时，减小． 故选：D ． 【变式9-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，则 °； （2）直接写出、和之间存在的等量关系： ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据三角形的外角性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和性质求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． （2）．理由如下： ∵是的外角的平分线， ∴， 由三角形的外角性质得：，， ∴． 故答案为： ． 【变式9-3】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义. 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：C． 【考点10 多边形内角和与外角和的综合】 【例10】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键 利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于． 【详解】解：九边形内角和为， ∵有三个内角之和为， ∴剩下六个角之和为， 设其中一个角为，则剩下五个角之和为， ∵凸多边形每个内角都小于， ∴， 解得，，只有选项A不满足． 故选：A． 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角的求法，三角形内角和，求出每个正五边形和正方形的内角度数和每个外角度数． 【详解】解：如图所示： ∵正五边形的每个外角是，正方形的外角是， ∴， 又∵正五边形每个内角是，正方形的内角是， ∴， 故选：C． 【变式10-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和和外角和定理是解题的关键． 由完全拼成一个圆环需要的正六边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正六边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴正六边形每个外角的度数为：， ∴正六边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵n个全等的正六边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正n边形， ∴，解得：． 故答案为：5． 【变式10-3】如图1，___________度：利用图1得到的结果，求图2中五角星五个“角”的和，即___________度． 【答案】 360 180 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，三角形内角和定理，延长交于点D，根据多边形的外角的性质可求解，进而可求得的度数；利用及三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：如图1，延长交于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图2， 类比图1中的结论，由图2可得， ∵， ∴， 故答案为：360；180． 【解答压轴篇】 【考点11 解特殊的一元一次方程】 【例11】（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将原方程变形，整理即可求解． 【详解】解： 将方程变形得： 即 ， ． 【变式11-1】（24-25六年级上·上海·期末）解方程 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把原方程变形为，进一步变形得到，再去括号解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式11-2】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 先找零点，为，再分段去绝对值． 【详解】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 【变式11-3】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，两题有一定的难度． （1）先利用分数的基本性质把分子分母的小数化为整数，再去分母化为系数为整数的方程，再去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）利用乘法分配律可化为，再计算的值；由于每一个分数可拆成分母相邻的两个分数的差，最后即可求得的值，从而求解方程． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：； （2）解：原式可化为： 而 ， 即， 解得：． 【考点12 由一元一次方程的解求参数】 【例12】（25-26七年级上·山东日照·月考）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义求解； （2）根据“反对方程”的定义求出m和n的值，进而求积即可； （3）根据“反对方程”的定义写出方程的“反对方程”，求出两个方程的解，根据它们的解均为整数， 可得答案． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 根据定义，的“反对方程”应为， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 即方程与方程互为“反对方程”， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：方程的“反对方程”为， 解得：， 解得：， 方程与其“反对方程”的解都是整数， ∴是5的倍数，也是5的因数， ∴． 【变式12-1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将代入，求出m的值，然后代入求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求出，再根据已知得的值可能为，，1，2，进而即可得出m的值． 【详解】（1）解：根据题意，将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得； （2） 去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1： ， 该方程的解为整数，且m为整数， 的值可能为，，1，2， m的值可能为：0，1，3，4． 【变式12-2】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；     ①（      ） ②（      ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【分析】本题考查了新概念的理解，一元一次方程，正确理解题中的新概念，利用分类讨论的思想解题是关键． （1）根据“幸福方程”的概念，逐一判断即可； （2）根据“幸福方程”的概念，分类列方程，逐一解出即可； （3）根据“幸福方程”的概念，列出式子，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ②解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 【变式12-3】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，一元一次方程的解法，绝对值方程的应用； （1）由方程的解是，方程的解是，再利用新定义的含义计算并判断即可； （2）分别解方程，，再结合新定义可得：，即，进一步求解即可； （3）分别解方程，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即， ∴或， 解得：或； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【考点13 一元一次方程的实际应用】 【例13】（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】(1)甲队：千米/小时，乙队：千米/小时 (2)小时 【分析】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键． （1）设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可． （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作小时，完成了总量的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用求出甲的效率．设乙的效率为，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：（小时），根据工作效率工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间． 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时， （小时）， 2小时小时=小时， ， （千米/小时）， 答：甲队的行进速度是千米/小时，乙队的行进速度是千米/小时． （2）， 根据题意，设乙的工作效率为， （小时）， 答：乙队单独疏通这条公路的效率是小时． 【变式13-1】（25-26七年级上·江西南昌·月考）某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 (1)若购买350本这种经典名著，需花费___________元；若购买650本这种经典名著，需花费___________元； (2)某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ (3)该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量． 【答案】(1)3750；6000 (2)213本 (3)第一次购买的数量为550本 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据售价表计算即可； （2）求出购买量位于第二阶梯，用总价减去第一阶梯的总价，再除以第二阶梯的单价即可； （3）设第一次购买本，第二次购买本，分情况求解即可． 【详解】（1）解：若购买350本这种经典名著，需花费元； 若购买650本这种经典名著，需花费元； 故答案为：3750；6000； （2）解：元， 元， 因为， 所以购买数量在200本到500本之间 超过200本的部分花费： （元），对应数量为（本）． 总数量： （本）； （3）解：设第一次购买本，第二次购买本． 分情况计算： 若，则第二次，花费为： 第一次：； 第二次：； 总花费方程：，化简后等式不成立，排除； 若，则第二次（且200），花费为： 第一次：； 第二次：； 总花费方程：， 解得，符合条件． 答：第一次购买的数量为550本． 【变式13-2】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【答案】(1)40； (2)种商品40件 (3)580元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A种商品每件进价为a元，利用利润=售价-进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出A种商品每件的进价，再利用利润率利润进价，即可求出每件B种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，由题意得，再解方程即可； （3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分及两种情况考虑，根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种商品每件进价为a元， 依题意得：， 解得：， ∴A种商品每件进价为40元， 每件B种商品利润率为． 故答案为：40；． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得， 解得：． 即购进种商品件，种商品件． （3）设小华打折前应付款元． 当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即， 由题意得，解得， 当打折前购物金额超过600元，即， ， 解得：． 综上，小华在该商场购买同样商品要付元或元． 【变式13-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，甲、乙两台搬运机器人分别固定在数轴型仓库的8号货架（甲初始位置）和13号货架（乙初始位置），货架编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“货架间距”为单位（1个单位对应1个货架间距）．系统每次下达1条运输指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： ①协同搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向负方向移动2个单位； ②甲优先搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向正方向移动1个单位； ③乙优先搬运指令：甲向负方向移动2个单位，乙向负方向移动1个单位． (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令”后，甲、乙两台机器人之间的货架间距为 个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行k条运输指令 ①若，且两台机器人只执行“优先搬运指令”，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，甲最终停留的货架编号为 （用n的代数式表示）； ②若“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，最终停留的货架编号为 （用k、n的代数式表示）；若此时甲、乙的位置间距为3个货架单位，求所有符合条件的k值及对应的各类指令执行次数． 【答案】(1)17 (2)①；②；所有符合条件的k值为8或12或16；当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为3；当，时，“协同搬运指令”次数为8，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为8；当，时，“协同搬运指令”次数为4，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为1．当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为6 【分析】（1）根据“协同搬运指令”的移动方式列式求解即可； （2）①首先得到“乙优先搬运指令”执行次数为，然后列式求解即可； ②首先表示出“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数都为，“乙优先搬运指令”执行次数为，然后表示出甲最终停留的货架编号和乙最终停留的货架编号，然后根据甲、乙的位置间距为3个货架单位列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令” ∴甲移动后表示的数为，乙移动后表示的数为， ∴ ∴甲、乙两台机器人之间的货架间距为17个单位长度， 故答案为：； （2）解：①设“甲优先搬运指令”执行次数为n， ∴“乙优先搬运指令”执行次数为， ∴甲最终停留的货架编号为， 故答案为：； ②∵“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为， ∴“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数都为 ∵设“甲优先搬运指令”执行次数为n， ∴“乙优先搬运指令”执行次数为， ∴甲最终停留的货架编号为； ∴乙最终停留的货架编号为； ∵此时甲、乙的位置间距为3个货架单位， ∴ 整理得， ∵k和n都是正整数，且， ∴ ∴当时，整理得， ∴，或，， ∴“协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为； “协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为； 当时，整理得， ∴，或，， ∴“协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为； “协同搬运指令”次数为，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为； 综上所述，所有符合条件的k值为8或12或16； 当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为3； 当，时，“协同搬运指令”次数为8，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为8； 当，时，“协同搬运指令”次数为4，“甲优先搬运指令”执行次数为3，“乙优先搬运指令”执行次数为1． 当，时，“协同搬运指令”次数为6，“甲优先搬运指令”执行次数为0，“乙优先搬运指令”执行次数为6； 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴动点问题，列代数式等知识，解题的关键是正确读懂题意． 【考点14 二元一次方程组的特殊解法】 【例14】数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 【变式14-1】已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)没有，理由见详解 【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可； （2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答． 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【详解】（1）解：依题意， 由①得，，③ 将③代入②得， 整理得出，④ ∵方程组有无穷多组解 ∴且时， 即，则， ∴， （2）解：没有，理由如下： 由（1）得 ∵ ∴ 整理得 ①当时，即， ∵ ∴此时方程组为 则 ∵为整数 ∴原方程没有整数解 ②当时，即，此时， 若时，显然无解， 若时，，代入得 ∵a为整数， ∴不可能为整数， ∴原方程无整数解； 综上：原方程没有整数解 【变式14-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法比较简单： 得：，即③ 得：④ 得：，，代入③得． 所以这个方程组的解是． (1)请你运用小明的方法解方程组． (2)规律探究：猜想关于，的方程组，的解是______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得，再运用题目中的方法求解此方程组； （2）先得，再运用题目中的方法求解此方程组． 【详解】（1）解：， 得：，即， ：， 得，， 把代入得， 所以这个方程组的解是； （2）解： 得：， ∴， ∵， ∴， 得：， 得，， 把代入得， 这个方程组的解是． 【变式14-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 【考点15 求解二元一次方程组中的参数】 【例15】当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”． (1)判断点是否为“完美点”，并说明理由． (2)已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由． 【答案】(1)A（2，3）不是完美点．理由见解析 (2)m=．理由见解析 【分析】（1）根据完美点的定义判定即可； （2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：A（2，3）不是完美点．理由如下： 令， 解得 ， ∵， ∴A（2，3）不是完美点． （2）解：解关于x，y的方程组， 解得， 解关于a，b的方程组， 解得， ∵， ∴， ∴m=， ∴当m=时，点B（x，y）是完美点． 【点睛】本题考查二元一次方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 【变式15-1】（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 【变式15-2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________； (2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值； (3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入求出k的值即可； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 【变式15-3】（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 【考点16 二/三元一次方程组的应用】 【例16】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 【变式16-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【答案】(1)该食品厂到A地的距离是50 km，到B地的距离是100 km． (2)该食品厂买进原料220 t，卖出食品200 t． (3)卖出的食品每吨的售价是10000元． 【分析】（1）设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料，卖出食品，根据两次运输（第一次：地→食品厂，第二次：食品厂→地）共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式16-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 【变式16-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【问题背景】 巢湖素有“皖中明珠”之美誉，旅游度假资源丰富．某校八年级（1）班同学为了完成老师布置的综合与实践作业——制作《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》，分成了若干个学习小组，先通过携程、飞猪、美团、去哪儿等在线旅游平台提供的相关信息对巢湖市优质度假区、高档宾馆、精品民宿等三种不同类型的住宿资源进行了“金牌旅游住宿”的名称界定；然后，从中各选取两家通过电话咨询了解住宿的位置优势以及不同房间的基本住宿价格；最后，结合平台用户评分和商家电话介绍，在这三种住宿资源类型中均选择了假期预订量最高的家庭房进行了实地调查，希望给《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》的制作提供可靠的数据来源． 【材料收集与整理】 各学习小组在同一天奔赴不同金牌旅游住宿地进行调查，获取到度假区和高档宾馆类型的金牌旅游住宿均会结合市场需求根据房型实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨；精品民宿的定价也有淡季、旺季之分，但上涨比例相对灵活；通过各旅游平台下单、电话预定、现场订房的优惠差距可忽略不计．此外，不同类型的金牌旅游住宿费用差距较大，环境风格差异明显，消费群体有区别．具体材料如下： 材料一：度假区离巢湖市中心约15公里，离高铁站、高速公路收费站均在6公里以内．度假区的一房别墅住宿，可享受一站式家庭旅游体验，同时赠送温泉疗养项目，采用标准化管理．第一学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 度假区 淡季 旺季 未入住一房别墅间数 10 0 该房型日总收入（元） 9600 24000 材料二：高档宾馆在巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施、餐饮服务、交通服务等均符合标准化管理，品质有保障．第二学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 高档宾馆 淡季 旺季 未入住家庭房间数 5 0 该房型日总收入（元） 5600 10500 材料三：精品民宿距巢湖市中心约20公里，没有明确标注“家庭房”房型，但有适合亲子家庭的替代方案一：适合4个亲子家庭自行组团整体合租的集住宿、休闲、运动、书吧于一体的门庭小院，小院为稀缺型旅游住宿资源只有一座；方案二：在有儿童游乐和手工体验区的民宿公共区选择客栈标准间大床房组合（两者价格一样，各有20间可供选择）．第三学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 精品民宿 淡季 旺季 一座门庭小院价格 2000 2600 客栈标准间单价 300 360 【数据分析与运用】 任务1：（1）该度假区的一房别墅有多少间？一房别墅旺季每间价格为多少元？该高档宾馆旺季家庭房每间价格为多少元？ 任务2：（2）请通过计算说明该精品民宿旺季比淡季每间（座）上涨是否符合的标准？ 任务3：（3）如果有位游客在网络上看到了该校八（1）班同学分享的《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》视频，想在春节期间来巢湖亲子游，你会给他推荐哪种类型的金牌旅游住宿资源呢？请你说明理由． 【答案】（1）度假区一房别墅有20间，一房别墅旺季每间价格为1200元，高档宾馆旺季家庭房每间价格为700元 （2）精品民宿旺季门庭小院价格上涨30%，客栈标准间价格上涨20%，均不符合25%的标准 （3）推荐高档宾馆，理由是其位于巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施等齐全且品质有保障，旺季每间价格700元较为适中（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）设该度假区的一房别墅有y间，淡季的房价为x元，根据题意，得 ，解方程组即可得解；设该高档宾馆淡季家庭房每间价格为m元，共有n间，根据题意，得，解方程组即可得解； （2）设一座门庭小院价格上涨，客栈标准间单价上涨，根据题意，得 ，，比较解答即可； （3）只要合理即可答案不唯一． 【详解】（1）解：设该度假区的一房别墅有y间，淡季的房价为x元，根据题意，得 ， 解得， 故， 故度假区一房别墅有20间，一房别墅旺季每间价格为1200元； 设该高档宾馆淡季家庭房每间价格为m元，共有n间，根据题意，得， 解得， 故， 故高档宾馆旺季家庭房每间价格为700元； （2）解：设一座门庭小院价格上涨，客栈标准间单价上涨，根据题意，得 ，， 解得，， 故精品民宿旺季门庭小院价格上涨30%，客栈标准间价格上涨20%，均不符合25%的标准； （3）解：推荐高档宾馆，理由是其位于巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施等齐全且品质有保障，旺季每间价格700元较为适中（答案不唯一，合理即可） 【考点17 求一元一次不等式（组）中参数】 【例17】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【答案】（1）①③；（2）2x﹣2＝0；（3）0≤m＜1． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）解不等式组求得其整数解，根据子集方程的定义写出一个解为1的方程即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解方程x﹣3＝0，得：x＝3， 解方程2x+1＝0，得：x＝﹣， 解方程x﹣（3x+1）＝﹣5，得：x＝2， 解不等式组：， 得：＜x＜， 所以不等式组：， 子集方程是①③， 故答案为：①③； （2）解不等式2x﹣1＜3，得：x＜2， 解不等式3x+1＞﹣x﹣5，得：x＞﹣， 则不等式组的解集为：﹣＜x＜2， ∴其整数解为：﹣1、0、1， 则该不等式组的一个子集方程为：2x﹣2＝0． 故答案为：2x﹣2＝0； （3）解关于x的不等式组的得：m＜x≤m+2， ∵方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程， ∴0≤m＜1． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解子集方程的定义是解题的关键． 【变式17-1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 【变式17-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题为新定义问题，考查了解不等式，解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组等知识﹒ （1）解方程得，分别解不等式①②③，根据“梦想解”定义逐一判断即可求解； （2）解二元一次方程组得，进而求出，根据题意得即可得到，从而求出求的取值范围﹒ 【详解】（1）解：解方程得， 解不等式得，故方程的解不是不等式①的梦想解； 解不等式得，故方程的解不是不等式②的梦想解； 解不等式得，故方程的解是不等式③的梦想解﹒ 故答案为：③； （2）解：解二元一次方程组 得， ∴， ∵方程组和不等式有“梦想解”， ∴， ∴﹒ 【变式17-3】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1． （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 【考点18 解特殊不等式组】 【例18】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①；② 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：C到B的距离为； A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； （2）表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且为； （3）①的解集为或， 故答案为：或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或．    【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握绝对值的意义，理解题意，分类讨论是解题的关键． 【变式18-1】小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的应用以及求解一元一次不等式组，注意计算的准确性即可． （1）求解绝对值方程，即可； （2）由可得，求解绝对值方程，即可； （3）解不等式组可得，（2）中的绝对值不等式的整数解为，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵当或时，， ∴的解集是或 故答案为：或 （2）解：由可得：， 令，解得：或 ∴绝对值不等式的解集是： （3）解：解不等式组可得： ∵绝对值不等式的整数解为：， ∴， 解得： 【变式18-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)不等式的解集是______． (3)若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 【答案】(1)；或； (2)或 (3)． 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、绝对值、有理数大小比较，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，从而，由，则或，即可判断得解； （2）依据题意，从数轴上看，当时，取最小值为4，故当或时，，即可判断得解； （3）依据题意，方程的解，即到3的距离和到-4的距离之差为a的点对应的数，从而的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围，再分、和三种情形讨论，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， ， 或 故答案为：；或 （2）由题意，从数轴上看，当时，取最小值为4， 当或时， 不等式 的解集是或 故答案为：或． （3）方程的解，即到3的距离和到的距离之差为a的点对应的数， 则的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围， ①当时，不等式， ②当时，不等式，又，，， ③当时，不等式， 综上， 故答案为： 【变式18-3】阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) (3) 【分析】（1）根据题意即可得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得； （3）先解不等式组求出的取值范围为，根据第（2）得到的不等式得出x只能取2和3两个整数，所以且，从而求出的取值范围； 【详解】（1）①的解集为：或； ②的解集为：； 故答案为：①或；②； （2）∵， ∴，即 ∴的解集可表示为， 解得， ∴的解集为； （3）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 由于（2）的整数解是2和3， ∴且， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组含参问题，熟练掌握一元一次不等式的基本步骤和绝对值的性质是解题的关键． 【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 【例19】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 【变式19-1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 【答案】(1)精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元 (2)该超市精装版冬酿酒至少进100瓶 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出对应的方程或不等式是解题的关键． （1）根据题意设出未知数，再根据购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元，列出方程即可求解； （2）根据题意设出未知数，再根据总利润不低于3700元，列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设简装版冬酿酒每瓶的售价为x元，则精装版冬酿酒每瓶的售价为元， 根据题意可得：， 解得：，则， ∴精装版冬酿酒每瓶售价60元，简装版冬酿酒每瓶售价22元； （2）解：设该超市购进精装版冬酿酒m瓶，则购进简装版冬酿酒瓶， 根据题意可得：， 解得：， ∴该超市精装版冬酿酒至少进100瓶． 【变式19-2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【答案】(1)甲种产品生产6件，乙种产品生产4件 (2)生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 获得最大利润时的方案是甲生产3件乙生产7件，利润17万元 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式组以及一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设生产甲种产品件，则生产乙种产品有件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解； （2）根据总成本不超过41万元和总利润大于14万元列不等式组，求出x的取值范围，得到整数解即为生产方案，然后设利润为y，建立y关于x的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设生产甲种产品x件，则生产乙种产品件， 由题意得， 解得：， 则（件） 所以甲种产品生产6件，乙种产品生产4件； （2）解：设应生产甲种产品x件，则生产乙种产品有件，由题意有： ， 解得：， ∵为整数， ∴或4或5， ∴生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 设总利润为y万元 由题意得，， ∵ ∴y随x的增大而减小，即可得，甲产品生产越少，获利越大， 所以当甲生产3件乙生产7件时可获得最大利润，其最大利润为（万元）． 【变式19-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 【考点20 三角形的中线与三角形面积有关的计算】 【例20】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等，理由见解析 (3)，，，理由见解析 【分析】本题考查了三角形中线平分面积． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断面积相等，面积相等，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离，所以两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ． （3）解：，，， 理由如下： 由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，． 【变式20-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，是的中点，于点． (1)若平分，，，求的度数． (2)若，且的面积，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)m 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，三角形中线的性质． （1）根据三角形内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和得到，最后根据计算即可； （2）根据是的中点得到，根据得到，最后根据即可得到． 【详解】（1）解：，，， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）解：是的中点， ，． ， ． ， ． 【变式20-2】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，于点E，，平分． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，的面积是15，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形中线等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）角平分线的定义，对顶角相等结合等角的余角相等可得，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：连接，证明得到，进而得到三角形的中线得到，进而得到，最后根据面积的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 如图：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∴． ∴的面积=． 【变式20-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，，，延长交直线于． (1)如图，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，若，求的度数； (3)如图，在（2）的条件下，连、，取中点，连交于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据角的等量代换易证，从而证明，得到，再根据外角的性质分别表示出，，结合对顶角相等即可证明； （2）同（1）可证得，进而得到，设交于，过作，交的延长线于，于，则，易证 ， 得到， 根据，， 利用角平分线的判定定理可得， 从而可求得的度数． （3）延长至，使，连接，设与的交点为，易证，得到，，，从而得到，根据外角的性质、内角和定理进行角的等量代换可得，从而证得，得到，结合，等量代换易证，即，根据是的中点，可得，进而得到，结合，即可求得的长． 【详解】（1）解：如图所示，设与的交点为， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：， ，即， 在和中， ， ， ， 如图，设交于，过作，交的延长线于，于，则， ，， ， ，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． （3）解：如图，延长至，使，连接，设与的交点为， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的中点， ， ， 又， ． 【考点21 与双角平分线有关的计算】 【例21】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图1，在中，的两条角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点． (1)探究与的数量关系． (2)如图2，若． （i）求证：． （ii）连接，求证：（提示：夹在两条平行线之间的垂直线段相等） 【答案】(1) (2)（i）见解析；（ii）见解析 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出则，根据三角形内角和定理即可求解； （2）（i）先证明，结合角平分线的定义可得 根据，即可证明； （ii）设与交于点，连接，证明，进而证明，结合全等的性质可得，最后根据进行恒等变换后即可得证． 【详解】（1）解： 平分平分， （2）证明：（i）， ∴由（1）可得． 平分， 在和中， （ii）如图，设与交于点，连接， 由（i）可知， 即． 在和中， ， 由（i）得， ∵夹在两条平行线之间的垂直线段相等， 【变式21-1】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得，根据角平分线性质得，根据平行线的性质得，根据垂直定义得，根据直角三角形锐角性质得，根据角平分线性质得，由三角形内角和定理得； （2）由八字模型可得，和中，，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由： 由八字模型可得，和中， ． （3）解：．理由： 由四边形的内角和得， ． 【点睛】本题主要考查四边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 【变式21-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，    为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【变式21-3】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． 【探究】 （1）如图1，平分，平分． ①若．则________°． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展】 （2）如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 【答案】（1）①，②不变，（2）不变， 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）①先由角平分线求出，再结合垂直求出，最后由角平分线求出  ； ②利用角平分线性质和三角形内角和定理，推导与  的关系，进而求出其度数； （2）因为平分，所以，因为平分，所以，由三角形外角性质可知，即 ，再次利用外角性质可知，代入化简即可求得的大小是一个定值。 【详解】解（1）①平分，且， ∴， ∵直线与互相垂直， ∴， ∴。 ， ∵平分， ∴。 故答案为：； ②的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴，。 ∴。 ； （2）的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分， ∴； ∵平分， ∴， ． 故的大小不变，为． 【考点22 图案设计】 【例22】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）在综合实践课上，小红想在学校一块正方形空地中分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块： ①分割后的整个图形是中心对称图形； ②四块图形的形状相同； ③四块图形的面积相等． 请帮助小红在下面的正方形中画出同时满足上述三个要求的4种不同分割方案．（不写作法） 【答案】 【分析】此题主要考查正方形中心对称和轴对称的性质，熟练掌握其性质是做题的关键．根据正方形中心对称和轴对称的性质，进行画图即可． 【详解】解：根据题意，如图所示： 从以上方案任选4种即可． 【变式22-1】（25-26七年级上·上海宝山·期末）在方格图中，三角形三个顶点均在格点上，如图所示． (1)先将三角形绕点顺时针旋转后得到三角形；再将三角形向右平移10个单位后得到三角形．请在方格图中画出三角形和三角形． (2)三角形和三角形在位置上是否存在特殊的对称关系？若存在，请说明它们是轴对称还是中心对称，并写出对称轴或对称中心． (3)如果再将三角形再按相同的方式进行旋转、平移……多次重复操作后，得到的图形是一个______（填“二方连续纹样”或“四方连续纹样”）． 【答案】(1)见解析 (2)存在；中心对称；对称中心为点 (3)二方连续纹样 【分析】本题考查了画旋转图形与画图形的平移，理解这两种变换的性质是关键； （1）根据画旋转图形与平移图形的方法进行即可； （2）根据所画出的两个图形的位置即可作出判断； （3）由变换知，图形只能在水平方向延伸，因而是二方连续纹样． 【详解】（1）解：三角形和三角形如下图所示； （2）解：三角形和三角形在位置上成中心对称，对称中心为点； （3）解：由题意知，得到的图形相当于把三角形与三角形组成的图形每次向右平移10个单位长度，因而得到的是二方连续纹样的图形； 故答案为：二方连续纹样． 【变式22-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑．观察图①、图②的特征，回答下列问题： (1)图①和图②共同的特征是__________； (2)请你在图③、图④中设计出与图①、图②特征相同的图形． 【答案】(1)既是轴对称图形，又是中心对称图形； (2)见解析． 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，掌握中心对称的性质是解题关键． （1）观察图①和图②，发现它们既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）根据轴对称和中心对称的特征，在图③④中设计出既是轴对称又是中心对称的图形即可． 【详解】（1）解：既是轴对称图形，又是中心对称图形； （2）解：设计的图形如图③、图④所示（答案不唯一）． 【变式22-3】（1）请你沿着图1中的虚线，用两种方法将图1划分为两个全等的图形； （2）如图2，是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴（所画的三个图形不能全等） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】(1)根据全等图形的概念，可先从面积上考虑将图形分形大小相等的两块，然后从形状上考虑，所分成的两部分必须形状相同即可，注意答案不唯一； (2)根据轴对称图形的概念，添加部分与原来的能构成轴对称图形即可． 【详解】(1)如图： (2)如图： 【点睛】本题考查的是全等图形和轴对称图形的应用，关键是掌握全等图形和轴对称图形的概念． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期末复习压轴题22个考点 【新教材华东师大版】 【选填压轴篇】 1 【考点1 由一元一次方程的解求参数】 1 【考点2 由二元一次方程（组）的解求参数】 2 【考点3 二元一次方程（组）与几何图形综合】 2 【考点4 利用二/三元一次方程（组）解决实际问题】 4 【考点5 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 5 【考点6 方程组与不等式（组）综合应用】 5 【考点7 根据不等式的性质求取值范围】 5 【考点8 由三角形的中线求面积】 6 【考点9 由三角形的内(外)角和求角度】 7 【考点10 多边形内角和与外角和的综合】 8 【解答压轴篇】 9 【考点11 解特殊的一元一次方程】 9 【考点12 由一元一次方程的解求参数】 9 【考点13 一元一次方程的实际应用】 10 【考点14 二元一次方程组的特殊解法】 12 【考点15 求解二元一次方程组中的参数】 13 【考点16 二/三元一次方程组的应用】 14 【考点17 求一元一次不等式（组）中参数】 17 【考点18 解特殊不等式组】 18 【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 20 【考点20 三角形的中线与三角形面积有关的计算】 22 【考点21 与双角平分线有关的计算】 23 【考点22 图案设计】 25 【选填压轴篇】 【考点1 由一元一次方程的解求参数】 【例1】（25-26七年级上·重庆·期末）已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【变式1-1】已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·重庆万州·月考）若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【考点2 由二元一次方程（组）的解求参数】 【例2】已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2-1】已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为______． 【变式2-2】在一本书上写着方程组的解是，其中P，□被墨汁盖住了，不过，我们仍可解出P的数值为______. 【变式2-3】两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a=_____，b=_____，c=_____． 【考点3 二元一次方程（组）与几何图形综合】 【例3】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中．若⑤为正方形，则②的周长为_____；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为______． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O在上，与互补，平分平分，若与互余，则的度数为_______． 【变式3-2】（2025八年级上·全国·专题练习）茶园现有两种包装礼盒，两种礼盒均可装盒一样的小盒茶叶．若装在如图①所示的长方形礼盒中，刚好装满；若装在如图②所示的正方形礼盒中，中间会留一个边长为的小正方形空隙．则图②中正方形礼盒的边长为（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为(　　) A． B． C． D． 【考点4 利用二/三元一次方程（组）解决实际问题】 【例4】（25-26七年级上·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【变式4-1】（24-25七年级上·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是________元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是________元．【变式4-2】王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为___________．（每个组人数大于1人） 【变式4-3】某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ） A．9天 B．11天 C．13天 D．22天 【考点5 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例5】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【变式5-2】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是 ． 【变式5-3】已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ． 【考点6 方程组与不等式（组）综合应用】 【例6】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【变式6-1】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【变式6-2】若关于的方程有解，则的取值范围是 ． 【变式6-3】（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【考点7 根据不等式的性质求取值范围】 【例7】（25-26七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是 ． 【变式7-1】（25-26七年级下·福建龙岩·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【变式7-2】若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【考点8 由三角形的中线求面积】 【例8】如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】如图，已知分别为的边的中点，连接为的中线，连接．若，四边形的面积为20，则的边上的高为 ． 【变式8-2】（25-26七年级下·重庆·期末）在中，点D是边上一点，且，连接，点F为中点，连接并延长，交于点E．若，则 【变式8-3】如图1，点D在边上，我们知道若，则；反之亦然．如图2，是的中线，点F在边上，相交于点O，若，则 ． 【考点9 由三角形的内(外)角和求角度】 【例9】（25-26八年级上·上海松江·月考）如图是一个不规则的“五角星”，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【变式9-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，则 °； （2）直接写出、和之间存在的等量关系： ． 【变式9-3】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点10 多边形内角和与外角和的综合】 【例10】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，一个正五边形和一个正方形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点B，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为________． 【变式10-3】如图1，___________度：利用图1得到的结果，求图2中五角星五个“角”的和，即___________度． 【解答压轴篇】 【考点11 解特殊的一元一次方程】 【例11】（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）解方程： 【变式11-1】（24-25六年级上·上海·期末）解方程 【变式11-2】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【变式11-3】解方程： (1) (2) 【考点12 由一元一次方程的解求参数】 【例12】（25-26七年级上·山东日照·月考）定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【变式12-1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【变式12-2】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”；     ①（      ） ②（      ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【变式12-3】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【考点13 一元一次方程的实际应用】 【例13】（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【变式13-1】（25-26七年级上·江西南昌·月考）某书店为促销经典名著，按购买数量分三部分制定阶梯售价，如下表： 购买数量 单价 不超过200本的部分 12元/本 超过200本但不超过500本的部分 9元/本 超过500本的部分 6元/本 (1)若购买350本这种经典名著，需花费___________元；若购买650本这种经典名著，需花费___________元； (2)某学校为丰富图书馆藏书，花了2517元从该书店购买这种经典名著，则该校购买了多少本经典名著？ (3)该校教务处先为初一学生购买一批经典名著作为课外读物，后来又为初二学生追加购买了一批，两次共购买了900本，其中第一次购买的数量超过450本，且小于700本，两次共花费9150元，求第一次购买的数量． 【变式13-2】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【变式13-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，甲、乙两台搬运机器人分别固定在数轴型仓库的8号货架（甲初始位置）和13号货架（乙初始位置），货架编号沿数轴正方向递增，机器人仅沿数轴正/负方向移动，每次移动以“货架间距”为单位（1个单位对应1个货架间距）．系统每次下达1条运输指令，指令类型分为三类，各类指令对应的机器人移动规则唯一且固定： ①协同搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向负方向移动2个单位； ②甲优先搬运指令：甲向正方向移动2个单位，乙向正方向移动1个单位； ③乙优先搬运指令：甲向负方向移动2个单位，乙向负方向移动1个单位． (1)从初始位置出发，仅执行1条“协同搬运指令”后，甲、乙两台机器人之间的货架间距为 个单位长度； (2)从初始位置出发，累计执行k条运输指令 ①若，且两台机器人只执行“优先搬运指令”，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，甲最终停留的货架编号为 （用n的代数式表示）； ②若“协同搬运指令”次数与“优先搬运类指令”总次数的比为，设“甲优先搬运指令”执行次数为n，最终停留的货架编号为 （用k、n的代数式表示）；若此时甲、乙的位置间距为3个货架单位，求所有符合条件的k值及对应的各类指令执行次数． 【考点14 二元一次方程组的特殊解法】 【例14】数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【变式14-1】已知关于的方程组，其中，为整数． (1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值； (2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由． 【变式14-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法比较简单： 得：，即③ 得：④ 得：，，代入③得． 所以这个方程组的解是． (1)请你运用小明的方法解方程组． (2)规律探究：猜想关于，的方程组，的解是______． 【变式14-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【考点15 求解二元一次方程组中的参数】 【例15】当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”． (1)判断点是否为“完美点”，并说明理由． (2)已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由． 【变式15-1】（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【变式15-2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________； (2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值； (3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【变式15-3】（25-26七年级上·福建莆田·期末）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【考点16 二/三元一次方程组的应用】 【例16】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【变式16-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【变式16-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【变式16-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）综合与实践 【问题背景】 巢湖素有“皖中明珠”之美誉，旅游度假资源丰富．某校八年级（1）班同学为了完成老师布置的综合与实践作业——制作《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》，分成了若干个学习小组，先通过携程、飞猪、美团、去哪儿等在线旅游平台提供的相关信息对巢湖市优质度假区、高档宾馆、精品民宿等三种不同类型的住宿资源进行了“金牌旅游住宿”的名称界定；然后，从中各选取两家通过电话咨询了解住宿的位置优势以及不同房间的基本住宿价格；最后，结合平台用户评分和商家电话介绍，在这三种住宿资源类型中均选择了假期预订量最高的家庭房进行了实地调查，希望给《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》的制作提供可靠的数据来源． 【材料收集与整理】 各学习小组在同一天奔赴不同金牌旅游住宿地进行调查，获取到度假区和高档宾馆类型的金牌旅游住宿均会结合市场需求根据房型实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨；精品民宿的定价也有淡季、旺季之分，但上涨比例相对灵活；通过各旅游平台下单、电话预定、现场订房的优惠差距可忽略不计．此外，不同类型的金牌旅游住宿费用差距较大，环境风格差异明显，消费群体有区别．具体材料如下： 材料一：度假区离巢湖市中心约15公里，离高铁站、高速公路收费站均在6公里以内．度假区的一房别墅住宿，可享受一站式家庭旅游体验，同时赠送温泉疗养项目，采用标准化管理．第一学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 度假区 淡季 旺季 未入住一房别墅间数 10 0 该房型日总收入（元） 9600 24000 材料二：高档宾馆在巢湖市中心3公里以内，出行观光便利，亲子设施、运动设施、餐饮服务、交通服务等均符合标准化管理，品质有保障．第二学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 高档宾馆 淡季 旺季 未入住家庭房间数 5 0 该房型日总收入（元） 5600 10500 材料三：精品民宿距巢湖市中心约20公里，没有明确标注“家庭房”房型，但有适合亲子家庭的替代方案一：适合4个亲子家庭自行组团整体合租的集住宿、休闲、运动、书吧于一体的门庭小院，小院为稀缺型旅游住宿资源只有一座；方案二：在有儿童游乐和手工体验区的民宿公共区选择客栈标准间大床房组合（两者价格一样，各有20间可供选择）．第三学习小组获取某两天的相关记录如表所示： 精品民宿 淡季 旺季 一座门庭小院价格 2000 2600 客栈标准间单价 300 360 【数据分析与运用】 任务1：（1）该度假区的一房别墅有多少间？一房别墅旺季每间价格为多少元？该高档宾馆旺季家庭房每间价格为多少元？ 任务2：（2）请通过计算说明该精品民宿旺季比淡季每间（座）上涨是否符合的标准？ 任务3：（3）如果有位游客在网络上看到了该校八（1）班同学分享的《巢湖市金牌旅游住宿资源推介》视频，想在春节期间来巢湖亲子游，你会给他推荐哪种类型的金牌旅游住宿资源呢？请你说明理由． 【考点17 求一元一次不等式（组）中参数】 【例17】如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【变式17-1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【变式17-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式__________的“梦想解”．（填序号） (2)若关于，的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，求的取值范围． 【变式17-3】（25-26七年级下·江苏淮安·月考）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【考点18 解特殊不等式组】 【例18】认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么C到B的距离为______，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当x取何值时，有最小值，最小值是多少? (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：    由图可得出：绝对值不等式的解集是或；绝对值不等式的解集，是，则：不等式的解集是______； ②利用数轴解不等式，并加以说明． 【变式18-1】小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图7所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A，B之间的点（不包括点A，B）表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)的解集是______； (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围． 【变式18-2】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)不等式的解集是______． (3)若对任意的x都成立，则a的取值范围是______． 【变式18-3】阅读下面材料： 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集． ①的解集是_______________； ②解集是_______________． (2)求绝对值不等式的解集． (3)如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于的不等式组的解，求的取值范围． 【考点19 一元一次不等式（组）的应用】 【例19】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【变式19-1】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）冬酿酒之于苏州人，犹如香槟酒之于法国人．两者同样需要依照时令产出，就算在苏州本地，冬酿酒也只在冬至前后供应．某超市计划试销两种包装规格的预包装冬酿酒（简装版、精装版），已知精装版冬酿酒每瓶售价比简装版贵38元，购买20瓶精装版和50瓶简装版的总费用为2300元． (1)求精装版和简装版冬酿酒每瓶的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每瓶进价为30元，简装版冬酿酒每瓶进价为15元，超市计划购进两种包装共200瓶，要求试销总利润不低于3700元，该超市精装版冬酿酒至少进多少瓶？ 【变式19-2】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【变式19-3】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【考点20 三角形的中线与三角形面积有关的计算】 【例20】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【变式20-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，是的中点，于点． (1)若平分，，，求的度数． (2)若，且的面积，求的值．（用含的式子表示） 【变式20-2】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，于点E，，平分． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，的面积是15，求的面积． 【变式20-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，，，延长交直线于． (1)如图，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图，连接，若，求的度数； (3)如图，在（2）的条件下，连、，取中点，连交于点，若，，求的长． 【考点21 与双角平分线有关的计算】 【例21】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图1，在中，的两条角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点． (1)探究与的数量关系． (2)如图2，若． （i）求证：． （ii）连接，求证：（提示：夹在两条平行线之间的垂直线段相等） 【变式21-1】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，点在边上，于点，为的角平分线，的平分线交于点． (1)如图1，延长，交于点，若，，求的度数． (2)如图2，当，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由． (3)如图3，若，与线段交于点，用含的代数式表示，并说明理由． 【变式21-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【变式21-3】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． 【探究】 （1）如图1，平分，平分． ①若．则________°． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展】 （2）如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 【考点22 图案设计】 【例22】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）在综合实践课上，小红想在学校一块正方形空地中分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块： ①分割后的整个图形是中心对称图形； ②四块图形的形状相同； ③四块图形的面积相等． 请帮助小红在下面的正方形中画出同时满足上述三个要求的4种不同分割方案．（不写作法） 【变式22-1】（25-26七年级上·上海宝山·期末）在方格图中，三角形三个顶点均在格点上，如图所示． (1)先将三角形绕点顺时针旋转后得到三角形；再将三角形向右平移10个单位后得到三角形．请在方格图中画出三角形和三角形． (2)三角形和三角形在位置上是否存在特殊的对称关系？若存在，请说明它们是轴对称还是中心对称，并写出对称轴或对称中心． (3)如果再将三角形再按相同的方式进行旋转、平移……多次重复操作后，得到的图形是一个______（填“二方连续纹样”或“四方连续纹样”）． 【变式22-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑．观察图①、图②的特征，回答下列问题： (1)图①和图②共同的特征是__________； (2)请你在图③、图④中设计出与图①、图②特征相同的图形． 【变式22-3】（1）请你沿着图1中的虚线，用两种方法将图1划分为两个全等的图形； （2）如图2，是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴（所画的三个图形不能全等） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $