8.2 第1课时 回归分析及非线性回归模型（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计，从生活实例（如西红柿亩产量与肥料使用量）导入，通过散点图分析线性相关关系，构建模型表达式，学习最小二乘法求经验回归方程，并应用于预测。 资料以生活实例为情境，引导学生用数学眼光观察变量关系，通过思考问题和即时练培养数学思维，结合例题与跟踪训练提升用数学语言解决实际问题的能力。课中辅助教师清晰授课，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

8．2　一元线性回归模型及其应用 新课导入 学习目标 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高相关．一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析．本节我们将学习一元线性回归模型参数的最小二乘估计及其在社会生活中的应用 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计，会使用相关的统计软件． 2．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测，能用残差及决定系数R2对拟合效果进行分析． 3．在一元线性回归模型的基础上解决非线性回归问题． 第1课时　一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计 一　一元线性回归模型 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(单位：百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(单位：千克)之间的对应数据的散点图如图所示． 思考1　依据上面的散点图，推断西红柿亩产量的增加量y与液体肥料每亩使用量x之间有没有关系？ 提示：有关系． 思考2　y与x的相关程度如何？两变量之间的关系能用函数模型刻画吗？ 提示：线性相关程度很强．不能，增加量y除了与液体肥料使用量x有关外，还与阳光、温度等有关系，y与x之间不是函数关系． 思考3　用什么模型来刻画y与x之间的关系？ 提示：从散点图看，散点大致分布在一条直线附近，可以用一元线性回归模型来刻画． [知识梳理] 一元线性回归模型的完整表达式为其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的随机误差． [即时练] 1．关于一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e，下列说法正确的是(　　) A．Y＝bx＋a＋e是一次函数 B．因变量Y是由自变量x唯一确定的 C．因变量Y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D．随机误差e是由于计算不准确产生的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 解析：选C.对于A，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e表示的不是函数关系，因此不是一次函数，故A错误；对于B，因变量Y不是由自变量x唯一确定的，故B错误；对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，但是不可能没有误差，故D错误．故选C. 2．若某制造企业年收入x与年支出Y满足一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该制造企业年收入为10亿元，则年支出预计不会超过(　　) A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 解析：选D.由题意得，Y＝0.7x＋3＋e. 当x＝10时，得Y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，又|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．故选D. 二　经验回归方程与最小二乘法 [知识梳理] 1．有关概念 ＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． 2．计算公式 ＝＝， ＝－. 提醒　(1)经验回归直线不一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一点； (2)经验回归直线一定经过样本点的中心(，). [例1] 某商场为了迎接暑期旅游旺季，确定暑期营销策略，进行了投入促销费用x和商场实际销售额y的试验，得到如下四组数据． 投入促销费用x(万元) 2 3 5 6 商场实际销售额y(万元) 100 200 300 400 (1)画出上述数据的散点图，并据此判断两个变量是否具有较强的线性相关关系； (2)求出x，y之间的经验回归方程＝x＋. 【解】　(1)画出散点图如图所示．从散点图可以看出两个变量具有较强的线性相关关系． (2)因为＝＝4， ＝＝250， iyi＝2×100＋3×200＋5×300＋6×400＝4 700， ＝22＋32＋52＋62＝74， 所以＝＝70，＝－＝250－70×4＝－30. 故所求的经验回归方程为＝70x－30. 求经验回归方程的一般步骤 (1)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系； (2)计算，，(xi－)(yi－)，(xi－)2(或，); (3)代入公式，求出＝x＋中参数，的值． [跟踪训练1] 某研究机构对某校高二年级全体学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据． x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)根据上表数据，画出散点图； (2)根据表中提供的数据及最小二乘法，求出y关于x的经验回归方程． 解：(1)散点图如图所示． (2)由题表得，＝＝9，＝＝4， 则(xi－)(yi－)＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋1×1＋3×2＝14， (xi－)2＝(－3)2＋(－1)2＋12＋32＝20，所以＝＝0.7，＝－＝4－0.7×9＝－2.3，故y关于x的经验回归方程为＝0.7x－2.3. 应用点　利用经验回归方程进行预测 [例2] (2025·上海卷节选)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y＝－0.311x＋，年份x的平均数为2 006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01). 【解】　由题意可得＝×(206.78＋207.46＋207.95＋209.34＋209.35＋210.68＋213.73＋214.84＋216.93＋216.93)＝211.399， 由经验回归直线过样本点的中心(，)，可得211.399＝－0.311×2 006＋，解得＝835.265， 则回归方程为＝－0.311x＋835.265. 当x＝2 028时，＝－0.311×2 028＋835.265≈204.56， 故预测2028年冠军队的成绩为204.56. 由经验回归方程求预报值的注意点 (1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体． (2)所建立的经验回归方程一般都有时效性． (3)样本的取值范围会影响经验回归方程的适用范围． (4)不能期望由经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值．事实上，它是响应变量的可能取值的平均值． [跟踪训练2] (1)(多选)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(单位：次/分钟)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程＝0.25x＋k，则下列说法正确的是(　　) x 20 30 40 50 60 y 25 27.5 29 32.5 36 A．k的值是20 B．变量x，y呈正相关关系 C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25 D．当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时气温的预测值为33.5 ℃ 解析：选ABC.由题表中的数据，可得＝×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，＝×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30. 由经验回归方程为＝0.25x＋k，可得k＝－0.25＝30－0.25×40＝20，所以A正确；由经验回归方程可知＝0.25＞0，可得变量x，y呈正相关关系，所以B正确；由＝0.25，可得x的值增加1，则y的值约增加0.25，所以C正确；当x＝52时，可得＝0.25×52＋20＝33，所以D不正确．故选ABC. (2)中医是中华民族五千年传统文化的瑰宝，是千百年医疗实践的结晶，也是世界优秀文化的精华．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x(单位：亿元)与产品收益 y(单位：亿元)的数据统计如下表： 研发投入x/亿元 1 2 3 4 5 产品收益y/亿元 3 7 9 10 11 用最小二乘法求得 y关于x的经验回归方程是＝x＋2.9，当研发投入为20亿元时，相应的产品收益预测值为________． 解析：由题表中的数据可得 ＝＝3，＝＝8， 将样本点的中心(3，8)代入经验回归方程可得3＋2.9＝8，解得＝1.7，所以经验回归方程为＝1.7x＋2.9，当x＝20时，＝1.7×20＋2.9＝36.9(亿元)，因此，当研发投入为20亿元时，相应的产品收益预测值为36.9亿元． 答案：36.9亿元 1．在有线性相关关系的两个变量建立的经验回归方程＝＋x中，(　　) A．不能小于0 B．不能大于0 C．不能等于0 D．只能小于0 解析：选C.当＝0时，不具有线性相关关系，但能大于0，也能小于0. 2．已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为Ai(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)，经验回归方程为＝x＋，若i＝8，i＝6，则＝(　　) A． B． C．2 D．5 解析：选A.因为i＝8，所以＝1. 因为i＝6，所以＝. 因为经验回归直线经过样本点的中心(，)， 所以＝×1＋， 解得＝. 3．已知女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为＝0.81x＋25.82，若父亲身高每增加1 cm，则女儿身高平均增加________． 解析：由经验回归方程知，当父亲身高每增加1 cm，则女儿身高平均增加0.81 cm. 答案：0.81 cm 4．统计数据表明，家庭的月理财投入x(单位：千元)与月收入y(单位：千元)之间具有线性相关关系．某机构随机抽取5个家庭，收集第i(i＝1，2，3，4，5)个家庭的月理财投入xi与月收入yi的数据资料，经过计算得i＝40，i＝100，iyi＝821，＝330. (1)求y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)判断y与x之间是正相关还是负相关． 解：(1)由题意，得＝i＝＝8，＝i＝＝20， 故＝＝＝2.1， ＝－＝20－2.1×8＝3.2， 故所求经验回归方程为＝2.1x＋3.2. (2)因为＝2.1＞0，所以y与x之间是正相关． 1．已学习：(1)一元线性回归模型的概念；(2)由最小二乘法求经验回归方程；(3)利用经验回归方程进行预测． 2．须贯通：求经验回归方程前必须判断两个变量是否线性相关，再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程． 3．应注意：(1)不判断变量间是否具有线性相关关系；(2)盲目求解经验回归方程致误． 学科网（北京）股份有限公司 $