精品解析：广东汕尾市海丰县2025—2026学年度第二学期九年级模拟考试数学试卷

海丰县2025—2026学年度第二学期九年级模拟考试 数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中属于主视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年春晚，人形机器人凭借武术表演，小品搭戏等节目成为焦点，引发消费市场抢购，据悉某平台“春晚同款”机器人每台售价元，一上架即被抢购一空，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线a、b被直线c所截．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线 7. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 农技员为对比甲、乙两个品种水稻的长势，从两块试验田中各随机选取株水稻，测量其株高数据．已知两组数据的平均数相同，方差分别为，，则这两种水稻长势更整齐的是_________（填“甲”或“乙”） 13. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为____________． 14. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则_____． 15. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O、C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 项目调研 项目主题 某学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 海丰有庄严肃穆的革命旧址、星罗棋布的红色遗迹和可歌可泣的红色故事．某学校计划组织学生前往以下5个红色景点中的一个景点进行研学，5个研学景点分别为：A．海丰红宫红场旧址：B．彭湃烈士故居；C．红四十九团团部遗址；D．海丰总农会旧址；E．红二师师部遗址．数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学景点）． 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，意向参加E研学景点人数对应的扇形圆心角度数是_________°； （2）若该校共有名学生，请你估计全校参加A研学景点的学生人数； （3）甲同学从A，B，D三个景点中随机选择一个参加研学，乙同学从A，B两个景点中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学景点的概率． 20. 近年来，海丰县城中山中路片区城镇老旧小区改造工程有序推进，通过基础设施升级与环境整治，让承载城市记忆的街巷焕发新生．某施工队承担了一处总面积为960平方米的外墙翻新任务，安排甲、乙两名工人分别使用A，B两种外墙涂料，各完成总粉刷任务的一半．经测算，完成该任务共需要A，B两种涂料各200千克，采购两种涂料的总费用为9400元．已知A种涂料每千克的售价比B种涂料每千克多3元． （1）求A，B两种外墙涂料每千克的售价各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷的外墙面积是甲每小时粉刷面积的，乙完成自己的粉刷任务比甲多用4小时．求甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 21. 如图，在中，，，点为线段上一点（点除外），过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请求出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值精确到个位） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【教材再现】 工人师傅常用角尺平分一个任意角．如图，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．过角尺顶点C的射线便是的平分线． 【模型建立】 （1）如图1，从平分做法中抽象出几何图形．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 23. 综合与探索． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于点、，与轴相交于点，点的坐标是． 【知识技能】 （1）_________； （2）当，且时，的最大值和最小值分别是、，且，求的值； 【拓广探索】 （3）连接，是该二次函数的图像上位于轴右侧的一点（点除外），过点作轴，垂足为．作，射线交轴于点，连接、．若，请直接写出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海丰县2025—2026学年度第二学期九年级模拟考试 数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握负数比较大小的规则是解题关键．要找比低的温度，只需找出比小的数即可． 【详解】解：∵比低的温度是小于的温度，根据有理数大小比较规则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． ∴比较各选项数值可得： ， ∴只有比低，故选A． 2. 如图，是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中属于主视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图中的主视图，主视图是从正面看． 【详解】解：如图，主视图是从正面看， 其主视图（从下往上叠）从左到右分别有2个、1个、2个小正方形，如下图． 3. 2026年春晚，人形机器人凭借武术表演，小品搭戏等节目成为焦点，引发消费市场抢购，据悉某平台“春晚同款”机器人每台售价元，一上架即被抢购一空，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题需根据科学记数法的定义确定a和n的值，得到正确结果． 【详解】解：科学记数法的标准形式为，要求满足，n为整数， ∵将原数转变为符合要求的a，得，小数点向左移动了5位， ∴，因此． 4. 如图，直线a、b被直线c所截．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的性质即可求解． 【详解】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长， 故选：A． 【点睛】本题考查线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变， ∴平移后的点坐标为， 故选：B． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：x＞1， 由②得：x≤4， 不等式组的解集为：1＜x≤4， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确确定两个不等式的解集． 9. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质推出，进而得到，再根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ． 10. 如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设，则，在中，，解得，，故． 【详解】解：如图，连接，由折叠知，， 设，则， 在中，， 化简得，，即， 解得，， ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 12. 农技员为对比甲、乙两个品种水稻的长势，从两块试验田中各随机选取株水稻，测量其株高数据．已知两组数据的平均数相同，方差分别为，，则这两种水稻长势更整齐的是_________（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义判断，方差越小数据波动越小，长势越整齐，比较两个方差的大小即可得到结果． 【详解】解：方差的意义是反映数据波动的大小，在平均数相同的情况下，方差越小，数据波动越小，长势越整齐， 已知，， 可得，即， 因此甲品种水稻的波动更小，长势更整齐． 13. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题的关键． 由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图， 由量角器可知，， ∴， 即所量内角的度数为， 故答案为：． 14. 关于x的一元二次方程的一个根是2，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故答案为：8． 15. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，，垂足为H．则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】5 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O、C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形性质求出的长，利用勾股定理求出的长，再解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可． 熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，． ， ， 在中，， ， （）， 无人机从点到点的上升高度为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 项目调研 项目主题 某学校学生研学需求情况调查 调查人员 数学兴趣小组 调查方法 抽样调查 调研内容 海丰有庄严肃穆的革命旧址、星罗棋布的红色遗迹和可歌可泣的红色故事．某学校计划组织学生前往以下5个红色景点中的一个景点进行研学，5个研学景点分别为：A．海丰红宫红场旧址：B．彭湃烈士故居；C．红四十九团团部遗址；D．海丰总农会旧址；E．红二师师部遗址．数学兴趣小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学景点）． 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，意向参加E研学景点人数对应的扇形圆心角度数是_________°； （2）若该校共有名学生，请你估计全校参加A研学景点的学生人数； （3）甲同学从A，B，D三个景点中随机选择一个参加研学，乙同学从A，B两个景点中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求两位同学选择相同研学景点的概率． 【答案】（1）见解析； （2）估计全校参加A研学景点的学生人数为人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据E的人数除以占比得到总人数，根据D的占比乘以总人数得到D的人数，进而根据总人数减去其他组的人数求得A的人数，进而补全统计图，根据E的占比乘以即可得出意向参加E研学景点人数对应的扇形圆心角度数； （2）根据样本估计总体，用乘以样本中A的占比，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：(名) (名) (名) 补全统计图如图， （度） 【小问2详解】 解：（人） 估计全校参加A研学景点的学生人数为人； 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 共有6种等可能结果，其中两位同学选择相同研学景点的结果数有2种， 两位同学选择相同研学景点的概率为． 20. 近年来，海丰县城中山中路片区城镇老旧小区改造工程有序推进，通过基础设施升级与环境整治，让承载城市记忆的街巷焕发新生．某施工队承担了一处总面积为960平方米的外墙翻新任务，安排甲、乙两名工人分别使用A，B两种外墙涂料，各完成总粉刷任务的一半．经测算，完成该任务共需要A，B两种涂料各200千克，采购两种涂料的总费用为9400元．已知A种涂料每千克的售价比B种涂料每千克多3元． （1）求A，B两种外墙涂料每千克的售价各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷的外墙面积是甲每小时粉刷面积的，乙完成自己的粉刷任务比甲多用4小时．求甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】（1）种外墙涂料每千克的售价为25元，B种外墙涂料每千克的售价为22元 （2）甲每小时粉刷外墙的面积是24平方米 【解析】 【分析】（1）设A种外墙涂料每千克的售价为元，则B种外墙涂料每千克的售价为元，根据采购两种涂料的总费用为9400元建立方程求解，即可解题； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米，根据乙完成自己的粉刷任务比甲多用4小时，建立分式方程求解，即可解题． 理解题意建立方程是解本题的关键． 【小问1详解】 解：设A种外墙涂料每千克的售价为元，则B种外墙涂料每千克的售价为元， ， 解得， ， 种外墙涂料每千克的售价为25元，B种外墙涂料每千克的售价为22元． 【小问2详解】 解：设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米， ， 解得， 经检验：是原方程的根，且符合题意， 甲每小时粉刷外墙的面积是24平方米． 21. 如图，在中，，，点为线段上一点（点除外），过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请求出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值精确到个位） 【答案】（1），； （2）见解析；当时的取值范围为． 【解析】 【分析】（）由，得，则，的周长与的周长之比为，然后代入即可求解； （）先画出函数图象，再根据图象即可求出时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，的周长与的周长之比为， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：列表， 描点： 连线，如图， 由函数图象可知，当时的取值范围为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【教材再现】 工人师傅常用角尺平分一个任意角．如图，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．过角尺顶点C的射线便是的平分线． 【模型建立】 （1）如图1，从平分做法中抽象出几何图形．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可求证； （2）选择②为条件，①为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，即可解答；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，即可解答； （3）连接，取的中点F，连接，证明，可得，即可解答． 【小问1详解】 证明：在和中， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：选择②为条件，①为结论： 如图，在取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ，，， ， ，， ，， =， =， ∠C=∠， ； 选择①为条件，②为结论： 如图，在取点N，使，连接， 平分， ， 在△和中， ，，， ， ，， ， ， ∠=∠C， =， =， ， ； 【小问3详解】 证明：如图，连接，取的中点F，连接， 平分， ， ，， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 23. 综合与探索． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于点、，与轴相交于点，点的坐标是． 【知识技能】 （1）_________； （2）当，且时，的最大值和最小值分别是、，且，求的值； 【拓广探索】 （3）连接，是该二次函数的图像上位于轴右侧的一点（点除外），过点作轴，垂足为．作，射线交轴于点，连接、．若，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1）4 （2） （3）点的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）令，求得点的坐标，即可求解； （2）根据对称轴为直线，当，且时，随着的增大而增大，进而表示出根据建立方程，解方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，当点在轴下方抛物线上时，当点在轴上方抛物线上时，根据，，根据角的正切的定义，确定点的位置，进而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴，即， 【小问2详解】 解：将点代入得， ，解得， 解析式为：， 对称轴为直线， 当，且时，随着的增大而增大， 当时，最大值 ，当时，最小值 由得， ， 解得或（舍） ； 【小问3详解】 解：点的横坐标为或． 当点在轴下方抛物线上时，如图1所示 当点与点关于直线对称时，四边形是矩形， 此时点的坐标为，，连接 ， 又 ， ， ， 点与点重合， ； 当点在轴上方抛物线上时，如图2所示 由题意知，且， 四边形为平行四边形 轴， ， 设 ， ，则 ， ， ，解得， ， 将点代入， 得： ， 解得或（舍）， ， 综上：点的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $