专题02相交线与平行线专项训练(19大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题02相交线与平行线专项训练 题型01.求一个角的余角 题型02.求一个角的补角 题型03.垂线的定义理解 题型04.画垂线 题型05.平面内两直线位置关系 题型06.对顶角与余补角综合应用 题型07.垂线段与点到直线的距离 题型08.同位角.内错角.同旁内角 题型09.平行线的判定 题型10.平行公理及其推论的应用 题型11.平行线的性质 题型12.由平行线性质与判定探究角的关系 题型13.由平行线性质求角的度数 题型14.由平行线判定与性质求角度 题型15.由平行线判定与性质证明 题型16.平行线性质的应用 题型17.平行线与折叠问题 题型18.平行线中的折线模型 题型19.平行线与动点问题 解答题10题 知识点01:核心基础：同一平面内两直线的位置关系 ✅ 两种关系：相交（有且只有一个公共点）、平行（无公共点，记作a∥b） ✅ 关键前提：同一平面内（排除异面直线，七年级核心考点） ✅ 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ✅ 公理推论：如果a∥b，b∥c，则a∥c（平行的传递性） 知识点02.相交线核心：对顶角与邻补角 1. 对顶角 定义：相交直线形成的，有公共顶点、两边互为反向延长线的角 性质：对顶角相等（期中角度计算必考依据） 示例：直线 AC、BD 交于 O，∠AOB 与∠COD 是对顶角，∠AOB=∠COD。 2. 邻补角 定义：相交直线形成的，有公共顶点、有一条公共边、另一边互为反向延长线的角 性质：邻补角互补（和为180∘） 易错辨析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角既互补又相邻，互补的角不一定是邻补角 知识点03:角度核心：余角与补角 1. 基本概念 余角：两个角的和为90∘，互余 补角：两个角的和为180∘，互补 关键：互余、互补仅与角度和有关，与角的位置无关 2. 核心性质 同角（或等角）的余角相等； 同角（或等角）的补角相等（角度推理高频考点） 推论：一个角的补角比它的余角大90∘（快速计算技巧） 知识点04:特殊相交：垂直（期中核心重点） 1. 垂直定义 两直线相交成直角（90∘），则互相垂直，记作a⊥b，交点叫垂足 逆定理：若a⊥b，则相交形成的四个角均为90∘（双向判定） 2. 垂线的性质 过一点（直线上 / 直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）； 垂线段最短（核心性质，点到直线距离的依据）。 3. 点到直线的距离 定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：是长度，不是垂线段本身） 易错：距离是数量，垂线段是图形，二者不可混淆 1.忽略 “同一平面内”，误判两直线位置关系； 2.混淆对顶角 / 邻补角、余角 / 补角的判定条件，错用性质； 3.把 “垂线段” 当作 “点到直线的距离”，忽略 “长度” 关键词； 4.角度计算时，漏看邻补角、互余 / 互补的隐含条件。 知识点05.核心概念：三线八角（识别基础） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角，核心三类： 同位角：在截线的同旁，被截两直线的同一侧，呈 “F” 型 内错角：在截线的两侧，被截两直线之间，呈 “Z” 型 同旁内角：在截线的同旁，被截两直线之间，呈 “U” 型 知识点06.探索直线平行的条件（平行线的判定：由角定线） 1.核心判定定理（3 条） 2. 拓展判定方法（2 条） 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 知识点07.平行线的性质（由线定角） 核心性质定理（3 条，与判定一一对应） 知识点08.提分关键：高频模型与辅助线 1. 经典拐点模型（必背结论） 模型 几何语言 图形 猪蹄模型：拐点处的角等于两侧角之和 ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠D=∠BPD 铅笔头模型：三个角之和为360∘ ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠P+∠D=360∘ 锯齿模型：开口朝同一方向的角之和相等 ∵AB∥DE（已知） ∴ ∠B+∠M+∠N=∠C+∠E 题型01.求一个角的余角 1．如图，在长方形的台球桌面上，与互为余角，，若，则的度数为___________ 【答案】 【分析】先求出，再根据与互为余角即可求出． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵与互为余角， ∴． 2．若直线与相交于点，的余角为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余角定义、对顶角定义求解即可． 【详解】解：的余角为， ， 直线与直线相交于点，如图所示： 与是对顶角 则． 3．在同一平面内，，与互余，则为________． 【答案】90或40/40或90 【分析】分在和之间，在和之间两种情况，根据互余的定义和角的和差关系分别求解． 【详解】解：分两种情况： 当在和之间时，如图：   与互余， ； 当在和之间时，如图：   与互余，， ， ； 综上可知，为或， 故答案为：90或40． 【点睛】本题考查余角、角的和差关系，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 题型02.求一个角的补角 4．若，则它的补角的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查补角的度数计算，根据补角的定义，互为补角的两个角的和为，用减去已知角即可得到它的补角的度数． 【详解】解：， 它的补角的度数是． 5．一个角是，则它的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互补两角的和为，直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵互补的两个角的和为，已知该角为， ∴它的补角为． 6．如图，直线上有一点O，作射线，使得，则______；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，由补角的定义得，由角的和差得，由补角的定义得，即可求解． 【详解】解： ； 因为 ， ， 所以 ； 故答案为：，． 题型03.垂线的定义理解 7．如图，于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，根据得出，进而求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，，与的度数之比为，则____． 【答案】15 【分析】由垂直的定义得，结合与的度数比，即可求解． 【详解】解：， ， 与的度数之比为，， ． 9．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 题型04.画垂线 10．下列各图中，过直线外的点P画直线的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外的点P画直线的垂线，三角尺操作正确的只有选项符合题意． 11．下列各图中，过直线外一点画的垂线，三角板操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的作法确定即可． 【详解】解：根据分析可得，用直角三角板的一条直角边与直线重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线， 故D选项的画法正确． 12．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 题型05.平面内两直线位置关系 13．在同一个平面内的两条直线的位置关系有（　　） A．平行或垂直 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交 【答案】C 【详解】解：∵在同一平面内，两条直线，要么平行，要么相交，且垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系， ∴同一平面内两条直线的位置关系是平行或相交． 14．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有_____个交点． 【答案】 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 15．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n______； （2）m与n有且只有______个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n______． 【答案】 平行 一 重合 【分析】本题考查了平行线的定义，相交线的定义，熟记定义是解题的关键； （1）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （2）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （3）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交（即没有公共点）的两条直线互相平行． （2）在同一平面内，两条直线相交的定义就是有且只有一个公共点． （3）在同一平面内，如果两条直线有无数个公共点，那么这两条直线重合． 故答案为：平行，一，重合． 16．下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型06.对顶角与余补角综合应用 17．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】互为对顶角的两个角必须满足两个条件：①有公共顶点；②角的两边互为反向延长线，据此逐项判断即可． 【详解】解∶A、与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角； B、与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角； C、与没有公共顶点，故不是对顶角； D、与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故是对顶角． 18．如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，即可求解． 【详解】解：，， ， ． 19．已知，如图所示，，垂足为O，为过O点的一条直线，则与的关系一定成立的是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【答案】B 【分析】根据图形可看出，，，即可得． 【详解】解：图中，，， ∴， ∴与互余． 故选：B． 20．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角的补角相等，根据同角的补角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 21．以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 【答案】1 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．依次观察四个图形，判断与是否满足对顶角的定义． 【详解】解：图1中，与有公共顶点，但的两边不是两边的反向延长线，故不是对顶角． 图2中，与有公共顶点，且的两边分别是两边的反向延长线，故是对顶角． 图3中，与有公共顶点，但的一边不是一边的反向延长线（有一条边不共线），故不是对顶角． 图4中，与没有公共顶点，故不是对顶角． 综上所述，是对顶角的图形只有1个． 22．如图，直线，相交于点，若，，则的度数是______． 【答案】/45度 【分析】根据对顶角相等得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∴． 23．一个角的补角比它本身的2倍大，则这个角等于________度． 【答案】55 【分析】设这个角为，则这个角的补角为，根据题意列等式求解即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为， 由题意得：， 解得， ∴这个角等于55度． 24．如果与互补，与互补，且，，那么____． 【答案】55 【详解】解：与互补，与互补， ，， ， ， 又， ． 25．若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线相交于一点会产生对对顶角，先计算条直线中两两组合的数量，再乘以即可得到对顶角总对数． 【详解】解：∵两条直线相交于一点，共产生对对顶角， 条互不重合的直线交于一点，两两组合的总组数为， ∴对顶角总对数． 26．下列说法中正确的有（   ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】逐个判断五个说法的正误，统计正确说法的个数，用到对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、垂线性质等初中几何知识点． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则其补角为，余角为， ∵， ∴一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内过一点有无数条直线与已知直线垂直，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 题型07.垂线段与点到直线的距离 27．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 28．在下列图形中，线段的长表示点到直线的距离的是（   ） A． B． .C． D． 【答案】A 【详解】解：、线段，垂足为点，垂线段的长表示点到直线的距离，该选项符合题意； 、线段与直线不垂直，线段的长不是表示点到直线的距离，该选项不符合题意； 、线段与直线不垂直，线段的长不是表示点到直线的距离，该选项不符合题意； 、线段与直线不垂直，线段的长不是表示点到直线的距离，该选项不符合题意． 29．已知点P在直线l外，点均在直线l上，，则点到直线的距离是______（填“”或具体值）． 【答案】 【分析】点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据点到直线的距离定义以及垂线段最短的性质，判断点到直线的距离的取值范围即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，点到直线的垂线段长度是所有连接点与直线上点的线段中最短的． ∵，，， ∴点到直线的距离不大于， 即点到直线的距离为． 30．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 题型08.同位角.内错角.同旁内角 31．下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与是内错角，故该选项符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； 32．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 33．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 题型09.平行线的判定 34．如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 根据平行线的判定知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； B、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、，则，不能证明，故符合题意； D、，而，故，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 35．如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的余角相等，对顶角相等，根据平行线的判定方法逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴，原选项不符合题意； 、由，不能判定，原选项符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 36．小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 【答案】D 【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据根据平行线的判定方法求解． 【详解】解：如下图，作以下标记E： 第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依据A. 同位角相等，两直线平行、B. 内错角相等，两直线平行、C. 同旁内角互补，两直线平行判断MN∥AB，故A、B、C三个选项都对， 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 37．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝___________．    【答案】或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 【详解】解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 题型10.平行公理及其推论的应用 38．如图所示，过点作线段的平行线，下列说法中，正确的是（    ） A．不能作出 B．只能作出一条 C．能作出两条 D．能作出无数条 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理即可解答，掌握平行公理是解题的关键． 【详解】解：∵点为线段的外一点，即点在直线外， 又∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∵过点只能作出一条直线是线段的平行线， 故选：． 39．下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C． 40．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 41．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键； 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解； 【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交； 故选：C 题型11.平行线的性质 42．如图所示，，已知，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质、邻补角等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，再由邻补角即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 43．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量凌霄塔的高度．如图，嘉嘉在处测得凌霄塔塔顶的仰角，此时从凌霄塔塔顶处观测处的俯角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了仰角与俯角的概念、平行线的性质，熟练掌握仰角与俯角的定义及平行线的内错角相等是解题的关键．过点作水平线，过点作水平线，利用与平行的性质，结合内错角相等，即可得出从处观测处的俯角与从处观测处的仰角相等． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴从 处观测处的俯角为， 故选： 44．通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（    ） A． B．10° C．11° D．12° 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出，再根据得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 45．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED=（ ） A．55° B．125° C．135° D．140° 【答案】B 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAB=180°， ∵∠C=70°， ∴∠CAB=180°﹣70°=110°， ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAB=55°， ∵AB∥CD， ∴∠EAB+∠AED=180°， ∴∠AED=180°﹣55°=125°． 故选B． 考点：平行线的性质 46．在南海海域巡航任务中，我国海警船在某观察点A处，发现其北偏东的方向B处，有一艘不明船只，我国另外一艘处于C处的海警船也发现了其东南方向的B处的不明船只，则此时两艘海警船与不明船只的连线夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方位角，平行线的性质，掌握方位角的概念及平行线的性质是解题的关键． 如图，过作水平线交于，则，，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】如图，过作水平线交于， 由题意可得，，， ，， ． 故选：D． 47．如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为________ 【答案】/36度 【分析】本题考查平行线的性质、余角和补角，根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵，与互补， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， 即的度数为， 故答案为：． 题型12.由平行线性质与判定探究角的关系 48．若，的两边分别平行，那么这两个角的大小满足什么数量关系________．（用，表示） 【答案】或 【分析】如图1，根据平行线的性质可得，，等量代换可得；如图2，根据平行线的性质可得，，等量代换可得． 【详解】解： 如图1，∵，， ∴，， ∴； 如图2，∵，， ∴，， ∴． 综上所述，若的两边分别平行于的两边，则或． 49．如图所示，已知直线，直线分别交、于点、，直线经过点，使得平分，点在上，点在上，的角平分线交于点，且满足，，则______． 【答案】 /度 【分析】设，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，结合已知可得，可得， ，作，由平行线的性质，可得，，结合已知列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 如图，作， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 50．如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，证明，得到，再根据三角形外角定理得到，得到，即可证明结论． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型13.由平行线性质求角的度数 51．如图，，，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出，根据角平分线的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 52．如图，已知，点、分别在、上，，射线平分，且，则的度数为___________． 【答案】 或 【分析】按要求作图，按照点在与之间和点在上方，进行分类讨论，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，射线平分， ∴， 若点在与之间， 作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若点在上方， 作， . ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 53．在数学课上，老师给出如图所示的图形，已知和射线，，现在老师让同学们画，且边，根据老师的要求画出图形，若的3倍比大，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分在右侧和左侧两种情况讨论，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶当在右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵的3倍比大， ∴，即 ∴； 当在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵的3倍比大， ∴，即 ∴． 题型14.由平行线判定与性质求角度 54．如图，直线，平分，当的度数为时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据角平分线性质得到，再通过两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：，平分， ， ， ． 55．如图，已知，，，则的度数为______． 【答案】/100度 【分析】过点C作，则有，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点C作，则有，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 56．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，得，，进而可求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点G作， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型15.由平行线判定与性质证明 57．如图所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度数为______． 【答案】80° 【分析】根据平行线的性质可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，再根据角平分线的性质可得∠ABE+∠CDE的度数，从而求得结果． 【详解】∵AB∥CD ∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，∠BFD=∠ABF+∠CDF=140° ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE ∴∠ABE+∠CDE=280° ∴∠BED=80°． 【点睛】平行线的判定与性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握． 58．小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 59．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 题型16.平行线性质的应用 60．小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东方向的大唐芙蓉园游玩．到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的___________方向． 【答案】 北偏西 【详解】解：如图，酒店位于大唐芙蓉园的北偏西. 61．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 62．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可． 【详解】如图， ∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的 ∴，， ∵ ∴，， ∴， 故选：B． 题型17.平行线与折叠问题 63．如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则_____ 【答案】 【分析】根据折痕是角平分线，结合平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵把长方形沿折叠后使两部分重合， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 64．已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 65．如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，则，由折叠可知，根据已知条件，则可知，再根据，则题目可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿折叠，A、D两点分别与、对应， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 66．如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是合理的利用折叠的两个角相等；由图形可得，可得，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为折痕， ∴， 即， 解得． 故选：A． 67．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图2，点、分别落在、的位置 （1）若，则___________度 （2）已知，则的大小为___________度． 【答案】 75 【分析】本题考查了翻折变换和平行线的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质得到相等的线段或角． （1）由折叠得，，结合平行线的性质求得，由角度的和差得到； （2）设，由翻折可得，，，所以，，根据，可得，解得x，进而可以解决问题． 【详解】解：（1）由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）设，由翻折可知：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， 故答案为：75． 题型18.平行线中的折线模型 68．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 【答案】② 【分析】延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①错误；②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，只要和为即可， 故③④不一定正确． 69．如图，在平行线拐点问题中，点在直线左侧，作，的角平分线交于点，再作，的平分线交于点，若第次角平分线交于点，且，则______．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据角平分线的定义找出规律即可求解． 【详解】解：设，, 则， ∵，的角平分线交于点， ∴，， 则， ， ， ， ， 则 ∴． 70．如图，已知，平分，平分．若，则的度数是（   ） . A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过F作，根据平行线的判定与性质可得出，，，结合角的和差关系可求出，，根据角平分线的定义得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 71．如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 72．如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，过点作，则，先求出，同理可得：，得到规律，再代入求值即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ， ， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 73．如图（1），已知，与的角平分线相交于点F，下列结论：①；②若，则；③如图（2）中，若，，，则；④如图（2）中，若，，，则．其中正确的是______（填正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．分别过、、作，，，再根据平行线的性质可以得到解答． 【详解】解：分别过、、作，，， ， ， ，， ，即，①正确； ，， ， 与的角平分线相交于点F， ，， ， ，， ，②正确； ，， ， 与的角平分线相交于点F， ，， ，， ，， ， ，， ，③错误； 同理可得：若，，，则，故④正确； 故选：①②④． 74．如图，已知，和分别平分和，若，则________．    【答案】/度 【分析】过作，过作，可得，，，，，即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，   ， ， ，， ，， 设，， ，， 和分别平分和， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质，作出适当的辅助线是解题的关键． 75．已知 ，在内有一条折线． (1)如图1，小明发现，他是这样思考的：过点作，…请你按照他的思路完成证明过程． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点． ①若，则_____； ②试探索与之间的数量关系，并说理理由； (3)如图3，若，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，结合图形即可证明； （2）①过P点作，根据平行线的性质证明，同理可得，再利用角平分线的定义，结合邻补角的性质求解即可；②利用①的结论直接求解即可； （3）由（2）可得：，，结合已知条件，根据邻补角的性质求解即可 ． 【详解】（1）证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过P点作，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即， 同理可得：， 分别为，的角平分线 ，， ∴ 故答案为：； ②，理由是： 由①可得， ∴； （3）解：，理由是： 由（2）可得：， ∵， ∴ ∴ ． 即 76．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过P点作直线，则可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得． （2）如图，过E点作直线，过F点作直线，则可得．根据平行线的性质可得， ， ．根据角平分线的定义可得，．由可得，结合（1）中的结论可得，进而可得． （3）如图，过F点作直线，则可得．由（1）得，，，进而可得．由角平分线的定义可得，，由（1）得． 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，过E点作直线，过F点作直线． ∵， ∴， ∴， ， ， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， 即， ∴， 由（1）知， ∴， ． （3）解：如图，过F点作直线． ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， 由（1）得 ． 题型19.平行线与动点问题 77．如图，在中，，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为______． 【答案】或 【分析】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键； 分三种情况讨论，一是，则，求得，由折叠得，则，求得；二是，则，由，求得；三是由D是线段上的一个动点，说明不存在的情况，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，， ， ， ， 把沿折叠，点C落在点处， ， ， ， ； 如图2，， ， ， 由折叠得， ， ， ； 是线段上的一个动点， 不存在的情况， 综上所述，等于或， 故答案为：或． 78．如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为______________． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，角的和差计算，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 过点作，过点作，先求出，，，，再分类讨论，当点在点的左侧时；当点在点的右侧时，利用平行线性质和角的和差计算求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ∵ ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， 综上，的读数为或， 故答案为：或． 79．如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为___． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长，相交于Q点，证明，则，求出，则可得的度数；当在下方时，延长交于Q点，证明，则．求出，则可得的度数． 本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：①如图，在上方时， 延长，相交于Q点， 由折叠知：，， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ， ； ②如图，在下方时， 延长，交于Q点， 由折叠知：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ． 故答案为：或 80．如图，点O是直线上一点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】根据，得出，根据平分，求出，根据，结合即可求解； 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 解答题 81．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为__________； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解； （2）设，根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，根据，即可求解； （3）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设． 因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以； （3）解：因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 82．如图，直线，相交于点O，，平分． (1)填空：__________（填“”“”或“”），依据是__________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，对顶角相等 (2) 【分析】（1）根据对顶角相等即可得到：； （2）根据与，求出，再利用解答即可． 【详解】（1）解：直线，相交于点， ； 依据是对顶角相等； （2）解：， 设，则， ， ， 解得：， 平分， ． 83．如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段： （1）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【详解】（1）解：如图所示，垂线段，即为所求． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． （2）∵， ∴点与直线上各点的连线中垂线段最短． ∴． 84．如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查了画平行线，垂线，线段，点到直线的距离，垂线段最短等知识点． （1）根据题意即可画平行线，垂线，线段； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，，，，即为所求； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 85．已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 86．如图，在中，已知，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，试说明． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，再结合题意可得，进而可得； （2）根据可得，，再结合，即可得到； （3）根据题意可得，由（2）得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ； （2）解：， ，， ， ； （3）解：由题意得，， 由（2）得， ∵， ． 87．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)结论：；理由见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， 分别平分和， ，， ； （2）解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； （3）解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 88．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析，（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 89．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 90．如图，B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，．若，则与平行吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明，得到，则可证明，再证明，得到，则可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02相交线与平行线专项训练 题型01.求一个角的余角 题型02.求一个角的补角 题型03.垂线的定义理解 题型04.画垂线 题型05.平面内两直线位置关系 题型06.对顶角与余补角综合应用 题型07.垂线段与点到直线的距离 题型08.同位角.内错角.同旁内角 题型09.平行线的判定 题型10.平行公理及其推论的应用 题型11.平行线的性质 题型12.由平行线性质与判定探究角的关系 题型13.由平行线性质求角的度数 题型14.由平行线判定与性质求角度 题型15.由平行线判定与性质证明 题型16.平行线性质的应用 题型17.平行线与折叠问题 题型18.平行线中的折线模型 题型19.平行线与动点问题 解答题10题 知识点01:核心基础：同一平面内两直线的位置关系 ✅ 两种关系：相交（有且只有一个公共点）、平行（无公共点，记作a∥b） ✅ 关键前提：同一平面内（排除异面直线，七年级核心考点） ✅ 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ✅ 公理推论：如果a∥b，b∥c，则a∥c（平行的传递性） 知识点02.相交线核心：对顶角与邻补角 1. 对顶角 定义：相交直线形成的，有公共顶点、两边互为反向延长线的角 性质：对顶角相等（期中角度计算必考依据） 示例：直线 AC、BD 交于 O，∠AOB 与∠COD 是对顶角，∠AOB=∠COD。 2. 邻补角 定义：相交直线形成的，有公共顶点、有一条公共边、另一边互为反向延长线的角 性质：邻补角互补（和为180∘） 易错辨析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角既互补又相邻，互补的角不一定是邻补角 知识点03:角度核心：余角与补角 1. 基本概念 余角：两个角的和为90∘，互余 补角：两个角的和为180∘，互补 关键：互余、互补仅与角度和有关，与角的位置无关 2. 核心性质 同角（或等角）的余角相等； 同角（或等角）的补角相等（角度推理高频考点） 推论：一个角的补角比它的余角大90∘（快速计算技巧） 知识点04:特殊相交：垂直（期中核心重点） 1. 垂直定义 两直线相交成直角（90∘），则互相垂直，记作a⊥b，交点叫垂足 逆定理：若a⊥b，则相交形成的四个角均为90∘（双向判定） 2. 垂线的性质 过一点（直线上 / 直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）； 垂线段最短（核心性质，点到直线距离的依据）。 3. 点到直线的距离 定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：是长度，不是垂线段本身） 易错：距离是数量，垂线段是图形，二者不可混淆 1.忽略 “同一平面内”，误判两直线位置关系； 2.混淆对顶角 / 邻补角、余角 / 补角的判定条件，错用性质； 3.把 “垂线段” 当作 “点到直线的距离”，忽略 “长度” 关键词； 4.角度计算时，漏看邻补角、互余 / 互补的隐含条件。 知识点05.核心概念：三线八角（识别基础） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角，核心三类： 同位角：在截线的同旁，被截两直线的同一侧，呈 “F” 型 内错角：在截线的两侧，被截两直线之间，呈 “Z” 型 同旁内角：在截线的同旁，被截两直线之间，呈 “U” 型 知识点06.探索直线平行的条件（平行线的判定：由角定线） 1.核心判定定理（3 条） 2. 拓展判定方法（2 条） 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a∥c,b∥c（已知），∴a∥b（平行于同一直线的两直线平行） 垂直推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行符号语言：∵a⊥c,b⊥c（已知），∴a∥b（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行） 知识点07.平行线的性质（由线定角） 核心性质定理（3 条，与判定一一对应） 知识点08.提分关键：高频模型与辅助线 1. 经典拐点模型（必背结论） 模型 几何语言 图形 猪蹄模型：拐点处的角等于两侧角之和 ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠D=∠BPD 铅笔头模型：三个角之和为360∘ ∵AB∥CD（已知）∴∠B+∠P+∠D=360∘ 锯齿模型：开口朝同一方向的角之和相等 ∵AB∥DE（已知） ∴ ∠B+∠M+∠N=∠C+∠E 题型01.求一个角的余角 1．如图，在长方形的台球桌面上，与互为余角，，若，则的度数为___________ 2．若直线与相交于点，的余角为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．在同一平面内，，与互余，则为________． 题型02.求一个角的补角 4．若，则它的补角的度数是______． 5．一个角是，则它的补角是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线上有一点O，作射线，使得，则______；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 题型03.垂线的定义理解 7．如图，于点，若，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，，与的度数之比为，则____． 9．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型04.画垂线 10．下列各图中，过直线外的点P画直线的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 11．下列各图中，过直线外一点画的垂线，三角板操作正确的是（   ） A． B． C． D． 12．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 题型05.平面内两直线位置关系 13．在同一个平面内的两条直线的位置关系有（　　） A．平行或垂直 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交 14．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有_____个交点． 15．在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n______； （2）m与n有且只有______个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n______． 16．下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 题型06.对顶角与余补角综合应用 17．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（） A． B． C． D． 18．如图，直线a，b相交于点O，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 19．已知，如图所示，，垂足为O，为过O点的一条直线，则与的关系一定成立的是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 20．若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 21．以下四个图形中，与是对顶角的图形共有______个． 22．如图，直线，相交于点，若，，则的度数是______． 23．一个角的补角比它本身的2倍大，则这个角等于________度． 24．如果与互补，与互补，且，，那么____． 25．若平面内互不重合的条直线相交于一点，共有对对顶角，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．下列说法中正确的有（   ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 题型07.垂线段与点到直线的距离 27．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 28．在下列图形中，线段的长表示点到直线的距离的是（   ） A． B． .C． D． 29．已知点P在直线l外，点均在直线l上，，则点到直线的距离是______（填“”或具体值）． 30．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 题型08.同位角.内错角.同旁内角 31．下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 32．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 33．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 题型09.平行线的判定 34．如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（    ） A． B． C． D． 36．小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确 37．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝___________．    题型10.平行公理及其推论的应用 38．如图所示，过点作线段的平行线，下列说法中，正确的是（    ） A．不能作出 B．只能作出一条 C．能作出两条 D．能作出无数条 39．下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 40．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 41．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 题型11.平行线的性质 42．如图所示，，已知，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 43．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量凌霄塔的高度．如图，嘉嘉在处测得凌霄塔塔顶的仰角，此时从凌霄塔塔顶处观测处的俯角是（   ） A． B． C． D． 44．通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（    ） A． B．10° C．11° D．12° 45．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED=（ ） A．55° B．125° C．135° D．140° 46．在南海海域巡航任务中，我国海警船在某观察点A处，发现其北偏东的方向B处，有一艘不明船只，我国另外一艘处于C处的海警船也发现了其东南方向的B处的不明船只，则此时两艘海警船与不明船只的连线夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 47．如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为________ 题型12.由平行线性质与判定探究角的关系 48．若，的两边分别平行，那么这两个角的大小满足什么数量关系________．（用，表示） 49．如图所示，已知直线，直线分别交、于点、，直线经过点，使得平分，点在上，点在上，的角平分线交于点，且满足，，则______． 50．如图所示，直线，点E在上，点H在上，点F、G在直线的上方，点Q是延长线上一点，且满足，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 题型13.由平行线性质求角的度数 51．如图，，，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 52．如图，已知，点、分别在、上，，射线平分，且，则的度数为___________． 53．在数学课上，老师给出如图所示的图形，已知和射线，，现在老师让同学们画，且边，根据老师的要求画出图形，若的3倍比大，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 题型14.由平行线判定与性质求角度 54．如图，直线，平分，当的度数为时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 55．如图，已知，，，则的度数为______． 56．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 题型15.由平行线判定与性质证明 57．如图所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度数为______． 58．小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 59．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 题型16.平行线性质的应用 60．小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东方向的大唐芙蓉园游玩．到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的___________方向． 61．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为______． 62．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型17.平行线与折叠问题 63．如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则_____ 64．已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 65．如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 66．如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 67．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图2，点、分别落在、的位置 （1）若，则___________度 （2）已知，则的大小为___________度． 题型18.平行线中的折线模型 68．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 69．如图，在平行线拐点问题中，点在直线左侧，作，的角平分线交于点，再作，的平分线交于点，若第次角平分线交于点，且，则______．（用含的代数式表示） 70．如图，已知，平分，平分．若，则的度数是（   ） . A． B． C． D． 71．如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 72．如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 73．如图（1），已知，与的角平分线相交于点F，下列结论：①；②若，则；③如图（2）中，若，，，则；④如图（2）中，若，，，则．其中正确的是______（填正确结论的序号） 74．如图，已知，和分别平分和，若，则________．    75．已知 ，在内有一条折线． (1)如图1，小明发现，他是这样思考的：过点作，…请你按照他的思路完成证明过程． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点． ①若，则_____； ②试探索与之间的数量关系，并说理理由； (3)如图3，若，请直接写出与之间的数量关系：_______． 76．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 题型19.平行线与动点问题 77．如图，在中，，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为______． 78．如图，，．、的角平分线交于点P，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交射线于点F，连接．已知，则的度数为______________． 79．如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为___． 80．如图，点O是直线上一点，，平分，，求的度数． 解答题 81．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为__________； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）． 82．如图，直线，相交于点O，，平分． (1)填空：__________（填“”“”或“”），依据是__________． (2)若，求的度数． 83．如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________． 84．如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 85．已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 86．如图，在中，已知，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，试说明． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 87．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 88．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 89．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 90．如图，B，C，E三点在同一直线上，A，F，E三点在同一直线上，．若，则与平行吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $