专项9 三角形的相关计算与证明-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年八年级下册数学期末试卷精选（北师大版·新教材）河南专版

生物实验的同学使用 (10分) 4.解：(1)设甲种净水器的单价为x元/台，则乙种净 水器的单价为(x+300)元/台 根据题意，得9000-10800 x+300 (3分) 解得x=1500. 经检验，x=1500是原分式方程的根，且符合题意. .x+300=1800 答：甲种净水器的单价为1500元/台，乙种净水器 的单价为1800元/台 (5分) (2)设购买甲种净水器m台，则购买乙种净水器 (20-m)台 根据题意，得1500m+1800(20-m)≤32400. 解得m≥12. (7分) ·购买甲种净水器的数量少于14台， .m<14..12≤m<14. ∴m的值为12或13.此时对应的20-m的值为8 或7. (9分) .共有两种购买方案，方案一：购买甲种净水器12 台，购买乙种净水器8台；方案二：购买甲种净水 器13台，购买乙种净水器7台 （11分) 专项9三角形的相关计算与证明 1.解：(1)MD垂直平分AB,NE垂直平分AC .∴.AD=BD,AE=CE (3分) .CAADE AD DE AE BD DE CE BC=12. (5分) (2)点O在BC的垂直平分线上. (6分) 理由：如图，连接OA,OB,OC. B D E 0 ·MD垂直平分AB,NE垂直平分AC, ..0A 0B,0A 0C...OB OC. .点O在BC的垂直平分线上 (9分) 2.解：(1)DF=EF (1分) 理由：△ABC和△ADE均是等边三角形， .∠BAC=∠DAE=60°. *AD.BC,.∠BAD=∠DAC=2BAC=30 ∴.∠CAE=∠DAE-∠DAC=30° .∠DAC=∠CAE..DF=EF (5分) (2)△ADE是等边三角形，∠DAC=∠CAE, .∠ADE=60°，AF⊥DE.∴.∠CFD=90°. AD⊥BC,∴.∠ADC=90° .∠CDE=∠ADC-∠ADE=30° (8分) CF=2cm,∴.CD=4cm. .DF=√CD2-CF2=2W3cm ∴DE=DF+EF=2DF=4√3cm,即等边三角形 ADE的边长为4√3cm. (10分) 3.解：(1)AP是∠BAC的平分线 (1分) 证明：AD=AE,FD=FE,AF=AF, 河南专版数学 .△ADF≌△AEF. ∴.∠DAF=∠EAF,即AP是∠BAC的平分线.(4分) (2)过点P作PH⊥AC于点H. :PQ⊥AB于点Q,AP平分LBAC, ..PH=PQ. (7分) S△ABC=SAABP+SAACP, ∴5c=B-P0+C-PH=号(aB+AG) 、1 1 PQ=2×(10+8)PQ=36. ∴.PQ=4. (10分) 4.解：(1)115°65 (4分) (2)∠P+∠Q=180°. (5分) 证明：：BP平分∠ABC,BQ平分∠EBC, LPG-ABG.ZOWC-EC. PB0=LPac+∠0c=LABc+∠EBC)= 90°. 同理可得∠PCQ=90°. ∠P+∠Q=360°-∠PBQ-∠PCQ=180°.(10分) 5.解：(1)PC=PD直角三角形 (4分) 【解析】由旋转的性质，得LEPD=2a,PD=PE. '∠C=ax,∴.∠PEC=∠EPD-∠C=a. ∴∠PEC=LC=a..PE=PC.∴.PC=PD. ∠DEP=3(180°-∠EPD)=180°-2a)= 90°-a ∴.∠DEC=DEP+∠PEC=90°-a+a=90° .∠AED=90°..△ADE是直角三角形. (2)△AEQ为直角三角形. (5分) 理由：如图，延长QE到点F,使得QE=EF,连接 AF,CF. B OD P 由旋转的性质，得∠EPD=2α. PQ=PC,∴.PE是△QCF的中位线. .PE∥CF,CF=2PE.∴.∠BCF=∠BPE=2a. ..∠ACF=∠BCF-∠BCA=. .∠ACF=∠B=. ∠B=∠ACB=a,∴.AB=AC. 设PE=PD=m,PC=n, 则CF=2m,DC=m+n,PQ=n. ∴QD=PQ-PD=n-m. .AB =AC,ADLBC,..BD CD =m n. ..BQ=BD-OD =m+n-(n-m)=2m. ∴BQ=CF.·△ABQ≌△ACF.∴.AF=AQ. QE=EF,∴.AE⊥QF. .△AEQ为直角三角形 (8分) (3)当点P为线段CD的三等分点时，四边形ABQE 的周长为3+3√3或5+3√3. (11分) 【解析】∠BAC=120°，.∠B=∠ACB=a=30°. ADLBC,AD=3,.AB=2√3. 年级下册北师 .CD =BD=AB2 -AD2=3...BC=2BD =6. 当点P为线段CD的三等分点时，分两种情况： ①当DP=CD=1时，PQ=PC=3CD=2 2 ∴BQ=BC-PC-PQ=2. ..DQ=BD -BQ=1...AQ=AD2+DO2=2. DP=PE=1,∠DPE=2=60°， .△DEP是等边三角形. ∴.∠PED=∠EPD=∠EDP=60°，DP=DE ∴.DQ=DE.∴.∠DEQ=∠DQE=30° ∴.∠QEP=∠PED+∠DEQ=90°. ∴QE=√PQ2-PE2=√3. 由(2)可知AE⊥QF,AE=√AQ2-QE2=1. :.四边形ABQE的周长为AB+BQ+QE+AE= 2W3+2+W3+1=3+3√3. ②当DP-子CD=2时，PC=PQ=3CD=1 ..BQ=BC-PC-PQ=4,DQ=CD-PC-PQ=1. 由①知，△DEP是等边三角形， .'EQLPD,DP=PE =2. ∴.EQ=√PE2-PQ=√3 AD=√3，∴.EQ=AD.AD⊥BC,∴AD∥EQ .四边形ADQE是平行四边形 ..AE DO=1. .四边形ABQE的周长为AB+BQ+QE+AE= 2W3+4+W3+1=5+3√3. 综上所述，当点P为线段CD的三等分点时，四边 形ABQE的周长为3+3√3或5+3√3 专项10平行四边形的相关计算与证明 1.解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC=1,AD∥BC..∠EAF=∠ABC=60°. :CE∥BD, .四边形DBCE是平行四边形. (4分) .DE BC 1...AE =AD DE=2. EF⊥BF,∴∠F=90° ∠AEF=90°-∠EAF=30°.AF= EF=√AE2-AF2=√3 (9分) 2.解：(1)如图所示. (3分) B (2)证明：由尺规作图过程可知，OA=OC,OB= OD, .四边形ABCD是平行四边形 (7分) (3)4√3 (10分) 3.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,LBCD=∠BAD ∠HCG=180°-∠BCD,∠EAF=180°-∠BAD, ∴.∠HCG=∠EAF. 河南专版数学 DH=BF,..CH=AF. (4分) CG=AE,∴.△HCG≌△FAE. ∴.GH=EF.同理可得EH=GF .四边形EFGH为平行四边形. (9分) 4.解：(1)证明：BF=BE,CG=EC, ,BC为△FEG的中位线，：BC=FC (2分) 1 H是FC的中点，FH=2FG=BC .四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC.∴.AD=FH (6分) (2),四边形ABCD是平行四边形， .∠DAB=∠DCB. BC=EC,.∠BEC=∠EBC=75 (8分) ∴.∠BCE=180°-∠BEC-∠EBC=30° ∴.∠DCB=∠DCE+∠BCE=40°. ∴.∠DAB=40°. (11分) 5.解：(1)证明：EF∥AB,AD∥CF, ∴.∠B=∠FDC,LADB=LFCD. D为BC的中点，.BD=DC. ∴.△ADB≌△FCD. (2分) .AB=DF..四边形ABEF是平行四边形.(4分) (2)证明：过点C作CH∥EF,交ED的延长线于点 H,如图①所示. G D H 图① .HE∥CF,CH∥EF, .四边形HEFC是平行四边形..CH=EF.(7分) .EF∥AB,CH∥EF,.CH∥AB..∠H=∠BAE. :∠ADB=∠CDH,BD=DC,.△ADB≌△HDC. ..AB CH...AB EF. .四边形ABEF是平行四边形 (9分) (3)LCAD的度数为30°. (11分) 【解析】找CH的中点M,连接DM并延长DM至点 N,使MN=DM,连接AN,如图②所示. F E D C 图② D为BC的中点，M为CH的中点， .DM为△BHC的中位线. DM/Bm,且DM=服 年级下册北师 8期末复习第2步·攻专项 专项9 三角形的相关计算与证明 根据新教材编写 满分：50分得分： 编者按：本专项依据当地期末考情，重点考查等腰三角形、线段的垂直平分线、角平分线、三角 形的内角和外角等相关内容.通过专项练习帮助学生集中突破期末高频考点 1.(9分)如图，在△ABC中，MD垂直平分AB,分别交AB,BC于点M,D,NE垂直平分AC,分 别交AC,BC于点N,E,MD,NE的延长线交于点O,连接AD,AE (1)若BC=12,求△ADE的周长； (2)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由. D 2.(10分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D,以AD为一边在AD右侧作等边三角 形ADE,DE与AC交于点F (1)试判断DF与EF的数量关系，并说明理由； (2)若CF的长为2cm,试求等边三角形ADE的边长. D 期末复习第2步 ·攻专 3.〔洛阳市改编)(10分)(1)如图，四边形ODFE是一个平分角的仪器，其中OD=OE,FD=FE. 将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D,E分别在边AB,AC上，沿AF画一条射线 AP,交BC于点P,AP是∠BAC的平分线吗？请判断并证明 A(0) (2)在(1)的条件下，过点P作POLAB于点Q,若△ABC的面积 为36，AC=8,AB=10,求PQ的长 0 B p 河南专版数学八年级下册北师 29 4.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P,△ABC的外角 ∠EBC和LFCB的平分线相交于点Q. (1)若∠A=50°，则∠P= ,∠Q= (2)猜想∠P与∠Q之间的数量关系，并证明. 5.〔平顶山市〕(11分)如图，在△ABC中，已知∠B=∠C=x(0°<a<45°)，AD⊥BC,垂足为D. 点P是线段DC上的动点（不与点D,C重合），将线段PD绕点P顺时针旋转2α得到线段 PE,连接DE (1)观察猜想：如图1，当点E落在线段AC上时，PC与PD的数量关系为 △ADE的形状是 (2)探索证明：如图2，若在线段BP上存在点Q(不与点B,P重合)，满足PQ=PC,连接AE,AQ, QE.判断△AEQ的形状，并说明理由.（提示：延长QE到，点F,使得QE=EF,连接AF,CF) (3)解决问题：在(2)的条件下，若∠BAC=120°，AD=√3，则当点P为线段CD的三等分点 时，直接写出四边形ABQE的周长 期未复习第2步·攻专项 2a /2a Q D P D 图1 图2 备用图 30 河南专版数学八年级下册北师