2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试题（新高考二卷地区适用）

**基本信息** 以商场销售额统计、抛物线运动等真实情境为载体，通过函数与圆综合题等创新设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、函数性质、立体几何、解析几何、不等式|单选基础巩固，多选（如第9题导数极值）分层考查逻辑推理| |填空题|3/15|排列组合、三角恒等变换、椭圆最值|第14题椭圆最值问题体现几何直观与空间观念| |解答题|5/77|统计回归、立体几何证明与体积、数列求和、抛物线综合、函数与圆综合|15题结合商场销售额数据考查回归与正态分布（数据观念），19题函数与圆综合探究切线斜率（创新意识），凸显数学思维与语言的应用|

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．C 【命题说明】 1．题源：2012年大纲卷（文），第1题；人教A版必修一8页例2（2）． 2．题源：人教A版必修二71页例2． 3．题源：人教B版必修一139页复习题A组第9题． 4．题源：2022年新高考全国I卷，第3题；人教A版必修二285页例1． 5．题源：人教B版选择性必修三34页例7． 6．题源：人教A版选择性必修一121页练习第4题． 7．题源：人教B版必修一80页练习B第3题． 8．题源：人教A版必修二119页练习第1题． 【部分试题解析】 4．法一：边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故， ，故B选项正确． 法二：以E点为原点建系，则，-1，故B选项正确． 8．可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为，则底面直径为，则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为，，所以，则过圆锥顶点的截面是以3为腰的等腰三角形，设顶角为，此时面积，可知当时，即时，面积最大，此时面积，故C选项正确． 数学参考答案第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．BD 10．ABC 11．AD 【命题说明】 9．题源：人教A版选择性必修二96页例7． 10．题源：2022年新高考全国II卷，第9题． 11．题源：人教A版选择性必修三71页拓广探索第8题． 【部分试题解析】 10．对于D选项，若在上只有1个零点，则， 取，令，则， 则，时，无零点，故D选项错误． 11．选项A，由于，有，根据方差公式， ，因此， 不等式恒成立，故A选项正确； 选项B，，当的取值使得 时（例如以等概率取0和2），则，因此，选项B不一定成立，故B选项错误； 选项C，令，则，且有，由于可能为负，且， 因此可能为负（例如取和的概率分布），导致，故选项C不一定成立，故C选项错误； 选项D，令，则 ，由于，有，当等号成立，故D选项正确， 数学参考答案第2页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．81 13．5 14．4 【命题说明】 12．题源：人教A版选择性必修三26页第4题（3）． 13．题源：人教A版必修一229页第9题． 14．题源：2020清华大学强基计划第6题；人教A版选择性必修一113页例6． 【部分试题解析】 14．易得椭圆离心率，准线，则根据椭圆第二定义， 得，则问题转化为求的最值，当PA⊥l时有最小值4． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1），........................................................................（1分） ，...........................................（2分） ，............................................................（3分） 所以，..............................（5分） ，.........................................................（6分） T关于的经验回归方程为．.....................................（7分） （2）注意到，........................................................................（8分） 所以，.........................................（9分） ，..................................................（12分） 故销售利润在的概率为0.8186．.................................................（13分） 注：（2）中式子列对但计算错误的给4分。 数学参考答案第3页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 16．（15分） （1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，...............（2分） 又平面，所以，又，， ，平面，所以平面，..............................（4分） 又平面，所以平面平面......................................（5分） （2）因为△ABC是正三角形，，所以. 又，由，， 得，故，............................................（8分） 设与平面所成的角为； 法一：以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，，，..................（10分） 设平面的一个法向量为， 则取，可得，.........................（12分） 则，.....................................（13分） 所以，.................................................................（14分） 所以直线与平面所成的角的余弦值为.............................（15分） 法二：过作，垂足为，记到平面的距离为， 由（1）得平面，又平面，所以. 因为平面，平面，所以平面平面， 数学参考答案第4页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 又因为平面平面，平面，， 所以平面.............................................................................（10分） 根据，得，又因为△ABC是正三角形， 所以，，..（12分） △的高等于，代入得， 解得，.............................................................................................（13分） 所以，所以，............（14分） 所以直线与平面所成的角的余弦值为.............................（15分） 17．（15分） （1）时，，解得或，...........................（1分） 因为，所以，...........................................................................（2分） 时，，...........................（3分） 得，...................................................................（4分） 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列，.....................................（5分） 所以数列的通项公式为；..................................................（6分） （2）解法一：由，所以， 当为偶数时， ，......................................................（9分） 数学参考答案第5页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 当为奇数时，，...............................................（11分） 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 因为为奇数，所以时，，则...........（13分） 当为偶数时，，所以， 因为为偶数，所以时，，则，.............（14分） 综上，.............................................................................................（15分） 法二：由， 当为偶数时， ，.............................................................（9分） 当为奇数时，，...............................................（11分） 所以（下同解法一） 法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令，...................（7分） 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到，............................（9分） 当为奇数时， ，....................................................（11分） 数学参考答案第6页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 当时，，当时，， 所以当为奇数时，，................................（13分） 则的最小值为，....................（14分） 所以.................................................................................................（15分） 18．（17分） （1）因为点到轴的距离为，所以点到准线的距离为，......（2分） 因为，所以，解得，...............................（3分） 所以抛物线的方程为，.................................................................（4分） （2）（ⅰ）由题意可得，， 设且， 因为三点共线，所以， 即，化简可得，即，.....（6分） 若存在点，使得，设， 则 当，即时，成立，................................................（9分） 所以存在点，使得成立；......................................（10分） （ⅱ）因为是抛物线的焦点，且， 所以是的角平分线，.............................................................（11分） 设，则， 解得，所以，.................................................（12分） ， 数学参考答案第7页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 所以直线的方程为，......................................................（13分） 此时恰好满足直线方程，在直线上， 即M，F，A三点共线，所以，......................................（15分） 直线与抛物线联立方程可得，................................（16分） 即，解得，故............................（17分） 19．（17分） （1）因为，所以，...............................................................（1分） 所以，...............................................................................................（2分） 所以函数在处的切线方程为， 即；.....................................................................................................（3分） （2）第二象限，证明如下：设 则有， 设，则有，...................................................（4分） 又因为，所以， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减；........................................（5分） 不妨设，则， 令 ， 因为，所以， 所以，即恒成立，......................................（7分） 又因为，所以，，， 数学参考答案第8页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 所以线段AB的中点的横坐标为，.............................................（8分） 又因为，所以线段AB的中点的纵坐标为，............（9分） 所以线段AB的中点在第二象限；.............................................................（10分） （3）设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，.......................................................（11分） 证明：由（2）知， 即只需证明，即只需证明，..............................（12分） 只需证明，又， 只需证明， 又因为， ， 只需证明， 令，即需证明， 因为， 令，...............................................................................（14分） 则， 所以当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 所以，所以在上单调递减， 又因为，所以，........................................................（16分） 所以随着的变化，直线AB的斜率始终小于1........................................（17分） 数学参考答案第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合{x|x是等腰直角三角形}，{x|x是等腰三角形}，{x|x是等边三角形}，{x|x是直角三角形}，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数中，既满足，又满足的为 A． B． C． D． 4．在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则 A．-2 B．-1 C．1 D．2 5．在2与8之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数之积为 A．16 B．32 C．64 D．128 6．双曲线C:的一条渐近线方程为，，分别为其左、右 焦点，是C上的一点，且，则 A．1 B．3 C．7 D．9 数学试题第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7．设a，b均为正数，甲：，乙：，则 A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 8．若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，，则存在a，b，使得 A．有极大值，也有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．有极大值，没有极小值 D．没有极大值，也没有极小值 10．已知函数，则下列判断正确的是 A．若，则的最小正周期为 B．若，则直线是曲线图像的一条对称轴 C．若在单调递减，则的最大值为 D．若在上只有1个零点，则 11．离散型随机变量X的数学期望为1，则 A．＜ B．＜ C．≤ D．≤ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．4名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是__________． 13．已知，，则__________． 14．已知椭圆C:的右焦点为，为平面内一定点，P为C上一动点，则最小值为__________． 数学试题第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 某商场对商品售卖的情况进行统计，已知该商场共六层，当各楼层的商品种类相近时，得到该商场各楼层的销售额（单位：万元）的值： 楼层 1 2 3 4 5 6 销售额 700 500 400 200 100 100 记销售额T与楼层之间的经验回归方程为． （1）求T关于的经验回归方程； （2）由于网络热点的影响，销售利润（单位：万元）近似服从正态分布，求销售利润在的概率． 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．若，则，． 参考数据：． 16.（15分） 如图，在直三棱柱中，已知点D，E分别是棱，上的点，． （1）证明：平面平面； （2）若△ABC是等边三角形，，平面分割三棱柱 所得两部分的体积之比为11:1，求直线与平面所成的角的余弦值． 数学试题第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 17.（15分） 记为数列的前项和，已知，，数列满足． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围． 18.（17分） 抛物线C:上一点A到轴的距离为，焦点为，． （1）求C的方程； （2）若A在轴上方，C的准线与轴交于Q，过Q作一条斜率为负的直线交C于M，N两点，M在N左侧． （ⅰ）判断在轴上是否存在一定点T，使得直线TM，TN的斜率之和为0，若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由； （ⅱ）若，记△AFN的面积为，△MFN的面积为，求的值． 19.（17分） 已知函数，圆：，设与的图像交于A，B两点． （1）求曲线在处的切线方程； （2）判断线段AB的中点在第几象限，并证明； （3）证明：随着r的变化，直线AB的斜率始终小于1． 数学试题第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $