强化练3 平行四边形的计算与证明-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年八年级下册数学期末真题精编（北师大版·新教材）郑州专版

专项专练小卷 强化练3 平行四边形的计算与证明 根据新教材编写 满分：50分得分： 编者按：本专项精选期末常考题型，所选试题涵盖尺规作图、开放设问、动点问题等重要内容 同学们通过专项专练，能够更好地理解和掌握平行四边形的性质与判定 1.〔河南省实验中学〕(8分)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线AC,BD交于点O,E为 DC的延长线上一点，且CE=DC,连接AE,分别交BC和BD于点F和点G,连接OF.求证： AB=20F. 2.设题新角度开放性试题了(8分)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上（不与 题 点A,C重合)，连接DE,DF,BE,BF 强 (1)现有三个条件：①AF=CE,②LADE=∠CBF,③DE=BF.请从以上条件中选择一个 练 添加，使四边形DEBF是平行四边形.你添加的是 (只填序号) (2)利用(1)中你选择的条件，求证：四边形DEBF是平行四边形 3.(10分)如图，在口ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE,将△BCE沿着CE翻折，点B落 在点G处，连接AG并延长，交CD于点F. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若CF=5,△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长. D B 郑州都市版数学八年级下册北师 23 4.〔郑州市二七区〕(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=∠C,连接BD,∠ADB= 90°，AD=6cm,BD=8cm,动点P从点A出发，沿线段AB匀速运动，同时动点Q从点C出 发，沿线段CD匀速运动.当P,Q其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时 间为ts. (1)求证：四边形ABCD为平行四边形； (2)若点P的运动速度为4cm/s,点Q的运动速度为2cm/s,当四边形PBCQ为平行四边形 时，求t的值 D 0←C B 5.〔宁波市〕(12分)如图1，已知线段AB,BC,用无刻度的直尺和圆规求作口ABCD. 题型 以下是小颖的作法： 如图2，先作∠ABC的平分线BM,再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BM于点E,连接 练 AE并延长，然后以点A为圆心，BC长为半径作弧，交射线AE于点D,连接CD,则四边形 ABCD为平行四边形 (1)小颖的作法是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由， (2)在图1中，用不同于小颖的方法作口ABCD(保留作图痕迹，不写作法). (3)如图3，在小颖的作法的条件下，连接EC,若∠A+∠BCE=180°，AB=4,BC=6,求四 边形ABCD的面积 图1 图2 图3 24 郑州都市版数学八年级下册北师-1<0,∴.w随a的增大而减小 (7分) 甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍， .a≥3(100-a).解得a≥75， .当a=75时，w取得最大值. 此时0=-75+500=425,100-a=25. 答：超市第二次购进甲种水果75kg、乙种水果25kg 时获得的利润最大（不含第一次的利润），最大利 润是425元 (10分) 4.解：(1)设乙组每分钟采摘xkg的蔬菜，则甲组每 分钟采摘2xkg的蔬菜. 根据题意，得500-500 2x =10.解得x=25.(3分) 经检验，x=25是原方程的根，且符合题意 .2x=50. 答：甲组每分钟采摘50kg的蔬菜，乙组每分钟采 摘25kg的蔬菜. (5分) (2)A类蔬菜的单位面积产量高 (6分) 理由如下：A类蔬菜的单位面积产量为300kg, 200 B类蔬菜的单位面积产量为 a(2a-2-a) 200 afa-2)kg. 300200 300(a-2)-200a a2a(a-2) a2(a-2) 100a-600_100(a-6) a2(a-2) a2(a-2) a>6,∴.a-6>0,a2>0,a-2>0. 100(a-6)>0.. 300. 200 a2(a-2) >a(a-2 A类蔬菜的单位面积产量高 (10分) 强化练3平行四边形的计算与证明 1.证明：连接BE. 四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,AB=CD,OA=OC (2分) ·.·CE=CD,.AB=CE ∴.四边形ABEC是平行四边形 (5分) .FB=FC..OF是△ABC的中位线 ∴.AB=20F. (8分) 2.解：(1)①（或②） (3分) (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC..∠DAE=∠BCF AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF. ∴.△ADE≌△CBF. (6分) .DE=BF,∠AED=∠CFB ∴.180°-∠AED=180°-∠CFB,即∠DEF=∠BFE. ∴DE∥BF ∴.四边形DEBF是平行四边形 (8分) [或证明：四边形ABCD是平行四边形， .∴AD=BC,AD∥BC..∴.∠DAE=∠BCF 郑州都市版数学 LADE=∠CBF,.△ADE≌△CBF. (6分) .DE=BF,∠AED=∠CFB..180°-∠AED=180 -∠CFB,即LDEF=LBFE.∴.DE∥BF. .四边形DEBF是平行四边形， (8分)刀 3.解：(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB∥CD. :△BCE翻折后为△GCE, 1 BE=GE,LBEC=LGEC-7/BEG. E为AB的中点， ..AE=BE. (2分) ∴.AE=GE.∴.∠EAG=∠EGA. .∠EAG+∠EGA=∠BEG, LFCA-BCECA-GECAF/EC .四边形AECF为平行四边形 (5分) (2).四边形AECF为平行四边形， ∴.EC=AF,AE=CF=5. ,△BCE翻折后为△GCE, ..GE=BE,BC=GC. (7分) .△GCE的周长为GE+GC+EC=20, .·.BE+BC+AF=20. ∴.四边形ABCF的周长为BE+BC+AF+AE+ CF=30. (10分) 4.解：(1)证明：AD∥BC, .∠A+∠ABC=180°. ∠A=∠C,∴.∠C+∠ABC=180°.∴.AB∥CD. .四边形ABCD为平行四边形. (5分) (2)'∠ADB=90°，AD=6cm,BD=8cm, AB=√AD2+BD2=√62+82=10(cm).(7分) .四边形ABCD是平行四边形， .'CD=AB=10 cm. 根据题意，得AP=4tcm,CQ=2tcm. ..BP=AB-AP=(10-4t)cm. .四边形PBCQ是平行四边形， ∴.BP=CQ,即10-4t=2. 4=多即：的值为务 （12分) 5.解：(1)小颖的作法正确 (1分) 证明：根据作法可得，∠ABE=∠CBE,AB=AE, AD=BC. .∠ABE=∠AEB..∠AEB=∠CBE..AD∥BC. .四边形ABCD为平行四边形. (4分) (2)如图①，口ABCD即为所求.（作法不唯一） (7分) B 图① (3)过点C作CF⊥AD于点F,如图②. 八年级下册北师 8 B 图② 四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC,CD=AB. ∴.LA+∠ADC=180°，∠CED=∠BCE. ∠A+∠BCE=180°，∠ADC=∠BCE. ∴.∠CED=∠ADC.∴.CE=CD. (10分) 'CF⊥ED,AD=BC,AB=AE, .EF=DF-DE AD-AE BC-AB=1. 2 2 2 在Rt△CFE中，CE=CD=AB=4,EF=1,则 CF=√CE2-EF2=√15 :.四边形ABCD的面积为ADCF=6√15.(12分) 强化练4三角形的综合探究 1.解：(1)30 (2分) (2)证明：由旋转的性质，得CF=CE,∠ECF=120°. ∠DCB=30°，.∠FCG+∠ECD=90° FGLBC,.∠FGC=∠CDA=90°. ∴.LFCG+∠CFG=90°..∠CFG=∠ECD ∴.△CGF≌△EDC. (7分) (3)AM的长为√3-1或3√3-1. (10分) 【解析】∠DCB=30°，∠CDB=90°，.BC=2DB. .CD =3,DB2+CD2=BC2=(2DB)2, CD2 ..DB= =√3 3 :△ABC是等边三角形， ..AD=DB=3,BC=AB=23 △CGF≌△EDC,∴.CG=ED=1,GF=CD=3. .BG=BC-CG=2√3-1. FB=CM,∠FGB=∠CDM=90°， ∴.Rt△GFB≌Rt△DCM..∴.DM=BG=2√3-1. 如图，分两种情况： ①当点M在点A的左侧时，AM=DM-AD=23 -1-√3=√3-1 ②当点M在点A的右侧，即在点M'位置时，AM'= AD+DM'=√3+2√3-1=3√3-1.综上所述，AM 的长为√3-1或3√3-1. MAE D B M 2解：(1)证明：D是AC的中点CD=4C ∠ACB=90°，∠CDE=60°， 9 郑州都市版数学 ∠DcB=0,∠DBC=30.CD-5DE(3分） ..DE=AC. (4分) (2)四边形ACE'D'是平行四边形 (5分) 理由如下：由旋转的性质，得∠CD'E=∠CDE= 60°，D'E'=DE,CD'=CD. .△CDD是等边三角形..∠DCD'=60°.(6分) .∠DCD'=∠CD'E'. ..AC//D'E'..DE =AC,..AC=D'E'. .四边形ACED是平行四边形. (8分) (3)α的度数为105°，线段CF的长为√6.(10分) 【解析】如图，过点C作CNLD'E于点N,延长AC 交DE于点F. A C ☑D …E N :∠ACB=90°，AC=BC=4,.∠A=45°. 由旋转的性质，得LD'CE'=∠DCE=90°， LCD'E-LCDE=60,CD'=CD-2AG=2. D'E∥AB,∴∠CFD'=∠A=45°. .∠ACD'=∠CFD'+∠CD'E'=105°..=105°. CNLD'E',.∠CNF=∠CND'=90°. .∠D'CN=90°-∠CD'E'=30° .D'N-CD-1...CN=CD-DN-3. ∠CFD'=45°，△CFN是等腰直角三角形 .FN=CN=√3..CF=√CW2+FW2=√6. 3.解：(1)A'C∥BD,△B0D为等腰三角形.(2分) 理由如下：根据折叠的性质，得∠ABD=∠A'BD,AB= A'B. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD. ∴.∠ABD=∠CDB,A'B=CD. ∴.∠A'BD=∠CDB.∴.OB=OD. .△BOD为等腰三角形. (5分) ·.'A'B=CD,.A'B-OB=CD-OD,即OA'=OC. ∴.∠OA'C=∠OCA'. .∠BOD=∠A'OC,∠BOD+∠A'BD+∠CDB= ∠A'0C+∠0CA'+∠0A'C=180, .∠CDB=LOCA'..A'C∥BD. (7分) (2)AD的长为4-2√3或2√/3-2. (10分) 【解析】根据题意，分两种情况：①当∠A'D0=90° 时，如图①. A E 图① 图② 八年级下册北师