精品解析：广东汕尾市陆丰市玉燕中学2025-2026学年度第二学期九年级学情自测5 数学科问卷

2025-2026学年度第二学期九年级月考5 数学科问卷 本试卷共2张7页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上， 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 第十五届全国运动会于2025年在广东、香港、澳门三地联合举办，据测算，全运会期间，某赛区所有比赛场馆使用绿电，减少的碳排放量相当于植树2700000棵．将2700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛的7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 79 C. 79.5 D. 80 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点D在边的延长线上，．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 某药品经过两次降价， 售价由 200 元降为 162 元． 设两次降价的百分率都为 ， 则 满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：____________． 12. 计算________． 13. 如图，内接于，是直径，若，则___________°． 14. 若关于的方程有实数根，请你写出一个符合条件的常数的值：________． 15. 若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程 下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成下列问题． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 （1）上述解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是_____________________； （2）第三步变形的依据是__________________，该一元一次方程正确的解是____________； （3）小敏改正错误后，又进行了巩固训练，请你和她一起解所选的方程：． 17. 如图，在中，的半径为3．请判断直线与的位置关系，并说明理由． 18. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题． （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管AB的长． 四、解答题（二）：本大题开3小题，每小题9分，开27分． 19. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．某校计划开展“春晚机器人·科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： A．机器人控制；B．人工智能；C．智能算法；D．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中发放如下所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “春晚机器人·科技向未来”主题日学生研学意向调查问卷 请在下列选项中选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．机器人控制□ B．人工智能□ C．智能算法□ D．机械结构□ E．生活应用□ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）学校有600名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下面的活动日程表可知，A和C两场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，D，E三场讲座，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8：00-9：30 A 10：00-11：30 C 14：30-16：00 设备检修暂停使用 21. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一块固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器改变电流的大小来完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻，之间的关系为，小冉同学通过实验得出的数据如下： … 3 4 6 9 … … 3 2.25 2 … （1）________；________；________； 【探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，请你结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①请在图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； ②观察图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值逐渐________（填“增大”或“减小”） 【拓展】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，关于x的不等式的解集为________． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后函数称为原函数的变构函数，例．二次函数的变构函数为． （1）求一次函数的变构函数的函数表达式： （2）点在反比例函数的变构函数图象上，求的值： （3）函数的解析式，点的坐标分别为，连接，线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时，直接写出a的值或取值范围． 23. 【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴． （1）【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是______；（填序号） （2）如图1，在平面直角坐标系中，若点，，，组成的四边形为对称四边形，则满足点的个数为______； （3）【性质探究】如图2，对称四边形关于直线对称，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，求对称四边形的面积． （4）【拓展应用】如图3，在菱形中，，点为对角线上一点，沿边折叠得到，延长交射线于，则当，，，组成的四边形为对称四边形时，求的值．（作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级月考5 数学科问卷 本试卷共2张7页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上， 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 第十五届全国运动会于2025年在广东、香港、澳门三地联合举办，据测算，全运会期间，某赛区所有比赛场馆使用绿电，减少的碳排放量相当于植树2700000棵．将2700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需依据科学记数法的定义，把数字转化为（，为整数）的形式，核心是确定与的值，n的绝对值等于小数点移动的位数． 【详解】解：， 故选：D． 3. 如图是由3个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看所得到的图形即可解答． 【详解】解：它的主视图是： 4. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、合并同类项逐一判断即可求解． 【详解】解：A、幂的乘方，底数不变，指数相乘，，计算错误； B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，计算错误； C、单项式乘单项式，系数相乘、同底数幂相乘，，计算错误； D、合并同类项，系数相加，字母和指数不变，，计算正确． 5. 在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛的7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 79 C. 79.5 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义，解题关键是先将数据按从小到大顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数. 【详解】解：∵将7位同学的成绩从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80 又∵数据个数7为奇数，中位数为第个数据 ∴这组数据的中位数是79， 故选：B. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴原不等式组的解集为． 在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C． 7. 泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式的应用，关键是熟练应用概率公式解题；先确定总基本款数量和符合“藕粉哪吒”的款数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵盲盒中共有个基本款，其中“藕粉哪吒”只有个， ∴买中“藕粉哪吒”的概率为， 故选：A． 8. 如图，点D在边的延长线上，．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过平行线的性质求出，再通过三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 9. 某药品经过两次降价， 售价由 200 元降为 162 元． 设两次降价的百分率都为 ， 则 满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的等量关系，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 10. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DH⊥AF于点H，由锐角三角函数的定义求出CD＝1，AD＝3，由旋转的性质得出DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，证出∠DCE＝∠DAF，设AH＝a，DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝32，求出a可得出答案． 【详解】解：过点D作DH⊥AF于点H， ∵∠ABC＝45°，AD⊥BC， ∴AD＝BD， ∵tan∠ACB3， 设CD＝x， ∴AD＝3x， ∴BC＝3x+x＝4， ∴x＝1， ∴CD＝1，AD＝3， ∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE， ∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF， ∴， ∴∠DCE＝∠DAF， ∴tan∠DAH＝3， 设AH＝a，DH＝3a， ∵AH2+DH2＝AD2， ∴a2+（3a）2＝32， ∴a， ∴AH， ∵DA=DF，DH⊥AF， ∴AF＝2AH，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定，应用三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解． 【详解】解： ． 12. 计算________． 【答案】4 【解析】 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的计算，熟练掌握是解题关键． 将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：4． 13. 如图，内接于，是直径，若，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据圆周角定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵是直径， ∴， ∴． 故答案为： ． 14. 若关于的方程有实数根，请你写出一个符合条件的常数的值：________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据当时，一元二次方程有实数根，先求出的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】解：∵方程有实数根． ∴， 整理得． 解得 ． ∴符合条件的常数可以为1． 15. 若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先计算出点的坐标，由对称性计算出点的坐标，根据题意，使用待定系数法求出符合要求的二次函数的表达式． 【详解】解：在抛物线中，顶点坐标为，对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 设以点为顶点的二次函数的表达式为， 将，代入，得， 解得，， ∴以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程 下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成下列问题． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 （1）上述解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是_____________________； （2）第三步变形的依据是__________________，该一元一次方程正确的解是____________； （3）小敏改正错误后，又进行了巩固训练，请你和她一起解所选的方程：． 【答案】（1）一；去分母时，等式右边的1没有乘以分母的最小公倍数； （2）等式的性质；； （3） 【解析】 【分析】（1）解方程去分母时，等式两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，原解答中第一步漏乘了等式右边的1，因此第一步出错； （2）移项的依据是等式的性质1，补全正确的去分母步骤，按标准流程可求出方程的正确解； （3）解目标方程时，先去分母消去分数，再依次完成去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作即可得到结果． 【小问1详解】 解：上述解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，等式右边的1没有乘以分母的最小公倍数6． 【小问2详解】 解：第三步移项的依据是等式的性质． 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 该一元一次方程正确的解是． 【小问3详解】 解：去分母，得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 17. 如图，在中，的半径为3．请判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】 直线与相切．理由如下： 过点作于点． ， ． 在中，． 的半径为3， 为的半径． 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法． 过点作于点，先由勾股定理出圆心到直线的距离，再与半径比较即可． 【详解】略 18. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题． （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管AB的长． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）2.25m 【解析】 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋3，将（3，0）代入求得a值； （2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长． 【详解】解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3， 代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3． 将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）； （2）令x＝0，则y＝＝2.25． 故水管AB的长为2.25m． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键． 四、解答题（二）：本大题开3小题，每小题9分，开27分． 19. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】 解：命题1、命题2、命题3都是真命题，具体证明如下： 命题1： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 命题2：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 命题3：连接， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 【解析】 【分析】此题考查真命题，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】略 20. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．某校计划开展“春晚机器人·科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： A．机器人控制；B．人工智能；C．智能算法；D．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中发放如下所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “春晚机器人·科技向未来”主题日学生研学意向调查问卷 请在下列选项中选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．机器人控制□ B．人工智能□ C．智能算法□ D．机械结构□ E．生活应用□ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）学校有600名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下面的活动日程表可知，A和C两场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，D，E三场讲座，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8：00-9：30 A 10：00-11：30 C 14：30-16：00 设备检修暂停使用 【答案】（1）本次调查所抽取的学生人数是40人；见解析 （2） 解：意向领域“B”的人数为（人）， 意向领域“D”的人数为（人）， 意向领域“E”的人数为（人）， ， B场次安排在2号多功能厅，D、E安排在1号多功能厅 补全此次活动日程表如图所示： “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8：00-9：30 D A 10：00-11：30 C B 14：30-16：00 E 设备检修暂停使用 【解析】 【分析】（1）根据意向领域“A”的人数及其百分比求得总人数，用总人数减去其它领域的人数求出意向领域“D”的人数即可补全条形统计图； （2）分别求出意向领域“B”“D”“E”的人数，补全此次活动日程表即可． 【小问1详解】 解：本次调查所抽取的学生人数为（人）， 意向领域“D”的人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 略 21. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一块固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器改变电流的大小来完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻，之间的关系为，小冉同学通过实验得出的数据如下： … 3 4 6 9 … … 3 2.25 2 … （1）________；________；________； 【探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，请你结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①请在图2所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； ②观察图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值逐渐________（填“增大”或“减小”） 【拓展】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，关于x的不等式的解集为________． 【答案】（1）5；；1.5； （2）①函数的图象如下图所示： ②减小； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，代入表格中的数据即可解答； （2）①运用“列表、描点、连线”的基本作图方法即可绘制函数图象；②观察函数图象即可判断函数值随自变量变化的规律； （3）先找到两个函数的交点，再通过图象直观判断“哪个函数值更多”，从而确定不等式的解集． 【详解】解：（1）根据电流与电阻，之间的关系为，，， 可得， 当时，代入公式，得， 当时，代入公式，得， 当时，代入公式，得； （2）①略 ②观察图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小； （3）构造方程组，解得或， 结合图象可知，当或时，， 故关于x的不等式的解集为或． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后函数称为原函数的变构函数，例．二次函数的变构函数为． （1）求一次函数的变构函数的函数表达式： （2）点在反比例函数的变构函数图象上，求的值： （3）函数的解析式，点的坐标分别为，连接，线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时，直接写出a的值或取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据新函数规定进行求解； （2）根据规定求出变构函数，然后分两种情况进行求解； （3）根据题意画出图形，然后分四种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的变构函数为； 【小问2详解】 解：反比例函数的变构函数为， 当时， ， 解得，符合题意； 当时， ， 解得，符合题意； ∴的值为或； 【小问3详解】 解：二次函数的变构函数， 如图， 当经过点时， ，解得； 当经过点时， ，解得； 当顶点在上时，即点在上， ∴； 当与轴交点在上时，即在上， ∴， ∴， ∴线段与二次函数的变构函数的图象只有一个公共点时，或或． 23. 【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴． （1）【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是______；（填序号） （2）如图1，在平面直角坐标系中，若点，，，组成的四边形为对称四边形，则满足点的个数为______； （3）【性质探究】如图2，对称四边形关于直线对称，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，求对称四边形的面积． （4）【拓展应用】如图3，在菱形中，，点为对角线上一点，沿边折叠得到，延长交射线于，则当，，，组成的四边形为对称四边形时，求的值．（作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可） 【答案】（1）①③④ （2） （3） （4）或或或 【解析】 【分析】（1）根据对称四边形的定义，逐项判断即可； （2）根据题意可知，当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，据此可求得答案； （3）可证明，得到，求得，进而可求得答案； （4）分四种情况讨论：当点与点重合时，当点在的延长线上时，当时，当时． 【小问1详解】 ①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形；②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形；③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形；④筝形的对称轴为直线，所以筝形一定是对称四边形． 故答案为：①③④ 【小问2详解】 根据题意可知，四边形不可能为菱形和正方形，所以当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，所以，点在图中的位置如图所示，共有个． 故答案为： 【小问3详解】 ∵对称四边形关于直线对称，点和点为对应点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴对称四边形的面积． 【小问4详解】 （Ⅰ）如图所示，当点与点重合时． 根据题意可知垂直平分线段， ∴． ∴四边形为筝形，是对称四边形． ∵，， ∴为等边三角形． 根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． （Ⅱ）如图所示，当点在的延长线上时． 根据题意可知，，， ∴为等边三角形． ∴ ． 根据图形折叠的性质可得， ∴． ∴． ∴． ∴四边形为筝形，是对称四边形． 根据题意可知． ∴． ∵，， ∴为等边三角形． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （Ⅲ）如图所示，当时． 根据图形折叠的性质可知，，，． ∵， ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中 ，，， ∴ ∴ ∴四边形为等腰梯形，是对称四边形． 在中，， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． （Ⅳ）如图所示，当时． 根据题意可知，． ∴． ∴． ∴． ∴． 根据图形折叠的性质可知，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中 ，，， ∴． ∴． ∴四边形为等腰梯形，是对称四边形． 在中，， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $