8.2.2.回归分析及非线性回归模型教案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

新课导入

情境导入：儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为，当时，．如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm吗？为什么？

通过生活情境展示数学的实际意义，引出新课.

新课讲授

教师分析解题思路：显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高．不过，我们可以作出推测，当父亲身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右．

实际上，如果把这所学校父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体的均值的估计值．

教师归纳：由一个或多个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析．

师生探究：这里的经验回归方程，其斜率可以解释为父亲身高每增加1cm，其儿子身高平均增加0.839cm．分析模型还可以发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高，例如，则；矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，但一群矮个子父亲的儿子们的平均身高要高于父亲们的平均身高，例如，则．

从学生熟悉的身高预测情境切入，降低回归分析的抽象感，为后续回归模型的应用、残差分析等内容奠定基础，提升数据分析与建模能力.

知识点1：残差

教师追问：根据模型，父亲身高为多少时，长大成人的儿子的平均身高与父亲的一样？你怎么看这个判断？

令，解得，即当父亲身高为180cm时，儿子的平均身高与父亲一样高，这个判断存在一定的误差．

残差：对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值所得的差称为残差．

残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．

例如，对于身高表中的第6个观测，父亲身高为172cm，其儿子身高的观测值为，预测值为

，残差为．

类似地，可以得到其他的残差，如表所示．

结合具体身高数据的计算实例，让学生掌握残差的计算方法，同时理解残差分析在模型效果判断、数据校验中的作用，为后续模型优化埋下伏笔，落实数据分析素养.

为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如图所示．

观察表可以看到，残差有正有负，残差的绝对值最大是4.413．观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两侧．说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为的随机变量的观测值．可见，通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设．

一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析．借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策．

通过进行残差分析，学生得出所求得的经验回归方程是否能够对模型进行拟合，通过分析判断的过程提升了学生的概括理解能力.