强化练4 三角形的综合探究-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年八年级下册数学期末真题精编（北师大版·新教材）郑州专版

B 图② 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC,CD=AB. ∴.LA+∠ADC=180°，∠CED=∠BCE. ∠A+∠BCE=180°，∠ADC=∠BCE. ∴.∠CED=∠ADC.∴.CE=CD. (10分) 'CF⊥ED,AD=BC,AB=AE, .EF=DF-DE AD-AE BC-AB=1. 2 2 2 在Rt△CFE中，CE=CD=AB=4,EF=1,则 CF=√CE2-EF2=√15 :.四边形ABCD的面积为ADCF=6√15.(12分) 强化练4三角形的综合探究 1.解：(1)30 (2分) (2)证明：由旋转的性质，得CF=CE,∠ECF=120°. ∠DCB=30°，.∠FCG+∠ECD=90° FGLBC,.∠FGC=∠CDA=90°. ∴.LFCG+∠CFG=90°..∠CFG=∠ECD ∴.△CGF≌△EDC. (7分) (3)AM的长为√3-1或3√3-1. (10分) 【解析】∠DCB=30°，∠CDB=90°，.BC=2DB. .CD =3,DB2+CD2=BC2=(2DB)2, CD2 ..DB= =√3 3 :△ABC是等边三角形， ..AD=DB=3,BC=AB=23 △CGF≌△EDC,∴.CG=ED=1,GF=CD=3. .BG=BC-CG=2√3-1. FB=CM,∠FGB=∠CDM=90°， ∴.Rt△GFB≌Rt△DCM..∴.DM=BG=2√3-1. 如图，分两种情况： ①当点M在点A的左侧时，AM=DM-AD=23 -1-√3=√3-1 ②当点M在点A的右侧，即在点M'位置时，AM'= AD+DM'=√3+2√3-1=3√3-1.综上所述，AM 的长为√3-1或3√3-1. MAE D B M 2解：(1)证明：D是AC的中点CD=4C ∠ACB=90°，∠CDE=60°， 9 郑州都市版数学 ∠DcB=0,∠DBC=30.CD-5DE(3分） ..DE=AC. (4分) (2)四边形ACE'D'是平行四边形 (5分) 理由如下：由旋转的性质，得∠CD'E=∠CDE= 60°，D'E'=DE,CD'=CD. .△CDD是等边三角形..∠DCD'=60°.(6分) .∠DCD'=∠CD'E'. ..AC//D'E'..DE =AC,..AC=D'E'. .四边形ACED是平行四边形. (8分) (3)α的度数为105°，线段CF的长为√6.(10分) 【解析】如图，过点C作CNLD'E于点N,延长AC 交DE于点F. A C ☑D …E N :∠ACB=90°，AC=BC=4,.∠A=45°. 由旋转的性质，得LD'CE'=∠DCE=90°， LCD'E-LCDE=60,CD'=CD-2AG=2. D'E∥AB,∴∠CFD'=∠A=45°. .∠ACD'=∠CFD'+∠CD'E'=105°..=105°. CNLD'E',.∠CNF=∠CND'=90°. .∠D'CN=90°-∠CD'E'=30° .D'N-CD-1...CN=CD-DN-3. ∠CFD'=45°，△CFN是等腰直角三角形 .FN=CN=√3..CF=√CW2+FW2=√6. 3.解：(1)A'C∥BD,△B0D为等腰三角形.(2分) 理由如下：根据折叠的性质，得∠ABD=∠A'BD,AB= A'B. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD. ∴.∠ABD=∠CDB,A'B=CD. ∴.∠A'BD=∠CDB.∴.OB=OD. .△BOD为等腰三角形. (5分) ·.'A'B=CD,.A'B-OB=CD-OD,即OA'=OC. ∴.∠OA'C=∠OCA'. .∠BOD=∠A'OC,∠BOD+∠A'BD+∠CDB= ∠A'0C+∠0CA'+∠0A'C=180, .∠CDB=LOCA'..A'C∥BD. (7分) (2)AD的长为4-2√3或2√/3-2. (10分) 【解析】根据题意，分两种情况：①当∠A'D0=90° 时，如图①. A E 图① 图② 八年级下册北师 ∠0A'D=∠A=60°，.∠A'0D=30° CD∥AB,∴.∠ABA'=∠A'OD=30°. 乙AB0=ABr=15,过点D作D84D交B 于点E.∠AED=30°. .∠BDE=∠AED-∠EBD=15°. ∴DE=BE.设AD=x,则AE=2AD=2x. DE=√AE2-AD2=√3x..BE=√3x .'AE+BE=AB=2,..2x+3x=2. 解得x=4-2√3..AD=4-2W3, ②当LA'0D=90°时，如图②. CD∥AB,∴.∠ABA'=∠A'OD=90°. ABD45 过点D作DF⊥AB于点F .DF=BF.设AD=x.∠A=60°， .ADF-30.FD 2x.∴BF=√3 DF=AD-AF=3 1 AF+BF=AB=2,·)x+)&s2 解得x=2W3-2.∴.AD=2√3-2. 综上所述，AD的长为4-2√3或2√3-2. 进阶练1教材素材改编题 一、选择题 1.B2.C3.D 4.C【解析】将口ABCD沿直线BD对折，点A恰 好落在AD延长线上的点A'处，.∠ADB=∠A'DB= 90°，AB=A'B.四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD=3.∠A=60°，∴.∠ABD=30°∴AB= 2AD=6..A'B=6.故选C. 二、填空题 5.1206.5x-2(30-x)≥100 三、解答题 7.解：方案：先用绳子测量出四边形ABCD的边AB的 长度，并在绳子上做上标记，然后再用这根绳子测 量出CD的长度做上标记，比较AB与CD的长短， 用同样的方法比较BC,AD的长短，如果AB=CD, BC=AD,那么四边形ABCD是平行四边形.(3分) 理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (5分) 8.证明：任务一： :b_b+n=b(a+n)-a(b+n) aa+n a(a+n) =bn-an-n(b-a) a(a+n)a(a+n)' :a>6>0,>0,nC6a<0. a(a n) (3分) aa n b 任务二：由结论-可知64。>6+0+aa+。 郑州都市版数学 b C a+c+b'atb>a+b+c 0+b a b 一+ + a+b+c=1. (5分) a+b+c a+b+c 由结论二可知，6+。<+c+aa+c a aa b b+b c c+c a+c+b'a+b a+b +c b c + a+at 6+6 b+c+a+c+a+b<b+cta+a+c+b c+c_2a+2b+2e=2. + a+b+c a+b+c a b 1<6te+a+e+a+6<2 十 (7分) 进阶练2跨学科试题 一、选择题 1.B2.A 3.C【解析】∠ACB=90°，LA=30°，.∠B=90 -∠A=60°.CD⊥AB,.∠CDB=90°..∠BCD= 90°-∠B=30.BD=号BC=4 DELBG, .∠DEC=∠BED=90°..∠BDE=90°-∠B=30. BE =BD 2..DE =BD2 -BE2 =23. ·DEC=90°，∠BCD=30°，.CD=2DE= 4√3..∠CDE=LCDB-∠BDE=60°，.∠ODC= ∠CDE=60°.：∠0CD=∠ACB-LBCD=60°， .△0CD是等边三角形..0D=CD=4√3..光 在棱镜内部的路径OD+DE的总长度为 4W3+2W3=6√3.故选C. 二、填空题 4.25<t<285.10 6.60°【解析】多边形ABCDEF为正六边形， AB=AF=EF,∠BAF=若x6-2)×180= 120∠AFB=180-∠B1)）=30.同理可得 ∠EAF=30°..∠1=LAFB+∠EAF=60° 三、解答题 7.解：(1)设混合溶液的密度为P的两种液体的体积 分别为V. 根据题意，得p,=PmV+p2_P年+p2 2V 2 (4分) (2)p1>Pz (5分) 理由：设混合溶液的密度为P,的两种液体的质量 分别为m. 根据题意，得P2= m+m 2p甲Pz (8分) m+mP甲+P乙 P甲Pz p,-p,-PmP飞-2pmPz- 2 P甲+Pz 八年级下册北师 10专项专练小卷 强化练4三角形的综合探究 根据新教材编写 满分：30分得分： 编者按：本专项精选期末高频考法，聚焦于特殊三角形的性质和判定、图形的变换两大核心知 识，助力同学们突破期末难点， 1.〔郑州市中原区〕(10分)综合与实践课上，飞飞和同学做了以下数学探究活动.如图，△ABC 为等边三角形，CD是AB边上的高， (1)如图1，∠DCB= (2)如图2，E为线段AD上的任意一点，连接CE.将线段CE绕点C逆时针旋转120°得到线 段CF,连接BF.过点F作FG⊥BC于点G.求证：△CGF≌△EDC. (3)在(2)的条件下，若CD=3,ED=1,点M为直线AB上的点，当CM=FB时，请直接写 出AM的长， D AE D B 题型强化练 图1 图2 备用图 2.〔太原市〕(10分)问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4.D是AC 的中点，点E在BC的延长线上，且∠CDE=60°.保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置 开始绕点C顺时针旋转a(0°<α<180°)得到△CD'E',D,E的对应点分别为D',E', 初步思考：(1)求证：DE=AC; 操作探究：(2)如图2，当点D'落在DE边上时，连接AD',判断此时四边形ACED'的形状， 并说明理由； 郑州都市版数学八年级下册北师 25 拓展延伸：(3)在△CDE旋转的过程中，当D'E'∥AB时，延长AC交D'E'于点F,请直接写 出此时α的度数及线段CF的长 D 图1 图2 备用图 题型强化 3.设题新角度综合与实践了(10分)八年级某数学兴趣小组在学习过平行四边形之后，决定利 用对称变换来探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问题.以下是该小组讨论 的一个片段，请仔细阅读，完成下列各题 (1)猜想证明：如图1，在口ABCD中，AB>AD,将△ABD沿BD翻折至△A'BD,A'B交CD 于点O,连接A'C,猜想A'C与BD之间的位置关系及△BOD的形状，并说明理由； (2)应用探究：在(1)的条件下，如图2，若∠A=60°，AB=2,当△A'0D是直角三角形时，请 直接写出AD的长. D 图 图2 26 郑州都市版数学八年级下册北师