强化练4 全等三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年七年级下册数学期末真题精编（北师大版·新教材）郑州专版

专项专练小卷 强化练4全等三角形的综合探究 满分：40分得分： 编者按：本专项结合当地期末考情，针对性设置全等三角形的常见模型、全等三角形的动点问 题等，帮助学生集中突破期末高频难点 1.（10分)如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC,且BE=BA,点F是BE的延长线上一点，且 BF=BC,过点F作FD⊥BC于点D (1)试说明：∠BEC=∠BAF; (2)判断△AFC的形状并说明理由； (3)若CD=2,求EF的长， 题 型强化 2.〔郑州市惠济区〕(10分)(1)如图1，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，以AD为边在 AD右侧作等边三角形ADE,连接CE,猜想BD与CE的数量关系是 ;∠B与∠ACE的数量关系是 (2)如图2，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为边BC上 动点，连接CE ①试说明(1)中两个结论是否仍然成立.若成立，请写出说理过程；若不成立，请说明理由 ②若BC=6,请直接写出点A到CE的距离. 图1 图2 郑州都市版数学七年级下册北师 25 3.设题新角度综合与实践了(10分)【特例探究】如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，试说 明：AB+AC>2AD (1)尺规作图：延长线段AD到点E,使得DE=AD,连接BE. (2)补全解答过程： 解：因为AD是△ABC中BC边上的中线，所以BD= 因为∠BDE= ,DE=AD,所以△BDE≌△CDA 所以 =AC 因为在△ABE中，AB+BE> 所以AB+AC>2AD. 【问题解决】 (3)如图2，AD是△ABC中BC边上的中线，点E,F分别在AB,AC边上，且DE⊥DF.试说明： BE CF>EF. E B D 0 题型强化练 图1 图2 4.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,AB=10,P,Q分别是边AC,BC上 的动点，PDLAB于点D,OELAB于点E,点P,Q同时开始运动，运动的时间是ts(t>0) (1)若点P,Q分别从A,B两点同时出发，沿AC,BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1 个单位长度，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动 ①在运动过程中，△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由 ②已知DP:AD:AP=3:4:5,则当t=2.5时，ED= (2)若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻 以同样的速度沿AC返回到点C;点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动.当其中一点到达点C后，两点均停止运动.当t为何值时，△APD和△OBE全等？ B 备用图 26 郑州都市版数学七年级下册北师3.解：(1)因为AD⊥DE,BE⊥DE, 所以LADC=∠CEB=90°. 因为∠ACB=90°， 所以LACD+∠BCE=∠ACD+∠DAC=90°， 所以∠DAC=∠BCE. (3分) 因为AC=CB,所以△ADC≌△CEB. (5分) (2)设砌墙的砖块每块的厚度为acm.所以AD= 4acm,BE=3acm.由(1)知△ADC≌△CEB. 所以DC=BE=3acm,AD=CE=4acm. 所以DE=DC+CE=7acm. (8分) 因为DE=42cm,所以7a=42.所以a=6. 所以砌墙的砖块每块的厚度为6cm, (10分) 4.解：(1)设BD与AC交于点O.因为AB=AD,CB=CD, AC=AC,所以△ABC≌△ADC.所以LBAO=∠DAO, 即AO平分∠BAD. (2分) 因为AB=AD,所以△ABD是等腰三角形 所以AC⊥BD. (4分) (2)在BC上截取BE=AB,连接AE,过点E作EF⊥ AC于点F,如图. 因为AB=AD,∠BAD=108°，所以LABD=∠ADB= 36.由（①得，∠BAC=DAC=BAD=5.同理， 可得LCBD=72°.所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=108°. 因为BE=AB,所以∠BAE=∠BEA=36°.(6分) 所以∠ADB=∠BAE,∠ABD=∠BEA,∠EAC= ∠BAC-∠BAE=18°.所以△ABD≌△BEA.所以 BD=AE. (8分) 因为CB=CD,AC⊥BD,∠BCD=36°，所以∠ACE= 7∠BCD=18°.所以LACE=∠EAC 因为EF=EF,∠EFC=∠EFA=90°，所以△AEF≌ △CEF.所以AE=CE.所以CE=BD.所以BC= BE+CE=AB+BD. (11分) 郑州都市版数学 强化练4全等三角形的综合探究 1.解：(1)因为BE平分LABC,所以LEBC=∠ABF.因 为BE=BA,BC=BF,所以△BEC≌△BAF.所 以LBEC=∠BAF. (3分) (2)△AFC是等腰三角形 (4分) 理由：因为BA=BE,BC=BF,所以∠BAE=∠BEA, ∠BCF=∠BFC.因为∠ABF=∠EBC,所以∠BAE= ∠BEA=∠BCF=∠BFC.因为LBEA=∠CEF,所以 LCEF=∠BFC.过点C作CM⊥BF于点M.所以 LCME=∠CMF=90°.因为CM=CM,所以△CME≌ △CMF.所以CE=CF.因为△BEC≌△BAF,所以 CE=AF.所以CF=AF.所以△AFC是等腰三角形 (7分) (3)因为FD⊥BC,所以∠FDC=∠CMF=90°.因为 ∠BCF=∠BFC,CF=FC,所以△DCF≌△MFC.所 以MF=CD=2.因为CE=CF,所以EM=MF=2. 所以EF=EM+MF=4. (10分) 2.解：(1)BD=CE∠B=∠ACE (2分) (2)①(1)中两个结论仍然成立， (3分) 因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAD+∠DAC= ∠CAE+∠DAC=90°.所以∠BAD=∠CAE 因为△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，所以 AB=AC,AD=AE.所以△BAD≌△CAE.所以BD= CE,∠B=∠ACE. (7分) ②点A到CE的距离为3. (10分) 【解析】过点A分别作AH⊥CE于点H,AG⊥BC于点 G.由①知，△BAD≌△CAE.所以AG=AH.因为△ABC 是等腰直角三角形，所以G为BC的中点，AG平分 ∠BAC,LB=∠ACB=45.所以BG=CG=BC= 2∠BAC=45°.所以∠B= 3,∠BAG=∠CAG= ∠CAG,∠BAG=∠ACB.所以△ABG≌△CAG.所以 AG=BG=3.所以AH=3,即点A到CE的距离为3. 3.解：(1)如图①所示. (2分) 七年级下册北师 8 图① (2)CD∠ADC BE AE (6分) (3)如图②，延长FD至点G,使得DG=FD,连接 BG,EG. D 图② 因为AD是△ABC中BC边上的中线，所以BD=CD, 因为∠BDG=∠CDF,DG=DF, 所以△BDG≌△CDF.所以BG=CF (8分) 因为∠EDG=∠EDF=90°，ED=ED,DG=DF, 所以△EDG≌△EDF.所以EG=EF. 因为在△BEG中，BE+BG>EG, 所以BE+CF>EF. (10分) 4.解：(1)①在运动过程中，△APD和△QBE保持全 等 (1分) 理由：根据题意，得AP=BQ=t. 因为∠C=90°，PDLAB,QE⊥AB, 所以∠ADP=∠C=∠QEB=90°. 所以∠A+∠APD=∠A+∠B=90°. 所以LAPD=∠B.所以△ADP≌△QEB. (4分) ②6.5 (6分) 【解析】由(1)得AP=t=2.5,△ADP≌△QEB.所以 DP=BE.因为DP:AD:AP=3:4:5,所以DP= AP=15,4D=4P2所以E15.因为4B9 4 10,所以ED=AB-AD-BE=6.5 (2)根据题意，得当点P运动到点A时，t=8÷3= 当点P返回到点G时=8×2÷3-5，当点0 6 郑州都市版数学 运动到点C时，t=6÷1=6. 所以当△APD和△QBE全等时，有以下两种情况： ①当点P从点C向点A运动，即0≤：≤号时，则 CP=3t,AP=8-3t,BQ=t. 因为△APD≌△OBE,所以AP=BO,即8-3t=t.解 得t=2. (8分) ②当点P从点A向点C运动，即<≤时，AP 3t-8,BQ=t. 因为△APD≌△QBE,所以AP=BQ,即3t-8=t.解 得t=4.综上所述，当t的值为2或4时，△APD和 △QBE全等 (10分) 进阶练1教材素材改编题 一、选择题 1.C2.D3.B 4.C【解析】根据题意，得主卧与客卧的面积之和 为(a2+b2)m2,住房的总面积为(a+b)2m2.所以阴 影部分的面积为[(a+b)2-a2-b3m2 所以a2+b2=(a+b)2-a2-b2+1,即a2+b2=2ab +1.因为(a-b)2=a2+b2-2ab,所以(a-b)2=1. 因为a>b,所以a-b=1.所以主卧与客卧的周长 差为4a-4b=4(a-b)=4×1=4(m).故选C. 5.B【解析】根据题意，得点P表示出发6h时，小 李共骑行80km.B正确.小李的实际骑行时间为 6-1=5(h).A不正确.3~6h小李骑行的平均速 度为80-30)÷(6-3)-9A).0-2h小李骑 行的平均速度为30÷2=15(kmMA).因为9>15。 所以3~6h时小李骑行的平均速度比0~2h时的 快.C不正确.在前3h内，小李的平均速度是30÷ 3=10(km/h).D不正确.故选B. 二、填空题 6.4 7.①②③【解析】因为∠C=90°，DE⊥AB,BD是 △ABC的角平分线，所以LABC=2LABD=2LCBD, DE=DC,①正确.因为∠A+∠ABC=∠A+∠ADE= 七年级下册北师