湖南长沙市第十一中学等校2026届高三考前适应性训练数学试题

2026届高三冲刺压轴适应性训练·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】D 【解析】由题意得A={2,3,4},其元素个数为3，子集个数为23=8，故选D. 2.【答案】A 【解析】充分性显然成立，对于必要性，当a=1,b=3时矛盾，故选A. 3.【答案】A 【解析】x=(2-i)(1+bi)=(2+b)+(2b-1)i,因为该复数为纯虚数，因此2+b=0且2b-1≠0，解得 b=-2,故选A. 4.【答案】D 【解析】注意到co(管经-20)=c0(-20-2+2a)=c0(20+答)，由二倍角公式得co(20+)=1 2sim(0+）=g故选D. 5.【答案】D 【解折1由S:-5a十a_5〔a,十a）-5,可得5a,=5,即a=1,由a1十a4十a1=30=6,得a4=2,又因为 2 2 a3十a5=2a4,得a5=3,故选D. 6.【答案C 【解析】不妨设该点横坐标为xo,而y'=e十e,可得切线方程y一(e'。十exo)=-(e。十e)(.x一xo),即y=(eo十e)x (x0-1)e,故t=t(xo)=-(x0-1)e,t'(xo)=-xoeo,当xo∈(-∞，0)时，t'(xo)>0,t(xo)单调递增； xo∈(0，十o∞)时，t'(xo)<0,t(xo)单调递减，于是t≤t(0)=1,故选C. 7.【答案】B 【解桥】因为范物线C:y-2pr(D>0)的焦点为F(台，0）准线为1：x=-台设 M9.则垂足N(-名小，由四边形OFMN为等腰梯形，得OF∥MN,且 1OM1=FN,所以+=，-台-)+，解得。=，将M(p)代入 抛物线方程y2=2px,得：y6=2p·p=2p→yo=√2p,等腰梯形面积：S=2(OF|+|MN)·o,因 为O-号，MN=+号碧S=E代A得台+碧)Ep=E.所以区p=E.p=4,又 因为p>0,所以p=2故选B. 【高三数学试题参考答案第1页（共6页）】 8.【答案】A 【解析】设A事件为“经过3次摸球未能停止摸球”，B事件为“经过5次摸球停止摸球”，则P(A)=3一A 33 27),选择前4次涉及的2个编号：从3个中选2个，共C=3种选法，前4次摸球的情况数：这2个编号需 217 至少各出现1次（否则前4次仅1个编号，无法满足“恰好2个编号”），因此前4次的情况数为2一2=14（减 去“全选第1个”和“全选第2个”的2种无效情况)，第5次摸球：必须选第3个未被前4次摸到的编号，仅1 种选法，因此，事件B的情况数为3X14×1=42,总摸球可能数为3=243，所以P(B)=2名81由题意 4214 14 P(AB)=P(B),所以P(BIA)=PCAB)_PB)_81_14×92 P(A)P(A)78TX7-日，故选A. 9 9【答案】ABC 【解析】对于A选项，显然可知其值域为[一2,2]，故A正确：对于B选项，由>0得2红=2，=1，此时f(x) =2 sin.x,f(x十2）=2 2sin(+）=2cosx,故B正确：对于C选项，f'(x)=2xc0sx,f'(0)=2x, f(0)=0,可得曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线方程为y=2πx,故C正确；对于D选项，f(985-x)= 2sin(985π-元x)=2sinπx≠-f(x),故D错误，故选ABC. 10.【答案】AC y=x+3 【解析】对于A选项，联 立 4- 11得 ,故y=4,故A正确；对于B选项，= 5y- y=4 (x:-x)(y,-y) =1 xy:一nxy =1 ax·ay ,故B错误：对于C选项，cos<a,a,≥=0d 2(x:-x)y:-y） xy:一1xy =1 =r,故C正确：对于D选项，注意到·a=1, a ②(x-)含y-y) 2-ny ax·ay4 4 a a a, 11.【答案】ACD 【解析】因为椭圆E:十y2=1的左、右顶点分别为A(-2,0)与B(2,0)且均在圆C:x2十y2=4上，所以线 段AB为圆C的直径，由直径所对的圆周角为直角可知∠AMB=90°，即直线BM与直线AP始终互相垂 直，故A正确：设动点》的坐标为9)E00,由超意可妇直线A》的斜率为十2由垂直关系可知 直线BM的斜率为-十，选而可得直线5M的方程为)=一十 二(x一2)，同理可知∠ANB=90°，即直 yo 线AN与直线BP互相垂直，可得直线AN的方程为y=-0一2(x十2)，联立直线BM与AN的方程，解 yo 【高三数学试题参考答案第2页（共6页）】 得交点H的横坐标x=x,代入直线方程并结合装+=1化简可得交点H的纵坐标y=4。,将。=x 与y,=兰代人椭图E的方程可得动点H的软速方程为了+活-1且≠0，该轨迹是长轴在y轴上的脑 圆，共熙点在y维上，放B:误：因为线段0H长度的平方0=5+1，代入，=1-平可得01 =16-3x,由于点P异于左、右顶点，可知x。∈(-2,2)，进而16一3x∈(4,16]，开平方可得 OH|∈(2,4]，故C正确；在△HAB中底边|AB|=4且高为|4yo|,其面积S=8|yo|,由y≤1且yo≠0可 知当yo=±1时面积取得最大值8，故D正确，故选ACD, 12.【答案】0.4 【解析】由对称性得P(4<X<6)=P(2<X<4)=0.5-P(X<2)=0.4,故答案为0.4. 13【答秦号元 【解析】记扇形的半径为R,圆心角为0，圆锥的底面半径为r,则 2R=2m ,此时0=2十4-2，于是 R (0+2)R=-2π+4 4x=R2 (太-2），得及-(x+2R十2红=6，于是R=2或R=(含).放8-=：扇形长1=R=2 3h- =2xrr=1,故圆锥的高h=√R一=3，于是圆锥的体积V= 3,故答案为 3 14.【答案】2e6e(第一空2分，第二空3分) 【解析】注意到f(e)=2e-a≥b,即a+b≤2e,下面考虑取等条件.不妨设t=lnx,a+b=2e(此时t=1),故 转化成2t2e'-at≥2e-a,设g(t)=2t2e'-at-2e十a,g(1)=0,由g(t)≥0=g(1)知t=1应为g(t)的极 小值点，而g'(t)=2(t2+2t)e-a,由g'(1)=0得a=6e,代入得g'(t)=2(t2+2t)e-6e,而g"(t)= 2(t2+4t十2)e,当t∈(-∞，-2-√2)时，g"(t)>0,g'(t)单调递增；t∈(-2-√2，-2十√2)时，g"(t)<0, g'(t)单调递减；t∈(-2+√2，+∞)时，g"(t)>0,g'(t)单调递塔，于是t<-2十√2时，g'(t)≤g'(-2-√2) 4(W2+1)e25-6e<0,注意到g'(1)=0,故可知当t<1时，g'(t)<0;t>1时，g'(t)>0,可得t=1为 g(t)的唯一极小值点，符合题意，故答案为2e;6e. 15.【解析】(1)由题意知c=1,且ccosA十√5 csinA=2.代入c=1,得cosA十√3sinA=2,…2分 他即号c0sA十号inA.即sinA十l.………… 因为A为△ABC的内角，所以A∈0，，从而A+营∈（信）所以A+吾-营解得A=答…6分 (2)因为△ABC为锐角三角形，所以各内氘均小于，即0<B<受且0<C<受，又因为C=x一A-B 2红 -B,所以0<-B<行解得智<B<结合0<B<可得晋<B< …8分 【高三数学试题参考答案第3页（共6页）】 sinB sinB 1 由正弦定理可得b= -,故b= …11分 2x一B sin 3 3 2 cosB+ 1 √3cosB, 1 2sinB 2 sinB 2 因为香<B<,故易知0< <,从而 13 cosB sinB 22 sinB <2.所以号<<2，即6的取值范用为 1 (22） ……………13分 16.【解析】(1)在圆台O1O2中，上、下底面半径分别为1和4，高为4，所以O1O2=O2E=4,因为F为O1E的 中点，所以O2F⊥O1E,……………2分 易知O1O2⊥平面CDE,CDC平面CDE,所以O1O2⊥CD,…3分 又因为O2E⊥CD,O1O2∩O2E=O2,O1O2、O2EC平面O1O2E,所以CD⊥平面O1O2E,…4分 因为O1EC平面O1O2E,所以O1E⊥CD,因为CD∩O2F=O2,CD、O2FC平面O2CF,故O1E⊥平面 O2CF…6分 (2)因为O1O2⊥平面CDE,O2E⊥CD,以点O2为坐标原点，O2E、O2C、OO1所在直线分别为x、y、x轴 建立空间直角坐标系，… …7分 则B(0,1,4)、D(0,一4,0)、E(4,0,0)、O1(0,0,4),……………8分 设平面BDE的-个法向量为m=(x,),D店=(0,5,4，D呢=(4,4.0)，则m·D丽=5y+4:=0 取 m·DE=4x+4y=0 x=4,则m=(4,一4,5)，… 11分 易知平面O2CF的一个法向量为E01=(一4,0,4)，… 12分 |EO1·m 所以|cos<EO1,m>|= √114 14分 |EO1|·m4√2×√57 114 故平面BDE与平面O,CF夹角的余弦值为4 114 …15分 17.【解析】(1)由渐近线方程知，a=b,由焦点坐标可知，a2十b2=4,联立 a=b …………2分 a2+b2=4 屏得a=6-5,放C的方程为号-号-1.4分 (2)设A(x1y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my十2，过A(x1y1)且与l1平行的直线可写为y-y1= x一x1, 联立Px -解得M(2, 6分 ly-yi=x-x1 过B(x2y)且与1，平行的直线可写为y-y2=-(x-2),联立= y2=-(x-x2) 解得N”) ……………………8分 当m=0时，x1=x2,y2=-y1,此时xM=xN,则直线MN斜率不存在，又，此时直线AB的斜率也不存 在，且M,N,A,B四点不共线，.MN∥AB,…10分 [x =my+2 当m≠0时，由x2y2,消去x,得：(m2-1)y2+4my+2=0,易知△=8m2+8>0,∴y1+y2= 22=1 Am 2 m2-y1y:= n2-1 【高三数学试题参考答案第4页（共6页）】 x2+y2y1-x1 h MN =2 2 x3+y2-y+x1=my2+2+y2-y1十my1十2=m(y1十y2)+y2-y+4 x2十y2_x1一y1 x2+y2-x1+y1my2+2+y2-my1-2+y1 m(y2-y1)+y1+y2 2 2 -4 m3-1+y2-y ……14分 n+: .kB=kMN,M,N,A,B四点不共线，.MN∥AB.…15分 18.【解析】(1)此时f'(x)=2x-a(lnx十1)cos(xlnx),…1分 而f(1)=1,当a=2时 f(1)=2-0=0,………… 2分 可得L的方程为y一1=0.… 3分 、(2)g'（x)1nx2n2x,… …4分 设p)=x+-1p'u)=, x2… 5分 x∈(0,1)时，p'(x)<0,p(x)单调递减；x∈(1，十c∞)时，p'(.x)>0,p(x)单调递增，于是p(x)≥p(1)=0, …7分 n2x≤0，g(x)在(0，+o∞)上单调递减.… (3)此时l:y-1=1(x-1),即y=x,…9分 考虑h(x)=x2-x-sin(xln.x)的零点个数.设p1(x)=x-sinx,x>0,p1(x)=1-cosx>0,p1(x)在 (0,十0∞)上单调递增，于是p1(x)=x-sinx>p1(0)=0,……10分 设pe(a)=-lr-1,)=1-∈0.1)时.pPx)0,p:(r)单洞蓬减x∈1，十∞y时，>0. p2(x)单调递增，于是p2(x)=x-ln.x-1≥p2(1)=0,… …11分 故当x>1时，h(x)=x2-x-sin(xln.x)>x2-x-xln.x=x(x-ln.x-1)>0,…l2分 而x<1时，要证h(x)>0.设ps(x)=simx-x士x2,t>0,p(x)=cosx-1+x,px)=1-Sinx≥0 3(x)单调递增，于是(x)>p(0)=0,p3(x)单调递增，故ps(x)>p3(0)=0,…14分 1 于是-sin(xlnx)=sin（-xnx)>-xlx-zx2m2x,…15分 故h)>x2-x-lhx-子2lr=g).而x<1时g(x)>g1)=0,故(x)>0.…16分 综上，曲线y=f(x)与l有且仅有一个公共点(1,1). …17分 19.【解析】(1)代入计算公式得d(X,Y)= …2分 化简得d(X,Y)=6+0+6=3 1 ………………4分 (2)记d,=p,一9.因为2p,-1且2g:=1,两式相减可得2d,=0.对于任意取值为0或1的数列c,由于 1 c:十(1-c)=1,可将之d,=0改写为[cd,十(1-c,)d,]=0.移项可得c,d:=-之1-c)d.现对求和 【高三数学试题参考答案第5页（共6页）】 式2之c,d,进行恒等变形得到22c,d,=之c,d,-1-c)d.因为c,∈{0,1，故c≥0且1-c,≥0.根据绝 对值性质可知d,≤|d,|以及-d,≤|d,|,将其分别乘以非负数c;与1-c,得到cd,≤c,|d,|以及-(1 c)·d,≤(1-c)d,l,相加得到2c,d,≤[cd,+(1-c)川d,门=1d,=d(X,Y).…7分 =1 1=1 两边同除以2，即证得c,(中，一q,)≤24(X,Y.上述放缩过程中，要使等号成立，必须同时满足c,d, c,d;与-(1-c;)d;=(1-c:)d;.当p;-q;>0时，为使第二式成立必须有1-c,=0,即c;=1;当：-q: <0时，为使第一式成立必须有，=0；当p；一q:=0时，两式对c:=0或1均成立. 故等号成立的条件为：当p:一q:>0时，c;=1;当p:-q:<0时，c:=0;当p:-9:=0时，c,可取0或1.… ……10分 (3)记d,=p:一q,(i=1,2,…,n).由已知条件概率和为1可得乃d,=0且2id,=2.对于任意常数m,均有 1 md,=d,m,=2成立.Rm"士代人上式可得：“士d,=2根福轮对值不等式的 i=1 i=I 性质，可得(：-”生）4，≤i-”士1d,.因为1≤≤，所以-”号≤：-士<”号，进而可得 -”士<”将其代人放缩不等式可得一“生)口，<”号山，将上述不等式从=1到=a累加。 2 可得2≤2”21d=”2名d,.代人dX=名d1,即可得到2<”2d(x,Y,解得1x.)≥ 2 n故d(X,Y)的最小值为4 ……。…。。……1。*。…。4。……1分 m-1 要使上述所有效缩过程均取到等号，多须满足对于所有：均有(-”山，=”21d,成立.当=1时，上 式化为-”2d-”1d,即d<0:当i=n时，上式化为”2d,-”21d,,即山，≥0：当1<<n 时，由于：-”士<”者要等号成立有d,=0, 结合4，=0与空以，=可邻得d,=吕且d=名即.9=名里9=吕1 2 其余所有位宣均有么，=9情合概率丰负且息和为1的性质，可令0，=。名且9，=0，并令91=名且 p1=0,此时剩余概率总和为1一2，=”一3 由于已知≥3，故该剩余概率值非负，可令力，=92- 余所有位置（若存在）均满足，=q,=0.由此构造出的一组满足条件的分布列为P(X=m)=2且P(X=2) n- 只-子以及PY=1）=名且PY=2》-只，其余各项取值的概率均为0， 2 2 (构造不唯-，只要满足力。一9.=兰气，且力一91=一np:一9，(2≤i≤n一1)，并使概率非负，总和为 1,就可以达到最小值) ……17分 【高三数学试题参考答案第6页（共6页）】2026届高三冲刺压轴适应性训练 水，题3分，种分在每小出的个中，只有一是 品地的 科目：数学 1,乙1>3日2， 分不必耍条件 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题 时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3.本试题卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须 及时报告监考老师，否则后果自负。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 知为 姓 名 的得均￥若烧平点，，刻（昌大德 准考证号 面形的话织，国是 祝你考试顺利！ C 高地面鱼有西共 机密★启用前 2026届高三冲刺压轴适应性训练 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 0卧馆浸鲜百，食代阳酷哈板世仪语，代程的应数形 1.集合A={x∈N|3<x2<17}的子集个数为 A.2 B.4 C.6 D.8 2.设甲：a>2且b>1,乙：a+b>3且ab>2,则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 特正8女以色)出经仙 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 图房干关（八8参尚， 3.已知之=(2一i)(1+bi)是纯虚数，则实数b= 贸向格楼 A.-2 1 D.2 4.若sin(0+）=3,则co(5-20) D.T A-司 c号 喝 直电田修接道 5.记等差数列{an}的前n项和为Sm,已知a1十a4十a7=6,S5=5,则a5= 金造语经减限 A.-1 B-日 c D.3 6.已知曲线y=e十ex,在其上一点处的切线与y轴交于点(0，t),则t的最大值为 A日 C.1 D.e 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.点M在C上，过点M作l的垂线，垂足为 N.O为坐标原点，若四边形OFMN为等腰梯形，面积为4√2，则p的值是 A.2 B.2 C.22 D.4色喝题丝 【高三数学试题第1页（共5页）】 8.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1,2,3，每次从口 袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则 “经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是 2 9 c 04 81 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 的来没自 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 《5 9.已知函数f(x)=2sin(wπx)(w>0)的最小正周期为2，则 A.f(x)的值域为[一2,2] 佩，8<且N45,1出5·甲对 B.f:十2)是偶函数 州茶题海不面三唇甲 件委在不M5层中， C.曲线y=f(x)与y=2πx相切 到式折的甲 D圃线)=f:)关于点50)中心对称 并数年S盖， 10.对于n维向量a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),a·b=2a,b,a 之a:,二者夹角的 1 余弦值c0&现有一组点xy)…,(以.，设x二2y= y:,记a,= 1=1 7nt=1 (x1一x,x2一x,…,xm一x),ay=(y1一y,y2一y,…,ym一y),已知这组点由最小二乘法所得 的经验回归直线方程为5=x十3和立号一号，若<0,75，称这组点的线性相关性弱，反 之则称这组点的线性相关性强，则 2x,y:一nxy 2xy:一ny 附：y=bx十a,r b= ,a=y-bx. -nx - 2x-na? i A.y=4x 武星B.a,在a,上的投影向量为a,年d威1仪是：1放绿g C.r=cos<a,a,>]的4明，此将面，陆圆摩以M0问，点型水 D.这组点的线性相关性弱 【高三数学试题第2页（共5页）】 1已知椭圆E:+y1的左右顶点分别为A,B,圆十y=4.点P是脑圆E上异于A, B的动点，直线AP与圆C交于另一点M,直线BP与圆C交于另一点V,设直线AN与直线 BM交于点H,则 命的前D(0年已3H面平鬼s A.直线BM与直线AP始终互相垂直 BH的轨迹为焦点在x轴上的部分椭圆分得修府伞辰中只经 C.线段OH长度的取值范围为(2,4幻 D.△HAB面积的最大值等于8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若随机变量X服从正态分布N(4,o2),且P(X<2)=0.1,则P(4<X<6)= 13.将圆锥的侧面展开得到一个面积为2π，周长为2π十4的扇形，且该扇形的半径为有理数，则该 圆锥的体积为 14.设函数f(x)=2x(lnx)2-alnx,若f(x)≥b,则a+b的最大值为(2I;当a+b取 得最大值时，a= 0,8)9武动最消，工一 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.来1 15.(本小题满分13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=1,ccosA+ √3 csinA=2,且△ABC为锐角三角形. (1)求A; (2)求b的取值范围. 【高三数学试题第3页（共5页）】 16.(本小题满分15分)如图，在圆台O102中，上、下底面半径分别为1和4，高为4，轴截面为四边 形ABCD,E在下底⊙O2上，O2E⊥CD,F为O1E中点 (1)证明：O1E⊥平面O,CF: 01 (2)求平面BDE与平面O2CF夹角的余弦值， 直正的证发证 在阳服传形的十峰作 E 名干餐面大量的面8 代【共，代之小母，腰小无共圆本：四空啦， 一(X)川晚，1.0一(509且，(。，)以萌民咨五从项之数冷鸣合 卖的烟县在式济业面进园效日，讯惊的十武斗恩，S皮浮面个一促平实而阳面瑞国 试存 2.本小题满分15分)已知双曲线C名-1(@>0,6>0)的渐近线方程为：y=x和a江 =一x,右焦点为F(2,0). ,机大 (1)求C的标准方程；距牙世阳亚，服监宇文出官血答酿，食下下共，四心己共 (2)过F的直线l交C的右支于A,B两点，过A作L1的平行线交l2于点M,过B作l2的平行 线交L1于点N,证明：MN∥AB, 前长5 丽理的来( 【高三数学试题第4页（共5页）】 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=x2-asin(xlnx),记曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线 为1. (1)当a=2时，求l的方程； (2)证明：函数g(x)=x-lx-1-2xl1nx在(0，十∞)上单调递减； (3)当a=1时，证明：曲线y=f(x)与l有且仅有一个公共点. 19.(本小题满分17分)已知随机变量X,Y的取值集合为{1,2，…，n}的子集(n≥3且n∈N*).记 P(X=i)=p,P(Y=i)=q:(i=1,2,…n).定义X与Y的差异度为d(X,Y)=之1p:-9l. 0当a=3时A-日a:-日p,名且g有9有9求dx.n: (2)设数列c1c2…c.满足c,∈{0,1(i=12,),证明：2c,(p:-q,)≤2d(X,Y),并指 出等号成立时c,的取值条件； (3)记X,Y的数学期望分别为E(X),E(Y).若E(X)-E(Y)=2,求d(X,Y)的最小值关于n 的表达式，并写出此时能够取得该最小值的一组X与Y的分布列. 【高三数学试题第5页（共5页）】