专题02相交线与平行线 专项训练（14大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

**基本信息** 以15类题型为载体，构建从概念辨析到综合应用的方法体系，逻辑覆盖相交线、平行线的性质与判定及模型应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|7类（题型1-7）|定义辨析与规范作图|从平面立体直线关系到三线八角识别，构建空间观念| |角的计算|3类（题型2-4）|余补角性质与对顶角转化|通过数量关系推导，培养运算能力与推理意识| |平行线应用|7类（题型8-14）|判定与性质综合、拐角/动点/折叠模型|从基础证平行到复杂情境应用，形成递进式知识链|

专题02相交线与平行线 专项训练 题型梳理归纳 题型1平面与立体图形中，判定直线、棱的平行与相交关系 题型2.识别相交线、对顶角，利用其性质求角度 题型3.余角、补角的计算 题型4.同（等）角的余（补）角相等的应用 题型5.垂线定义辨析与规范作图 题型6.垂线段性质与点到直线距离的理解运用 题型7.识别同位角、内错角、同旁内角 题型8.用判定定理、平行公理及推论、垂直关系证两直线平行 题型9.直接利用平行线性质求角度，解决生活实际应用问题 题型10.平行线判定与性质综合求角度 题型11.平行线判定与性质几何证明 题型12.平行线拐角模型角度计算问题 题型13.平行线与直线上动点的角度求解 题型14.折叠问题中，利用相交线与平行线性质求角度 题型15.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1平面与立体图形中，判定直线、棱的平行与相交关系 1．如图，直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 2．将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 3．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 题型2.识别相交线、对顶角，利用其性质求角度 1．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 2．规律探究题： (1)如图，有条直线相交于一点，则图中共有 对对顶角；如图，有条直线相交于一点，则图中共有 对对顶角；如图，有条直线相交于一点，则图中共有 对对顶角． (2)猜想：若有条直线相交于一点，则可形成___________对对顶角． 3．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 题型3.余角、补角的计算 1．如果一个角的补角是， 那么这个角的余角的度数是 （    ） A． B． C． D． 2．已知与互余，且，则的补角是_____． 3．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 题型4.同（等）角的余（补）角相等的应用 1．如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若两个角的两边分别垂直，且其中一个角的度数比另一个角的倍少，则这两个角的度数分别是____． 3．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 题型5.垂线定义辨析与规范作图 1．如图所示，王师傅为了检验门框是否垂直于地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅锤线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（     ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画________条直线与直线l相垂直． 3．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 题型6.垂线段性质与点到直线距离的理解运用 1．如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（     ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平行线之间的距离处处相等 2．如图，在中，，，为边上的高，， P为上一动点，则的最小值为______． 3．在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是_________． 题型7.识别同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 2．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 3．我们已经学习了“三线八角”中的内错角，类比内错角，我们给出如下定义： 如图，直线，被所截，和分别在直线，的外侧（在直线上方，在直线下方），且分别在直线两侧（在直线左侧，在直线右侧），具有这种位置关系的一对角叫作外错角． (1)【初步理解】请在图中找出另一对外错角：________； (2)【理解应用】若的度数是它的外错角度数的2倍，，求，的度数． 题型8.用判定定理、平行公理及推论、垂直关系证两直线平行 1．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是___________从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 3．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 题型9.直接利用平行线性质求角度，解决生活实际应用问题 1．直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 3．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 题型10.平行线判定与性质综合求角度 1．如图所示的是由4条线段，，，组成的“鱼”形图案，若，，，则的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 2．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 3．如图，已知，点为平面内一点，平分，过点的直线交于点，． (1)试问直线和有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，请试着求出的度数． 题型11.平行线判定与性质几何证明 1．如图，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．填空： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， ______（______）． （已知）， ______（______）， （______）． 3．某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 题型12.平行线拐角模型角度计算问题 1．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．汽车大灯通常由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，如图，从位于焦点处的光源发出两束光线，光线经反射后平行于地面射出．若，，则的度数为_______． 3．如图，是生活中常见的一种躺椅，躺椅的靠背侧面有滑槽，扶手可以沿着滑槽上下移动，调节位置，前、后支撑腿之间的夹角可以调节．某数学小组对其结构进行了简单探究，过程如下： 【作图】：据实物画出躺椅的侧面结构示意图，如图所示，为躺椅的扶手，为底座，为靠背，、为前、后支撑腿． 【测量】：扶手与底座平行，与靠背相交于点M，与前、后支撑腿、相交于点O．前、后支撑腿、与底座CD分别相交于点G、D． 【探究】： (1)如图1，若底座与靠背的夹角（即）为，前、后支撑腿的夹角（即）为，平分，通过计算说明：； (2)通过多次调节躺椅的前、后支撑腿之间的夹角和扶手的高度，同学们发现，当前支撑腿与靠背平行，前、后支撑腿互相垂直，且后支撑腿与底座的夹角（即）为时（如图2），人躺上去非常舒适，求此时的度数． 题型13.平行线与直线上动点的角度求解 1．如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A．B． C． D． 2．如图，直线，点P、Q分别是直线和上的任一点．射线从与重合位置出发，逆时针方向以/秒的速度旋转至，然后立即以相同的速度返回，并不断往返；射线从与重合位置出发，按逆时针方向以/秒旋转，当旋转至时，两射线同时停止旋转．若射线先转60秒，射线开始转动，当射线时，则射线运动的时间是_____． 3．如图，，A，B分别在直线上，且，若射线绕点A逆时针旋转至后立即回转，射线绕点B顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a，b满足． (1)______，______． (2)若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？ (3)若射线绕点A逆时针先转动12秒，射线才开始绕点B顺时针旋转，在射线到达之前，射线再转动多少秒，射线和射线互相平行？ 题型14.折叠问题中，利用相交线与平行线性质求角度 1．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（   ） A．B． C． D． 2．如图，将长方形纸片沿折叠，使得点，分别落在，的位置，再沿折叠，使得点，分别落在，的位置，已知，，，若，则___________°（用含的代数式表示）． 3．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 分层精练 一、单选题 1．一个三棱锥的棱中，互相平行的棱有（   ）对． A．0 B．1 C．2 D．3 2．一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在中，，，垂足为D，则的余角是______和______，______，理由是______． 7．如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论： ①点在运动过程中，使直线的点有两个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) 8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即)，若则的度数是________ 9．如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 10．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则．以上结论正确的是_____． 三、解答题 11．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为B，，．试说明：． 解：， _______（______）， 即_________， ，且， _______（______）， _____（______）， （_____）． 12．在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点作的垂线，垂足为点，该垂线经过的一个格点记为点． (2)过点作的平行线，该平行线经过的一个格点记为． (3)过点作的平行线，该平行线经过的一个格点记为． (4)与的位置关系为________________． (5)线段的长度是点到直线________的距离；线段、的大小关系为________（用“”连接）． 13．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 14．如图，．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数 15．如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相交线与平行线专项训练 题型梳理归纳 题型1平面与立体图形中，判定直线、棱的平行与相交关系 题型2.识别相交线、对顶角，利用其性质求角度 题型3.余角、补角的计算 题型4.同（等）角的余（补）角相等的应用 题型5.垂线定义辨析与规范作图 题型6.垂线段性质与点到直线距离的理解运用 题型7.识别同位角、内错角、同旁内角 题型8.用判定定理、平行公理及推论、垂直关系证两直线平行 题型9.直接利用平行线性质求角度，解决生活实际应用问题 题型10.平行线判定与性质综合求角度 题型11.平行线判定与性质几何证明 题型12.平行线拐角模型角度计算问题 题型13.平行线与直线上动点的角度求解 题型14.折叠问题中，利用相交线与平行线性质求角度 题型15.分层精练15道题. 核心题型精讲 题型1平面与立体图形中，判定直线、棱的平行与相交关系 1．如图，直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】B 【详解】解：如图， 直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是． 2．将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有_________条． 【答案】8 【分析】本题考查长方体的棱的分组特征，解题关键是明确与水面平行的棱为长方体上、下底面的所有棱． 长方体有12条棱，分为三组互相平行的棱，每组4条．当长方体放置使一个面与水面平行时，水平方向的棱最多． 【详解】长方体共有12条棱，分为3组，每组4条棱互相平行且长度相等，这3组棱分别对应长、宽、高三个方向． 要使与水面平行的棱最多，应使长方体的一个面与水面平行，此时，构成上、下底面的棱均与水面平行． 因为因为上底面有4条棱，下底面也有4条棱， 因此与水面平行的棱最多有条． 故答案为：8． 3．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：_____，_____，_____，_____． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下． 【答案】，，， 【分析】本题考查两条直线相交和垂直的定义，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，， 故答案为：，，，． 题型2.识别相交线、对顶角，利用其性质求角度 1．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 2．规律探究题： (1)如图，有条直线相交于一点，则图中共有 对对顶角；如图，有条直线相交于一点，则图中共有 对对顶角；如图，有条直线相交于一点，则图中共有 对对顶角． (2)猜想：若有条直线相交于一点，则可形成___________对对顶角． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查对顶角，如果所有直线相交于一点，每两条直线相交，均有对对顶角，因此只需要求出直线的对数，即可求得对顶角的对数． （1）若有条直线相交于一点，共有对直线； （2）若有条直线相交于一点，共有对直线． 【详解】（1）有条直线相交于一点，则图中共有对对顶角；如图，有条直线相交于一点，则图中共有对对顶角；如图，有条直线相交于一点，则图中共有对对顶角． （2）若有条直线相交于一点，共有对直线，则可以形成对对顶角． 故答案为： 3．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，进而根据即可求解； （2）设 ，由角平分线的定义得到，因此 ．由，得到，即可列出方程，求得，因此，根据对顶角相等即可解答． 【详解】（1）解：和是对顶角， ． 平分， ， （2）解： ， 设 ． 平分， ， ． ， ， ， ， 解得， ， ， ． 题型3.余角、补角的计算 1．如果一个角的补角是， 那么这个角的余角的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据补角的定义求出这个角的度数，再根据余角定义计算该角的余角即可． 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为，该角的补角是， ∴这个角的度数为， 又∵互为余角的两个角的和为， ∴这个角的余角为． 2．已知与互余，且，则的补角是_____． 【答案】 【分析】根据互余和补角的定义求解此题. 【详解】解: ∵ 与 互余， ∴ ， ∴的补角是. 3．新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由“兄弟角”的定义可得，再根据角的和差可得，然后得到方程即可解答； （2）由已知可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为“兄弟角”， ， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图： ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型4.同（等）角的余（补）角相等的应用 1．如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用角度和差表示出角的数量关系，利用互余的定义求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即与互余． 2．若两个角的两边分别垂直，且其中一个角的度数比另一个角的倍少，则这两个角的度数分别是____． 【答案】，或， 【分析】本题考查了垂线，熟记两边分别垂直的两个角相等或互补是解本题的关键． 设另一个角为，则这个角是，然后根据两边分别垂直的两个角相等或互补列式计算即可得解． 【详解】解：如图1，与两边分别垂直，， 如图2，与两边分别垂直，， 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 设另一个角为，则这个角是， 两个角的两边分别垂直， 或， 解得或， 或， 这两个角是，或，． 故答案为：，或，． 3．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 题型5.垂线定义辨析与规范作图 1．如图所示，王师傅为了检验门框是否垂直于地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅锤线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（     ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】解：根据题意，所用数学知识为：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画________条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键． 3．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再根据已知条件求出，进而求出即可证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ∴， ， ， 与互余． 题型6.垂线段性质与点到直线距离的理解运用 1．如图，机器人正在水中的点处工作，当它收到需尽快上岸的指令后选择路线到达岸边．其中蕴含的数学原理是（     ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平行线之间的距离处处相等 【答案】B 【分析】本题需要判断机器人选择垂直路线上岸所蕴含的数学原理，关键是区分“垂线段最短”与其他几何公理的适用场景，结合题目中“点到直线的最短路径”情境进行判断． 【详解】解：机器人从点到河岸（直线）的路线，是点到河岸的垂线段． 根据几何原理：从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短． 因此机器人选择路线蕴含的数学原理是垂线段最短． 2．如图，在中，，，为边上的高，， P为上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据垂线段最短得出当时，最小，用面积法即可解答． 【详解】解：当时，最小， 此时， 则， ∵，，， ∴， 解得： 3．在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差、点到直线的距离等知识点，根据题意正确画出图形以及掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点M，N在直线l的同侧和异侧两种情况，分别画出图形进行计算即可． 【详解】解：①如图：当点M，N在直线l的同侧时，； ②如图：当点M，N在直线l的异侧时，； 综上，线段的长度是或． 故答案为：或． 题型7.识别同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列判断正确的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．与是同旁内角，正确，符合题意； B．与是内错角，原表述错误，不符合题意； C．与是同位角，原表述错误，不符合题意； D．与不是内错角，原表述错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图． （1）与是直线，被直线所截形成的______角； （2）与是直线______被直线______所截形成的_______角； （3）与是直线______被直线_____所截形成的______角； （4）与是直线______被直线____所截形成的______角． 【答案】 内错 同位 同旁内 内错 【分析】本题考查的知识点是同位角，内错角，同旁内角的概念，解题关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的位置关系． （1）利用内错角的概念进行判断填空即可； （2）利用同位角的概念进行判断填空即可； （3）利用同旁内角的概念进行判断填空即可； （4）利用内错角的概念进行判断填空即可． 【详解】解：（1）与是直线，被直线所截形成的内错角； 故答案为：内错； （2）与是直线被直线所截形成的同位角； 故答案为：，，同位； （3）与是直线被直线所截形成的同旁内角； 故答案为：，，同旁内； （4）与是直线被直线所截形成的内错角． 故答案为：，，内错． 3．我们已经学习了“三线八角”中的内错角，类比内错角，我们给出如下定义： 如图，直线，被所截，和分别在直线，的外侧（在直线上方，在直线下方），且分别在直线两侧（在直线左侧，在直线右侧），具有这种位置关系的一对角叫作外错角． (1)【初步理解】请在图中找出另一对外错角：________； (2)【理解应用】若的度数是它的外错角度数的2倍，，求，的度数． 【答案】(1)和 (2)， 【分析】本题考查几何图形中角度计算，相交及所成的角，一元一次方程的应用，理解外错角的定义是解题的关键． （1）根据外错角的定义，结合图形即可得出答案； （2）根据外错角的定义可得，结合，列一元一次方程，求出，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：图中另一对外错角为：和， 故答案为：和； （2）解：因为的外错角是，且的度数是它的外错角度数的2倍， 所以， 因为，， 所以， 解得， 所以， 因为，， 所以，． 题型8.用判定定理、平行公理及推论、垂直关系证两直线平行 1．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 2．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是___________从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 3．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴与的位置关系是平行 （平行于同一条直线的两直线平行） 故答案：90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 题型9.直接利用平行线性质求角度，解决生活实际应用问题 1．直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由，可得，易求，而是的角平分线，从而可求，又，可知，即可求． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 【答案】准确 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解． 【详解】解：如图，过点P作，    则． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴此时瞄准最准确． 故答案为：准确． 3．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型10.平行线判定与性质综合求角度 1．如图所示的是由4条线段，，，组成的“鱼”形图案，若，，，则的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】B 【分析】根据判定，再利用平行线的性质及对顶角相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图， 设的对顶角为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 【答案】/47度 【分析】根据角平分线的定义求出和的度数，过点作，利用平行公理推论得到，再根据两直线平行内错角相等，将转化为与的和即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过点作（在点左侧），如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，已知，点为平面内一点，平分，过点的直线交于点，． (1)试问直线和有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，请试着求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平分，得，由，得，再由，证得，进而得，最后，由，得； （2）由，得，再由，得，代入数据即可求得的度数． 【详解】（1）解：，理由： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型11.平行线判定与性质几何证明 1．如图，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质．利用平行线的判定及性质对各项进行分析即可． 【详解】解：A、若，则（两直线平行，同旁内角互补），故本选项不符合题意； B、若，则（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、若，则（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、若，无法得出，故本选项符合题意． 故选：D． 2．填空： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， ______（______）． （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】 D 两直线平行，同旁内角互补 D 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，根据题干思路解答即可． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；D；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 3．某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得内错角相等，结合，推出内错角相等，从而证明； （2）过点作，过点作，两线交于点；由得，由得；再利用两直线平行，内错角相等，完成角的等量代换，证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）证明：过点作，过点作，两线交于点． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴， 即． 题型12.平行线拐角模型角度计算问题 1．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，，由平行线的判定，结合已知可得，由，可得，由平行线的性质，可得，，，可得，，即可得的度数． 【详解】解：如图，作，，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 2．汽车大灯通常由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，如图，从位于焦点处的光源发出两束光线，光线经反射后平行于地面射出．若，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】由平行线的判定与性质，数形结合求解即可． 【详解】解：过焦点作反射光线的平行线，如图所示： 则由题意可知， ，， 则． 3．如图，是生活中常见的一种躺椅，躺椅的靠背侧面有滑槽，扶手可以沿着滑槽上下移动，调节位置，前、后支撑腿之间的夹角可以调节．某数学小组对其结构进行了简单探究，过程如下： 【作图】：据实物画出躺椅的侧面结构示意图，如图所示，为躺椅的扶手，为底座，为靠背，、为前、后支撑腿． 【测量】：扶手与底座平行，与靠背相交于点M，与前、后支撑腿、相交于点O．前、后支撑腿、与底座CD分别相交于点G、D． 【探究】： (1)如图1，若底座与靠背的夹角（即）为，前、后支撑腿的夹角（即）为，平分，通过计算说明：； (2)通过多次调节躺椅的前、后支撑腿之间的夹角和扶手的高度，同学们发现，当前支撑腿与靠背平行，前、后支撑腿互相垂直，且后支撑腿与底座的夹角（即）为时（如图2），人躺上去非常舒适，求此时的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先由角平分线求出，然后由平行线求出，然后求出，即可证明； （2）首先求出，然后得到，然后结合平行线的性质求解． 【详解】（1）解：由题知，，平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：由题意知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型13.平行线与直线上动点的角度求解 1．如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点P在之间时，当点P在的下方时，当点P在的上方时，即可求解． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点P在之间时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故A选项不符合题意； 当点P在的下方时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故B选项不符合题意； 当点P在的上方时，如图，过点P作，此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，故C选项不符合题意；D选项符合题意； 2．如图，直线，点P、Q分别是直线和上的任一点．射线从与重合位置出发，逆时针方向以/秒的速度旋转至，然后立即以相同的速度返回，并不断往返；射线从与重合位置出发，按逆时针方向以/秒旋转，当旋转至时，两射线同时停止旋转．若射线先转60秒，射线开始转动，当射线时，则射线运动的时间是_____． 【答案】秒或秒或秒 【分析】设射线运动的时间为秒，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：设射线运动的时间为秒， 当时，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，，， ∴此时与重合，与重合， ∵， ∴此时，符合题意； 综上，当射线时，则射线运动的时间是秒或秒或秒． 3．如图，，A，B分别在直线上，且，若射线绕点A逆时针旋转至后立即回转，射线绕点B顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A，点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a，b满足． (1)______，______． (2)若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？ (3)若射线绕点A逆时针先转动12秒，射线才开始绕点B顺时针旋转，在射线到达之前，射线再转动多少秒，射线和射线互相平行？ 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，设旋转后的射线、射线交于点，则，过点作，证明，得出方程，解方程即可； （3）求出，设射线再转动秒时，射线、射线互相平行，分三种情况分别画出图形并列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，过点作， ∴， ∵，且射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒， ∴，，， ∴，， ∴， 解得：， 答：至少旋转秒时，射线和射线互相垂直； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 设旋转后的射线、射线分别用射线、射线表示， ∵射线绕点逆时针先转动秒，转动了， ①当射线未到达时，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当射线到达后再返回时，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当射线到达后返回，再一次到达原位置后继续逆时针旋转，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，在射线到达之前，射线再转动秒或秒或秒，射线和射线互相平行． 题型14.折叠问题中，利用相交线与平行线性质求角度 1．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，角的计算，平行线的性质．先求得，利用平行线的性质求得，再由折叠的性质得，作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， 作， ∴，， ∴， 故选：B． 2．如图，将长方形纸片沿折叠，使得点，分别落在，的位置，再沿折叠，使得点，分别落在，的位置，已知，，，若，则___________°（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据翻折的性质以及平行线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，然后列出方程求解． 【详解】解：由翻折的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且由翻折可得， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 3．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，， 由平行线的性质可得， （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，，进而由求解， （3）过点作，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：①由折叠可得：，， ∵， ∴， ②∵， ∴，由折叠可知：， ∴ ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：， ， 由（1）得， ∴， （3）过点作， ∴，， ∴． 分层精练 一、单选题 1．一个三棱锥的棱中，互相平行的棱有（   ）对． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三棱锥的棱的位置关系，解题关键是掌握三棱锥的结构，明确其棱无平行关系； 三棱锥由4个三角形面围成，共有4个顶点、6条棱，且这6条棱分为3组相对的棱，所有棱要么相交，要么异面，但异面直线不平行． 【详解】解：∵ 三棱锥的任意两条棱要么相交，要么异面， ∵ 异面直线不平行， ∴ 三棱锥的棱中没有互相平行的棱对． 故选：A． 2．一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设这个角的度数为未知数，根据余角定义和题干的数量关系列方程求出这个角，再根据补角定义计算所求补角的度数即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，列方程得， 解得， 即这个角为， ∴这个角的补角为． 3．如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】点是线段上的动点，根据垂线段最短以及的长，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，，，点是线段上的动点， ∴， ． 从选项可知，只有B符合题意． 4．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 5．如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的余角相等，对顶角相等，根据平行线的判定方法逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，不能判定，原选项符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 二、填空题 6．如图，在中，，，垂足为D，则的余角是______和______，______，理由是______． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 7．如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论： ①点在运动过程中，使直线的点有两个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了点到直线的距离和三角形面积公式的理解，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐项分析即可，熟练掌握点到直线的距离和三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：①点在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍，说法错误，因为点在线段点左边或在点右边时，但点不是线段中点，不能使三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确． 综上，正确的是②④， 故答案为：②④． 8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即)，若则的度数是________ 【答案】/150度 【分析】本题主要考查平行线的性质定理，解答此题的关键是作辅助线；   过点B作，由题知，，可得到关系，从而得到与以及与的关系． 【详解】 解：如图，过点B作， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：． 9．如图，，，分别平分，，且其所在直线交于点，则与的数量关系为______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义得，，设 ， ，作，根据平行线的判定与性质，求出 ，同理求出，即可得答案． 【详解】解：分别平分，， ，， 设 ， ， 如下图，过点M作，则， ， ， 如上图，过点N作，则， ， ， ，即． 10．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则．以上结论正确的是_____． 【答案】②③ 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出． 【详解】解：①过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，故本小题错误； ②过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故本小题正确； ③过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故本小题正确； 综上，正确的答案为②③． 三、解答题 11．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为B，，．试说明：． 解：， _______（______）， 即_________， ，且， _______（______）， _____（______）， （_____）． 【答案】；垂线的定义；；；等量代换；；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】根据两直线垂直的定义，等量代换，同角的余角相等，平行线的判定等知识逐一填写即可． 【详解】解：， （垂线的定义）， 即， ，且， （等量代换）， （同角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 12．在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点作的垂线，垂足为点，该垂线经过的一个格点记为点． (2)过点作的平行线，该平行线经过的一个格点记为． (3)过点作的平行线，该平行线经过的一个格点记为． (4)与的位置关系为________________． (5)线段的长度是点到直线________的距离；线段、的大小关系为________（用“”连接）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)， 【分析】（1）作出的矩形的对角线即可； （2）根据平移特点即可完成作图； （3）根据平移特点即可完成作图； （4）根据平移的性质即可求解； （5）根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示 （2）如图所示 （3）如图所示 （4）∵ ∴； （5）线段的长度是点A到直线的距离；根据垂线段最短可得：， 13．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②为定值， 【分析】本题考查了非负数的性质，列代数式，解一（二）元一次方程(组)，平行线的性质，平行公理的推论．利用非负数的性质和平行线的性质列出方程（组）是解题的关键． （1）利用非负数的性质，列方程组解出即可； （2）设转动时间，并表示出灯和灯转动的角度，再利用平行线的性质，列出方程解出即可； （3）①利用锯齿形中各角的关系即可列出代数式； ②利用①的结论和②中的条件，用表示出与，即可探究出的值． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：； （2）当两灯灯光第一次平行时， 则：， 解得：； （3）①如图，过点C作， ， ， ， ∴， 经过秒，， ， 故答案为：； ②为定值， ， ， ， ， ，， ， ． 14．如图，．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数 【答案】(1)证明见解析 (2)140° 【分析】（1）由题意得，从而求得则可判定，即有，可求得，即可判定； （2）由角平分线的定义得，由（1）可得，结合所给的条件即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 15．如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得，再由对顶角相等，可得，这样即可证明； （2）过点分别作的平行线，由可得再根据可计算出，然后再根据两直线平行，内错角相等，即可求出； （3）过点作的平行线，过点作作的平行线，首先利用平行线的内错角相等，将转化为，并将转化为，从而得出与、的关系，接着利用得到与、的关系。最后结合题目给出的条件以及角平分线的定义，通过代数运算和等量代换，最终推导出，从而证明平分． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：如图，过点分别作的平行线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：过点作的平行线，过点作的平行线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， 平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $