试卷1 郑州市中原区2024-2025学年下学期期末学情调研试题卷（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷（北师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 郑州市中原区八年级下学期学情调研卷，以几何与代数融合为特色，通过动态几何（如第15题等腰三角形动点）、规律探究（第10题三角形滚动）及实际应用（第22题购书问题），考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、分式概念、平行四边形判定|第10题结合坐标系探究三角形滚动规律，体现空间观念| |填空题|5/15|反证法步骤、一次函数不等式、三角形内心|第15题等腰三角形动点分类讨论，考查几何直观| |解答题|8/75|因式分解、图形变换、分式化简、几何综合|第22题购书情境融合分式方程与不等式，第23题旋转与平行四边形综合，发展推理能力与应用意识|

试卷1　郑州市中原区 八年级下学期学情调研试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　C　） A. B. C. D. 2.下列代数式中，是分式的是（　A　） A. B. C. D. 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　D　） A.∠ADB＋∠CBD＝180° B.AB＝BC C.AD＝BC　　 D.AD∥BC 第3题图 4.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　A　） A.x2－4＝（x＋2）（x－2） B.x（x＋1）＝x2＋x C.x2－4＋3x＝（x＋2）（x－2）＋3x D.x2＋4x－2＝x（x＋4）－2 5.已知a≥3b，根据不等式的性质，下列式子错误的是（　B　） A.a＋1≥3b＋1 B.－a≥－3b　　 C.a≥b D.a－2≥3b－2 6.小李家装饰地面，已有正三角形状的瓷砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形瓷砖，与正三角形瓷砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的瓷砖形状是（　C　） A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形 7.解分式方程＋1＝时，去分母后得到的整式方程是（　B　） A.x－2＋1＝1.5（2x－1） B.x－2＋（2x－1）＝－1.5 C.x－2＋1＝－1.5（2x－1） D.x－2＋（2x－1）＝1.5 8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（　D　） A.－1 B.＋1 C.－1 D.＋1 第8题图　　 9.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环，还需正五边形的个数为（　A　） A.7 B.8 C.9 D.10 第9题图 10.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4 ），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10＋12 ，0），得到等腰直角三角形⑤…依此规律，则第2 025个等腰直角三角形的面积是（　C　） A.4 050 B.2n C.22 025 D.24 052 解析：∵A1（0，2），∴等腰直角三角形①的面积为×2×2＝2.∵A2（6，0），∴等腰直角三角形②的斜边长为6－2＝4.设等腰直角三角形②的直角边长为a.由勾股定理，得a2＋a2＝42.解得a＝2 .∴等腰直角三角形②的面积为×2 ×2 ＝4＝22.∵A4（10，4 ），∴等腰直角三角形③直角边长为10－6＝4.∴等腰直角三角形③的面积为×4×4＝8＝23.∵A4（10，4 ），∴等腰直角三角形④的直角边长为4 .∴等腰直角三角形④的面积为×4 ×4 ＝16＝24.……依此次规律可发现，第n个等腰直角三角形的面积为2n，∴第2 025个等腰直角三角形的面积是22 025.故选C. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请举出一个生活中不等关系的实例：　在郑州市儿童身高低于1.3米（含1.3米）乘坐公交车免票（合理即可）　. 12.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为　③①②　.（填序号） 13.在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，那么关于x的一元一次不等式kx＋b≤2的解集是　x≥0　. 第13题图 14.如图，在△ABC中，∠B＝100°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC＝　140　°. 第14题图 15.如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，AC＝16，BO是AC边上的高，BO＝6，动点P，Q分别在边AC，AB上（点P不与点A，C重合），满足∠BPQ＝∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，CP的长为　6或　. 第15题图 解析：∵△ABC为等腰三角形，AB＝BC，AC＝16，BO是AC边上的高，∴∠BAO＝∠BCO，OA＝OC＝AC＝8.当△PQB为等腰三角形时，分三种情况：①当PB＝PQ时，如图1. 在Rt△BOC中，BO＝6，由勾股定理，得BC＝＝＝10.∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO. ∵∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝∠CBP＋∠BCO，∴∠APQ＝∠CBP. 在△APQ和△CBP中，∠QAP＝∠BCP，∠APQ＝∠CBP，PQ＝PB，∴△APQ≌△CBP（AAS）.∴AP＝BC＝10.∴CP＝AC－AP＝16－10＝6. 图1 ②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP.∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP.根据三角形的外角性质，得∠BQP＞∠BAO. ∴这种情况不存在. ③当QB＝QP时，如图2.∴∠PBQ＝∠BPQ.∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠PBQ＝∠BAO.∴PB＝PA.设OP＝x，则PB＝PA＝8－x.在Rt△OBP中，由勾股定理，得PB2＝OP2＋OB2，∴（8－x）2＝x2＋62.解得x＝，即OP＝.∴PC＝OP＋OC＝＋8＝. 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，CP的长为6或. 图2 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分）（1）分解因式：2x3－8x； 解：（1）原式＝2x（x2－4）（2分） ＝2x（x＋2）（x－2）.（5分） （2）利用因式分解进行简便计算：1832＋183×34＋172. 解：（2）原式＝1832＋183×17×2＋172（1分） ＝（183＋17）2（3分） ＝2002 ＝40 000.（5分） 17.（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位1）网格的格点上. （1）△ABC的形状是　等腰直角三角形　； （2）将△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标　（4，1）　； 解：（2）如图，△A1B1C1即为所求.（4分） （3）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并写出点A旋转到A2的过程中经过的路线长为　　. 解：（3）如图，△A2B2C2即为所求. （7分） 18.（9分）下面是小明同学进行分式化简求值的过程，请认真阅读并完成任务. 先化简（－）÷，然后从－2＜x＜2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值. 解：原式＝•第一步 ＝•第二步 ＝•第三步 ＝•第四步 ＝－x＋3第五步 （1）以上化简步骤中： ①第　一　步是进行分式通分，通分的依据是　分式的基本性质　； ②第　三　步开始出现错误，错误的原因是　括号前是负号，去括号时，6x 没有变号　. （2）请你写出正确的解答过程. 解：（2）原式＝• ＝• ＝• ＝• ＝－x－9.（7分） 要使分式有意义，则x不可取0，3，－3 . ∵x为整数，－2＜x＜2，∴x可取－1和1. 当x＝－1时，原式＝－（－1）－9＝－8.（9分） （或当x＝1时，原式＝－1－9＝－10.（9分）） 19.（9分）（1）解不等式2x＋5≤3（x＋2），并把其解集表示在数轴上； 解：（1）去括号，得 2x＋5≤3x＋6. 移项，得2x－3x≤6－5. 合并同类项，得－x≤1. 两边都除以－1，得x≥－1.（3分） 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. （4分） （2）解不等式组并写出其整数解. 解：（2）解不等式①，得x＞－1.（1分） 解不等式②，得x＜3.（3分） 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示. ∴ 原不等式组的解集为－1＜x＜3.（4分） ∴整数解有 0，1，2.（5分） 20.（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作AB的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点P，作直线AP. （1）求证：AP垂直平分BC； 解：（1）证明：∵AB⊥BP，AC⊥CP， ∴∠ABP＝∠ACP＝90°.（1分） 在Rt△ABP和Rt△ACP中，AB＝AC，AP＝AP， ∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）.（3分） ∴PB＝PC.∵AB＝AC， ∴点A、P都在线段BC的垂直平分线上. ∴AP垂直平分BC.（5分） （2）若AP＝5，AB＝4，请计算BC的长. 解：（2）设AP交BC于点D，如图. 在Rt△ABP中，AP＝5，AB＝4， 由勾股定理，得BP＝＝3.（6分） ∵S△ABP＝AP•BD＝AB•BP， ∴BD＝＝＝.（8分） ∵AP垂直平分BC，∴BC＝2BD＝.（9分） 21.（9分）回归课本 （1）请用文字语言表述三角形的中位线定理：　三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半　； 回顾证法 （2）证明三角形中位线定理的方法很多，下面是其中一种添加辅助线构图的方法.请结合图，补全求证及证明过程. 已知：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点. 求证：　DE∥BC，DE＝BC　. 证明：过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F. 证明：过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F. ∴∠ADE＝∠CFE. ∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝BD，AE＝CE. 在△ADE和△CFE中，∠ADE＝∠CFE，∠AED＝∠CEF，AE＝CE， ∴△ADE≌△CFE（AAS）.（6分） ∴AD＝CF，DE＝EF＝DF. ∴CF＝BD. ∵CF∥AB，∴四边形DBCF是平行四边形，（8分） ∴DF∥BC，DF＝BC. ∵DE＝DF，∴ DE∥BC，DE＝BC.（9分） 22.（10分）下面是小红学习了“分式方程的应用”做的课堂学习笔记： 　　小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1本，求科普书和文学书的单价. 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：所买文学书数量－所买科普书数量＝1 －＝1 解法二 设… 等量关系：科普书单价＝文学书单价× ＝× （1）请根据笔记内容选择上面两个方程中的一个进行解答，并解释所选方程中x所表示的含义； 解：（1）选择解法一.设文学书的单价为x元，则科普书的单价为1.5x元.（1分） 由题意，得－＝1.解这个方程，得x＝5. 经检验，x＝5是所列方程的根. ∴1.5x＝1.5×5＝7.5. 答：科普书的单价是7.5元，文学书的单价是5元.（5分） （或选择解法二.设文学书买了x本，则科普书买了（x－1）本.（1分） 由题意，得＝×.解这个方程，得x＝3. 经检验，x＝3是所列方程的根，且符合题意. ∴ ＝5，5×＝7.5. 答：科普书的单价是7.5元，文学书的单价是5元.（5分）） （2）若小明所在的学校图书室计划购进这两种书共200本，其中科普书的数量不少于文学书数量的，问所需资金最少是多少元？ 解：（2）设购进科普书m本，则购进文学书（200－m）本.由题意，得m≥（200－m）.解得m≥80.（7分） 设所需资金为w.由题意，得w＝7.5m＋5（200－m）＝2.5m＋1 000. ∵2.5＞0，∴w随m的增大而增大.∴当m＝80时，w的值最小.w最小＝2.5×80＋1 000＝1 200. 答：所需资金最少是1 200元.（10分） 23.（10分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6.点E在BC边上且BE＝4，连接AE. （1）△ABE的形状为　等边三角形　； （2）将BE绕点B逆时针旋转α得到BF. ①当α＝120°时，连接AF.求证：四边形AFBE是平行四边形； 解：（2）①证明：∵将BE绕点B逆时针旋转α得到BF. ∴BF＝BE. ∵△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠BAE＝60°. ∴AE＝BF.（5分） ∵α＝120°，∴∠FBE＝120°. ∴∠FBA＝∠FBE－∠ABE＝60°＝∠BAE. ∴FB∥AE.∴四边形AFBE是平行四边形.（7分） ②在旋转过程中，当BF⊥AC时，请直接写出△ACF的面积. 解：（2）②△ACF的面积为4 －6 或4 ＋6 .（10分） 解析：当BF⊥AC时，分两种情况：①如图1，当BF在∠ABC内部时，设AC与BF交于点G，过点A作AH⊥BC于点H. ∵△ABE是等边三角形，AH⊥BC，∴BH＝BE＝2.在Rt△ABH中，AB＝4，由勾股定理，得AH＝＝2 . 在Rt△ACH中，HC＝BC－BH＝6－2＝4， 由勾股定理，得AC＝＝2 . ∵S△ABC＝BC•AH＝AC•BG，∴BG＝＝＝. ∵BF＝BE＝4，∴FG＝BF－BG＝4－.∴S△ACF＝AC•FG＝×2 ×（4－）＝4 －6 . 图1　 ②如图2，当BF在∠ABC外部时，设AC与BF的反向延长线交于点G.与①同理可得，AC＝2 ，BG＝. ∴FG＝BF＋BG＝4＋. ∴S△ACF＝AC•FG＝×2 ×（4＋）＝4 ＋6 . 综上所述，在旋转过程中，当BF⊥AC时，△ACF的面积为4 －6 或4 ＋6 . 图2 学科网（北京）股份有限公司 $