巩固练1 三角形的证明及其应用-【王朝霞系列丛书】2025-2026学年八年级下册数学期末真题精编（北师大版·新教材）郑州专版

专项专练小卷 巩固练1三角形的证明及其应用 根据新教材编写 满分：60分得分： 编者按：本专项按章节知识精心规划复习，通过深挖期末高频考点，稳步筑牢知识根基 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设 A.底角大于90° B.底角等于90° C.底角小于90° D.底角大于或等于90° 2.〔济南市〕如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是 ( A.AAS B.SAS C.HL D.ASA D C 础 固练 E 图1 图2 第2题图 第3题图 3.〔朝霞原创〕图1是我们学习、生活中常用到的计算器，图2是其侧面示意图.若∠BED= 30°，∠A=10°，则∠ACE的度数为 A.20° B.25 C.30 D.35 4.下列关于△ABC的说法中，错误的是 A.如果∠A-∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形 B.如果∠A:∠B:∠C=1:2:3,那么△ABC是直角三角形 C.如果∠A=60°，AB=AC,那么△ABC是等边三角形 D.如果∠B=∠C,那么△ABC是等边三角形 5.〔郑州外国语中学〕在如图的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，格点E,F, G,H在△ABC内，其中到△ABC三个顶点的距离均相等的是 () A.点E B.点F C.点G D.点H G Q 第5题图 第6题图 6.〔郑州市航空港区改编〕如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点M,交BC于点P, AC边的垂直平分线交AC于点N,交BC于点Q.若∠PAQ=36°，则∠BAC的度数为（) A.72 B.1089 C.110 D.118 郑州都市版数学八年级下册北师 7.〔厦门市〕如图，AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°.若EF=2,则DF的长度为 A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，以顶点C为圆心，适当的长为半径画 弧，分别交AC,BC于点M,N;再分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两 弧交于点P;作射线CP,交AB于点D.E为AC上任意一点，连接BE,DE,则DE+BE的最 小值为 A.√2 基 B.2w√2 巩 C.6 D.25 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.命题“等边对等角”的逆命题是 10.中华优秀传统文化情境藻井“交木如井，画以藻文”，中国古代的匠人们极尽精巧之能事， 营造出穹顶上的绝美艺术一藻井（图1）.图1中藻井的一部分可抽象出图2所示的正 八边形.这个正八边形的每个内角的度数为 F B 图1 图2 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，已知∠ABC=31°，若∠BAC的平分线AE与∠BCA的外角平分线CE相交于点E,则 ∠AEC的度数为 12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C,BE平分∠ABC与AC交于点E,AD⊥BE于点 D.下列结论：①AC-BE=AE;②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C;④BD= 2DE;⑤BC=4AD.其中正确的结论有 (填正确结论的序号) 三、解答题（共24分） 13.〔朝霞原创〕(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm. (1)尺规作图：作AC的垂直平分线，交AB于点D,交AC于点E(不写作法，保留作图痕迹)； 郑州都市版数学八年级下册北师 (2)连接BE,求△ABE的周长. B 14.〔武汉市〕(8分)已知：如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,点 D,E在BC上，且OD∥AB,OE∥AC.求证： (1)△0DE是等边三角形； (2)点O在∠BAC的平分线上 基础巩固练 D 15.〔杭州市〕(8分)如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm,现有两点M,N分别从点A、点B同 时出发，沿△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一 次到达点B时，点M,N同时停止运动， (1)当点M,N运动几秒时，M,N两点重合？ (2)当点M,N均在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如果能， 请求出此时M,N运动的时间；如果不能，请说明理由. A 一N B 郑州都市版数学八年级下册北师 3答案精解精析 竭力使答案更美好 专项专练小卷 AB=2AD.,∠ABE=30°，∠BAC=90°，.BE= 巩固练1三角形的证明及其应用 2AE...BE=4DE...BD=BE -DE 4DE DE 一、选择题 3DE.④错误.LC=30°，∠BAC=90°，.BC= 1.D2.C3.A4.D5.B6.B 2AB=44D.⑤正确.综上所述，正确的结论有 7.D【解析】如图，过点E作EG⊥BC,交BC于点G ①②③⑤. 三、解答题 13.解：(1)直线DE如图所示. (3分) B D D :AB=AC,∠A=60°，.△ABC是等边三角形 ∠ACB=60° EC-CD...CED-LGDE-ACB-30 .LAEF=30°..∠AFE=90°，即EFLAB :△ABC是等边三角形，AE=EC, 个不 BE平分∠ABC. (2)DE垂直平分线段AC, ∴EG=EF=2..DE=2EG=4. 4.GE-AE-AG DF=EF+DE=6.故选D. ∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm, 8.D【解析】过点D作DF⊥BC,交BC于点F;作点B ∴.AB=2BC=8cm. (5分) 关于AC的对称点G,连接DG,GE.由题中作图步 .AC=√AB2-BC2=4V3cm. 骤，得CD平分∠ACB.∠ACB=90°，AC=BC, .CE=AE=2√3cm. ∠ABC=45,∠BCD=ACB=45.∠BCD= BE=√CE2+BC2=2W7cm. ∠ABC.DC=DB.:DFLBC,∴.CF=BF=2BC= ∴.C△ABE=AB+AE+BE=(8+2W3+2√7)cm. (8分) √2，∠CDF=90°-∠BCD=45°.DF=CF=√2. 14.证明：(1).△ABC为等边三角形， 由对称的性质，得GE=BE,GC=BC=2√2..DE+ ∠ABC=∠ACB=60° BE=DE+GE≥GD.当且仅当G,E,D三点共线 OD∥AB,OE∥AC, 时，DE+BE取得最小值，为GD的长.：GF=GC+ ∴.∠ODE=LABC=60°，∠0ED=∠ACB=60° CF=3√2，.在Rt△GDF中，GD=√GF2+DF2= .∠D0E=60°..△0DE是等边三角形.(4分) 2W5..DE+BE的最小值为2W√5.故选D (2)过点0作0GLAB于点G,0FLAC于点F,0HL 二、填空题 BC于点H. 9.等角对等边10.135°11.15.5 .BO平分∠ABC, 12.①②③⑤【解析】BE平分∠ABC,.∠ABC .0G=0H.同理可得0H=0F..0G=0F. =2∠ABE=2LEBC.∠ABC=2∠C,.∠ABE= .点O在LBAC的平分线上. (8分) ∠EBC=∠C.∴BE=CE.∴点E在线段BC的垂 15.解：(1)设当点M,W运动xs时，M,N两点重合 直平分线上，AC-BE=AC-CE=AE.①②正 根据题意，得x+12=2x.解得x=12. 确.∠BAC=90°，∴∠ABE+∠EBC+∠C=90°. .当点M,N运动12s时，M,N两点重合.(3分) .∠ABE=∠EBC=∠C=30°.AD⊥BE,.∠BAD= (2)当点M,N均在BC边上运动时，能得到以MW 90°-∠ABE=60°..∠DAE=90°-∠BAD=30° 为底边的等腰三角形AMN. (4分) .∠DAE=∠C.③正确.：ADLBE,AE=2DE, 设点M,N运动的时间为ts. 郑州都市版数学八年级 下册北师 由(1)知，12s时M,N两点重合，恰好在点C处.∴.当 三、解答题 点M,N均在BC边上运动，且△AMN为以MN为 13.解：(1)去分母，得4x-1-3x>3. 底边的等腰三角形时，如图所示 移项，得4x-3x>3+1. 合并同类项，得x>4. (3分) 解集在数轴上表示如图所示， -10123 4 (4分) 3x+2<4(x+1),① B ∴.AN=AM.∴.∠AMN=∠ANM.∴.∠AMC=∠ANB. AB=BC=AC,.△ACB是等边三角形 解不等式①，得x>-2.解不等式②，得x≤3. ∴.∠C=∠B..△ACM≌△ABN..CM=BN 该不等式组的解集为-2<x≤3. (3分) .CM=(t-12)cm,BN=12×3-2t=(36-2t)cm. 解集在数轴上表示如图所示 .t-12=36-2t.解得t=16,符合题意. .当点M,N均在BC边上运动时，能得到以MW 为底边的等腰三角形AMN,此时点M,N运动的 -5-4-3-2-10123 4(4分) 时间为16s. (8分) 14.解：(1)由x+y=-3,得x=-y-3. x<4,∴-y-3<4.解得y>-7. (3分) 巩固练2不等式与不等式组 (2)由x-y=1,得x=y+1. 一、选择题 1.D2.A3.D4.A5.D6.C -1<x<3, y+1>-1, y+1<3. 7.A【解析】 x-3y=4m-13,① ①+②，得2x+ 解得-2<y<2. (6分) x+5y=5.② (3)-6≤a≤6. (8分) 2y=4m-8..x+y=2m-4.x+y≤0，.2m- 【解析】由-x+y=3,可得x=y-3.x≤3，y- 4≤0..m≤2.故选A 3≤3.解得y≤6.y≥0，.y的取值范围是0≤ 8.B【解析】 2x+1>x+a,① 解不等式①，得x> y≤6.∵a=x+y-3=y-3+y-3=2y-6..-6≤ x+1≤0.② a-1.解不等式②，得x≤-1.若不等式组无解，则 2y-6≤6..-6≤a≤6. a-1≥-1，即a≥0.甲不正确.若不等式组有解， 15.解：(1)设每个飞机模型的售价为x元，每个坦克 则不等式组的解集为a-1<x≤-1.所有整数解 模型的售价为y元 的和为-6，且(-1)+(-2)+（-3)=-6，∴.-4≤a- 2x+3y=210, 根据题意，得 1<-3,解得-3≤a<-2..整数a的值为-3.乙正 4x+5y=370. 解得/t30, y=50. 确.故选B 答：每个飞机模型的售价为30元，每个坦克模型 二、填空题 的售价为50元 (3分) 9.x-1>0(答案不唯一) (2)设该校购买飞机模型m个，总花费为w元，则 10.m≤5【解析】解不等式2x+5<1,得x<-2.解关 购买坦克模型(15-m)个 于x的不等式4x+1<x-m,得x<-m+上 3不 根据题意，得15-m≥2m.解得m≤5. (6分) 等式2x+5<1的解集中x的每一个值，都能使关 w=30m+50(15-m)=-20m+750. 于x的不等式4w+1<x-m成立，-m41≥2 -20<0,.w随m的增大而减小. 3 .当m=5时，0有最小值，此时0=-20×5+ 解得m≤5.∴m的取值范围是m≤5. 750=650. 11.2【解析】设买精品装新郑大枣礼盒x盒.根据 答：该校购买竞赛奖品最少需要花费650元.(8分) 题意，得8×12+18x>128.解得x>0x是正 整数，∴x的最小值为2..至少需要买2盒精品装 巩固练3图形的平移与旋转 新郑大枣礼盒 一、选择题 1.C2.B3.C4.D5.C6.C7.A 12.2≤x<5【解析】根据题意，得 3x-1<14, 3(3x-1)-1≥14. 8.A【解析】点B的横坐标为-2，点B的横坐标 解得2≤x<5. 为1，线段AB向右平移3个单位长度.点A的 郑州都市版数学 八年级下册北师