湖南百师联盟2026届高三下学期5月考试数学试卷

数学参考答案及评分意见 1．B 2．A 3．A 4．D 5．B 6．D 7．B 8．A 9．BC 10．BCD 11．ACD 12． 13． 14．4 15．解：（1） ． 3分 因为，所以， 所以，解得． 6分 因为，所以． 7分 （2）由（1）得． 因为，，所以，所以． 9分 由正弦定理，得． 10分 因为， 11分 所以的面积． 12分 由题意，得，解得． 13分 16．解：（1）由已知，得， ， 所以， 3分 所以． 5分 因为，说明与的线性相关性很强，所以适合线性回归模型拟合．6分 因为， ， 所以关于的经验回归方程为． 8分 （2）由（1）知，． 因为样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据， 所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示． 10分 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否 由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组， 所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数的所有可能取值为0，1，2． 11分 因为，，， 所以的分布列为 0 1 2 14分 所以的数学期望． 15分 17．（1）证明：如图，取的中点，连接． 因为，，，， 所以，，所以四边形是正方形， 所以，． 2分 在中，， 则在中，，所以． 3分 因为平面，平面，所以． 4分 因为，，平面，所以平面． 5分 因为平面，所以平面平面． 6分 （2）解：因为平面，，平面，所以，． 又因为，所以，，两两垂直． 7分 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 10分 设平面的法向量为，则即 令，则，，所以． 12分 设平面的法向量为，则即 令，则，，所以． 14分 因为， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 15分 18．（1）解：由题意，当为椭圆的通径时，的值最小； 当为椭圆的长轴时，的值最大，为． 1分 把代入椭圆的方程，得，结合，解得， 所以的最小值为． 2分 由题意，得 解得所以椭圆的标准方程为． 5分 （2）①证明：由题意，设直线的方程为，则直线的方程为．6分 设，． 由消去，整理得． ，则． 由题意，得， 所以，则． 8分 将点坐标中的用代换，得弦的中点． 9分 解，得，所以，所以直线的方程为．10分 当时，直线的斜率， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线过点． 12分 综上，直线过定点． 13分 ②解：由题意，得的面积 14分 设，则，． 15分 由对勾函数的性质，得函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值，为，即面积的最大值为． 此时，两直线和的斜率分别为． 17分 19．（1）解：因为，，所以． 1分 因为函数在上单调递增，解得， 所以当时，，当时，． 3分 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 4分 （2）①解：方程，即，， 则． 5分 设，，则方程有两个根，，即函数的图象与直线有两个不同的交点． 6分 因为，， 当时，， 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 8分 因为，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围是． 10分 ②证明：由①可知，， 则证不等式即， 转化为证． 12分 令，，则． 令，则． 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以． 14分 由①知，． 令，，则． 令，则． 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以单调递增，所以． 所以当时，． 由①及题意可知，，所以． 因为且在上单调递减，所以， 所以，所以． 16分 所以， 所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A．B．C．D． 2．已知平面向量，均为单位向量，若，则 A．1 B．2 C．4 D．8 3．若，则 A． B． C． D． 4．已知数列满足对任意的，，都有．若，则 A．18 B．22 C．24 D．29 5．风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：，，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 6．某科技公司使用质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为 A． B． C． D． 7．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上（点在第一象限），直线的倾斜角为，过点作于点，直线交轴于点．若的外接圆周长为，则 A．1 B．2 C． D． 8．在长方体中，，．现以为球心，以为半径作球，则球的球面与该长方体的表面相交所得到的曲线的长为（参考数据：） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有 A．的虚部为 B．点在第二象限 C．点在直线上 D．的最大值为 10．我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗服从正态分布．则下列结论正确的有 （附：若随机变量服从正态分布，则，， A． B． C． D． 11．已知函数，，则下列说法正确的有 A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为________． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若点恰为的中点，且，则双曲线的离心率为________． 14．已知数列的前项和为，，且数列的前10项和为550，则_____．（参考公式：） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求． 16．（15分）某农业科研团队为探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响，选取5组不同的光照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如下数据： 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 （1）求变量与的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求关于的经验回归方程； （2）当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数的分布列和数学期望． 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；③，，． 17．（15分）如图，在多面体中，底面四边形为直角梯形，，，，，平面，平面． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于两点，的最大值与最小值之和为7． （1）求椭圆的标准方程． （2）设过点且与直线垂直的直线交椭圆于，两点，点，分别是弦，的中点． ①若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点； ②在①的条件下，当两直线和的斜率为何值时，的面积取得最大值？ 19．（17分）已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根，． ①求实数的取值范围； ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $