8.2.2.回归分析及非线性回归模型教案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该教案聚焦残差分析、非线性回归模型转化及决定系数R²等核心知识点。课堂导入从父亲与儿子身高的经验回归方程预测误差切入，通过“是否一定等于预测值”的问题衔接上一课时内容，自然引出残差概念，为后续模型分析搭建学习支架。 特色在于以生活情境和真实数据为载体，通过残差计算、残差图分析培养数学思维，借助树高胸径、百米纪录案例转化非线性模型体现数学眼光，用决定系数R²评价拟合效果强化数学语言。实例具体，帮助学生理解抽象概念，为教师提供完整教学流程，提升课堂效率与学生数据分析能力。

教学设计 课题 8.2 一元线性回归模型及其应用 课时2.回归分析及非线性回归模型 学科 数学 年级 高二 教学目标 1.了解残差、残差图的概念，会对回归模型进行残差分析.（数学抽象） 2.了解非线性回归模型的基本思想方法，能转化为一元线性回归模型解决实际问题.（数学应用） 3.能利用决定系数R2判断回归模型的拟合效果.（数据分析） 重点 残差的概念；非线性回归模型. 难点 残差分析；决定系数R2判断回归模型的拟合效果. 教学环节 教学过程 设计意图 新课导入 情境导入：儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为，当时，．如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm吗？为什么？ 通过生活情境展示数学的实际意义，引出新课. 新课讲授 教师分析解题思路：显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高．不过，我们可以作出推测，当父亲身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右． 实际上，如果把这所学校父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体的均值的估计值． 教师归纳：由一个或多个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析． 师生探究：这里的经验回归方程，其斜率可以解释为父亲身高每增加1cm，其儿子身高平均增加0.839cm．分析模型还可以发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高，例如，则；矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，但一群矮个子父亲的儿子们的平均身高要高于父亲们的平均身高，例如，则． 知识点1：残差 教师追问：根据模型，父亲身高为多少时，长大成人的儿子的平均身高与父亲的一样？你怎么看这个判断？ 令，解得，即当父亲身高为180cm时，儿子的平均身高与父亲一样高，这个判断存在一定的误差． 残差：对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值所得的差称为残差． 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 例如，对于身高表中的第6个观测，父亲身高为172cm，其儿子身高的观测值为，预测值为 ，残差为． 类似地，可以得到其他的残差，如表所示． 编号 父亲身高／cm 儿子身高观测值／cm 儿子身高预测值／cm 残差／cm 1 174 176 174.943 1.057 2 170 176 171.587 4.413 3 173 170 174.104 4.104 4 169 170 170.748 0.748 5 182 185 181.655 3.345 6 172 176 173.265 2.735 7 180 178 179.977 1.977 8 172 174 173.265 0.735 9 168 170 169.909 0.091 10 166 168 168.231 0.231 11 182 178 181.655 3.655 12 173 172 174.104 2.104 13 164 165 166.553 1.553 14 180 182 179.977 2.023 为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如图所示． 观察表可以看到，残差有正有负，残差的绝对值最大是4.413．观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两侧．说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为的随机变量的观测值．可见，通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设． 一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析．借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策． 教师提问：观察课本思考中的四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？ 根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值．图中，图（1）显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；图（2）显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分；图（3）说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；图（4）的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内．可见，只有图（4）满足一元线性回归模型对随机误差的假设． 例 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高．在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程． 编号 1 2 3 4 5 6 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 编号 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 分析：因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标画出散点，进而得到散点图，再根据散点图推断树高与胸径是否线性相关.如果是，再利用公式（2）计算出，即可. 知识点2：非线性回归与决定系数 教师展示问题：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”．下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据．试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 纪录／s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 教师组织学生思考并小组合作. 以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得到下图． 在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程． 用表示男子短跑100m的世界纪录，表示纪录产生的年份，利用一元线性回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系．根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为．① 将经验回归直线叠加到散点图，得到下图． 教师提问：从图中可以看到，经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势．请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？ 教师讲解：以经验回归直线为参照，可以发现经验回归方程的不足之处，以及散点的更为精细的分布特征．例如，第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方．这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征． 非线性回归：当回归方程不是形如时，称之为非线性经验回归方程．当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程． 决定系数：决定系数可以用来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为．在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关．因此越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 在使用经验回归方程进行预测时，需要注意下列问题： （1）经验回归方程只适用于所研究的样本的总体． （2）经验回归方程一般都有时效性． （3）解释变量的取值不能离样本数据的范围太远． （4）不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值．事实上，它是响应变量的可能取值的平均值． 跟踪训练 1.色差和色度是衡量毛线玩具质量优劣的两个重要指标，现抽检一批毛线玩具并将测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为( ) 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 A.-0.96 B.-0.8 C.0.8 D.0.96 2.下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为( ) 第t个月 1 2 3 繁殖数量y/百只 A.百只 B.百只 C.百只 D.百只 从学生熟悉的身高预测情境切入，降低回归分析的抽象感，为后续回归模型的应用、残差分析等内容奠定基础，提升数据分析与建模能力. 结合具体身高数据的计算实例，让学生掌握残差的计算方法，同时理解残差分析在模型效果判断、数据校验中的作用，为后续模型优化埋下伏笔，落实数据分析素养. 通过进行残差分析，学生得出所求得的经验回归方程是否能够对模型进行拟合，通过分析判断的过程提升了学生的概括理解能力. 例题加深对经验回归方程求解过程的掌握，增加学习新课的兴趣，有助于提升课堂学习效果. 引出非线性回归分析问题，理解解决非线性回归分析问题的思路. 先引导学生从直观观察切入，通过散点分布规律的探究，发现线性模型的局限性，自然引出非线性相关的特征. 引入决定系数，让学生掌握模型拟合效果的评价标准，建立“模型选择—拟合—评价”的完整回归分析流程，提升综合应用能力. 通过练习，进一步巩固本节所学，加深印象. 课堂小结 1.残差、残差图 2.决定系数 巩固本节所学内容，提高概括能力. 板书设计 8.2 一元线性回归模型及其应用 课时2.回归分析及非线性回归模型 1.残差 2.非线性回归与决定系数 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $