专题2.9 解三角形中的范围与最值问题6大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题2.9 解三角形中的范围与最值问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求中线的最值（范围） 题型02求角分线的最值（范围） 题型03求周长的最值（范围） 题型04求面积的最值（范围） 题型05求边长和差的最值（范围） 题型06求边长平方或者比值的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 中线、角分线的最值 掌握将中线或角分线长度表示为边长或角的函数，利用三角形边角范围、基本不等式或三角函数有界性求最值；理解动点变化对分线长度的影响 中等偏上难度，常在解答题第二问出现，需结合三角形存在条件确定自变量范围，注意中线与角分线公式的推导及最值取等条件 周长的最值 能将周长表示为一条边或一个角的函数，通过正弦定理边化角，利用辅助角公式或单调性求最值；或利用基本不等式直接求边长和的最值 高频考点，常与面积最值并列考查，需注意三角形内角范围及两边之和大于第三边的约束，锐角三角形时额外限制角的范围 面积的最值 熟练运用面积公式，将面积表示为两边及其夹角的正弦，结合已知条件转化为单变量函数；利用三角函数有界性、基本不等式或二次函数性质求最值 每年必考，常在解答题中出现，考查转化与化归思想，需注意变量取值范围及最值取等时是否满足三角形存在条件 边长和差平方比值的最值 将目标表达式通过正余弦定理边角互化，统一为角或边的函数；利用三角恒等变换化简，结合有界性或导数求最值；或利用几何意义（如距离比）转化为轨迹问题 难度较高，常在压轴题中出现，综合性强，需灵活选择互化方向，注意表达式变形技巧（如平方和、乘积的配凑） 知识点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 知识点02 求三角形周长、边长或面积的最值 1、 利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。 2、 利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 知识点03 三角形中的中线 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 知识点04 三角形中的角分线 1、面积法：如图三角形中， 化简有 2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 3、斯库顿定理：若为角分线，有， 题型一 求中线的最值（范围） 解｜题｜技｜巧 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 【典例1】（25-26高一下�贵州毕节�期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. (1)求A； (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】(1)用正弦定理化边为角，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角A； (2)用向量中线公式表示，结合余弦定理与基本不等式，求出AD最大值. 【详解】【小题1】因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以. 【小题2】因为，，所以， 因为D是BC的中点，所以，所以 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3. 【典例2】（25-26高一下�福建�期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用余弦定理将角化为边，化简后再用余弦定理求出，得出B即可． （2）先用余弦定理得出a，c关系式，再将三角形面积进行转化，用等面积法，运用面积公式求解即可． （3）先用中线的向量表达式，，两边平方，将中线长转化为求ac的范围，后将ac又转化为三角函数求值域问题，最终求得中线长范围． 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得，化简得， 则，因为，所以． （2），，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积关系可得， ， 所以，即. （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得，， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边AC上的中线BE的取值范围为． 【变式1】（2026�山东泰安�模拟预测）已知内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，为中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，结合两角和与差的正弦公式求解即可. （2）解法一：利用余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，再利用向量的方法求解出的最大值即可.解法二：利用结合余弦定理求解最大值即可.解法三：在分别使用余弦定理求解即可. 【详解】（1）， ， ， ， ，，即， ，，，解得. （2）， 由余弦定理，，即. 由基本不等式，， 即， 当且仅当时，等号成立 解法一，两边取平方，可得： ， ， 当且仅当时，等号成立，取得最大值为. 解法二：,, 整理得，故， ，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值为. 解法三：， 整理得，故， ，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值为. 【变式2】（25-26高一下�四川资阳�期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，根据的范围求值； （2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以，. （2）由，且可得， 又，为外接圆半径） 所以，又，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，. 由的中点为M，得， 所以 . 因为为锐角三角形，所以，得， 则，所以，， 则， 故的取值范围是. 题型二 求角分线的最值（范围） 答｜题｜模｜板 将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一为同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值范围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的端点是否可取。 【典例1】（2026�湖北武汉�三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将原式转化为正弦形式，进而结合正弦定理将正弦值转化为对应边的关系，再利用余弦定理即可求出，进而得到角的大小. （2）利用三角形面积关系，建立与、的等式，再结合余弦定理得到、关系，进而利用基本不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性求解的最大值. 【详解】（1）由， 整理得：. 由，得， 所以. 由正弦定理，得：. 结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由, 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为 ，所以. ， 因为在上递增， 所以，即线段长度的最大值为 1. 【典例2】（25-26高一下�河南焦作�期中）在中，内角所对的边分别为,，，且． (1)求角； (2)若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）直接由向量的共线并结合正弦定理可得； （2）（ⅰ）根据正弦定理进行边化角，进而得，再由三角形为钝角三角形得，再由正弦函数的性质可得范围；（ⅱ）先由等面积法可得，再由条件和（i）结果可得，再令，再根据函数的单调性可得所求值的范围. 【详解】（1）由，，且， 所以，， 化简整理得，再由正弦定理得， 因为，所以，且，所以. （2）（i）由，结合正弦定理，得. 因此 ​，且. 因为 为钝角三角形， ​，故钝角只能是或， 所以或，所以. 由正弦定理得 ， 因为，所以，， 所以 （ii）因为为的角平分线，且，如图： 由面积关系，， 所以 ，化简得. 又因为 ， 由（i）知， 所以， 令，由（i）知，所以 所以，因为函数在是单调递增函数， 所以时，，当时，. 所以. 【变式1】（25-26高一下�河南郑州�期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角； （2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出； （3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域． 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. （2）由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. （3） 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 【变式2】（25-26高一下�四川内江�期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，，的平分线交边于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式求解； （2）根据为锐角三角形，，由得到，再利用正弦定理结合三角恒等变换得到求解； （3）由得到，再利用余弦定理得到，然后根据为角平分线，由求解. 【详解】（1）由，可得， 化简得， ， ，又， 所以，即； （2）因为为锐角三角形，， 所以，即，解得 由正弦定理可知，即， 所以， 由，可得，则， 则，则的周长的取值范围为； （3）由得，即， 由，即，解得， 所以，解得， 可知，即， 由，可得， 所以，得， 解得. 题型三 求周长的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 1、 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 【典例1】（25-26高一下�甘肃天水�期中）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 (3) 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算规则计算得到展开式，再利用二倍角公式、辅助角公式化简整理，即可得到的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦函数的性质，即可计算出的最大、最小值； （3）先由结合B的范围求出角B，再利用余弦定理得到边的关系，结合基本不等式求最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）由， 则. （2）当时，. 则当（即）时，取得的最大值为1； 当（即）时，取得的最小值为. 故的最大值为，最小值为. （3），即， 为的内角，. 故. . 则. 又，由余弦定理， 得，即. 由均值不等式得：， 即，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：. 【典例2】（25-26高一下�山东淄博�期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小； （2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即， ，因为，所以． （2）由（1）得，且， 由正弦定理得：， ∴， ， ∵，∴，∴， ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是． 【变式1】（25-26高一下�天津武清�期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角化简整理即可； （2）根据角平分线建立等角关系，再结合正弦定理和三角形面积公式建立关于的方程并求解； （3）根据余弦定理建立关于周长和函数关系，结合函数单调性求解范围. 【详解】（1）已知，由正弦定理边化角得： ， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. （2）由是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. （3）由余弦定理得：， 因为是锐角三角形，由余弦定理得： ， ， 故，则周长， 易知在上单调递增，得， 因此周长的取值范围为：. 【变式2】（25-26高一下�辽宁大连�期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得； （2）利用以及余弦定理可得； （3）利用正弦定理得，结合三角函数求值域. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 在中， ， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以， ， 又，所以，所以， 又因为，所以． （3）由正弦定理得，可得， ， ， ， 因为是锐角三角形，且，则， 得，得，，， 故的周长最大值为6． 题型四 求面积的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 【典例1】（25-26高一下�天津武清�阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 【典例2】（25-26高一下�四川巴中�期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 【变式1】（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）在中，角的对边分别为，且 ． (1)求角的值； (2)若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； (3)若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用正弦定理将角的正弦转化为边，得到边的关系式；再结合余弦定理，即可求出角的值； （2）先根据三角形面积公式和已知条件求出边的长度，再利用角平分线性质或三角形面积分割法，结合三角形面积公式建立关于的等式，进而求解的长； （3）根据，再结合向量将的长度与三角形的边、角建立联系，然后利用基本不等式，求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，即． 由余弦定理，得，所以． ，． （2） ，， 由，得． ，． 平分，． ， ； ． （3），，即，得 ． ， ，，即，解得 ，当且仅当时，即时等号成立． ， 即的面积最大值为． 【变式2】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围； (3)若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据的具体表达式，结合正弦定理边化角化简已知等式，建立关于角A的方程，进而求解角； （2）先利用正弦定理将边a、c用角B、C表示，结合锐角三角形的条件确定B的取值范围；将三角形周长转化为关于B的三角函数，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）可设，利用三角形内角和与正弦定理，将用含的三角函数形式表示，并确定相关参数的取值范围，继而写出面积表达式，即可求最小值. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 而， 所以， 因为，所以，解得（舍去）， 因为，所以，即. （2）由（1）知，由正弦定理得，所以，， 又， 所以的周长 ， 因为是锐角三角形，所以，所以，所以， 又，所以， 所以. 即的周长的取值范围是. （3）设，，则，，， 在中，，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 所以. 在中，，，所以， 所以，， 所以， 因为， 其中，， 当，即时，等号成立， 所以， 所以，即的面积的最小值为. 题型五 求边长和差的最值（范围） 答｜题｜模｜板 1、利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 2、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 3、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 【典例1】（25-26高一下�江苏淮安�期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. 【典例2】（25-26高一下�山东淄博�期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且 (1)求角； (2)若是边的中点，，，求的面积； (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简方程，即可求出角； （2）利用中点结合向量得出，两边平方解出，即可求出的面积； （3）求出的范围，利用正弦定理得出，的表达式，进而得出的表达式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意，在中，， 由正弦定理， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，又， ∴，解得， ∴. （2）由题意及（1）知，， ，， ∵是边的中点， ∴， ， 解得， ∴. （3）由题意，及（1）知， 在锐角中，，， ，解得， 由正弦定理，， ∴， ， ∴ ， ∵，，， ∴. 【变式1】（25-26高一下�湖南�阶段检测）已知的内角的对边分别为，且. (1)求. (2)已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正切公式可得； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可. （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 得 则.由，得， 所以，则. 因为，所以. （2）（i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得， 因为，所以. 故. （ii）由余弦定理，得 结合，得. 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为. ， 则. 故的最小值为. 【变式2】（2026�浙江绍兴�模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形面积为，已知． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式和向量数量积的定义化简即可求得； （2）利用正弦定理边化角，再由辅助角公式以及正弦函数的性质可求的最大值． 【详解】（1）由可得， 故，而为三角形内角，故． （2）由正弦定理，，故， 所以 ，其中， 当且仅当，即时，的最大值为． 题型六 求边长平方或者比值的最值（范围） 答｜题｜模｜板 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【典例1】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可； （2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可. 【详解】（1）易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； （2）因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 【典例2】（25-26高一下�内蒙古赤峰�期中）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简所给等式，根据，即可得解； （2）利用正弦定理，三角恒等变换，求出的范围，再由面积公式可得解； （3）令，由正弦定理及（2）可得的取值范围，再由对勾函数的单调性求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即，所以， 即，因为是锐角，所以. （2）因为， 所以， 因为，解得, 由正弦定理可得， 因为， 所以, 由，可知，所以, 所以，所以. （3）由，可设， 则， 由正弦定理，， 由（2）知，，， 由对勾函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，当时，， 所以，即的取值范围为. 【变式1】（25-26高一下�重庆�期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解； ②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【详解】（1）①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以 所以， . （2），，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 令，， ，在单调递增， 所以. 【变式2】（2026�陕西榆林�模拟预测）在中，内角的对边分别为， (1)若的面积为2.求角； (2)若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形面积公式可得，进而可求角； （2）由为锐角三角形，先求得，再利用正弦定理可得，然后化简式子，根据对勾函数的性质求范围即可． 【详解】（1）解：由余弦定理，得①， 由面积公式，得②. ②÷①，得，即. 由，得. （2）由题意，得外接圆的直径为4， 则由正弦定理，得， 所以. 因为是锐角三角形， 所以解得， 所以，则， 所以， 由对勾函数的性质，得在上单调递减， 所以的取值范围为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026�陕西渭南�三模）已知的内角所对的边分别为,且． (1)求； (2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理角化边，利用余弦定理求出角； （2）首先根据正弦定理求出，利用余弦定理列方程，结合均值不等式得，求出最值. 【详解】（1）因为，则， 即， ， ，. （2）由，得， 由余弦定理得， 化简为，即， 因为， 则，， 当且仅当时等号成立，故三角形周长最大值为. 2．（25-26高一下�安徽安庆�期中）在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 又，，则 因为 ， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为. 3．（25-26高一下�黑龙江大庆�期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，求周长的取值范围； 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由余弦定理即可得解； （2）由面积公式及余弦定理建立关于的方程组即可求解； （3）由正弦定理边化角，再结合三角函数的图象即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得. 已知，即. 代入得，又，故. （2）（2），，由，得， 解得.又，得， 即. 联立，解得，. （3）设周长为，则. ，，由正弦定理得，解得，. ，，. ，； ，则，，即. 周长的取值范围为. 4．（25-26高一下�黑龙江佳木斯�期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 5．（25-26高一下�重庆�期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026�山西朔州�二模）（多选）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项. 【详解】对于A，由，可得，即， 由余弦定理可得， 又为锐角三角形，所以，A正确； 对于B，由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以，故， 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，由余弦定理可得， 因为，所以，即， 所以周长，C正确； 对于D，设的中点为，因为是的重心，所以， 在中，由余弦定理可得， 故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确. 2．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，． (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得：，即， 所以是等腰三角形，即． 所以，即； （ⅱ），即是等腰三角形，所以， 所以； （2）因为，即，即． 设，则，则， 所以， 又因为，因为， 所以，即， 又因为，令，则， 所以，，因为函数在上单调递增， 所以． 3．（25-26高一下�安徽阜阳�阶段检测）在中，角的平分线交于点，. (1)若，，求: ①的面积； ②的外接圆的周长. (2)若，求的最小值. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出角，然后由正弦定理结合三角形面积公式即可求解；②由正弦定理得出外接圆的半径即可； （2）根据三角形的面积公式得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1） ①因为，角的平分线交于点，所以，， 所以，， 由正弦定理得，即， 代入数据得， 所以. ②设的外接圆的半径为，由正弦定理，可得，所以， 则的外接圆的周长. （2） 由，所以，， 根据三角形的面积可得，即， 代入数据并化简得， 由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 因此，当是等腰三角形时，的最小值为. 4．（25-26高一下�吉林�期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角A； (2)若D是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【详解】（1）解：由正弦定理可知， ， ， 又，， ， ，， ，； （2）解：由（1）及余弦定理得，即①， 又因为，则， 则， 即， 所以②， 由得， 所以； （3）解：由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 5．（2026�江西�模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可. 【详解】（1） 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． （2） 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·山西·阶段检测）在中，内角的对边分别为． (1)求． (2)当时． （i）求周长的取值范围； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理与和角公式化简计算即得； （2）（i）由正弦定理即三角恒等变换可得，再利用正弦函数性质计算求解；（ii）由余弦定理，基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 而右式为， 故得，因为，故． 故，则． （2）（i）由正弦定理得的周长 ， 易得，则，故， 所以的取值范围是； （ii）由余弦定理得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积， 故面积的最大值为． 2．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在中，. (1)求的值； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值； （3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围. 【详解】（1）因为在三角形中，由射影定理代入， 得，即，因为，所以. （2）在三角形中，由（1）知， 由余弦定理得， 又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以周长. 因此周长的最小值为. （3）因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，， 所以，解得. 又由正弦定理得，所以， ， 因为，所以，因此. 所以面积. 3．（25-26高一下�江苏�期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对已知条件进行化简，再根据角的范围，判断方程可能得解，求出结果； （2）根据余弦定理解三角形，判断的具体结果，再根据余弦定理和基本不等式求出三角形周长的范围，进而根据内切圆半径的性质求出半径的范围，进而求出面积的最大值； （3）根据三角形形状，判断角的范围，再根据正弦定理和三角形中线的向量性质，进而根据向量的数量积运算率，表示出模长的表达式，进而求出线段长度的范围. 【详解】（1）由题意可知，化简得， 可得，因为，所以， 可得或，解得或. （2）由题意可得，化简得， 所以，所以由（1）可知，可得， 可知，化简得，即，可得. 由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号， 所以，由，解得. 设内切圆半径为，则， 可得，因为， 所以， 因为，所以， 当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为. （3）可知，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以， 可知，可得，所以， 因为，所以， 则， 化简得， 因为，由，可得，解得， 所以，可得，所以，即 所以线段的取值范围为. 4.（25-26高三下�河北保定�阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 5．（25-26高一下�四川成都�期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.9解三角形中的范围与最值问题（期末复习讲义） 内容导航 明。期床考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求中线的最值（范围） 题型02求角分线的最值（范围） 题型03求周长的最值（范围） 题型04求面积的最值（范围） 题型05求边长和差的最值（范围） 题型06求边长平方或者比值的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期未考情 核心考点 复习月标 考情规律 中线、角 掌握将中线或角分线长度表示为边长或角的 中等偏上难度，常在解答题第二问出 分线的最 函数，利用三角形边角范围、基本不等式或三 现，需结合三角形存在条件确定自变 值 角函数有界性求最值；理解动点变化对分线长 量范围，注意中线与角分线公式的推 度的影响 导及最值取等条件 周长的最 能将周长表示为一条边或一个角的函数，通过 高频考点，常与面积最值并列考查， 值 正弦定理边化角，利用辅助角公式或单调性求 需注意三角形内角范围及两边之和 最值；或利用基本不等式直接求边长和的最值 大于第三边的约束，锐角三角形时额 外限制角的范围 面积的最 熟练运用面积公式，将面积表示为两边及其夹 每年必考，常在解答题中出现，考查 值 角的正弦，结合已知条件转化为单变量函数： 转化与化归思想，需注意变量取值范 利用三角函数有界性、基本不等式或二次函数 围及最值取等时是否满足三角形存 性质求最值 在条件 边长和差 将目标表达式通过正余弦定理边角互化，统一 难度较高，常在压轴题中出现，综合 平方比值 为角或边的函数；利用三角恒等变换化简，结 性强，需灵活选择互化方向，注意表 的最值 合有界性或导数求最值；或利用几何意义（如达式变形技巧（如平方和、乘积的配 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 距离比)转化为轨迹问题 凑) 记·必备知识 局知识点01三角形的面积公式 SABC=absinC=bcsinA=acsinB S4ABC=装=(a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径.) S4ABC=ah(三角形的底乘高) 受知识点2求三角形周长、边长或面积的最值 1、利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等 式来求最值。 2、利用正弦定理把其中的边都换成s值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角 的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 局知识点03三角形中的中线 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： D B D 换成三角形的中线，则有AD12=引AB2+引8C2引BC2 2、可以通过向量法AD=A店+AC,两边平方后可得|AD2-(AB2+AC2+2AB|AC COsA) 局知识点04三角形中的角分线 1、 面 积 法 如 图 三 角 形 中 S△ABc=S△4BD+S△ADcH|AB|川AC|sinA=|AB|AD|sine+ADAdsinB A D 化简有sin(c+P)=AD1(器+需) 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2、角分线张角定理：若AD为角分线，则=B,则化简上式有cosC= AD品+扁) 3、斯库顿定理：若AD为角分线，有AD=AB·AC-BD·DC, 破·重难题型 巴题型一 求中线的最值（范围） 解|题|技|巧 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示 :成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范 围。 、、 【典例1】(25-26高一下？贵州毕节？期中)己知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边， a=2√3且V5 a sin C+acosC=b+c. (1)求A: (②)已知D是边BC的中点，求AD的最大值 【典例2】(25-26高一下？福建？期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知 b=3,2v3 cos C=2a-c (1)求角B; (2)若a+c=2,D是AC上的点，BD平分∠ABC,求BD长： (3)求边AC上的中线BE的取值范围. 【变式1】(2026？山东泰安？模拟预测)已知ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 2b=c+2asin B-I 3 (1)求角A: (2)若a=2√5，D为BC中点，求AD的最大值. 【变式2】(25-26高一下？四川资阳？期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 √5sinB+cosB=2,且acosC+ccosA=4V5cosB,AC的中点为M. (I)求B; (2)若ABC为锐角三角形，求BM的取值范围， 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 它题型二 求角分线的最值（范围） 答|题模板 将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一为 同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值范 围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的端 点是否可取。 【典例1】(2026？湖北武汉？三模)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, sin24+cos2B+cos2C=2+sinBsinC. (1)求角A的大小： (②)若a=2V3,∠BAC的角平分线交BC于点D,求线段AD长度的最大值. 【典例2】(25-26高一下？河南焦作？期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(2b,c), sin B n -tan C cos A.cosC 且mlln· (1)求角A; (2)若bc=4 sin B sin C,ABC是钝角三角形. (i)求b+c的范围； (i)若点D在BC上，且AD为∠BAC的角平分线，求AD的取值范围 【变式1】(25-26高一下？河南郑州？期中)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 √3 bsin C+√3 csin B=4 a sin B sin C,2 bsin B+2 esin C=bc+√3a (1)求角A的大小： (2)求边a的值： (3)角A的角平分线AD与边BC交于点D,求角平分线AD长度的取值范围， 【变式2】(25-26高一下？四川内江？期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 cos4=cosC a 2b-c (1)求角A; 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)若a=1,且ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围； (3)若a=√7，ABAC=3,∠A的平分线交边BC于点T,求AT的长. 题型三求周长的最值（范围） 答|题模板 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值间题。通常有以下两种方法 1、若已知面积，则可利用基本不等式a+b≥2√b可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、 若能根据余弦定理，则可利用整本不等式学≤学 +b把周长的最大值与余弦值挂钩。 :3、若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问 题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角 函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 【典例1】(25-26高一下？甘肃天水？期中)已知a=(V5sinx,-cosx),万=(cosx,cosx),f(x)=a-方， (1)求函数f(x)的解析式： ②求fx)在0上的最大值和最小值， 3)设4BC的内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,若f(B)=号且b=5,求4BC周长的最大值。 【典例2】(25-26高一下？山东淄博？期中)在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且 sin'A-sin2 B-sin'C sin B sin C. (I)求角A的大小： (②)若BC=3，,求ABC周长的最大值. 【变式1】(25-26高一下？天津武清？期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=6, 2a-b=2ccos B, (1)求角C; (2)若点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=23,求边长a的值： (3)求锐角ABC的周长的取值范围. 【变式2】(25-26高一下？辽宁大连？期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 b-a cosC+ 3sinc 5/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求角A的大小： (2)若D为BC中点，AD=V13,b=3C,求边a: (3)若ABC为锐角三角形，且a=2,求△ABC的周长最大值 它题型四求面积的最值（范围） 答|题模板 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、 利用基本不等式a+b≥2√b或a2+b2≥2ab可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问 题来解决 【典例1】(25-26高一下？天津武清？阶段检测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若平面向量 m1n,其中m=(N5a,sin4，n=(cosC,-c. ()求角C的大小： (②)若a+b=8，,求ABC周长的最小值； (3)若ABC是锐角三角形，且C=2V5,求ABC面积S的取值范围. 【典例2】(25-26高一下？四川巴中？期中)己知锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、 C,且满足cosB=a-C 2c (1)求证：B=2C; (2)若b=1,求a的取值范围； (3)若a=2,求三角形ABC面积的取值范围. 【变式1】(25-26高一下.甘肃酒泉期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (a-c)(sinA+sinc)=(b-c)sinB (I)求角A的值： (2)若ABC的面积为4V5,内角A的平分线交边BC于点E,b=2,求AE的长； (3)若D为边BC上一点，满足BD=2CD,且AD=2,求ABC面积的最大值 【变式2】(25-26高一下·安微安庆阶段检测)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 BA.BC=e'-besin 4 (1)求A; (2)若ABC是锐角三角形，且b=2,求ABC的周长的取值范围； 6/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若b=3,c=2,等边aDEF的顶点D,E,F分别在边AB,BC,CA上（不含端点），求△DEF的面积 的最小值 它题型五求边长和差的最值（范围） 答1题模板 1、利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 :2、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性 来判断最值。 3、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 【典例1】(25-26高一下？江苏淮安？期中)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2, (a-bsinC)cosB=a+bsinBcosC. (I)求B; ②若ABC的面积为2-5，求4BC的周长， 4 (3)求a-√3c的取值范围。 【典例2】(25-26高一下？山东淄博？期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是Q,b,C,且 a=csinB+3bcosC (1)求角B; 2若D是边4C的中点，a=2,BD=,求ABC的面积： 2 (3)若ABC是锐角三角形，且b=√5，求2a-c的取值范围 【变式1】(25-26高一下？湖南？阶段检测)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2sm4+写 =5c (1)求B (②已知D为4C边上的一点，且∠ABD-票AP_45+刊 4'CD 3 ①)求 a (i)若b=√3，E是线段BD上（不与B重合）的一个动点，求BE+2AE的最小值 【变式2】(2026？浙江绍兴？模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,三角形面积为 7/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S,己知2S-√5AB.AC=0. (I)求A; (2)若a=√5，求b+2c的最大值 ②题型六求边长平方或者比值的最值（范围） 答|题模|板 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问 题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性 来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【典例1】(2026湖北模拟预测)记ABC内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知2a=b+2 csin A-工 6 (1)求C; 2)若ABC为锐角三角形，且外接圆直径为25，求2D+3C的取值范围 2b 【典例2】(25-26高一下？内蒙古赤峰？期中)己知锐角三角形ABC的内角A,B,C对应的边分别为☑ ,b,C,且满足b tan B cos C+csin B=2 a tan B cos A. (1)求角A; (2)若c=1,求ABC面积的取值范围； 6)求2+C的取值范围 bc 【变式1】(25-26高一下？重庆？期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 cosA sin2B 1-sinA 1-cos2B (1)若C= 2π 3,4B=3. ①求B; ②角A的内角平分线交BC于D,求线段AD的长； 2求2a2-的取值范围。 c2 【变式2】(2026？陕西榆林？模拟预测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, (1)若b2+c2-a2=8V3,aABC的面积为2.求角A; 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②)若ABC为锐角三角形，A=元，且外接圆半径为2，求2c+5a 的取值范围， 6 ac 过·分层验收 =:=4==，=。=4m,==。=,=。=。=。=,=。=。=。= =。=。=，==。=。==。=，=。=。=，=，=。=。=，=。==，=，=，=，==。=。=。=4====:=。=。=。=，=。==。==。= 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(2026?陕西渭南？三模)己知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 asinA-csinC=b(sinB+sinC). ()求A; (②)若ABC的外接圆半径为1，求ABC周长的最大值. 2.(25-26高一下？安徽安庆？期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3 sin C, 则+的最大值等于 3.(25-26高一下？黑龙江大庆？期中)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 b2+c2=a2+bc (I)求A; (2)若a=2,ABC的面积为√3，求b,c: (3)若a=2,求ABC周长的取值范围； 4.(25-26高一下？黑龙江佳木斯？期中)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量 =(a,3b=(cos A,sin B) (1)求角A: (2)若a=√21，b=4,求ABC的面积： (3)若a=6,求b+c的最大值 5.(25-26高一下？重庆？期中)钝角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a=btanA,则 +c的取值范围为(） a2 A.(0,1) B.(1,+o C.[4v2-5,+o） D.「22-5，+∞ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(2026?山西朔州？二模)（多选）在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,记ABC的面积 ac a+c-b 为S,周长为L,重心为G,若a+c+b3,c=2,则() 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.B=I B.S的取值范围是 3 C.L的取值范围是3+V3,6+2V3 D.4G的最小值为23 3 C25-26高下河北沧州期中)如图，在ABC中，LABC,D为边4C上一点，且AB BD=1. (1)若BC=√5. (i)求sin∠BDC; (ⅱ)求△ABD的面积； ②若254B<5,求4D+CD的取值范围。 3 AD.CD 3.(25-26高一下？安徽阜阳？阶段检测)在△ABC中，角B的平分线BD交AC于点D,BD=2. 0若BD=BC,B-背，求 ①△ABC的面积； ②△ABC的外接圆的周长 (②)若B三2π，求AB+BC的最小值 4.(25-26高一下？吉林？期中)在ABC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,a=1,·,= 2b-c cos4 cosC (1)求角A: ②)若D是线段BC的中点，且AD=5,求Sc: 2 (3)若ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围. 5.(2026?江西？模拟预测)在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C, B_元+tan tan| B,π =25. 24 24 (1)求角B: ②)当b=25时，ABC的面积为S,周长为1，求S的取值范围。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 10/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26高一下山西阶段检测)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为 1 a,b,c,c2+abcos C bc cos A+accos B+ab. (1)求C. (2)当c=6时. (i)求ABC周长的取值范围： (i)求ABC面积的最大值， 2.(25-26高一下·吉林长春阶段检测)在ABC中，a=ccosB+b (I)求sinC的值； (②)若a+b=8,求ABC周长的最小值： (3)若ABC是锐角三角形，且c=2√5，求ABC面积S的取值范围 3.(25-26高一下？江苏？期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知 V5sin'B-sinco=5,4C的中点为M. 2 (1)求B; (2)若acosC+ccos4=4V5cosB,求ABC内切圆面积的最大值； (3)若ABC为锐角三角形，b=2,求线段BM的取值范围. 4.(25-26高三下？河北保定？阶段检测)已知α，b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边， a cosC+3asin C-b-c=0 (1)求角A; (②)若a=2,ABC的面积为√3，求b,c; (3)若a=√5，且ABC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围. 5.(25-26高一下？四川成都？期中)在锐角ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=√3且 sin2B+sin2 C-sin2A=sin Bsin C. (1)求角A: (2)求ABC周长的取值范围： (3)求边BC上的中线AD的取值范围. 11/11