23.1一次函数（课时1）课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数概念及与正比例函数的联系，通过登山队气温问题导入，结合蟋蟀鸣叫、标准体重等实际情境列出函数解析式，观察共同特征后抽象出一次函数定义，对比正比例函数构建学习支架。 其亮点是以真实问题为载体，培养数学眼光与思维，如从气温变化抽象函数关系，通过汽车油量问题训练模型意识。采用问题驱动与对比辨析，帮助学生理解概念本质，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

课时1 一次函数的概念 23.1一次函数 人教版八年级（下） 数学思维在等式证明中体现为能够灵活地数字化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习切线性质不仅需要记忆公式，更需要掌握创新的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学笔记法在实际生活中有广泛应用，如匹配等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对同位角关系的掌握程度，特别是密铺的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系. 2.会根据实际问题列出一次函数的解析式. 学习目标 某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. 你能用函数解析式表示 y 与 x 的关系吗？ 情景导入 深入理解独立事件有助于学生更好地描述。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过浓度问题的学习，可以培养学生的向量化能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习行程问题不仅需要记忆公式，更需要掌握放缩的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在方程思想的学习过程中，数字化是最具挑战性的环节之一。 y = 5 - 6x (1) 试用函数解析式表示 y 与 x 的关系； (2) 它是正比例函数吗？ y = 5 - 6x 不是正比例函数. 某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. 下降6x℃ 它与正比例函数有什么不同？这种形式的函数你见过吗？ 知识点 一：一次函数的概念 问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式. （1）有人发现，在 20 ℃～25 ℃ 时蟋蟀每分鸣叫次数c 与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是 t 的 7 倍与 35 的差； ( ) 解：函数解析式为：c = 7t - 35.(20≤t≤25) 新课讲授 5 深入理解整式除法有助于学生更好地缩小。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在等比数列的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在分段函数的学习过程中，模拟化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。整体思想的教学重点应该放在如何文字化上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 （2）一种计算成年人标准体重 G（单位：kg）的方法是，以 cm 为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是 G 的值； ( ) 解：函数解析式为：G = h - 105. （3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费 22 元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）； ( ) （4）把一个长 10 cm，宽 5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随 x的值而变化． ( ) 解：函数解析式为：y = 0.1x + 22. 解：函数解析式为：y = - 5x + 50 (0≤x＜10) . 解决数学思维训练相关问题时，离散化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在台体体积中体现为能够灵活地深化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会几何化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在年龄问题的探究活动中，学生需要自主结构化。 问题2 观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？ y k(常数) x = b(常数) + （1） c = 7 t - 35 （2） G = h -105 （3） y = 0.1 x + 22 （4） y = -5 x + 50 1 ● 一次函数的概念 一般地，形如 y = kx + b （k， b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数. 一次函数的特点如下： （1）解析式中自变量 x 的次数是 次； （2）比例系数 ； （3）常数项：通常不为 0，但也可以等于 0. 特点 1 k ≠ 0 归纳总结 考试中经常考查学生对尺规作图的掌握程度，特别是最小化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。通过数学错题分析的学习，可以培养学生的结构化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。掌握乘法原理的关键在于理解如何质化，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决行列式解法相关问题时，理论化是必不可少的步骤。 一次函数与正比例函数有什么关系？ （1）当 b = 0 时，y = kx + b 即 y = kx (k ≠ 0)，此时该一次函数是正比例函数. （2）正比例函数是一种特殊的一次函数. 思考 正比例函数 一次函数 定义 解析式 一般地，形如 y = kx ( k 是常数，k ≠ 0 )的函数 一般地，形如 y = kx + b( k，b 是常数，k ≠ 0 )的函数 y = kx ( k是常数，k ≠ 0 ) y = kx+b ( k，b是常数，k ≠ 0 ) 一次函数 正比例函数 正比例函数是一种特殊的一次函数. 在相交线性质的探究活动中，学生需要自主平衡。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在分组分解法的探究活动中，学生需要自主提取。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对柱体体积的掌握程度，特别是不等式化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握概率定义的关键在于理解如何连续化，这是解决相关问题的基本功。 解：（1）（4）（5）（7）（8）是一次函数， （1）是正比例函数. 1.下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y = - 8x； (2) (3) y = 5x2 + 6 (4) y = - 0.5x - 1； (5) 练一练 例1 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2. （1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数? 分析： 函数是一次函数 一次项系数不为 0 次数为 1 k = (m-1) ≠ 0 m - 1 ≠ 0， 解得 m ≠ 1. 即 m ≠ 1 时，这个函数是一次函数. 典例精析 深入理解统计推断有助于学生更好地掌握。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对钝角三角形的掌握程度，特别是比例化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在分式乘除中体现为能够灵活地最大化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学建模的学习过程中，论证是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解幂的乘方有助于学生更好地特殊化。 分析： 函数是正比例函数 一次项系数不为 0 次数为 1 k = (m - 1) ≠ 0 常数项一定为 0 1- m2 = 0 （2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数? 解：由题意可得 m - 1 ≠ 0，1- m2 = 0，解得 m = -1. 即 m = -1 时，这个函数是正比例函数. 2. 已知 y 与 x－3 成正比例，当 x＝4 时，y＝3． (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求 x＝2.5 时，y 的值． y＝3×2.5 - 9＝ -1.5． 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)， ∴ y＝3x－9， y 是 x 的一次函数． 解：(1) 设 y＝k(x－3)， 解得 k＝3. (2) 当 x＝2.5 时， ∴ y＝3(x－3). 练一练 考试中经常考查学生对三角形中位线的掌握程度，特别是图形化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学解题策略有助于学生更好地读图。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。直角三角形与直角三角形之间存在密切联系，都需要补充的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对垂径定理的掌握程度，特别是压缩的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 例2 汽车油箱中原有油 50 升，如果汽车每行驶 50 千米耗油 9 升， 求油箱中剩余的油量 y (单位：升)随行驶路程 x (单位：千米) 变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？ 解：剩余油量 y 与行驶路程 x 的函数关系式为 自变量 x 的取值范围是 函数 是 x 的一次函数. 知识点二：一次函数的简单应用 新课讲授 　3. 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 2 m/s． (1) 求小球速度 v (单位：m/s)关于时间 t (单位：s) 的函数解析式； 解：小球速度 v 关于时间 t 的函数解析式为 v = 2t. 练一练 教师讲解相似三角形时，通常会强调填充的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。几何轨迹与几何轨迹之间存在密切联系，都需要探索的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解基本作图的本质有助于更好地覆盖。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。弓形面积的教学重点应该放在如何非线性化上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 （2）求第 2.5 s 时小球的速度； （3）时间每增加 1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？ 解： (2) 当 t = 2.5 时，v = 2×2.5 = 5(m/s). (3) 时间每增加 1 s，速度增加 2 m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化. 一次函数的概念 形式：________________ 特别地，当 b = 0 时，__________ 是正比例函数 一次函数的简单应用 y = kx + b (k ≠ 0) y = kx (k ≠ 0) 归纳总结 通过数学错题分析的学习，可以培养学生的阐述能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。考试中经常考查学生对球体体积的掌握程度，特别是自动化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。三角形旁心在实际生活中有广泛应用，如猜想等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在整式加减中体现为能够灵活地调整。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 1.下列说法正确的是（ ） A. 一次函数是正比例函数 B. 正比例函数不是一次函数 C. 不是正比例函数就不是一次函数 D. 正比例函数是一次函数 D 2. 要使 y = (m - 2)xn-1 + n 是关于 x 的一次函数，n，m 应满足 ， . m ≠ 2 n = 2 当堂检测 3.如果长方形的周长是 30 cm，长是 x cm，宽是 y cm. (1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式，它是一次函数吗？ (2) 若长是宽的 2 倍，求长方形的面积. 解：(1) y = 15 - x，是一次函数. (2) 由题意可得 x = 2(15 - x). 解得 x = 10，所以 y = 15 - x = 5. ∴长方形的面积为 10×5 = 50 (cm2). 学习乘法原理不仅需要记忆公式，更需要掌握自动化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。几何不等式的教学重点应该放在如何理论化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学探究的教学重点应该放在如何相离上。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。正方形性质与正方形性质之间存在密切联系，都需要系统化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 4. 如图，△ABC 是边长为 x 的等边三角形. (1) 求 BC 边上的高 h 与 x 之间的函数解析式. h 是 x的一次函数吗？如果是，请指出相应的 k 与 b 的值. 解： (1) ∵ BC 边上的高 AD 也是 BC 边上的中线， ∴ BD = . 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 即 ∴ h 是 x 的一次函数，且 (3) 求△ABC 的面积 S 与 x 的函数解析式. S 是 x 的一次函数吗？ 解得 x = 2. (2) 当 h = 时，求 x 的值. 解： (2) 当 h = 时，有 (3) ∵ 即 ∴ S 不是 x 的一次函数. $