第一章三角形的证明及其应用2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末复习检测卷

**基本信息** 聚焦三角形证明与应用，以“手拉手模型”探究（23题）等综合题为主，融合几何直观与推理能力，适配八年级期末复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形内角和、全等判定、角平分线|第2题结合图形考全等条件，强化空间观念| |填空题|5/15|逆命题、等边三角形性质、角平分线计算|11题考查逆命题，培养数学语言表达| |解答题|8/75|作图、动态问题、模型探究|23题“手拉手模型”分层设计，从初探到拓广，发展推理能力与创新意识|

2026北师大八年级下册期末复习检测卷 第一章三角形的证明及其应用 考试范围：第一章；考试时间：100分钟；总分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，若三个内角的度数比为，则的形状是(    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 2.如图，，要用“”证明≌，则需要添加的一个条件是(    ) A. 平分 B. C. D. 3.如图，小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，，分别为的角平分线和高若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.在中，，用无刻度的直尺和圆规在的边上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是  (    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，是内一点，且点到三边的距离相等，，则的度数为【】 A. B. C. D. 8.如图，将沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，是边的中点，是上任意一点，连接，，若，则当周长最小时，的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，等边三角形的顶点，，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点不与点重合，连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点到的距离为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是          ． 12.如图，等边三角形的边长为，在，边上各取一点，，连接，，其相交于点，若，则           ． 13.如图，，的平分线交于点，若，，则的度数为          ． 14.如图，在中，，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，，，且与交于点若，，则的长是          ． 15.如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，，的平分线与的平分线交于点，得，则          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，在中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． 作边的中点； 作的平分线，交边于点； 作点关于直线的对称点； 直接写出的长          ． 17.本小题9分如图，在中，，平分，交于点，于点，求证： ；． 18.本小题分如图所示，在中，已知，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动的时间为秒． 出发秒后，求线段的长． 为何值时，是等腰三角形？ 当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 19.本小题9分在四边形中，，，平分． 如图，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是           问题解决：如图，试说明 问题拓展：如图，在等腰三角形中，，平分，试判断，，之间的数量关系并说明理由． 20.本小题分如图，在中，，是延长线上一点，是的平分线上一点，，过点作于点，于点． 求证：； 若，，求的长． 21.本小题分在中，垂直平分，垂足为，交直线于点，垂直平分，垂足为，交直线于点，连接，．               图                                           图 如图，若，求的大小 如图，若，求的大小 若，用含的式子表示的大小． 22.本小题分【问题背景】在三角形纸片中，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在点的位置． 【思考】如图，当点落在边上时，若，则           ； 【探究】如图，当点落在内部时，，，则           ； 【延伸】如图，当点落在外部时，若设的度数为，的度数为，请求出的度数与，之间的数量关系． 23.本小题分【模型识别】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究： 【问题初探】如图，在两个等腰三角形和中，，，，连接，，如果把小等腰三角形的底角看作是小手，大等腰三角形的底角看作大手，分别连接两个等腰三角形的底角顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”在这个模型中，和全等的三角形是          ，此时线段和的数量关系是          ； 【变式探究】如图，在两个等腰直角和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓广应用】如图，已知，请完成以下作图：以，为边分别向外作等边和等边等边三角形三条边相等，三个角都等于，与相交于点请直接写出线段和的数量关系及的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026北师大八年级下册期末复习检测卷 第一章三角形的证明及其应用 考试范围：第一章；考试时间：100分钟；总分：120分 题号 三 总分 得分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.在△ABC中，若三个内角的度数比为∠A:∠B:∠C=2:3:5,则△ABC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 2.如图，∠C=∠D=90°，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则需要添加的一 个条件是() A.AB平分LCAD ◇D B.AC=BD C.BC=BD ⊙ D.AD=BC 3.如图，小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°， ∠D=30°，则∠1+∠2=() A.150° B.180° C.210 D.270° 第1页，共7页 4.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是() 女 A.20° B.40° C.50° D.60° 5.如图，在△ABC中，∠B=70°，AD,AE分别为△ABC的角平分线和高若AB=AD,则∠C的度数为() BE D A.20° B.25° C.30° D.40° 6.在ABCD中，AB<BC,用无刻度的直尺和圆规在口ABCD的边上找一点E,使△ABE为等腰三角形，下 列作法不正确的是() D E 7.如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点0到△ABC三边的距离相等，∠A=50°，则LB0C的度数为 【】 0 B A.95 B.115° C.125° D.130° 第2页，共7页 8.如图，将△ABC沿DE,EF翻折，顶点A,B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO,若∠DOF=142°， 则∠C的度数为() C D 0 A.38° B.39° C.42° D.48 9.如图，在△ABC中，AB=AC,边AC的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N,D是边BC的中点，P是 MN上任意一点，连接PA,PD,PC.若LA=50°，则当△PCD周长最小时，∠CPD的度数为() N D M B C A.25° B.50° C.40° D.65° 10.如图，等边三角形0AB的顶点O(0,0),B(6,0),点A在第一象限内，点C在边0B上且BC=2,点D为边 AB上一动点（不与点B重合），连接CD,将△BCD沿CD折叠得到△ECD,当△AOE的面积最小时，点E到OA 的距离为() A.V3-2 B.2 C.2W3 D.23-2 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是一 第3页，共7页 12.如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE,其相交于点P,若 AE=CF,则∠APB=· A P 的 13.如图，∠ABD,∠ACD的平分线交于点P,若LA=50°，∠D=10°，则∠P的度数为_ 14.如图，在△ABD中，AB=AD=12,∠A=60°，点E在AD上，点C在BD的垂直平分线上，连 接CB,CD,CE,且CE与BD交于点F.若CE/AB,CE=7,则CF的长是 D U 15.如图，在△ABC中，∠A=a,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1,∠A1BC的平分线与 LA1CD的平分线交于点A2,得∠A2,,∠A5BC的平分线与LAsCD的平分线交于点A6,得LA6,则 LA6=-· -A2 B 第4页，共7页 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,用无刻度的直尺和圆 规完成下列作图. C B A (1)作边AB的中点D; (2)作LABC的平分线BE,交AC边于点E: (3)作点C关于直线BE的对称点F; (④)直接写出DF的长 17.(本小题9分)如图，在△ABC中，∠ABC=2LC,BE平分∠ABC,交AC于点E,AD1BE于点D,求证： C (1AC-BE=AE;(2)AC =2BD. 18.(本小题9分)如图所示，在△ABC中，己知∠C=90°，AC=8,BC=6,P,Q是△ABC边上的两个动 点，点P从点A开始沿A→C方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点Q从点C开始沿C→B→A方向运 动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设运动的时间为t秒 P-A (1)出发2秒后，求线段PQ的长。 (②)t为何值时，△APB是等腰三角形？ (3)当点Q在边BA上运动时，求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间. 第5页，共7页 19.(本小题9分)在四边形ABCD中，∠BAD=,∠BCD=180°-a,BD平分∠ABC. A A D D 图1 图2 图3 (1①)如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD,这个性质是； (2)问题解决：如图2，试说明AD=CD: (3)问题拓展：如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC=100°，BD平分LABC,试判断BD,AD,BC之间的 数量关系并说明理由. 20.(本小题9分)如图，在△ABC中，AC>AB,D是BA延长线上一点，E是∠CAD的平分线上一点，EB= EC,过点E作EF⊥AC于点F,EG L AD于点G. DGA B (1)求证：△EGB兰△EFC; (2)若AB=3,AC=5,求AF的长 21.(本小题10分)在△ABC中，DE垂直平分AB,垂足为D,交直线BC于点E,MN垂直平分AC,垂足 为M,交直线BC于点N,连接AE,AN. D D M B EN B N 图1 图2 (1)如图1，若LBAC=100°，求∠EAN的大小； (2)如图2，若∠BAC=70°，求LEAN的大小； (3)若LBAC=a(a≠90)，用含a的式子表示LEAN的大小. 第6页，共7页 22.(本小题10分)【问题背景】在三角形纸片中，点D,E分别在边AC,BC上，将LC沿DE折叠，点C落在 点C的位置 A D D C 图1 图2 图3 (1)【思考】如图1，当点C落在边BC上时，若LADC′=58°，则∠C=: (2)【探究】如图2，当点C落在△ABC内部时，∠BEC′=40°，LADC′=20°，则LC= (③)【延伸】如图3，当点C落在△ABC外部时，若设LBEC′的度数为x,LADC′的度数为y,请求出LC的 度数与x,y之间的数量关系. 23.(本小题10分)【模型识别】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它由两个共 顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询， 他们得知这种模型称为“手拉手模型”.兴趣小组进行了如下探究： D D B 图1 图2 图3 (1)【问题初探】如图1，在两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE,连 接BD,CE,如果把小等腰三角形的底角看作是小手，大等腰三角形的底角看作大手，分别连接两个等腰 三角形的底角顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”在这个模型中，和。ADB全等的三角形 是一，此时线段BD和CE的数量关系是； (2)【变式探究】如图2，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD, ∠BAC=∠DAE=90°，连接BD,CE,两线交于点P,请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明 理由； (3)【拓广应用】如图3，己知△ABC,请完成以下作图：以AB,AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等 边△ACE(等边三角形三条边相等，三个角都等于60)，BE与CD相交于点P.请直接写出线段BE和CD的数量 关系及LPBC+∠PCB的度数. 第7页，共7页参考答案 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】B 8.【答案】A 9.【答案】B 10.【答案】D 11.【答案】如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 12.【答案】120 13.【答案】20 14.【答案】2 15【答案】品 16.【答案】【小题1】 解：如图，点D即为所求 【小题2】 如图，BE即为所求. 【小题3】 如图，点F即为所求 【小题4】 第1页，共1页 3 17.【答案】【小题1】 证明：.'BE平分∠ABC,∠ABC=2∠C, ∴∠EBC=∠C..BE=CE..AC-BE=AC-CE=AE. 【小题2】 如图，延长BE至点N,使DN=BD,连接AN. A .AD⊥BE,∴.AD垂直平分BN.∴.AB=AN.由(1)知，BE=CE, ∴.∠N=∠ABN=∠NBC=∠C..AN/IBC.∴.∠C=∠NAC.∴.∠NAC=∠N..∴.AE=EN..BE=EC .∴.AC=BN=2BD 18.【答案】【小题1】 当t=2时，CQ=2×2=4,CP=8-1×2=6. 在Rt△PCQ中，PQ=VCQ+CP2=V42+62=2/131 【小题2) 如图，当△APB是等腰三角形时，有AP=BP=t,则CP=8-t.在Rt△CPB中，由勾股定理得 6+(8-t2=2,t=25 故当t=空时，△APB是等腰三角形， 4 【小题3】 .点Q在边BA上运动时，△CBQ为等腰三角形，应分三种情况： 第2页，共1页 ①如图1，若CQ=BQ,则∠B=∠BCQ.,'∠B+∠A=∠BCQ+∠ACQ=90°，∴.∠A=∠ACQ, ∴CQ=AQ'.BQ=AQ.在Rt△BCA中，BA=VBC2+AC2=V6+8-10'.BQ=5' .2t-6=5,.t=1 2 图1 ②如图2，若BQ=BC,则2t-6=6,∴.t=6. 图2 图3 Q三CB,过点C作CE L AB于点E,则BE=EQ,SAAC=AC,E AB=VBC2+AC2=V62+8=10 ∴28×6=×10cE.CE 5 =c-CF-68 0-的2=6+99 5 综上可知，当运动时间为 秒或6秒或碧秒时，△CBQ为等腰三角形， 33 19.【答案】【小题1】 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 【小题2】 第3页，共1页 如图①，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E,DF⊥BC于点F. E A D 图① 因为BD平分∠EBF, 所以DE=DF」 因为∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°， 所以∠EAD=∠C 在△DEA和△DFC中，因为∠DEA=∠DFC,∠EAD=∠FCD,DE=DF, 所以△DEA≌△DFC(AAS). 所以AD=CD 【小题3】 BC=BD+AD 理由如下：如图②，在BC上截取BK=BD,连接DK. 图② 因为AB=AC,∠BAC=100°， 所以∠ABC=∠C=1B0-∠BAC)=3×180-100)=40. 因为BD平分∠ABC, 第4页，共1页 所以∠DBK=支∠ABC=20, 因为BD=BK, 所以∠BKD=∠BDK=2180-∠DBK)=3×180-20')=80, 即∠BAC+∠BKD=180°. 由(2)的结论，得AD=DK. 因为∠BKD+∠DKC=180°，∠DKC+∠C+∠KDC=180°， 所以∠BKD=∠C+∠KDC. 所以∠KDC=∠BKD-∠C=40°=∠C 所以DK=CK」 所以AD=DK=CK, 所以BC=BK+CK=BD+AD,即BC=BD+AD. 20.【答案】【小题1】 证明：AE平分∠CAD,EF⊥AC,EG⊥AD,∴.∠EFC=∠EGB=90°，EF=EG.在 Rt△EGB和Rt△EFC中， EB=EC,.RtA EGB≌Rt△EFC(HL). EG=EF, 【小题2】 解：：'△EGB≌△EFC,∴.GB=FC.在Rt△EGA和Rt△EFA中， EA=EA,.RE△EGA≌Rt△EFA(HL,AG=AP.:GB=FC,AG+AB=AC-AF,.AF+AB=AC- EG=EF, 21.【答案】【小题1】 解：.DE垂直平分AB,.AE=BE..∠BAE=∠B.同理，∠CAN=∠C .'∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN' ∴.∠EAN=∠BAC-（∠B+∠C)在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=80°. .∠EAN=100°-80°=20°. 【小题2】 第5页，共1页 .'DE垂直平分AB,.AE=BE :∠BAE=∠B.同理，∠CAN=∠C:∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC' ∴.∠EAN=(∠B+∠C)-∠BAC.在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=110°. .∴.∠EAN=110°-70°=40° 【小题3】 当0°<a<90°时，由(2)题的结论知： ∠EAN=(∠B+∠C)-∠BAC=180°-2a;当g0°<a<180时，由(1题的结论知： ∠EAN=∠BAC-（∠B+∠C)=2a-180° 22.【答案】【小题1】 解：29 【小题2】 301 【小题3】 因为∠BEC'=X,∠ADC'=y, 所以∠CDE=∠C'DE=180+∠ADC'=90+号 ∠DEc=∠DEc-180-∠BEc=90-2X, 所以C=180-2cDE-∠Dec=180-90+y90方x方xy 23.【答案】【小题1】 △AEC BD=CE 【小题2】 BD=CE,BD⊥CE 第6页，共1页 理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE. 所以∠DAB=∠EAC. AD=AE 在△DAB和△EAC中， ∠DAB=∠EAC, AB=AC 所以△DAB≌△EAC(SAS),所以BD=CE,∠DBA=∠ECA, 因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°， 所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°，即∠PBC+∠PCB=90°， 所以∠BPC=180'-∠PBC+∠PCB=90,所以BD⊥CE 【小题3】 作图如图，BE=CD,∠PBC+∠PCB=60°. 第7页，共1页