专题06 与平行线、三角形导角相关的高分突破题型（高效培优期末专项训练）数学新教材沪教教版五四制七年级下册

**基本信息** 聚焦平行线与三角形导角的四大核心模型，通过“模型识别-辅助线构造-动态转化”三阶方法体系，构建从静态性质到动态应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行+拐角模型|8题（含猪蹄模型探究）|作平行线转化角，归纳“内凹外凸”角度关系|以平行线性质为基础，通过辅助线构建角的等量关系，形成拐角问题通解| |平行+平移旋转|6题（含三角板旋转综合）|动态问题分类讨论，利用平移不变性、旋转角计算|从静态平行过渡到图形变换，渗透运动变化思想，强化空间观念| |双角平分线模型|7题（含内外角平分线综合）|角平分线定义+整体代换，推导“半角”关系公式|结合三角形内角和，从内角平分线拓展到内外角平分线，培养模型意识| |三角形外角相关|8题（含翻折与凹四边形）|外角性质+翻折不变性，探究“多角和差”规律|以外角性质为核心，关联翻折变换与凹四边形模型，提升综合推理能力|

专题06 《与平行线、三角形有关的导角》高分突破题型 知识点01：平行+拐角模型 知识点02：平行+平移、旋转 知识点03：双角平分线模型 知识点04：与三角形的外角相关的题型 知识点01：平行+拐角模型 1．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，，设，．下列说法中，正确的是（        ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则； 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的性质，数形结合分析进行判定即可求解． 【详解】解：如图所示，，即，延长交直线于点， ∴， 当时，，即， ∴，则， ∵与是变化的， ∴选项A，B中，不确定，表示不了， 假设C选项成立，即，则， ∴，由上述证明可得， ∴， 解得，， ∴，， ∴，故假设有误， ∴C选项错误，不符合题意； 若，如图所示， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确， 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，易得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海·阶段检测）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 【答案】，过程见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，结合垂直的定义，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， ，， ， ， 又， ，， ． 6．（24-25七年级下·上海·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 7．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 8．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】（1），理由见解析（2）（3）或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】解：（1）过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 知识点02 平行+平移、旋转 1．（24-25七年级下·上海·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 5．（24-25七年级下·江苏·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1)； (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得；根据平角定义求得，最后根据平行线的性质求得即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时，, ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵ ∴； ③如图3，当时， ， ， ∵， ∴； ④如图4，当时，则， 又， ∴点在上， ∴． 综上所述，的度数为或或或． 4．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 【答案】(1) (2)①；②当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第3问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； 【点睛】②如图2，当时，延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：； 当时， ， 由题意知得， ∴， 解得； 如图4，当时，延长交于点T，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图4，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：； 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行． 5.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2)①图见解析，；②存在，或或或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）①当时，作，则，根据，求解作答即可； ②由题意知，分四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：①如图3，当时，作， ，， ， ，， ， ； ②存在，如图3，当时，； 如图4， 当时，， ； 如图5， 当时，； 如图6， 当时，， ； 如图7， 当时，， ． 综上，这两块三角尺存在一组边互相平行，此时的值为或或或或． 6.（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 题型03 双角平分线模型 1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，的角平分线，相交于P点． (1)若，，求的度数； (2)若，试求的度数； (3)设请用α表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，关键掌握三角形内角和是180度，三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系． （1）根据三角形内角和定理即可解答； （2）先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，即可解答； （3）根据（2）的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即的度数为； （2）解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （3）解：根据（2）的结论即可得到： ， ∴． 2．（24-25七年级下·上海··期末）如图，在中，，，平分，平分，交于，求的度数和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义，解答的关键是沟通外角和内角的关系．运用角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质可得的度数；再求出的度数，利用的外角可求得的度数． 【详解】解：平分，， ， ． ， 又平分， ， ． 3．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) ； ； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 4．（24-25七年级下·上海··期末）已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图2，点在直线，之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点落在直线的下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵，∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图2，过作， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作， 同理可得， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图3，过作， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作， 同理可得， ∵与的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； 5．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 【答案】（1），证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：三角形外角等于与它不相邻两内角的和． （1）根据角平分线定义可得，根据三角形内角和为可得，即可得证； （2）根据角平分线定义可得，，根据三角形内角和为可得，即可得出结论； （3）根据角平分线定义可得，，根据三角形外角的性质可得，即可得出结论； 【详解】（1）解：． 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 7．（2024七年级下·上海·专题练习）在中，    (1)如图1，点，分别是，上一点，若，相交于点，请说明； (2)如图2，若，分别是，上的高，请说明理由； (3)如图3，若，，的角平分线，，相交于点，则： ① ； ②若过点作于点，发现，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，②见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和等于．解决第（3）问的难点在于将和都用表示出来． （1）根据三角形的外角性质，求得，据此进行计算即可； （2）根据，分别是，上的高，可得和是直角三角形，进而得出，据此可得； （3）根据，，的角平分线，，相交于点，可得，据此进行计算即可；②根据是的外角，得出，再根据平分，，可得中，，进而得到． 【详解】（1）证明： 如图1，连接并延长至，    是的外角， ， 同理可得，， ； （2）证明如图2，，分别是，上的高，    和是直角三角形， ， ； （3）解：①如图3，    ，，的角平分线，，相交于点， ，，， ， 故答案为：； ②是的外角， ， 平分， ， ， 中，， ． 知识点04 与三角形的外角相关的题型 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D是的中点，E是射线上的一点，连接，将沿翻折得到，当时，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折变换的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是根据点在射线上的不同位置，分情况讨论，利用平行线性质和翻折性质建立角度关系求解． 先在中求出的度数；再根据，分两种情况求出的度数． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴ ． ∵ 沿DE翻折得到， ∴ ， ∴设， 分两种情况讨论： 情况一：在线段CB上． ∵ ， ∴ . ∴ . 在中，． 情况二：在CB的延长线上. ∵ ， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，， ∴，解得． 故答案为：或． 2．（24-25七年级下·上海·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．设交于点H，由，且，，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵，且， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，已知；下列结论中正确的有_______（填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】①② 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形外角性质的应用，三角形的高与角平分线的含义，由三角形的内角和定理可判断①，②；利用三角形的角平分线与高的含义表示，结合，可得，进一步可判断③，由三角形的外角的性质可判断④. 【详解】解：∵，， ∴， ∵是高，即， ∴，即，故①符合题意； ∴，故②符合题意； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵，， ∴， ∵不一定相等， ∴，故④不符合题意； 故答案为：①② 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为_____． 【答案】/26度 【分析】本题考查了角的平分线，三角形外角性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．设的交点为M，延长交于点N，根据，得，代入解答即可． 【详解】解：设的交点为M，延长交于点N， ∵，的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，若，则，，，，之间的关系为________． 【答案】 【分析】设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， ，利用三角形外角性质表示，的关系，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线与的平分线交于点D，，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，已知，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，进而得到，即，再根据平行线的性质可得，进而得到，然后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在ABC中，点D、E分别在边、上，连接，与关于直线对称，点C的对应点为点，与交于点F，已知，．若，则的度数为______． 【答案】72 【分析】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质； 先根据平行线的性质求出，再根据轴对称的性质求出，然后利用三角形内角和定理求出，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·上海·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 《与平行线、三角形有关的导角》高分突破题型 知识点01：平行+拐角模型 知识点02：平行+平移、旋转 知识点03：双角平分线模型 知识点04：与三角形的外角相关的题型 知识点01：平行+拐角模型 1．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，，设，．下列说法中，正确的是（        ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则； 2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海·阶段检测）一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 6．（24-25七年级下·上海·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 7．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 8．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 知识点02 平行+平移、旋转 1．（24-25七年级下·上海·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 4．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设． (1)求的度数； (2)如果的角平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？ 5.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 6.（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 题型03 双角平分线模型 1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，的角平分线，相交于P点． (1)若，，求的度数； (2)若，试求的度数； (3)设请用α表示． 2．（24-25七年级下·上海··期末）如图，在中，，，平分，平分，交于，求的度数和的度数． 3．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 4．（24-25七年级下·上海··期末）已知，直线，点为平面上一点，连接与． (1)如图1，点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图2，点在直线，之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点落在直线的下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？请说明理由． 5．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 6．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 7．（2024七年级下·上海·专题练习）在中，    (1)如图1，点，分别是，上一点，若，相交于点，请说明； (2)如图2，若，分别是，上的高，请说明理由； (3)如图3，若，，的角平分线，，相交于点，则： ① ； ②若过点作于点，发现，请说明理由． 知识点04 与三角形的外角相关的题型 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D是的中点，E是射线上的一点，连接，将沿翻折得到，当时，则的度数为______． 2．（24-25七年级下·上海·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，已知；下列结论中正确的有_______（填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，的角平分线相交于点，若，则的度数为_____． 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，若，则，，，，之间的关系为________． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线与的平分线交于点D，，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，已知，则的度数为______°． 7．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在ABC中，点D、E分别在边、上，连接，与关于直线对称，点C的对应点为点，与交于点F，已知，．若，则的度数为______． 8．（24-25七年级下·上海·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $