精品解析：2026年重庆市武隆县巷口中学等校中考二模数学试题

2026年重庆市武隆县巷口中学等校中考二模数学试题 (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，等腰直角三角板两底角的顶点A，C分别在，上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查全国中学生的身高情况采用全面调查 B. 调查航天飞船零部件的安全性能采用抽样调查 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 平分弧的直径一定垂直于该弧所对的弦 5. 如图，线段与相切于点，连接并延长，交于点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个小太阳，第②个图案中有7个小太阳，第③个图案中有13个小太阳，第④个图案中有21个小太阳，…，按照这一规律，则第⑧个图案中小太阳的个数是（ ） A. 73 B. 57 C. 91 D. 85 7. 已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 2025年9月13日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中心城区赛区在这一赛段一共会举办55场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他所有队伍各进行1场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（ ）支 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9. 如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为自然数，均为正整数．下列说法： ①若，则； ②若，且，则符合条件的的值分别为3，4，3； ③若，令，则的最大值为1． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026春节，重庆文旅交出了一份令人瞩目的成绩单：全市重点监测的130家A级景区累计接待游客12600000人次．数据12600000用科学记数法表示为___________． 12. 有四张形状、大小完全相同的卡片，正面分别写有“中”“考”“加”“油”的字样，背面完全一样．若把这四张卡片背面朝上洗匀，在看不见正面的情况下，随机抽取1张，则抽中正面写有“中”字卡片的概率是___________． 13. 如图，在边长为4的等边中，以中点为圆心，为直径作半圆，分别交，于点，，连接，，则图中阴影部分的面积为___________． 14. 已知是的小数部分，则的值为___________． 15. 如图，内接于，是的直径，为延长线上一点，连接，满足．过点作的垂线，交于点，交于点，连接并延长，与的延长线交于点．若，则的长度为______，的长度为______． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称为“双减数”．例如：四位数，，是“双减数”．将一个“双减数”的千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．若，则___________；若，满足与均为整数，则满足条件的的值是___________． 三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有正整数解． 18. 学习了尺规作图和特殊四边形的性质后，小凌进行了深入的研究，他发现了在平行四边形中构造矩形的一种作法，并与他的同伴进行交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）第一步：构造矩形． 如图，在中，，分别是，边上的点，且，连接，，小凌过点作的垂线，垂足为．请你利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为，则四边形即为矩形不写作法，保留作图痕迹． （2）第二步：利用三角形全等证明他的猜想． 证明：四边形为平行四边形， ． 在与中， ， ． ， ， ___________①___________， ___________②___________． ， ， ∴___________③___________， ， ∴四边形为矩形． 四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 重庆市是一座幅员辽阔，资源丰富，历史悠久的文化名城，是我国第四个直辖市．为了让学生了解重庆的历史变迁，传承巴渝文化，某中学在九年级学生中举办了一场学重庆历史，知巴渝文化的历史知识竞赛，并从甲、乙两个校区各随机抽取名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析，并绘制成如下不完整的统计图表竞赛成绩用表示，总分为分，共分成四个等级，其中优秀：；良好：；合格：；不合格：，下面给出了部分信息： 甲校区中属于良好等级的学生成绩（单位：分）为： ，，，，，，，． 乙校区被抽取学生的成绩单位：分为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲、乙两校区被抽取学生的成绩统计表 校区 甲校区 乙校区 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，并补全条形统计图； （2）已知甲校区九年级学生有名，乙校区九年级学生有名，请估计这所中学这次竞赛成绩达到优秀、良好等级的共有多少人？ （3）根据以上统计数据，你认为甲、乙两个校区中哪个校区的学生竞赛成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． （1）据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ （2）甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 22. 如图，在中，于点．为边上一点，为射线上的点，且满足，连接．用表示线段的长度，的面积为的面积与的面积之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的值(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 23. 小明和小红在某公园中游玩．如图，公园中的五个景点A、B、C、D、E在同一平面内．景点在景点的东偏南方向4千米处，且位于景点正北方向的千米处，景点位于景点的西南方向，景点D、E、C位于东西方向上且千米．（参考数据：） （1）求的长度（结果精确到0.1千米）； （2）若小明从景点出发沿的路线去景点，与此同时小红从景点出发，沿的路线去景点，已知小红的平均速度为0.5千米/分钟．若两人同时到达点，请比较谁的平均速度更快？请通过计算说明． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴负半轴交于点．连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点．，分别为轴和直线上的动点，连接，，．当 取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过原点，点为点关于轴的对称点，点为新的拋物线上一动点，连接，．若 ，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，点D为平面内一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到线段． （1）如图1，点D在线段上，，，点E恰好在的延长线上，延长交于点F，求证：； （2）如图2，，点D在内部，，点E在线段上，连接，G为的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，连接，G为的中点，连接，直线平分，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，当点H到直线的距离最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆市武隆县巷口中学等校中考二模数学试题 (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数大小比较法则即可求解，负数小于0和正数，两个负数比较，绝对值更大的数更小． 【详解】解：∵根据有理数大小比较法则，所有负数小于0，0小于正数 ∴排除正数A选项的和C选项的，只需比较两个负数和 ∵，，且 ∴ 可得四个数大小关系为 ∴最小的数是． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形是指一个图形沿着一条直线对折后，两侧的图形能够完全重合．解题的关键在于理解轴对称图形的定义．解答此类题目的通用方法是：先理解轴对称图形的定义，然后逐一判断每个图形是否具有对称性，有无对称轴，沿着一条直线对折后两侧的图形是否能够完全重合． 【详解】解：A选项中，没有对称轴，无论沿哪条直线对折，图形都不能完全重合，因此不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项中，有两条对称轴，即两线段的中垂线和两横线之间的一条平行线，沿对称轴对折后，两侧的图形能够完全重合，因此是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项中，没有对称轴，无论沿哪条直线对折，图形都不能完全重合，因此不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项中，没有对称轴，无论沿哪条直线对折，图形都不能完全重合，因此不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 3. 如图，，等腰直角三角板两底角的顶点A，C分别在，上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，再根据等腰直角三角形的底角为即可求解． 【详解】解：， ． 在等腰直角三角板中，， ． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查全国中学生的身高情况采用全面调查 B. 调查航天飞船零部件的安全性能采用抽样调查 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 平分弧的直径一定垂直于该弧所对的弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计调查方式的选择，特殊四边形的判定以及圆的垂径定理推论，逐一判断选项即可得到正确答案． 【详解】对于选项A，因为调查全国中学生身高情况，总体数量大，难以开展全面调查，应选择抽样调查，故选项A错误； 对于选项B，因为航天飞船零部件的安全性能要求每个零件都合格，不能遗漏，必须采用全面调查，故选项B错误； 对于选项C，因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，故选项C错误； 对于选项D，根据垂径定理的推论，平分弧的直径一定垂直于该弧所对的弦，故选项D正确． 5. 如图，线段与相切于点，连接并延长，交于点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，可知，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ， 和是同弧所对的圆周角和圆心角， ． 6. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个小太阳，第②个图案中有7个小太阳，第③个图案中有13个小太阳，第④个图案中有21个小太阳，…，按照这一规律，则第⑧个图案中小太阳的个数是（ ） A. 73 B. 57 C. 91 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】根据前四个图案中小太阳的个数，即可得出数字变化的规律，求出第n个图案中小太阳的个数，然后根据规律解答即可． 【详解】第①个图案中有(个)小太阳； 第②个图案中有(个)小太阳； 第③个图案中有(个)小太阳； 第④个图案中有(个)小太阳， ∴第n个图案中有个小太阳， 当时，， ∴第⑧个图案中小太阳的个数是73． 7. 已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小， ∴， 解得． 8. 2025年9月13日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中心城区赛区在这一赛段一共会举办55场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他所有队伍各进行1场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（ ）支 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是支，根据单循环赛制可得一共会举办场比赛，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是支， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是11支． 9. 如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，可证，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据等角对等边可知，根据可得，根据，可证，根据相似三角形的对应边比例可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 10. 已知整式，其中n为自然数，均为正整数．下列说法： ①若，则； ②若，且，则符合条件的的值分别为3，4，3； ③若，令，则的最大值为1． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法代入不同x值，求出多项式系数关系，判断结论①正误；根据展开式常数项、最高次项性质，结合整数范围分析，判定结论②；赋值代换得到字母关系式，转化为二次函数，配方求出最值，验证结论③． 【详解】当时， ， 令，可得． 令，则． 令，则， 两式相加得 ， ； ①错误； 由二项式展开可知常数项，最高次项系数． ， 正整数解为， ∵，且， ∴正整数解为或， ∵要同时满足和， ∴需要两个的值相同． 当时，无正整数解； 当时，无正整数解； 当时，无正整数解， ∴无符合条件的正整数k，n，b， ②错误； 当时，， 令，则 ， ， ， 当时，的最大值为， ③正确． 综上所述，正确的个数是1． 二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026春节，重庆文旅交出了一份令人瞩目的成绩单：全市重点监测的130家A级景区累计接待游客12600000人次．数据12600000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法：（，n为整数），解题思路为根据科学记数法的定义确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 12. 有四张形状、大小完全相同的卡片，正面分别写有“中”“考”“加”“油”的字样，背面完全一样．若把这四张卡片背面朝上洗匀，在看不见正面的情况下，随机抽取1张，则抽中正面写有“中”字卡片的概率是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，根据概率的定义，先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，随机抽取张卡片，所有等可能的结果共有种，其中抽中正面写有“中”字卡片的结果有种， 则抽中正面写有“中”字卡片的概率是． 13. 如图，在边长为4的等边中，以中点为圆心，为直径作半圆，分别交，于点，，连接，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求阴影部分的面积，等边三角形的判定和性质，等边三角形的面积公式（为等边三角形的边长）的运用．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先证明和是等边三角形，然后根据计算即可． 【详解】解：是等边三角形， 是等边三角形， 同理可得，是等边三角形． 是的中点， ． 14. 已知是的小数部分，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的整数部分，然后得出小数部分即可得解． 【详解】解：由题知， ， ， ， ∴的整数部分为4，小数部分， ∴ ． 15. 如图，内接于，是的直径，为延长线上一点，连接，满足．过点作的垂线，交于点，交于点，连接并延长，与的延长线交于点．若，则的长度为______，的长度为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质可证，设，则，利用勾股定理可得，即得，，，又由垂径定理可得垂直平分，进而可证，得到，，利用三角形的面积得，得到，，，即得，再利用三角形内角和定理可推出，得到，最后根据正切的定义解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ∴， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴，， ∴， 是的直径，弦， 垂直平分， ， ， ， ，， ∵， ∴， 解得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称为“双减数”．例如：四位数，，是“双减数”．将一个“双减数”的千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．若，则___________；若，满足与均为整数，则满足条件的的值是___________． 【答案】 ①. 86 ②. 8260 【解析】 【分析】先分别将，用十进制表示出来，再计算，建立等式化简即可得的值；然后分别求出，，求出的取值范围，最后结合与均为整数进行分类讨论即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵，，，，且，均为整数， ∴，， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴是13的倍数， ∴所有可能的取值为， ∴①当时，，， 此时，为整数，符合题意， 则此时； ②当时，，， 此时，不是整数，不符合题意，舍去； ③当时，，；或，， 此时中的，没有意义，舍去； 或，不是整数，不符合题意，舍去； ④当时，，， 此时，不是整数，不符合题意，舍去； ⑤当时，则，在，内，不可能同时为整数，舍去； 综上，满足条件的的值是． 三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有正整数解． 【答案】1，2，3 【解析】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有正整数解为1，2，3． 18. 学习了尺规作图和特殊四边形的性质后，小凌进行了深入的研究，他发现了在平行四边形中构造矩形的一种作法，并与他的同伴进行交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）第一步：构造矩形． 如图，在中，，分别是，边上的点，且，连接，，小凌过点作的垂线，垂足为．请你利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为，则四边形即为矩形不写作法，保留作图痕迹． （2）第二步：利用三角形全等证明他的猜想． 证明：四边形为平行四边形， ． 在与中， ， ． ， ， ___________①___________， ___________②___________． ， ， ∴___________③___________， ， ∴四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）①，②，③ 【解析】 【分析】（1）根据题意过点作的垂线，垂足为，即可求解； （2）先证明，再证明，即可得出四边形为矩形． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ． 在与中， ， ． ， ， ， ． ， ， ∴， ， ∴四边形为矩形． 四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 重庆市是一座幅员辽阔，资源丰富，历史悠久的文化名城，是我国第四个直辖市．为了让学生了解重庆的历史变迁，传承巴渝文化，某中学在九年级学生中举办了一场学重庆历史，知巴渝文化的历史知识竞赛，并从甲、乙两个校区各随机抽取名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析，并绘制成如下不完整的统计图表竞赛成绩用表示，总分为分，共分成四个等级，其中优秀：；良好：；合格：；不合格：，下面给出了部分信息： 甲校区中属于良好等级的学生成绩（单位：分）为： ，，，，，，，． 乙校区被抽取学生的成绩单位：分为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲、乙两校区被抽取学生的成绩统计表 校区 甲校区 乙校区 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，并补全条形统计图； （2）已知甲校区九年级学生有名，乙校区九年级学生有名，请估计这所中学这次竞赛成绩达到优秀、良好等级的共有多少人？ （3）根据以上统计数据，你认为甲、乙两个校区中哪个校区的学生竞赛成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)． 【答案】（1），，补全统计图见解析 （2）估计这所中学这次竞赛成绩达到优秀、良好等级的共有人 （3）乙校区的学生竞赛成绩更好 【解析】 【分析】（1）先根据甲校区的总人数和条形统计图、良好等级的成绩数据，确定甲校区各等级人数，再求中位数；根据乙校区的成绩数据，找出出现次数最多的数，确定众数；最后根据人数补全条形统计图． （2）先分别计算甲、乙校区样本中优秀、良好等级的人数占比，再结合两个校区的总人数，用样本估计总体的方法，计算出两个校区优秀、良好等级的总人数并求和． （3）对比甲、乙校区的中位数、众数、优秀率等统计量，选择一个能体现成绩优劣的统计量进行分析，给出合理结论． 【小问1详解】 解：甲校区不合格人数， 甲校区合格人数， 甲校区良好人数， 甲校区优秀人数． 将甲校区名学生成绩从小到大排列，第、个数据均在良好等级中，为和， ∴ 乙校区成绩中出现的次数最多， ∴． 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：人， 答：估计这所中学这次竞赛成绩达到优秀、良好等级的共有人； 【小问3详解】 解：乙校区的学生竞赛成绩更好． 理由：两个校区抽取学生成绩的平均数相同，乙校区成绩的中位数大于甲校区成绩的中位数， ∴乙校区的学生竞赛成绩更好． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． （1）据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ （2）甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 【答案】（1）去年有3万人参赛，今年有万人参赛 （2）甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时 【解析】 【分析】（1）设去年有万人参赛，则今年有万人参赛，根据“今年与去年共有万人参赛”列方程求解即可； （2）设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时，根据“甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设去年有万人参赛，则今年有万人参赛， 根据题意得， 解得， ∴今年参赛的人数为（万人）， 答：去年有3万人参赛，今年有万人参赛； 【小问2详解】 解：设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴乙全程的平均速度为（公里/小时）， 答：甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时． 22. 如图，在中，于点．为边上一点，为射线上的点，且满足，连接．用表示线段的长度，的面积为的面积与的面积之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的值(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 【答案】（1）， （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理得到，，根据当和时，分情况讨论，通过计算三角形的面积得到关于的表达式，过作于点，根据等面积法得到，进而通过计算的面积得到关于的表达式． （2）根据函数表达式绘制函数图象，并根据函数图象得到函数的性质． （3）当时，根据当和时，分情况讨论，解得此时的值即为答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点到点的距离为， ∴， ∵点不与点重合， ∴，且， ∴， 如图，过作于点， 则，即，解得：， ∴， ∵点不与点重合， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据函数表达式，，画出函数图像如图所示， 根据函数图象可得， 的性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； 的性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：当时， 当时，即， 整理得：， ∵判别式， ∴无实根， 当时，， 整理得：，解得：， ∵， ∴取， ∴当时，． 23. 小明和小红在某公园中游玩．如图，公园中的五个景点A、B、C、D、E在同一平面内．景点在景点的东偏南方向4千米处，且位于景点正北方向的千米处，景点位于景点的西南方向，景点D、E、C位于东西方向上且千米．（参考数据：） （1）求的长度（结果精确到0.1千米）； （2）若小明从景点出发沿的路线去景点，与此同时小红从景点出发，沿的路线去景点，已知小红的平均速度为0.5千米/分钟．若两人同时到达点，请比较谁的平均速度更快？请通过计算说明． 【答案】（1）9.8千米； （2）小明的平均速度更快，说明见解析． 【解析】 【分析】（1）过点A作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，则四边形AFCG是矩形，利用锐角三角函数求解即可； （2）分别求出小明和小红的路程，再根据两人的时间相等，求出小明的平均速度比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形， ， 在中，千米， （千米），（千米）， （千米）． 千米， （千米）， （千米）． 在中，， （千米）， 答：的长度约为9.8千米； 【小问2详解】 解：千米，千米， （千米）， （千米）， 在中，，千米， 千米， ∴小明的路程为千米， 小红的路程为 （千米）， ∵小红的平均速度为0.5千米/分钟， ∴小红所用的时间为（分钟）， ∴小明所用的时间也是24分钟， ∴小明的平均速度为（千米/分钟）， ， ∴小明的平均速度更快． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴负半轴交于点．连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点．，分别为轴和直线上的动点，连接，，．当 取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过原点，点为点关于轴的对称点，点为新的拋物线上一动点，连接，．若 ，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或，过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据的正切值可求解点的坐标，再将点与点的坐标代入求解即可； （2）先由平行得到，即可得，再求解直线的表达式，设 ，可得．当四点共线时，的周长取得最小值，由此求解最小值即可； （3）先求解出平移后的二次函数解析式，再分别求解出对应的一次函数解析式，再联立一次函数与二次函数的解析式求解交点即可求解点的坐标． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 将代入中， 得，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解： ． 轴， ， ，即， ， ， 设直线的表达式为， 将点代入， 可得，解得， 则直线的表达式为． 设 ， 则 ， ． ， 当时， 取得最大值， 此时． 作点关于轴的对称点，点关于的对称点， 记与交点为点，过点作轴于点， 连接，如图1， 点关于的对称，则， ，即， 则有，即， 可得，， ， ， ，可得， 则点的纵坐标为， 同理可得，则点的横坐标为， 则 由对称性可知 ， 的周长为 ， 当四点共线时，的周长取得最小值， 最小值为； 【小问3详解】 解：符合条件的点的坐标为 或 ， 令，解得或， ， ， 是等腰直角三角形， 当抛物线沿射线方向平移一定距离时， 以为斜边，构造等腰，将拋物线沿方向的平移转化为沿方向和方向的平移， 可设为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度． ． 经过原点， ，解得或(舍去)， ． 由对称性可知． 取点，连接 ，如图2， ， ， ． 过点作的平行线，交抛物线于点， ， 即 ． 由 可知直线的表达式为， ∴可设所在直线的表达式为． 将代入得， 所在直线的表达式为 ． 联立，解得或(舍去)， ； 取点，连接 ， ， ， ， ， 记与的交点为， ， 由，可知直线的表达式为， 联立，解得或(舍去)， ． 综上所述，符合条件的点的坐标为)或． 25. 如图，在中，，点D为平面内一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到线段． （1）如图1，点D在线段上，，，点E恰好在的延长线上，延长交于点F，求证：； （2）如图2，，点D在内部，，点E在线段上，连接，G为的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，连接，G为的中点，连接，直线平分，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，当点H到直线的距离最大时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）因为绕D逆时针旋转α得到，所以，可先推导的内角角度；因为是等腰直角三角形，所以可得出的度数；要证，可通过推导和的度数相等来实现，利用三角形内角和定理及外角性质分析角度关系． （2）因为G是中点，考虑构造中位线或倍长中线；因为旋转得到，，可推导和的关系，可能用到相似三角形或全等三角形的判定定理；要找与的数量关系，可通过构造的辅助线将和转化到同一个三角形中，利用特殊三角形的性质分析． （3）延长至M，使，连接，，则垂直平分，由是等边三角形，，平分，得，由，可得，点D是在以为直径的圆上运动，设圆心为O，交于点K，连接，，当过点O时，最大，四边形是矩形，得，求出，，，得，由，得． 【小问1详解】 解：由旋转可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：理由如下： 延长至M，使，连接， 由旋转可知：，， ∴， ∵G为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 即： ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长至M，使，连接，， 由翻折知，垂直平分，设垂足为点J， 由（2）知，是等边三角形，， ∵平分，设直线交于点N， ∴， 由旋转知，， 当点D在左下方时，， 当点D在右上方时， ∵， ∴， ∴点D是在以为直径的圆上运动， 设圆心为O，交于点K，连接，， 当过点O时，为直径，最大， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $