2026年普通高等学校招生全国统一考试自编数学模拟练习卷（三）（新高考省份适用）

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（新Ⅰ卷） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．若复数满足，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 2．设全集，集合，则A∪(CuB)=（    ） A． B． C． D． 3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知平行四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象的一个对称中心的坐标为( ) A． B． C． D． 6．定义在R上的偶函数，在上是增函数，则( ) A． B． C． D． 7．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知不相等的两个正实数x，y满足，则下列不等式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．如图，在棱长为2的正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．当E为的中点时，平面 D．当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为 10．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点，则下列选项正确的是（    ） A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条 B．当时， C．为钝角三角形 D．的最小值为 11．已知函数相邻对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，的取值范围是 D．若函数在上有3个零点，则a的取值范围是 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 12．已知曲线在点处的切线为，则实数的值为___________． 13．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一名纺织女工，在五天时间内共织了五尺布，后一天的织布量是前天的2倍，问每天的织布量分别是多少？若设第一天的织布量为第五天织布量为，则_____，_____. 14．有五个球编号分别为号，有五个盒子编号分别也为号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为_____（用数字作答），记为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量的数学期望____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分）某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 试销单价x（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量y（件） q 84 83 80 75 68 已知.参考公式：， （1）求出q的值； （2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程； （3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率. 16．(15分)已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，数列的前项和为，求的最小值. 17．(15分)如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，说明理由. 18．(17分)椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离是． （1）求椭圆的方程； （2）若直线：被圆：截得的弦长为3，且与椭圆交于，两点，求△面积的最大值． 19．(17分)已知函数在点处的切线方程为． （1）求，； （2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值； （3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据复数的运算与复数的概念求解即可. 【详解】由题意得，， 所以复数的虚部为. 故选：C. 2．C 【分析】先求，再求并集即可. 【详解】由题可知：， 而， 所以. 故选：C 3．D 【分析】根据渐近线方程得到，再代入离心率公式即可. 【详解】由题意可知，所以. 故选：D. 4．C 【分析】根据题意可得，再由求出. 【详解】平行四边形ABCD中，，， ，为中点， . 故选：C. 5．A 【详解】试题分析：若点为函数的图象的对称中心，则满足，可知A满足要求. 考点：三角函数图象的性质． 6．B 【详解】试题分析：由题意得，函数为偶函数，所以，又因为在上是增函数，所以，即，故选B． 考点：1、函数的奇偶性及其应用；2、函数的单调性及其应用． 【易错点晴】本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性及其应用，属于基础题，解答本题的关键是利用函数的奇偶性，转化函数值，再利用函数的单调性进行比较大小关系，其中利用函数的奇偶性的转化思想是解题的一个易错点和难点． 7．B 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合半径关系判断即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上到直线的距离等于1的点的个数为2. 故选：B 8．B 【分析】将原式可变形，令，，可得时，，时，，则需比较x与y的大小，只需比较 与的大小,由，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性，从而得出答案. 【详解】解：由已知，因为2log4x＝log2x， 所以原式可变形 令，， 函数 与均为上的增函数，且，且， 当时，由，则，可得， 当时，由，则，可得， 要比较x与y的大小，只需比较 与的大小， 设，则 ，故在上单调递减， 又，， 则存在使得， 所以当时，，当时，， 又因为， 所以当时，，当时，正负不确定， 故当时，，所以，故， 当时，正负不定，所以与的正负不定， 所以均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能． 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x与y的大小，只需比较 与的大小，，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性，属于难题． 9．BD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AC；利用等体积法求出体积判断B；利用线面角的向量求法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，，不垂直，A错误； 对于B，三棱锥的体积，B正确； 对于C，，，而， 即不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，C错误； 对于D，，设平面的法向量，则， 取，得，与平面所成角的正弦值，D正确. 故选：BD 10．ACD 【分析】由抛物线的定义及点到准线的距离可求解抛物线的方程，判断点与抛物线的位置关系即可判断A；联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解面积，进而可得的值，利用焦半径公式即可求解B；根据数量积的坐标运算即可求解C，根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解D. 【详解】因为抛物线上一点到其准线的距离为3，所以，解得，所以抛物线的标准方程为． 对于A，由于点在抛物线上，且，故点在抛物线的外部， 显然过点与抛物线相切的直线有2条， 当过点的直线与轴平行时，与抛物线也仅有一个公共点， 所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，故A正确； 对于B，由抛物线的方程可知，焦点， 当直线的斜率不存在时，，又，所以，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为0，设， 联立消去整理得， 所以，，，又， 所以， 解得，则，， 则，故B错误； 对于C，由选项可知， 所以，所以是钝角三角形，故C正确； 对于D，由选项B可知， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确． 故选:ACD．    【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是利用向量数量积小于0从而判断出其为钝角三角形，计算的时候需要结合抛物线中的焦点弦定值结论. 11．BD 【分析】先利用和角的正弦公式与辅助角公式将函数化成正弦型函数，再根据正弦函数的相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】. 对于A，由题意可得函数的最小正周期，满足，则有，故A错误； 对于B，由A可得，因为函数的最大值，故必有，即B正确； 对于C，当 时，，则有，故的取值范围是 ，故C错误； 对于D，当时，，由正弦函数的图象性质， 要使函数 在 上有3个零点，需使，即，故D正确. 故选：BD. 12． 【分析】对函数求导，根据斜率和函数值进行计算即可. 【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 故答案为：. 13． 【分析】设这名女子第天织布的尺数为，则是公比的等比数列，由此利用等比数列的前项和公式能求出结果． 【详解】解：设这名女子第天织布的尺数为， 则是公比的等比数列， 由题意得， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力． 14． 1 【解析】先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，利用列举法得其余四个球的放法，由分步计数原理计算可得答案．分析可得可取的值为0,1,2,3,5，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而利用期望公式可得数学期望. 【详解】恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰由1个编号相同， 先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，1，4，，，3，4，，，4，1，，，1，4，，，4，1，，，4，2，，，1，2，，，3，1，，，3，2，共9种，故恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的投放方法总数为种； 若恰由2个编号相同， 先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内有种，剩下的三个球，不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理共有种； 若恰由3个编号相同， 先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有种情况，剩下有2个盒子放2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理可知共有种， 若恰由5个编号相同（不可能恰有4个相同），有1种方法； 因为这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球共有种方法，所以0个编号相同的方法为种， 综上，可取的值为0,1,2,3,5， ， ， ， 故答案为：45,1. 【点睛】求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 15．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）直接利用平均数公式计算即可； （2）只要按照所给的公式，正确计算即可得到线性回归方程； （3）先求出“好数据”有3个，再求出基本事件数和符合条件的基本事件数，即可由古典概率公式求解. 【详解】（1）由 得 解得 （2）经计算，，， 所以，， 所以所求的线性回归方程为 （3）当时，；当时，；当时，，当时， ；当时，；当时，. 与销售数据对比可知满足的共有3个“好数据”：， 6个销售数据中任意抽取2个的所有可能结果有种， 其中2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有种， 于是抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率为. 【点睛】本题考查线性回归直线方程及古典概型的概率计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 16．（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）利用累乘法可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得数列的前项和； （3）令，分析数列的单调性，由此可求得的最小值. 【详解】（1）数列满足：，， 则，，，以此类推，对任意的，， 由已知条件可得， ； （2）， ， 上式下式得， 因此，； （3），则， 令，则，则， 则数列为单调递增数列，所以，数列的最小值为. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 17．(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）推导出平面，从而，推导出，从而平面，由此能证明平面平面； （2）当为中点时，连结，，交于点，则是的中点，连结，推导出，从而平面． 【详解】（1）证明：由题设知，平面平面， 平面平面， ，平面，平面， 平面，， 为上异于，的点，且为直径，， 又，平面， 平面，平面平面； （2）解：在线段上存在点，当为中点时，使得平面． 证明如下： 连结，，交于点， 是矩形，是的中点，连结， 是中点，， 平面，平面，平面， 所以当为中点时，平面． 18．（1）；（2）． 【详解】试题分析：（1）借助条件布列的方程组；（2）联立方程组，借助维达定理构建面积函数，转求最值. 试题解析：（1）由题意可得，， 解得，，， 即有椭圆的方程为； （2）∵到的距离， ∴，∴． 设，，把代入得 ， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，． 考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、设而不求法表示面积. 【思路点睛】本题综合考查了直线、圆、椭圆的知识，难度中等.第一问通过待定系数法确定椭圆的方程，注意对椭圆基本性质的理解；第二问考查了三角形的面积问题，如何表示面积手段是非常灵活的，除了熟知的底乘高除以二以外，还有面积的正弦形式，特别是割补思想表示面积，本题比较常规，难点是包含两个变量，通过弦长建立二者的等量关系，就可以很轻松的建立面积的一元函数.在求最值上很有技巧性，巧解均值不等式，值得同学们总结. 19．（1），；（2）0；（3）证明见解析 【分析】（1）由已知可得，，求出，可得的方程组，求解即可； （2）先求出的负根，进而求出切线方程，求出函数，进而求出单调区间，即可得出结论； （3）根据（2）可得的图像在的上方，同理可证出的图像也在以的另一零点为切点的切线上方，求出与两切线交点的横坐标为，则有，即可证明结论. 【详解】（1）将代入切线方程中， 得，所以， 又或， 又， 所以， 若，则（舍去）； 所以，则； （2）由（1）可知，， 所以， 令，有或， 故曲线与轴负半轴的唯一交点为 曲线在点处的切线方程为， 则， 因为， 所以， 所以，． 若，， 若，，， 所以. 若，， ， ，所以在上单调递增， ，函数在上单调递增． 当时，取得极小值，也是最小值， 所以最小值． （3），设的根为， 则，又单调递减， 由（2）知恒成立． 又，所以， 设曲线在点处的切线方程为，则， 令， ． 当时，， 当时，， 故函数在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 设的根为，则， 又函数单调递增，故，故． 又，所以．    【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、极值最值、不等式的证明，要注意利用数形结合找到解题的突破口，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 学科网（北京）股份有限公司 $