专项10 平行四边形的相关计算与证明-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年八年级下册数学期末试卷精选（北师大版·新教材）河南专版

.CD =BD=AB2 -AD2=3...BC=2BD =6. 当点P为线段CD的三等分点时，分两种情况： ①当DP=CD=1时，PQ=PC=3CD=2 2 ∴BQ=BC-PC-PQ=2. ..DQ=BD -BQ=1...AQ=AD2+DO2=2. DP=PE=1,∠DPE=2=60°， .△DEP是等边三角形. ∴.∠PED=∠EPD=∠EDP=60°，DP=DE ∴.DQ=DE.∴.∠DEQ=∠DQE=30° ∴.∠QEP=∠PED+∠DEQ=90°. ∴QE=√PQ2-PE2=√3. 由(2)可知AE⊥QF,AE=√AQ2-QE2=1. :.四边形ABQE的周长为AB+BQ+QE+AE= 2W3+2+W3+1=3+3√3. ②当DP-子CD=2时，PC=PQ=3CD=1 ..BQ=BC-PC-PQ=4,DQ=CD-PC-PQ=1. 由①知，△DEP是等边三角形， .'EQLPD,DP=PE =2. ∴.EQ=√PE2-PQ=√3 AD=√3，∴.EQ=AD.AD⊥BC,∴AD∥EQ .四边形ADQE是平行四边形 ..AE DO=1. .四边形ABQE的周长为AB+BQ+QE+AE= 2W3+4+W3+1=5+3√3. 综上所述，当点P为线段CD的三等分点时，四边 形ABQE的周长为3+3√3或5+3√3 专项10平行四边形的相关计算与证明 1.解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC=1,AD∥BC..∠EAF=∠ABC=60°. :CE∥BD, .四边形DBCE是平行四边形. (4分) .DE BC 1...AE =AD DE=2. EF⊥BF,∴∠F=90° ∠AEF=90°-∠EAF=30°.AF= EF=√AE2-AF2=√3 (9分) 2.解：(1)如图所示. (3分) B (2)证明：由尺规作图过程可知，OA=OC,OB= OD, .四边形ABCD是平行四边形 (7分) (3)4√3 (10分) 3.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,LBCD=∠BAD ∠HCG=180°-∠BCD,∠EAF=180°-∠BAD, ∴.∠HCG=∠EAF. 河南专版数学 DH=BF,..CH=AF. (4分) CG=AE,∴.△HCG≌△FAE. ∴.GH=EF.同理可得EH=GF .四边形EFGH为平行四边形. (9分) 4.解：(1)证明：BF=BE,CG=EC, ,BC为△FEG的中位线，：BC=FC (2分) 1 H是FC的中点，FH=2FG=BC .四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC.∴.AD=FH (6分) (2),四边形ABCD是平行四边形， .∠DAB=∠DCB. BC=EC,.∠BEC=∠EBC=75 (8分) ∴.∠BCE=180°-∠BEC-∠EBC=30° ∴.∠DCB=∠DCE+∠BCE=40°. ∴.∠DAB=40°. (11分) 5.解：(1)证明：EF∥AB,AD∥CF, ∴.∠B=∠FDC,LADB=LFCD. D为BC的中点，.BD=DC. ∴.△ADB≌△FCD. (2分) .AB=DF..四边形ABEF是平行四边形.(4分) (2)证明：过点C作CH∥EF,交ED的延长线于点 H,如图①所示. G D H 图① .HE∥CF,CH∥EF, .四边形HEFC是平行四边形..CH=EF.(7分) .EF∥AB,CH∥EF,.CH∥AB..∠H=∠BAE. :∠ADB=∠CDH,BD=DC,.△ADB≌△HDC. ..AB CH...AB EF. .四边形ABEF是平行四边形 (9分) (3)LCAD的度数为30°. (11分) 【解析】找CH的中点M,连接DM并延长DM至点 N,使MN=DM,连接AN,如图②所示. F E D C 图② D为BC的中点，M为CH的中点， .DM为△BHC的中位线. DM/Bm,且DM=服 年级下册北师 8 .DN=BH=AD,∠AMD=∠AHE=90° ,AM垂直平分线段DN. ..AD =AN...AD DN=AN. .△ADN是等边三角形.∠CAD的度数为30° 期末复习第3步·练真题 试卷1郑州市中原区 一、选择题 1.C2.A3.D4.A5.B6.C7.D 8.D【解析】：∠ADC=2LB,∠ADC=∠B+∠BAD, .∠B=∠BAD..DB=AD=W5 ∠C=90°，.DC=√AD2-AC2=1. BC=DB+DC=√5+1.故选D. 9.A【解析】正五边形的每一个外角的度数为 360°÷5=72°，∴正五边形的每一个内角的度数 为180°-72°=108°.圆环中间形成的正多边形 每一个内角的度数为360°-2×108°=144°，.圆 环中间形成的正多边形每一个外角的度数为180 -144°=36°..圆环中间形成的正多边形的边数 为360°÷36°=10.已经有3个正五边形，.10- 3=7(个)，即完成这一圆环还需7个正五边形.故 选A 10.C【解析】由题可知等腰直角三角形①的面积 为号×2×2=2.4，(6,0)，等腰直角三角形 ②的斜边长为6-2=4.设等腰直角三角形②的 直角边长为x,则2x2=4.x=2√2..等腰直角 三角形②的面积为2×22×2W反=4=2 :A4(10,4√2)，等腰直角三角形③的直角 边长为10-6=4，等腰直角三角形④的直角边长 为4v2.等腰直角三角形③的面积为2×4× 4=8=2,等腰直角三角形④的面积为)× 4√2×4W2=16=24.…依次类推，第n个等 腰直角三角形的面积为2”.∴.第2025个等腰直 角三角形的面积是2225.故选C. 二、填空题 11.某天的气温不低于20℃（答案不唯一） 12.③①②13.x≥0 14.140【解析】：∠B=100°，.∠BAC+∠BCA= 180°-∠B=80°.：点D在△ABC内部，且到三边 的距离相等，∴.AD平分∠BAC,CD平分∠BCA. ∠DAC= BAG,LDCA -LBCA.DAC+ 2 ∠DCA=5∠BAc+2∠BCA=40.ADC=I80 .1 -(∠DAC+∠DCA)=140° 15.6或 【解析】AB=BC,AC=16,BO是AC 边上的高， ∴.∠BA0=∠BC0,A0=0C=8. .在Rt△BOC中，由勾股定理，得BC=AB= WB02+0C2=10. 河南专版数学 当△PQB为等腰三角形时，分三种情况： ①当PB=PQ时，如图①. B 0 O P 图① :∠BPQ=∠BAO,∴.∠BPQ=LBCO :∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠BCO+∠CBP, .∴∠APQ=∠CBP.∴.△APO≌△CBP ..AP=BC=10...CP=AC-AP=6 ②当BQ=PB时，则∠BPQ=∠BQP. .·∠BPO=∠BAO,∴.∠BAO=∠BQP 点Q与点A重合，点P与点C重合 点P不与点A,C重合，这种情况不存在 ③当BQ=QP时，如图②. 0 PO C 图② .∠QBP=∠BPQ=∠BAO..PB=AP. 设OP=x,则PB=AP=8-x. 在Rt△OBP中，由勾股定理，得PB=OP2+OB2, 即(8-x)2=x2+62. 7 7 解得x=40P=4 ..CP OP+OC= 39 综上所述，CP的长为6或39 三、解答题 16.解：(1)原式=2x(x2-4) (2分) =2x(x+2)(x-2). (5分) (2)原式=(183+17)2 (3分) =2002 =40000. (5分) 17.解：(1)等腰直角三角形 (2分) (2)△AB,C如图所示 (4分) 个y A B/ C(C2 A。 0 B. (4,1) (5分) (3)△AB2C2如图所示. (7分) √5π (9分) 2 18.解：(1)①一分式的基本性质[或分式的分子与 分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式 的值不变] (2分) ②三去括号时，括号前是负号，括号内第二项 年级下册北师期末复习第2步·攻专项 专项10 平行四边形的相关计算与证明 根据新教材编写 满分：50分得分： 编者按：本专项精选期末常考题型，主要涉及平行四边形的性质与判定及中位线的性质.学生 通过专项专练，能够更好地掌握与平行四边形相关的计算与证明. 1.〔大连市〕(9分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E,F分别在AD,BA的延长 线上，连接CE,EF,CE∥BD,EF⊥BF,BC=1,求EF的长. 2.（10分)如图，已知△ABC,求作平行四边形ABCD 下面是小明的尺规作图过程：①作AC的垂直平分线，交AC于点O;②连接BO,在B0的延 长线上取一点D,使OD=BO;③连接AD,CD.四边形ABCD即为所求 (1)使用无刻度的直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形ABCD是平行四边形； A (3)若AB=BC=2,LB=60,则Sns 期末复习第2步 ·攻专 3.〔鹤壁市〕(9分)在一次课题学习中，老师让同学们合作编题.某学习小组受赵爽弦图（如 图1)的启发，编写了下面这道题，请你来解答. 如图2所示，将□ABCD的四边DA,AB,BC,CD分别延长至点E,F,G,H,使得AE=CG, BF=DH,连接EF,FG,GH,HE. 求证：四边形EFGH为平行四边形. 图1 图2 河南专版数学八年级下册北师 31 4.(11分)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上一点，连接EB并延长至点F,使 BF=BE,连接EC并延长至点G,使CG=EC,连接FG,H为FG的中点. (1)求证：AD=FH; (2)若BC=CE,∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数 5.〔新郑市〕(11分)(1)问题情境：某数学兴趣小组在研究平行四边形判定的时候遇到了这 样一个问题：点D是△ABC边BC的中点，点E是线段AD上不与点A重合的一点，过点E 作EF∥AB交AC于点G,过点C作AD的平行线与EF交于点F,连接AF,求证：四边形 ABEF是平行四边形.该小组为了解决这个问题，首先从“点E是线段AD上不与点A重合 的一点”人手，找到了“点E与点D重合”（如图1）这种特殊情况并开始找寻证明方法，请 聪明的你按照图1完成证明， (2)探究解决：如图2，当点E是线段AD上不与点A,D重合的一点时，兴趣小组受到图1 期末复习第 特殊情况下问题解决的启发，通过添加适当的辅助线快速地解决了问题，请在图2中作 出合适的辅助线，并写出证明过程 (3)在上述探究的基础上，兴趣小组继续移动点E的位置，连接BE并延长，交AC于点H, 2步 发现在图3中，当BH⊥AC时，BH恰好等于AD,请你直接写出∠CAD的度数 攻专项 E B D(E)C D D 图1 图2 图3 32 河南专版数学八年级下册北师