湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三模拟试（三）数学试卷

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三模拟试（三）数学试卷 命题：审题：高三数学备课组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 2. 在复平面内，复数对应点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 5. 二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A. 252 B. -252 C. 210 D. -210 6. 已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 7. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设定点，，动点满足，则点轨迹可能是（ ） A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 直线 10. 已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为，为侧面内（含边界）的一个动点，分别是线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 若平面，则点的轨迹长度为 C. 若为侧面的中心，则四棱锥的外接球的表面积为 D. 当时，三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________________ 13. 已知函数图象关于直线对称，则______________ 14. 设是给定的正整数，现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回）．则第三次取出白球的概率为_____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知的面积为． （1）求． （2）若为BC上一点，满足，且为钝角，求的面积． 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过原点，求； （2）若，求的最大值． 17. 如图，在中，为的外心，平面ABC，且PO． （1）求证：平面PAC； （2）设平面平面，若点在线段PC（不含端点）上运动，当直线与平面所成角最大时，求平面与平面的夹角的大小． 18. 《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙． （1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为．求该擂主连胜三局的概率． （2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明：． 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的2倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，过点分别作平行于轴的直线，与直线分别交于两点，直线与轴的交点为． （1）求双曲线的离心率； （2）证明：数列是等比数列； （3）定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且．设直线与直线的交点为的面积记为，求数列的所有项的和的最小值（结果用或表示）． 湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三模拟试（三）数学试卷 命题：审题：高三数学备课组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】－2 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）． 【16题答案】 【答案】（1） （2）4． 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）分布列见解析，；（ii）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$