贵州黔西南州顶兴高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（基础）

**基本信息** 顶兴高级中学2026春高二期中数学试卷，聚焦导数、数列、圆锥曲线、立体几何核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与建模，解答题综合极值、切线、空间几何证明及存在性探究，体现数学思维与语言应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数运算（第2题）、等差数列求和（第3题）|基础概念辨析，覆盖核心知识点| |多选题|3/18|导函数图象分析单调性（第9题）|选项分层，考查思维严谨性| |填空题|3/15|双曲线渐近线（第12题）、等比数列求和（第13题）|简洁考查公式应用| |解答题|5/77|导数极值与切线（第15题）、立体几何存在性探究（第18题）|多问递进，从基础证明到创新应用|

T￥-T-026”..§°，T一8 班级： 姓名： " 贴条形码区 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签 字笔填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、保持卡面清洁，不要折叠，不 要弄破。 -i.-0正.☐ 单选题(40分) A□B□CDI 5 A□B□CDI 2A□B□G]D□ 6 AOBCD 3 A□B□CDI 7 A□B□CD 4A☐B□CD□8 A□B□CIDI 、 多选题(18分)》 9A□B□C□D 10A□B□C□D□ 11A□B□CD□ 三、 填空题(15分) 12. 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第1页（共6页） 1 四、 解答题(77分) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第2页（共6页） ■ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第3页（共6页） 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第4页（共6页） 1 18.(17分) R B以 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第5页（共6页） ■ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第6页（共6页）顶兴高级中学2026春季学期高二期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.设fx)是可导函数，且mo+0f0=-2,则fxo)=() X→0 △x A.2 B.-1 C.1 D.-2 2.下列求导运算结果不正确的是() A.(月=-3 B.(cosx)=sinx C.(ex)=ex D.)'-是 3.己知等差数列{an}的前n项和为Sm,且ag+a10+a11=12,则S19=() A.76 B.68 C.38 D.34 4.圆x2+y2-8x+6y+20=0的圆心坐标和半径分别是(). A.(-4,3),r=5 B.(4,-3),r=5 C.(-4,3),r=V5 D.(4,-3),r=5 5.已知椭圆+号=1，其左有焦点分别为F,F点P是椭圆E上任意一点，则△PFF,的月长为 3 () A.2 B.4 C.6 D.以上答案均不正确 6.函数f(x)=x2+nx在点(1,1)处的切线方程是() A.3x-y-2=0 B.2x-y-2=0 C.3x+y-2=0 D.2x+y-2=0 7.函数f(x)=x2-2x-4nx的单调递增区间为() A.(0,+∞) B.(-1,0)U(2,+∞) C.(2,+0) D.(-1,0) 8.己知y=f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1,f(x)>1,则f(x)>x的解集是() A.(0,1) B.(-1,0)U(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞，-1)U(1,+∞) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数y=f(x),其导函数y=f(x)的图象如图所示，则关于y=f(x)的论述错误的是() A.在(-∞，0)上为减函数 B.在x=0处取极小值 C.在(1,2)上为减函数 D.在x=2处取极大值 试卷第1页，共4页 10.下列求导运算正确的有（) A.(网=a B.(xlnx)=Inx+1 C.(cos(4x-5)）=-4sin(4x-5) D.(x3-=3x2+是 11.己知函数f(x)=x3-3x2+2,则下列结论正确的是（) A.f(x)在(0,2)上单调递减 B.f(x)的极大值为2 C.f(x)有三个零点 D.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.双曲线6-号=1的两条渐近线的方程为 13.记S,n为等比数列{a}的前n项和.若a1=2,S2=-2,则Ss= 14.已知函数f(x)的导函数为f(),且f()=2xf'(写+2simx,则f'(得= 四、解答题：本题共5小题(13分、15分、15分、17分、17分)，共77分. 15.已知函数f(x)=lnx-ax+b在x=2处取得极值为n2. (1)求a,b的值： (2)求在点(1，f(1)处的切线方程 试卷第2页，共4页 16.设等差数列{a}的前n项和为Sn,已知a2+S3=12,a5=9. (1)求{an}的通项公式： (2)求数列{1一}的前n项和Tm: anant1 17.己知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数fx)的一个极值点， (1)求函数f(x)的单调区间： (2)当x∈[-1,2]时，求函数f(x)的最小值. 试卷第3页，共4页 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=∠ADP=90°， 且AB=PB=2,PA=2V2,BC=CD=1,E为PA中点. (1)证明：DE//平面PBC: (2)证明：PBI平面ABCD: (3)在线段PD上是否存在点M,使得平面MAB与平面MBC夹角的余弦值为？若存在，求出点M的位置： 若不存在，请说明理由 B 19.已知函数f(x)=x2-ax+lnx,a∈R. (1)若函数f(x)在(1，f(1))处的切线垂直于y轴，求实数a的值： (2)在(1)的条件下，求函数f(x)的单调区间： (3)若x>1时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 试卷第4页，共4页 顶兴高级中学2026春季学期高二期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．设是可导函数，且，则（     ） A．2 B． C．1 D． 2．下列求导运算结果不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前n项和为，且，则=（     ） A．76 B．68 C．38 D．34 4．圆的圆心坐标和半径分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 5．已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 6．函数在点处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间为（     ）） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的函数，且，，则的解集是（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，其导函数的图象如图所示，则关于的论述错误的是（     ） A．在上为减函数 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在处取极大值 10．下列求导运算正确的有（     ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有三个零点 D．曲线在处的切线斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．双曲线的两条渐近线的方程为__________． 13．记为等比数列{}的前n项和．若＝2，，则_______ ． 14．已知函数的导函数为，且，则________． 四、解答题：本题共5小题 (13分、15分、15分、17分、17分），共77分. 15．已知函数在处取得极值为. (1)求，的值； (2)求在点处的切线方程. 16．设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 17．已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最小值． 18．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，， 且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19．已知函数． (1)若函数在处的切线垂直于轴，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求函数的单调区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《顶兴高级中学2026春季学期高二期中考试数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A B C A C C ABD BCD ABC 1．D 【详解】根据题意，， 故. 故选：D． 2．B 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 3．A 【详解】因为为等差数列，所以， 又，所以，解得， 所以. 4．B 【详解】由圆的一般方程知：圆心为，半径. 故选：B. 5．C 【详解】由题意知：椭圆中， 所以的周长为 故选：C. 6．A 【详解】由，得到，所以， 所以在点处的切线方程是，即， 故选：A. 7．C 【详解】解：函数的定义域为， 由，得， 令，得，， 解得或（舍去）， 所以函数的单调递增区间为， 故选：C 8．C 【详解】解：设， 因为，， 所以， 所以在上是增函数，且． 所以的解集即是的解集． 故选：． 9．ABD 【详解】由图知：在区间上，即递增； 在区间上，即递减； 所以、处取极大值，处取极小值， 综上，A、B、D错，C对. 故选：ABD 10．BCD 【详解】选项A错误， ，选项B正确， 选项C正确， 选项D正确. 11．ABC 【分析】对函数求导，根据导数的区间符号研究单调性，进而确定极值、零点及切线斜率判断各项的正误. 【详解】由题设，则，D错， 当或时，，当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减，A对， 所以极大值为，极小值为，时，时， 所以在、、上各有一个零点，共有3个零点，B、C对. 故选：ABC 12． 【详解】试题分析：由双曲线方程可知渐近线为 考点：双曲线方程及性质 13．22 【详解】设等比数列的公比为. 已知，，即，解得. 公比. 可得. 14． 【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果. 【详解】已知函数， 求导可得， 代入，可得，即. 15．(1)；(2) 【详解】（1），依题意，，， 解得； 检验：当时，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故是该函数的极值点，符合题意， 故； （2）， ， ，， 故切线方程为：，整理得：. 16．(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，① 由，②，联立①②，解得， 则的通项公式为； （2）设， 则 . 17．(1)函数的增区间为和，减区间为 (2) 【详解】（1）由题意得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即， 当时，解得或， 所以在和上单调递增； 当时，解得，所以在上单调递减， 因此是函数的一个极值点， 所以函数的增区间为和，减区间为； （2）由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为， 所以是函数的极小值点，且， 所以是函数的极大值点，且， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以当时，函数的最小值为. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在点为的中点 【详解】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3）由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 19．（1）；（2）的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）实数的取值范围为． 【详解】解：（1）． 由题意得，即; （2）时，，定义域为， 当或时，， 当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为; （Ⅲ）解法一：由，得在时恒成立， 令，则, 令，则, 所以在为增函数，． 故，故在为增函数．， 所以 ，即实数a的取值范围为． 解法二： 令，则， ①当，即时，恒成立， 因为，所以在上单调递增， ，即，所以； ②当，即时，恒成立， 因为，所以在上单调递增， ，即，所以； ③当，即或时， 方程有两个实数根 若，两个根， 当时，，所以在上单调递增， 则，即，所以； 若，的两个根， 因为，且在是连续不断的函数 所以总存在，使得，不满足题意． 综上，实数a的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $《顶兴高级中学2026春季学期高二期中考试数学试卷》参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B A C ABD BCD ABC 1.D 【详解】根据题意，imfo+fo=f'xo)=-2, X→0 故f(x)=-2. 故选：D. 2.B 【详解】对于A选项，（日=(x)'=-x2=-是，A对： 对于B选项，(cosx)=-sinx,B错： 对于C选项，(e)=e*,C对； 对于D选项，Im)'=D对， 故选：B 3.A 【详解】因为{a}为等差数列，所以ag+a11=2a1o, 又ag+a10+a11=12,所以3a10=12,解得a10=4, 所以519=19〔a,10-19a10=76. 2 4.B 【详解】由圆的一般方程知：圆心为(4-3)，半径r=、(-8)2+62-4×20=V5 故选：B. 5.c 【详解】由题意知：椭圆2+号=1中，a=2,b=V5,c=Va2-=1. 所以△PF1F2的周长为PF1l+IPF2l+IF1F2l=2a+2c=4+2=6. 故选：C. 6.A 【详解】由f(x)=x2+nx,得到f(x)=2x+,所以f(1)=2+1=3, 所以f(x)=x2+lnx在点(1,1)处的切线方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0, 故选：A. 7.C 【详解】解：函数的定义域为(0，+∞)， 由f()=x2-2x-4nx,得f()=2x-2-4=22-2x-4, X 令fx)>0,得2x2-2x-4>0,x2-x-2>0, 解得x>2或x<-1(舍去)， 所以函数的单调递增区间为(2，+∞)， 故选：C 8.C 【详解】解：设g(x)=f(x)-x, 因为f(1)=1,f(x)>1, 所以g(1)=f(1)-1=0,g'(x)=f'(x)-1>0 所以g(x)在R上是增函数，且g(1)=0. 所以f(x)>x的解集即是g(x)>0的解集(1，+∞)， 故选：C 9.ABD 【详解】由图知：在区间(-∞，0)，(2,4)上f(x)>0,即y=f(x)递增： 答案第1页，共4页 在区间(0,2)，(4，+o)上f(x)<0,即y=f(x)递减： 所以x=0、x=4处取极大值，x=2处取极小值， 综上，A、B、D错，C对. 故选：ABD 10.BCD 【详解】(V网=选项A错误， (xnx)=nx+1,选项B正确， (cos(4x-5)=-4sin(4x-5)选项C正确， (x-)=3x2+之选项D正确， 11.ABC 【分析】对函数求导，根据导数的区间符号研究单调性，进而确定极值、零点及切线斜率判断各项的正误. 【详解】由题设f(x)=3x2-6x=3x(x-2),则f'(1)=-3,D错， 当x<0或x>2时，f(x)>0,当0<x<2时，f(x)<0, 所以f(x)在(-∞，0)、(2，+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，A对， 所以极大值为f(0)=2,极小值为f(2)=-2,x→-o时f(x)→-o,x→+o时f(x)→+∞， 所以f(x)在(-∞，0)、(0,2)、(2，+∞)上各有一个零点，共有3个零点，B、C对. 故选：ABC 3 y=±- 12. 4 3 【详解】试题分析：由双曲线方程可知a=16,6=9,a=46=3.浙近线为y=±4× 考点：双曲线方程及性质 13.22 【详解】设等比数列{a的公比为q. 已知a1=2,S2=a1+a2=-2,即2+a2=-2,解得a2=-4, 公比▣=器=2 可得55=21=-25=2x(1+32=2×3=22 1-(-2) 3 3 14.-1 【分析】对函数表达式同时求导并令x=解方程即可求得结果。 【详解】已知函数f()=2xf'(囹+2sinx, 求导可得f()=2f'(囹+2c0sx, 代入x=号可得f'(目=2f'()+2cos7即f(③=-2c0s等=-1. 15.(1)a=3,b=1:(2)x-2y=0 【i详解】(1)f()=是a,依题意，f(2)=a=0,f(2)=h2-2a+b=n2, 解得ab=1 检验：当Q=b=1时，f)=1x-x+1,则f)=子 当x∈(0,2)时，f(x)>0,当x∈(2，+∞)时，f(x)<0, 故f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 故2是该函数的极值点，符合题意， 故a=3,b=1: (2)fo)=nx-x+1,fo)=- *2 k=f=1-京f0)=1-+i-号 故切线方程为：y0-0,整理得：x-2y=0 答案第2页，共4页 16.(1)2n-1 (2)” 2m+1 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d, 由a2+S3=a1+d+3a1+3d=12,即a1+d=3,① 由as=a1+4d=9,②，联立①②，解得a1=1,d=2, 则{a}的通项公式为a=1+(m-1)×2=2n-1: 2》设b,42n可（点品） 1 1 1 则Tn=b1+b2+…+bn -司+G)(2 1-1_)1 3)2*1 31-2+7) 17.(1)函数f(x)的增区间为(1，+0)和(-o,0),减区间为(0,1) (2)-1 【详解】(1)由题意得f(x)=2x3-ax2+4→f(x)=6x2-2ax, 因为x=1是函数f(x)的一个极值点， 所以f(1)=6-2a=0→a=3,即f'(x)=6x2-6x=6x(x-1), 当f'(x)>0时，解得x>1或x<0, 所以f(x)在(1，+∞)和(-∞，0)上单调递增： 当f'(x)<0时，解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减， 因此x=1是函数f(x)的一个极值点， 所以函数f(x)的增区间为(1，+∞)和(-∞，0)，减区间为(0,1)： (2)由(1)可知：函数f(x)的增区间为(1，+o)和(-0∞，0)，减区间为(0,1)， 所以x=1是函数f(x)的极小值点，且f(1)=2×13-3×12+4=3, 所以x=0是函数fx)的极大值点，且f(0)=2×03-3×02+4=4, 当x∈[-1,2]时，函数f(x)在[-1,0)和(1,2]上单调递增，在(0,1)上单调递减， 因为f(-1)=2×(-1)3-3×(-1)2+4=-1,f(2)=2×23-3×22+4=8, 所以当x∈[-1,2]时，函数f(x)的最小值为f(-1)=-1. 18.(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在点M为PD的中点 【详解】(1)证明：取PB中点记为F,连接EF,CF, 则EF I AB,且EF=AB: CD II AB,且CD=AB: B 所以EF平行且等于CD, 所以四边形CDEF为平行四边形，所以DEICF. 又因为CFc平面PBC,DEt平面PBC, 所以DE/平面PBC (2)记AB中点为G,连接BD,DG, 则四边形BCDG为正方形， 且根据勾股定理得BD=AD=V2, 所以BD2+AD2=4=AB2, 则∠ADB=90°，所以AD1BD: 又因为AD⊥PD,BD∩PD=D,BD,PDC平面PDB,所以ADI平面PBD. 因为PBC平面PBD,所以AD⊥PB. 又因为PB2+AB2=8=PA2, 所以PB⊥AB,且AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD, 所以PB⊥平面ABCD. 答案第3页，共4页 (3)由(2)知，PB1平面ABCD,且∠ABC=90°. 以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， A(0,2,0),B(0,0,0),C(1,0,0),D(1,1,0),P(0,0,2), 设PM=PD,1∈[0,1]，则M(,,2-2), 则BA=(0,2,0),BM=(2,入，2-2)，BC=(1,0,0), 设平面MAB与平面MBC的法向量分别为n=(x1,y1,z1)和n=(x2,y2,Z2), BA·=2y1=0, (BM·=1x1+y1+(2-2)z1=0 B--- 令x1=21-2,得元=(21-2,0，) BC·2=x2=0 D BM.n2=1x2+y2+(2-2)z2=0 令y2=21-2,得n2=(0,21-2,). 设平面MAB与平面MBC的夹角为9，日∈[D,引 22 则cos6= cos<n1,n2> 2-4示=号解得1= 因此存在点M为PD的中点，使得平面MAB与平面MBC夹角的余弦值为 19.(1)a=3;(2)f(x)的单调递增区间为(0，)，(1，+∞)，单调递减区间为(，1)：(3)实数a的取值范围为(-∞，1]， 【详解】解：(1)f)=2x-a+号 由题意得，f)=2-Q+}0即a=3: (2)a=3时，f(x)=lx+x2-3x,定义域为(0，+o), f0冈=1+2x-3=1+2x2-3x X 当0<x<域x>1时，f)>0, 当<x<1时，f()<0, 故f()的单调递增区间为(0，，(1，+)，单调递减区间为（宁，1）： ()解法一：由f)>0,得a<+在x>1时恒成立， x 令o)-栏则g四-4 x2一 令h()=1+x2-nx,则h(=2x-是=2兰>0， 所以h(x)在(1，+o)为增函数，h(x)>h(1)=2>0. 故g'(x)>0,故g(x)在(1，+o)为增函数.g(x)>g(1)=1, 所以a≤1，即实数a的取值范围为(-∞，1]· 解法二：f()=1+2x-a=1+2x2-ax 令9()=2x2-ax+1,则A=a2'-8, ①当A<0,即-2V2<a<2V2时，f'(x)>0恒成立， 因为x>1,所以f(x)在(1，+o)上单调递增， f(x)>f(1)=1-a≥0，即a≤1，所以a∈(-2W2,1]: ②当△=0，即a=士2V2时，f'(x)≥0恒成立， 因为x>1,所以f(x)在(1，+o)上单调递增， f(x)>f(1)=1-a≥0，即a≤1，所以a=-2W2: ③当△>0，即a<-2√2或a>2V2时， 方程g)=0有两个实数根x1=-a28, 4 ,x2=atva2-8 4 若a<-2√2，两个根x1<x2<0, 当x>1时，f(x)>0,所以fx)在(1，+o)上单调递增， 则f(x)>f(1)=1-a≥0，即a≤1，所以a<-2W2: 若a>2V2,gx)=0的两个根0<x1<x2, 因为f(x)=1-a<0,且f(x)在(1，+o)是连续不断的函数 所以总存在x>1,使得f(xo)<0,不满足题意。 综上，实数a的取值范围为(-∞，1]· 答案第4页，共4页