精品解析：甘肃榆中县马坡中学等校2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

2025-2026学年第二学期期中考试卷 八年级数学试卷 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 校徽是一所学校的外在形象标识，象征性诠释了学校特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分．下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 2. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 3. 五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】n边形的内角和是 ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 【详解】（5﹣2）×180°=540°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容． 4. 如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 不等式的整数解有无数多个 B. 不等式的负整数解是有限个 C. 是不等式的一个解 D. 不等式的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，不等式的解集，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集和理解不等式的解的含义是解此题的关键． 根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集确定其整数解即可． 【详解】A、不等式的整数解有无数个，故本选项不符合题意； B、不等式的负整数解有，，，，共4个，是有限个，故本选项不符合题意； C、不等式的解集是，不是它的一个解，故本选项符合题意； D、不等式的解集是，故本选项不符合题意． 故选C． 6. 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ） A. 三个内角都是锐角 B. 三个内角都是钝角 C. 三个内角都不是锐角 D. 三个内角都不是钝角 【答案】C 【解析】 【分析】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有一个内角是锐角”，应先假设三个内角都不是锐角． 故选：C． 7. 将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，理解图示，掌握以上知识是关键． 根据题意得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 8. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式之间的关系，结合图像进行分析即可． 【详解】解：因为当时，直线在直线的上方， 所以，不等式的解集为． 9. “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE， ∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 11. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为： ，解得：， ∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3， ∴ 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点位于第三象限， ∴ ∴ 故答案为： 13. 请写出命题“若，则”的逆命题：___________． 【答案】若，则 【解析】 【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答． 【详解】解：“若，则”的逆命题为：若，则， 故答案为：若，则． 14. 等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为______． 【答案】8或10 【解析】 【分析】设腰长为，底边长为，根据题意分两种情况列方程组求解，再检验结果是否符合三角形三边关系即可. 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据题意得或， 解得或， 经检验，两组解均满足三角形三边关系； 因此等腰三角形的腰长为或. 15. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，可得，，根据勾股定理可求得的长，过点作于点，交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，， 垂直平分， ，， ，， 两点之间线段最短，且垂线段最短， 当、、三点共线，且时，最小， 如图所示，过点作于点，交于点， 当点在点处，点在点处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式：． 【答案】x<7 【解析】 【分析】去括号，再移项，合并同类项，系数化1，解得即可． 【详解】去括号得：2x-6<8， 移项得：2x<8+6， 合并同类项得：2x<14， 系数化1得：x<7， 故不等式的解集为：x<7． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟记基本步骤是解题的关键． 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 18. 若不等式组无解，求出的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法，会根据不等式组无解求解参数a的取值范围是解答的关键． 先解一元一次不等式组，再根据不等式组无解即可得出a的取值范围． 【详解】解：解一元一次不等式组， 得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：． 19. 如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 20. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的勾股定理，垂直平分线的性质；根据是的垂直平分线，设，则，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵垂直平分 ， ∴， 设 ，则， 在中， ∵， ∴， 解得． ∴． 21. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 【答案】（1）10m （2）20m 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． （2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 C，A，D三点共线， 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．平移得到，已知点的坐标为 （1）点的坐标为_______，点的坐标为______； （2）画出； （3）可以由经过一次平移得到吗？如果能，请在图中标出平移的方向，并求出平移的距离． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）可以由沿着方向经过一次平移得到，平移距离为 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）由题意得出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，再由平移的性质即可得出答案； （2）根据点的坐标描点连线即可； （3）连接，可以由沿着方向经过一次平移得到，再由勾股定理计算出平移距离即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所作， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，可以由沿着方向经过一次平移得到， ， 由勾股定理得：， ∴平移的距离为． 23. 学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和证明： （1）第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （2）第二步：证明她的猜想（补全证明过程）． 证明：，， ．…… 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）按照要求作图即可； （2）证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： ； 【小问2详解】 证明：，， ． 在和中， ， ． ， 平分． 24. 兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． （1）求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ （2）已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【答案】（1）一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元 （2）面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元 【解析】 【分析】（1）设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，根据题意，列出不等式求出的范围，设当日总利润为，列出一次函数关系式，求最值即可. 【小问1详解】 解：设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元． 根据题意可得，解得，． 答：一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元． 【小问2详解】 解：设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，设当日总利润为． 根据题意可得， 解得：； 同时，A、B套餐数量为非负整数数，需满足，解得（m为整数）． 故（m为整数）； 则当日总利润：． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， ∴面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元． 25. 【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． （2）已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 （4）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 26. 综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． 【问题发现】 （1）小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下： 请你帮助小明完善以下推理过程． 解： ， ① 在和中， ， ∴② ． （2）如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，求． 【拓展探究】 （3）在图2的基础上，延长至点F，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，得到平分即可. 【小问1详解】 解：             ， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知 ． 且 在与中 ， ； 【小问3详解】 解：． 理由：如图，过点A作于点M，作于点N． 由（1）可知，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵； ∴平分. ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试卷 八年级数学试卷 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 校徽是一所学校的外在形象标识，象征性诠释了学校特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分．下列四幅图案是四所学校校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 五边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 3 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 不等式的整数解有无数多个 B. 不等式的负整数解是有限个 C. 是不等式的一个解 D. 不等式的解集是 6. 用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ） A. 三个内角都是锐角 B. 三个内角都是钝角 C. 三个内角都不是锐角 D. 三个内角都不是钝角 7. 将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A. B. C. D. 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 13. 请写出命题“若，则”的逆命题：___________． 14. 等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为______． 15. 如图，在中，，，．若，分别是和上的动点，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式：． 17. 解不等式组． 18. 若不等式组无解，求出的取值范围． 19. 如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 20. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，．求的长． 21. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为． （1）求该斜坡的高度BD； （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线） 22. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．平移得到，已知点的坐标为 （1）点的坐标为_______，点的坐标为______； （2）画出； （3）可以由经过一次平移得到吗？如果能，请在图中标出平移的方向，并求出平移的距离． 23. 学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和证明： （1）第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （2）第二步：证明她的猜想（补全证明过程）． 证明：，， ．…… 24. 兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． （1）求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ （2）已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 25. 【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． （2）已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 （4）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 26. 综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． 【问题发现】 （1）小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下： 请你帮助小明完善以下推理过程． 解： ， ① 在和中， ， ∴② ． （2）如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，求． 【拓展探究】 （3）在图2的基础上，延长至点F，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $