2026年普通高等学校招生全国统一考试自编数学模拟练习卷二（新高考省份适用）

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（新Ⅰ卷） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，，则CU（A∪B）=（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D．2 4．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．若为奇函数，当时，，则（    ） A．10 B． C．12 D． 6．若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．点P到x轴的距离与到直线l：的距离相等，则点P的轨迹方程是（    ） A． B．或 C．或 D．或或 8．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．到平面的距离是 C．异面直线所成角的余弦值为 D．平面将正方体分成两部分的体积比为 10．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则的面积是 D．的最小值为 11．下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 12．过原点的直线与函数在上的图象切于点，则______． 13．等比数列中，，，则__________. 14．已知集合，从集合中随机抽取一个数记为，再从中随机抽取一个数记为，则___________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分)某校对是否愿意参与2023春季校园文化艺术节与体育活动进行调查，随机抽查男生，女生各35人，参与调查的结果如下表： 愿意参与 不愿参与 男生 15人 20人 女生 25人 10人 (1)从已知数据判断能否有95%的把握认为是否愿意参与校园文化艺术节和体育活动与性别有关； (2)用分层抽样方法，在不愿意参与的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少抽到一名女生的事件发生的概率. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．(15分)已知数列是等差数列，为其前n项和，. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和. 17．(15分)如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值． 18．(17分)已知椭圆C:的离心率为，点为C上一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设坐标原点为O，点A､B在C.上，点P满足，且直线OA，OB的斜率之积，证明为定值． 19．(17分)已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为. (1)求证：； (2)若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有； (3)求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】利用复数的乘除运算即可求解. 【详解】， 故选：. 2．A 【分析】根据集合的并集、补集运算即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以 故选：A 3．A 【分析】双曲线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由，化标准方程为， . 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程、简单几何性质，属于基础题. 4．B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 5．D 【分析】由奇函数性质结合题意可得答案. 【详解】因为为奇函数，时，, 所以. 故选：D 6．C 【分析】根据题意可得，且，代入运算即可. 【详解】因为，，，， 可知， 又因为向量在基底，下的坐标为， 则， 所以在基底，下的坐标为. 故选：C. 7．C 【分析】设出P点坐标，根据题意得到，进行化简可得到结果. 【详解】设点，依题意P到x轴的距离与到直线l：的距离相等,有，化简得或. 故答案为C. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式的应用，较为基础. 8．C 【分析】分析函数的奇偶性，利用导数讨论其单调性，然后根据奇偶性和单调性可解. 【详解】， 因为，且定义域为，所以为偶函数， 令得，所以在上单调递增， 因为，， 所以 ，即. 故选：C 9．ABC 【分析】构造面面平行，证明线面平行，可判断A的真假；利用体积法求点到面的距离，可判断B的真假；构造两条异面直线所成的角，将其放在三角形中，利用余弦定理求角的余弦，可判断C的真假；求出平面分正方体所得的两部分的体积，可得D的真假. 【详解】对A：连接，，，则易证，，所以，又平面， 平面，所以平面； 同理：， 、是平面内的两条相交直线， 所以：平面平面，平面，所以平面.故A正确； 对B：因为为中点，所以和到平面的距离相等，设为. 又在中，，，所以. 由.故B正确； 对C：取中点，连接，. 则，所以即为异面直线、所成的角. 在中，，，， 由余弦定理，.故C正确； 对D：，，所以平面把正方体分成的两部分的体积之比为：，故D错误. 故选：ABC 10．ACD 【分析】根据题意，得到，可判定A正确；设直线为，联立方程组，求得，结合，可判定B错误；设直线为，联立方程组，求得，由，得到，求得的值，结合三角形的面积公式，可判定C正确；由抛物线的定义得到，结合，利用基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，由抛物线的焦点为，可得，解得，所以A正确； 对于B，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 则， 由，所以与不垂直，所以B错误； 对于C，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得，则， 由，可得，所以， 将代入上式，可得且，解得， 所以，则， 则的面积为，所以C正确； 对于D，由抛物线的定义，可得， 则 因为，且，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 11．BCD 【分析】对于A，分和两种情况分析判断即可，对于B，利用指数函数、对数函数和三角函数的单调性判断，对于C，令，则，则，化简，再求可得答案，对于D，构造函数，由导数判断函数的单调性，然后利用单调性比较大小 【详解】对于A，当时，由，得，则，当时，由，得，则，因为，所以，综上，或，所以A错误， 对于B，因为，所以，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，所以B正确， 对于C，令，则，所以，所以，所以， 所以 ，所以C正确， 对于D，令，则， 当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，所以D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数、对数函数的性质的应用，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，判断出函数的单调性，利用函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题 12． 【分析】利用切点和斜率求得切线方程，代入原点坐标，化简求得. 【详解】切点为，， 所以切线方程为， 代入得，所以. 故答案为： 13． 【分析】由基本量法列方程求出即可求解. 【详解】设的公比为，因为，， 所以,解得,故. 故答案为：. 14． 【分析】可能的取值为，根据条件概率和全概率公式可求取相应值时概率，再根据期望公式即可求期望. 【详解】可能的取值为，由全概率公式有： ， 故 . 15．(1)有95%的把握认为是否愿意参与校园文化艺术节和体育活动与性别有关 (2) 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）首先求出男、女生应抽取的人数，再用列举法列出所有可能情况，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）因为， 所以有的把握认为是否愿意参与校园文化艺术节和体育活动与性别有关； （2）用分层抽样方法，在不愿意参与的学生中抽取6人， 男生应抽取人，女生应抽人， 设“所抽取的人中至少有一名女生”为事件， 记名男生分别为1、2、3、4；2名女生分别为、， 再从这6人中随机抽取2人的基本事件为：12，13，14，，，23， 24，，，34，，，，，共15种， 其中事件所包含的基本事件为：，，，，，，，，有个， 则事件发生的概率. 16．（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，利用条件列方程，解方程得的值从而确定等差数列的通项公式； （Ⅱ）由第（I）问的结果知：，所以数列为等比数列，于是可根据等比数列的前项和公式直接求解. 【详解】解：（Ⅰ）因为，所以. 因为数列是等差数列，， 所以. 所以. （Ⅱ）由可得， 所以. 从而知是首项，公比为4的等比数列， 所以其前n项和为. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明四边形ABCE为平行四边形，得到，再根据线面平行的判断定理证明即可； （2）先证明四边形BCDE为菱形，得到，再由平面ABCD得到 ，然后根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可； （3）先由二面角的定义证明就是二面角的平面角，得到，再根据面面垂直的性质定理证明面PBD，再根据线面角的定义证明为直线PA与平面PBD所成的角，最后在中求解即可. 【详解】（1）因为，，E为AD的中点， 所以，所以四边形ABCE为平行四边形， 所以，又平面PAB，平面PAB，所以平面PAB； （2）连接BE，因为，，E为AD的中点， 则，所以四边形BCDE为菱形，所以， 又，所以， 又平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，平面PAB，所以平面PAB， 因为平面PBD，所以平面平面PBD； （3）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，，平面PAD， 所以平面，又平面，所以，因为， 所以就是二面角的平面角，即， 所以在中，可得. 如图所示，过点A作，垂足为M， 由（2）知，平面平面PBD，平面平面，平面PAB， 所以面PBD，则PM为AP在平面PBD上的射影， 所以为直线PA与平面PBD所成的角． 在中，，，所以， 所以，. 所以直线PA与平面PBD所成角的余弦值为． 18．（1）；（2）证明见详解． 【分析】（1）将点代入方程结合离心率列方程组求解值，即可求方程； （2）当直线的斜率不存在时，设，根据条件直接计算的值；当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得两根关系，利用斜率关系求得，，根据条件计算得结果． 【详解】（1）由题意得 解得 所以椭圆C的标准方程为； （2）设，当直线的斜率不存在时， 因为直线，的斜率之积，所以，即 又在椭圆上，所以，， 因为，所以 ； 当直线的斜率存在时，设直线方程为 联立方程组得消去得 设则 因为直线，的斜率之积，所以，则 又在椭圆上，所以①，② 所以， 又①＋②得 又因为，所以 ； 综上为定值20． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换将用的形式表达，借助不等式性质与不等式得，进而同理得的不等关系，由内角和定理即可得证； （2）结合正、余弦定理化简求得，利用锐角三角形求范围，进而构造齐次式化弦为切可得的范围，整体换元令，将问题转化为不等式对任意，的双变量恒成立问题逐步求解可得； （3）由两角和正切公式化，再整体换元，令，进一步令，转化为求的最值，再利用基本不等式与导数求解最值即可. 【详解】（1）因为 ， 由，则，故，所以， 设， 则， 故在上单调递增， 故当时，，即. 由为锐角，则，所以有， 同理，， 所以，. （2）由题意，且， 则根据余弦定理可得， 化简得，由正弦定理得， 得，由均为锐角，且， 则且， 解得， 则 ， 令，则，， 不等式， 即不等式对任意，恒成立. 所以对任意恒成立， 则， 化简得， 则不等式对任意恒成立， 其否定为：存在，使不等式. 即存在，成立. 即关于的不等式在有解. 由可得，且； ，且，且当时，； 又， 则要使不等式在有解， 则， 故当，或时，不等式对任意恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. （3）在锐角中，， 由，则， 令，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当时等号成立. 令， 则， 令， 则，令，解得， 则当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 又， 故在有且仅有一个根，设为，且， 发现，故， 故，由，则，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故， 所以有， 当且仅当，即时，取到最小值，且最小值为. 此时， 综上可得，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于“元”的变换.如第一问种通过三角恒等变换，对式子的变形，转化为整体元“”的函数求解；再如第二问中通过整体换元，将问题转化为对任意，双变量不等式恒成立，进而分别以为主元变量逐步求解；又如第三问中令，则，通过基本不等式的应用，将多元最值问题转化为一元函数的最值问题求解. 学科网（北京）股份有限公司 $