精品解析：重庆市江津区京师实验学校2025-2026学年九年级下学期第二次模拟考试数学试题

九年级（下）数学二模试卷 一、选择题（共10小题） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况 B. 调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯 C. 调查某种面包的合格率 D. 调查某校足球队员的身高 4. 如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一组有规律的图案，图案（1）是由4个组成的，图案（2）是由7个组成的，那么图案（3）是由10个组成的…，按此规律，组成图案（8）的个数为：（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 6. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 8. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感． A. 8 B. 9 C. 648 D. 729 9. 如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中n，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（ ） ①若，则多项式M可以为二次三项式： ②若，满足条件的所有整式M的和为； ③若，满足条件的整式M共有10个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题） 11. 一个不透明的袋子中有8个质地均匀、大小相同的球，其中3个红球，5个白球，随机摸出一个球是红球的概率为______． 12. 如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 13. 已知，且m为整数，则m的值为______． 14. 若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 15. 以为直径的与相切于点A，弦于点H连接并延长交于点F、交于点G，连接．若，，．则______，______． 16. 对于一个三位数N，若其百位数字与个位数字之和等于十位上的数字，则称数N为“优选数”．例如：数132，，∴132是“优选数”，数246，，∴246不是“优选数”，则最大的“优选数”为_________；若“优选数”N的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，若为完全平方数，则满足条件的N的最小值为_________． 三、解答题（共9小题） 17. 解不等式组，并写出所有的整数解． 18. 数学爱好者小陶发现，内角的角平分线和外角的角平分线交于点，连接，他猜想平分外角． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（不说明理由，只保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：． 小陶的思路是这样的，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，等量代换可得，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程． 证明：是的角平分线，， ① ． 是的角平分线，， ． ② ． ， ， 在和中， （④ ）． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤ 的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 19. 潼南区开展了“聚光杯”首届师生创作竞赛活动，某校组织了全校七八年级的同学全部参加这项活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：87，82，83，86，85，87，87． 八年级20名学生竞赛成绩是：65，67，68，71，73，75，75，78，81，83，84，86，86，86，88，95，97，99，99，100． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82.6 82.6 中位数 a 83.5 众数 87 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“聚光杯”首届师生创作竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生660人，八年级有学生600人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多200米． （1）甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ （2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 22. 如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 24. 如图，已知抛物线交x轴于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点P是上方抛物线上一动点，过点P作于点D，点M是x轴上一动点，连接，当最大时，求出点P的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点Q为抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 25. 在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． （1）如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； （2）如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； （3）如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（下）数学二模试卷 一、选择题（共10小题） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 的相反数是 ． 2. 下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 【详解】解：A.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况 B. 调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯 C. 调查某种面包的合格率 D. 调查某校足球队员的身高 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查对象的范围选取合适的调查方法． 【详解】解：A、七年级一班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意； B、某班学生人数较少，适用于全面调查，不符合题意； C、某种面包的合格率，宜用抽样调查，符合题意； D、某校足球队员的身高，宜用全面调查，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了抽样调查、全面调查的应用，遵循定义和适用范围是解决本题的关键． 4. 如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出所对的圆周角，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，在优弧上取一点E，连接，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 又， ． 5. 如图是一组有规律的图案，图案（1）是由4个组成的，图案（2）是由7个组成的，那么图案（3）是由10个组成的…，按此规律，组成图案（8）的个数为：（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个基础图形，然后写出第8个图案的基础图形的个数即可． 【详解】由图可得，第1个图案基础图形的个数为4， 第2个图案基础图形的个数为， 第3个图案基础图形的个数为， …， ∴第8个图案基础图形的个数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图像发现规律是解题的关键． 6. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断点是否在反比例函数图象上，能够正确计算是解题的关键． 反比例函数图象上的点满足，只需计算各选项点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可求解． 【详解】解：由得， A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意． 7. 下列四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法比较大小，熟练掌握科学记数法的含义是解题的关键． 先根据科学记数法的意义比较数量级，排除较大的数，再比较同数量级的两个数的系数大小，即可得到最小的数． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ ， 可得四个数的大小关系为，， 故选项D符合题意． 8. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感． A. 8 B. 9 C. 648 D. 729 【答案】D 【解析】 【分析】先列方程求出每轮平均传染人数，那么第一轮后患病总人数为，第二轮新增患病人数为，根据“经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出方程解得后再计算第三轮传染后的总患病人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， ， 整理得， 解得或， ∵传染人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 则第三轮传染后总患病人数为（人）． 9. 如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 10. 已知整式M：，其中n，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（ ） ①若，则多项式M可以为二次三项式： ②若，满足条件的所有整式M的和为； ③若，满足条件的整式M共有10个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的概念，正整数的分类分解，熟练掌握相关概念并不遗漏不重复地列举所有情况是解题的关键． 需根据系数为正整数且由小到大排列，乘积为A的条件，分类列举所有符合条件的系数组合，逐一验证每个说法． 【详解】解： ①若，二次三项式对应3个系数，满足， 由于，则对应整式是二次三项式， 故①符合题意； ②若，列举所有符合条件的整式， 有2个系数（一次二项式）时，满足条件的整式为，，； 有3个系数（二次三项式）时，满足条件的整式为，； 所有整式的和为 故②不符合题意； ③若，列举所有符合条件的整式， 有2个系数时，满足条件的整式为，，，，共4个； 有3个系数时，满足条件的整式为，，，，共4个； 有4个系数时，满足条件的整式为，仅1个； 总计个，与“10个”不符， 故③不符合题意； 综上，正确的说法只有1个． 二、填空题（共6小题） 11. 一个不透明的袋子中有8个质地均匀、大小相同的球，其中3个红球，5个白球，随机摸出一个球是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式，用红球的个数除以球的总个数即可得到结果． 【详解】解：∵袋子中共有个质地均匀大小相同的球，其中个红球， ∴随机摸出一个球是红球的概率为． 12. 如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 【答案】##137度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 13. 已知，且m为整数，则m的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再推出的取值范围，即可求出整数的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同时加，得， 又，且为整数， ． 14. 若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，判断异号，求出的值，再将代入给定的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 异号， 分两种情况讨论， 当时， ， 当时， ， 综上可得， 将代入原方程得， ， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，． 15. 以为直径的与相切于点A，弦于点H连接并延长交于点F、交于点G，连接．若，，．则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理以及勾股定理求解； （2）连接，过点作的延长线于点，得出四边形为平行四边形，得出相等的边和角，证明得出，证明得出对应边的关系，设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得， 由垂径定理得； ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 由勾股定理得． 16. 对于一个三位数N，若其百位数字与个位数字之和等于十位上的数字，则称数N为“优选数”．例如：数132，，∴132是“优选数”，数246，，∴246不是“优选数”，则最大的“优选数”为_________；若“优选数”N的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，若为完全平方数，则满足条件的N的最小值为_________． 【答案】 ①. 990 ②. 198 【解析】 【分析】此题考查了“优选数”的定义，根据定义即可确定最大的“优选数”的个位和百位，从而确定十位；先设出N，然后表示出，根据为完全平方数，确定满足条件的N的最小值为当时，即可解答. 【详解】解：∵一个三位数N，若其百位数字与个位数字之和等于十位上的数字，则称数N为“优选数”， ∴最大的“优选数”百位上是9，个位上是0， ∴十位上是9， ∴最大的“优选数”为990； 若，则， ∴ 若为完全平方数，则满足条件的N的最小值为当时， ∴N的最小值为198. 三、解答题（共9小题） 17. 解不等式组，并写出所有的整数解． 【答案】，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为，整数解：1，2． 18. 数学爱好者小陶发现，内角的角平分线和外角的角平分线交于点，连接，他猜想平分外角． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（不说明理由，只保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：． 小陶的思路是这样的，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，等量代换可得，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程． 证明：是的角平分线，， ① ． 是的角平分线，， ． ② ． ， ， 在和中， （④ ）． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤ 的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤角平分线 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． （1）根据要求作出图形； （2）利用角平分的性质可得，再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：是的角平分线，，， ， 是的角平分线，，， ． ． ，， ， 在和中， ， ． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的角平分线的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 故答案为：①；②；③；④；⑤角平分线． 19. 潼南区开展了“聚光杯”首届师生创作竞赛活动，某校组织了全校七八年级的同学全部参加这项活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：87，82，83，86，85，87，87． 八年级20名学生竞赛成绩是：65，67，68，71，73，75，75，78，81，83，84，86，86，86，88，95，97，99，99，100． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82.6 82.6 中位数 a 83.5 众数 87 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“聚光杯”首届师生创作竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生660人，八年级有学生600人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）我认为七年级的竞赛成绩好，在七八年级平均成绩均为的情况下，七年级的中位数（或者说众数）比八年级的中位数大，所以七年级成绩好 （3）人 【解析】 【分析】（1） 将数据从小到大排列，最中间的数或最中间的两个数的平均数是中位数；众数是出现次数最多的数，据此分析作答即可； （2）对比七年级、八年级成绩的平均数，中位数，众数后作答即可； （3）用样本中“成绩不低于80分”的学生比例估计总体中“成绩不低于80分”的学生比例进行计算即可． 【小问1详解】 解：七年级：D组成绩有人， C组成绩：人，B组成绩为：82，83，85，86，87，87，87， 七年级20名学生的竞赛成绩 的中位数是：； 八年级20名学生的竞赛成绩中，86分出现了3次，次数最多， 众数； 七年级20名学生中B组成绩的比例为， 组成绩所占的百分比，即； 【小问2详解】 七年级学生“聚光杯”首届师生创作竞赛的成绩较好．理由如下： 在七八年级平均成绩均为的情况下，七年级的中位数比八年级的中位数大， 所以七年级成绩好． 【小问3详解】 样本中七年级竞赛成绩不低于80分占， （人）． 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生共有人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【详解】解： ， 将代入得， 原式． 21. 为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多200米． （1）甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ （2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 【答案】（1）甲工程队计划施工280米，乙工程队计划施工80米 （2）50 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，能够正确把握题目中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意可设乙工程队计划施工米，则甲工程队计算施工米，根据工作总量=工作时间工作效率，即可列式求解； （2）根据题意可设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元，根据工作时间=工作总量工作效率，即可列式求解． 【小问1详解】 解：设乙工程队计划施工米，则甲工程队计算施工米， 由题意得， ， 解之得， ， 则甲工程队计算施工280米，乙工程队计算施工80米； 【小问2详解】 解：设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元， 由题意得，， 解之得， 经检验符合题意， 则， 即甲工程队每月施工费用为50万元． 22. 如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）作图见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】连接，证明，，求解关于x的函数表达式；根据菱形和三角形面积公式得出，，即可求解关于x的函数表达式； 描点连线即可作图函数图象，再分析增减性即可写出一条性质； 先求出，再判断时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：连接，交于点， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积， 当时， ， ∴ ， ， ， ， ， 当时，， 当时， ， ∴ ， ， ，， ， ， ， 当时，， ∴； 的面积， ； 【小问2详解】 解： 函数图象如图所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 【小问3详解】 解：当时， 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）， 当时，或． 23. 某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 【答案】（1） （2）1.6千米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过B作于点E，则，解求出，即可解答； （2）由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，则令其距离恰好为1千米进行计算，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，设，则，利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【小问1详解】 解：由题可知，千米，，， 则中，， ∴，千米， 如图，过B作于点E，则， 在中，（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米； 【小问2详解】 解：由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄， 如图，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，则， 设， ∵无人机的速度是热气球速度的3倍 ∴， ∵B在A的正东方向，D在C的正西方向，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， 即 解得， ∵， ∴（千米）； 答：热气球飞离B处1.6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球． 24. 如图，已知抛物线交x轴于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点P是上方抛物线上一动点，过点P作于点D，点M是x轴上一动点，连接，当最大时，求出点P的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点Q为抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）把，，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）过点作轴于，交于，先求出，，得出最大时，取最大值，求出直线解析式为，设，则，得出，利用二次函数的性质可得，过点O作于，过点作交直线于，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合三角函数可得，得出、、三点在同一条直线上时，取最小值，为，根据三角形内角和定理得出，利用三角函数得出，此时，点与点重合，，即可得出答案； （3）先利用平移的性质及待定系数法求出平移后的抛物线解析式为，分点在轴下方和上方两种情况，分别求出直线的解析式为，的解析式为，联立直线与抛物线的解析式，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于，交于， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，取最大值， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，即取最大值， 当时， ， ∴， 过点作于，过点作交直线于， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、三点在同一条直线上时，取最小值，为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴此时，点与点重合，， ∴， ∴的最小值是． 【小问3详解】 解：如图，设平移后的抛物线的顶点为，平移前抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴，，， ∵直线解析式为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵，， ∴， 当点在轴下方时，交轴于， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：（舍去）， ∴； 当点在轴上方时，交轴于， 同理可得，，直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为，． 25. 在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． （1）如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； （2）如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； （3）如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得和都是等腰直角三角形，则．容易证明，则，，结合可计算出，由三角形内角和定理可计算出； （2）延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，通过等量代换可得，从而证明是等腰直角三角形，则，．容易证明，则，．通过等量代换可得，进而可证明，则，命题得证； （3）先分析点的轨迹，作的外接圆，圆心为点，连接，由旋转的性质和等腰三角形的性质可推断，因此、、、四点共圆，则．再分析点的轨迹，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，，容易证明，从而计算出，，因此点在定直线上．根据线段公理可得，当时，取得最小值，作于点，连接，利用三角函数可计算出，，，最后使用三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作的外接圆，圆心为点，连接，设与交于点， ∵， ∴为圆的直径，即点为的中点， ∵， ∴， 在直角中，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在圆上， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，， 由旋转的性质可知，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴，即点为定点， ∴点在定直线上， ∵，即， 又∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值， 当时，如图，作于点，连接， ∵，， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质与勾股定理，掌握好“手拉手”模型，“倍长中线”模型和“瓜豆”原理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $