精品解析：汕头市潮阳区金培学校2025-2026学年度第二学期九年级第一次中考模拟考试数学科试题

2025-2026学年度第二学期九年级第一次中考模拟考试 数学科试题 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若超过警戒水位记作“”，则低于警戒水位可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反意义的量，解答即可． 本题考查了相反意义的量，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得超过警戒水位记作“”，则低于警戒水位可记作， 故选：C． 2. 水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（ ）个水分子． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数乘方的应用，根据“水中约有个水分子，”，则水中含有的水分子的个数为，再利用有理数的乘方和同底数幂的乘方进行运算即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵水中约有个水分子，， ∴， ∴水中有个水分子． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则、二次根式性质及合并同类二次根式法则，逐一计算验证各选项即可判断． 【详解】解：A、，选项计算错误； B、，选项计算错误； C、与不是同类二次根式，不能合并，选项计算错误； D、，选项计算正确． 4. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组合而成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体堆砌成的几何体的三视图 ，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形分为上中下三层，共3列，从左边数，最下面一层有1个小正方形，第2列中间一层有1个小正方形，第3列最上面一层有1个小正方形，即看到的图形如下： ， 故选：D． 5. 如图，点、分别是边、的中点，将沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点、分别是边、的中点可知是的中位线，故可求出，再由翻折变换的性质可知，由平角的性质即可求解． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是经过翻折变换得到的， ∴， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查图形翻折变换的性质，三角形中位线的判定和性质，平行线的性质，平角的性质．熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解题的关键． 6. 某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有6名同学，他们的成绩分别是：100，99，90，99，88，97．这6名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 99，99 B. 90，98 C. 98，99 D. 94.5，99 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数，中位数的定义计算选择即可． 【详解】解：数据，，，，，从大到小的排列顺序为：，，，，，， 中位数是第个，个数据的平均数即． 出现的次数最多，出现了次， 众数为； 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数或最中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据． 7. 某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程，则x表示的意义是（　　） A. 该厂二月份的增长率 B. 该厂三月份的增长率 C. 该厂一、二月份平均每月的增长率 D. 该厂二、三月份平均每月的增长率 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得二月份生产口罩万箱，三月份生产口罩万箱，即可求解． 【详解】解：根据题意得：二月份生产口罩万箱，三月份生产口罩万箱， ∴中，x表示的意义是该厂二、三月份平均每月的增长率． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 8. 甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是（ ） A. 甲步行的速度为60米/分 B. 乙走完全程用了30分钟 C. 乙用16分钟追上甲 D. 乙到达终点时，甲离终点还有360米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图像中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图可知： 甲步行的速度为：米/分，故A选项不符合题意； 乙走完全程用的时间为： （分钟），故B选项不符合题意； 乙追上甲用的时间为：（分钟），故C选项符合题意； 乙到达终点时，甲离终点的距离是： （米），故D选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 9. 如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，勾股定理，三角形的内切圆的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理可得的长，设与的切点分别为D，E，F，连接，则，设的半径为r，可证明四边形是正方形，可得，然后三角形的内切圆的性质，可得到，，从而得到，然后根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图，设与的切点分别为D，E，F，连接，则， 设的半径为r， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，分别平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C 10. 如图，在矩形中，点E是上一点，连结交对角线于F．若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过矩形的性质证明出，可证，则，继而设，对和运用勾股定理得到a与x的关系，最后用a表示出即可求解． 【详解】解：连接交于点O， 四边形是矩形， ，，，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， 则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值与零次幂进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值与零次幂，掌握特殊角的三角函数值与零次幂是解题的关键． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解成为解题的关键． 先变形出公因式，然后再提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质．由三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，根据位似图形的性质，即可求得与的位似比． 【详解】解：∵三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴与的位似比是：． 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，可得，再根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， 故，则， ，，， 则， 解得：； 综上所述，可得且； 故答案为：且 15. 若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】因为求原函数图象关于x轴对称的图象解析式，所以需要明确关于x轴对称的点的坐标变换规律：若原图象上一点，则其对称点为．因为已知原二次函数解析式为，所以将对称点坐标代入原解析式，把原解析式中的替换为，再整理得到新的函数解析式． 【详解】解：设对称后图象上任意一点坐标为，则该点关于轴的对称点一定在原二次函数图象上； 将代入原解析式，得 ， 整理后得到对称后的解析式：． 三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分． 16. 下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解 第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 【答案】任务一：一，漏乘了； 任务二：该题的正确解题过程如下： ， 去分母得， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据分式方程的解法步骤即可确定解题步骤错误之处及原因，最后根据分式方程解法步骤求解即可得到答案．熟记分式方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：任务一：上述解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是漏乘了， 故答案为：一，漏乘了； 任务二：略 17. 如图，内接于，且为的直径，过点C作的切线，交的延长线于点D．已知求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用了切线的性质，等边三角形的判定，锐角三角函数的概念求解．连接，由是的切线，可得，再由得出，从而得出，最后由等边三角形的性质及解直角三角形解答． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 18. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，，抛物线的最高点离路面的距离为． （1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； （2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 【答案】（1） （2）解：这辆货车能安全通过，理由如下： 根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题． 【小问1详解】 解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，连接对角线，分别作和的中线、． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：， ，， 、分别是和的中线， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ． （2） 若选择条件①，则四边形是矩形．理由如下： ，是的中线， ， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 若选择条件②，则四边形是菱形．理由如下： ，是的中线， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、菱形的判定、斜边中线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，由中线的定义得到，，得出，再利用平行四边形的性质与判定即可证明； （2）根据矩形、菱形的判定即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了_______名学生，的值为_______； （2）补全条形统计图； （3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】（1）50，30 （2） 补全图形如下： （3）400名 （4） 因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等. 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体． （1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数；用A类的人数除以总人数，即可得出m的值； （2）用总人数减去A、B、C、E类的人数，得到D类的人数，即可补全条形统计图； 用360°乘以C类所占的百分比即可得出区域C的圆心角度数； （3）用学校总人数乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比即可． （4）根据题意，写出建议即可． 【小问1详解】 解：这次调查的学生人数为（人）； D类的人数为（人）． ， ∴， 故答案为：50；30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名； 【小问4详解】 略 21. 【材料阅读】： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 【问题解答】： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，MN是法线， 测得折射角，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题：（参考数据：，，） （1） =______； （2）求的长．（结果精确到cm） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； ∴ 【小问2详解】 ， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 五、解答题（三）：共两小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）令与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）过点作于点，与的交点为，证明四边形是矩形， 得到，，再证明，即可求出的值； （3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值； （4）连接、，利用折叠的性质，证明，得到，同（2）理可得：，即，则，作点关于的对称点，连接、、，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得到的最小值． 【小问1详解】 解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，与的交点为， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，与的交点为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 【小问4详解】 解：如图，连接、， 由折叠的性质可知，，，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 同（2）理可得：，即， ， 作点关于的对称点，连接、、， ，，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ， 有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 23. 阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 思考问题： （1）设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上； （2）证明：． （3）如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标． 【答案】（1） 解：设直线的函数表达式为， 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， 把点代入得：， ∴直线的函数表达式为， ∵的坐标满足， ∴点Q在直线上； （2） 证明：连接，交于点S， 由题意得四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∴， ∵轴， ∴， ∴，即． （3）或 【解析】 【分析】（1）由轴，轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线上； （2）连接，交于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论； （3）先求出点，可得，然后分两种情况讨论：当D点在下方时，当D点在上方时，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵直线与反比例函数交于点C， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴， 当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例于点D，作，连接，与交于点H，作于I， ∴，四边形是矩形 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴ ∵点H是的中点， ∴，即 ∴可得直线的表达式为 联立得， 解得或（舍去） ∴； 同理可得，当D点在上方时，． 综上所述，D点坐标为或． 【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级第一次中考模拟考试 数学科试题 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若超过警戒水位记作“”，则低于警戒水位可记作（ ） A. B. C. D. 2. 水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（ ）个水分子． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组合而成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点、分别是边、的中点，将沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有6名同学，他们的成绩分别是：100，99，90，99，88，97．这6名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 99，99 B. 90，98 C. 98，99 D. 94.5，99 7. 某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程，则x表示的意义是（　　） A. 该厂二月份的增长率 B. 该厂三月份的增长率 C. 该厂一、二月份平均每月的增长率 D. 该厂二、三月份平均每月的增长率 8. 甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是（ ） A. 甲步行的速度为60米/分 B. 乙走完全程用了30分钟 C. 乙用16分钟追上甲 D. 乙到达终点时，甲离终点还有360米 9. 如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点E是上一点，连结交对角线于F．若，，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. ______． 12. 因式分解：___________． 13. 三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是______． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 15. 若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为____． 三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分． 16. 下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解 第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 17. 如图，内接于，且为的直径，过点C作的切线，交的延长线于点D．已知求的长． 18. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，，抛物线的最高点离路面的距离为． （1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； （2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，连接对角线，分别作和的中线、． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 20. 第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了_______名学生，的值为_______； （2）补全条形统计图； （3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 21. 【材料阅读】： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 【问题解答】： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，MN是法线， 测得折射角，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题：（参考数据：，，） （1） =______； （2）求的长．（结果精确到cm） 五、解答题（三）：共两小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 23. 阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 思考问题： （1）设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上； （2）证明：． （3）如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $