专题06 二项分布、超几何分布和正态分布9大题型（期末真题汇编，北京专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦二项分布、超几何分布和正态分布三大概率模型，汇编北京多区期末真题，覆盖9个核心考点，注重实际应用与数学建模能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|30+题|二项分布概率计算（如射手射击问题）、超几何分布均值（如8名学生选代表）、正态分布性质与概率（如成绩统计）|结合射击、抽奖等生活情境，设置基础计算与性质辨析题| |解答题|11题|分布列与期望综合（如15题京剧文化体验数据统计）、实际应用（如39题学生成绩正态分布估计人数）|融入教育评估、健康检查等真实场景，考查数据处理与模型应用能力|

专题06 二项分布、超几何分布和正态分布 高频考点概览 考点 01 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 考点 02 二项分布的均值和方差 考点 03 二项分布的最值 考点 04 超几何分布的概率 考点 05 超几何分布的均值和方差 考点 06 正态曲线的性质 考点 07 正态分布的概率计算 考点 08 根据正态分布的对称性求参 考点 09 正态分布的实际应用 ( 考点01 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 ) 1．（2025春•平谷区期末）某射手每次射击击中目标的概率均为，比赛中该射手连续射击3次，则该射手恰好击中目标2次的概率为 　　 ． 【解答】解：由题意可知，该射手恰好击中目标2次的概率为． 故答案为：． 2．（2023秋•昌平区期末）某气象台天气预报的准确率为，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：某气象台天气预报的准确率为， 则3次预报中恰有1次预报准确的概率是： ． 故选：． 3．（2024春•怀柔区期末）某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，四道题中恰好做对2道的概率是． 故选：． 4．（2022春•西城区期末）将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为： ． 故选：． 5．（2022春•房山区期末）商场举行抽奖活动，已知中奖率为，现有3位顾客抽奖，则恰有1位中奖的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：中奖率为，现有3位顾客抽奖， 则恰有1位中奖的概率为． 故选：． 6．（2025秋•昌平区校级期末）某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了7次球，则恰有5次投中的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了7次球， 恰有5次投中的概率． 故选：． 7．（2021春•东城区校级期末）某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形， 所以该生被选中的概率是． 故选：． 8．（2022秋•东城区期末）某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为 　　；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为 　　． 【解答】解：设甲能够答对道题目， 则， ， 若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对， 则乙恰好答对两道题的概率为． 故答案为：；． ( 考点02 二项分布的均值和方差 ) 9．（2025春•朝阳区期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设为该运动员连续射击3次的中靶次数，则 　　 ． 【解答】解：根据题意，某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，则， 故， 故答案为：2.7． 10．（2025春•大兴区期末）已知随机变量服从二项分布，，则的数学期望是（　　） A． B．1 C．2 D． 【解答】解：随机变量服从二项分布，，则的数学期望． 故选：． 11．（2024春•大兴区期末）设随机变量，则　　． 【解答】解：， ． 故答案为：． 12．（2025春•北京校级期末）一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率（即漏检率）为，“次品”被误检测为“良品”的概率（即误接受率）为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，“良品”被检测为“良品”的概率为，“次品”被误检测为“良品”的概率为， 所以该制造厂每天每条生产线的产品被检测为“良品”的概率为， 设该制造厂每天可出货的产品件数为， 则，， 所以该制造厂每天出货的产品件数平均为． 故选：． 13．（2022春•大兴区校级期末）已知，则（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：因为， 所以． 故选：． 14．（2020春•东城区期末）已知随机变量服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数，的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：随机变量服从二项分布，即，且，， 可得，，解得，， 故选：． 15．（2025秋•顺义区期末）某高中举办“京剧脸谱体验展”，通过增强现实技术让学生沉浸式感受京剧文化魅力．为了解全校学生的体验效果，研究团队在三个不同年级中各随机抽取100人作为样本，统计其体验时长，并通过问卷方式调查认知度提升效果．已知体验时长（单位：分钟）分为三段，，，各段人数及认知度显著提升人数如下表： 人数年级 体验时长 体验时长 体验时长 认知度 显著提升 高一年级 55人 30人 15人 70人 高二年级 40人 45人 15人 50人 高三年级 25人 30人 45人 30人 假设三个年级人数相同，以频率估计概率． （1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生为高二年级学生且体验时长的概率； （2）从全校所有“认知度显著提升”的学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中高二年级学生的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设学生的认知提升度只受年级与体验时长的影响，且当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等，当“体验时长”时，高一学生“认知度显著提升”的概率为；高三学生“认知度显著提升”的概率为，判断，的大小关系．（结论无需证明） 【解答】解：（1）设该学生为高二年级学生且体验时长为事件， 则事件总数（A），； （2）“认知度显著提升”的学生共有人，其中高二年级有50人，所占比例为， 的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 ； （3）； 设当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等且为， 则①，②， 得，， ， 即． 16．（2025秋•西城区校级期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． （1）若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： （2）若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 【解答】解：（1）随机变量的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， ， 因此随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望； （2）由题恰好摸5次停止的事件是前4次摸到红球2次，第5次摸到红球， 因此恰好摸5次停止的概率为． 17．（2025秋•石景山区期末）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况： 日期 步数 职工 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 职工甲 8566 19891 16820 5207 13022 11860 15524 职工乙 11845 10577 9780 4872 17022 9655 12396 （Ⅰ）从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率； （Ⅱ）从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在9月1日至9月7日中，职工甲和职工乙步数都不低于10000的有3天， 则要求概率； （Ⅱ）根据题意，可取的值为0、1、2， 在9月1日至9月7日中，职工甲步数小于职工乙步数的有2天，职工甲步数大于职工乙步数的有5天， 则， ， ， 则的分布列为 0 1 2 其期望； （Ⅲ）根据题意，从第4天开始，职工乙连续三天的步数的波动最大，其方差最大． 18．（2025秋•昌平区期末）某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到排队的概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． （1）求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率； （2）设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为（单位：分钟），求的分布列及数学期望． 【解答】解：（1）设事件为这名学生首次遇到排队发生在第3个打卡点， ； （2）由题易知，离散型随机变量的所有取值为0，20，40，60，（单位：分）， ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 20 40 60 将表格数据代入期望公式可得． ( 考点0 3 二项分布的最值 ) 19．（2022春•通州区期末）若，则取得最大值时，（　　） A．4 B．5 C．6 D．5或6 【解答】解：因为，所以， 由组合数的性质可知，当时，最大，此时取得最大值． 故选：． 20．（2025春•通州区期末）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球．若不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为 　　 ；某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中有放回地随机摸取10次，若其中恰有次摸到白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为 　　 ． 【解答】解：盒子中有大小与质地均相同的20个小球， 其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球， 根据题意，设事件为“第一次摸到白球”，事件为“第二次摸到白球”， 则，． 不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为： ． 根据题意可知参与者获奖的可能性为： ． 由于， ；， ；， ；， ；， ，可以看出最大． ， 要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为． 故答案为：①；②2． ( 考点0 4 超几何分布的概率 ) 21．（2025春•通州区期末）已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为，则（　　） A． B． C． D．1 【解答】表示选出的4个代表中有3个男生1个女生， 则． 故选：． ( 考点0 5 超几何分布的均值和方差 ) 22．（2025秋•西城区期末）大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为统一体，形成气溶胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子．科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采集到24份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下： 甲地空气带菌粒子统计表 观测点 粒数中值直径 4.6 5.6 5.6 6.5 6.9 6.8 6.4 5.8 4.5 6.0 4.2 4.4 4.2 6.0 7.1 4.6 2.5 2.0 3.0 3.0 2.3 3.8 4.1 2.8 六级空气微生物采样器 级数 Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 采集范围 假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率． （Ⅰ）根据上述数据，若在甲地空气中随机采集1份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为Ⅱ级的概率； （Ⅱ）在点采集的带菌粒子中随机选出1份，在点采集的带菌粒子中随机选出2份，记这3份中粒数中值直径为Ⅲ级的份数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）为研究带菌粒子的生物特征，计划在点再采集份带菌粒子．记这份带菌粒子中有份的粒数中值直径为Ⅲ级的概率为．试给出的一个值，使得（6）为，（1），（2），，中的最大值．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）观测点的粒数中值直径为Ⅱ级的有：5.6，5.6，6.5，6.9，6.8，6.4，5.8，6.0，共8份， 观测点的粒数中值直径为Ⅱ级的有：6.0，共1份， 观测点采集的带菌粒子中没有粒数中值直径为Ⅱ级的带菌粒子， 所以在甲地采集的带菌粒子中有份是粒数中值直径为Ⅱ级的带菌粒子， 用频率估计概率可知，在甲地空气中随机采集1份带菌粒子，其粒数中值直径为Ⅱ级的概率为； （Ⅱ）观测点的粒数中值直径为Ⅲ级的有：4.6，4.5，4.2，4.4，共4份， 观测点的粒数中值直径为Ⅲ级的有：4.2，4.6，共2份， 由题意可知，可取0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （Ⅲ）可取，理由如下： 观测点采集的带菌粒子中粒数中值直径为Ⅲ级有：3.8，4.1，共2份， 用频率估计概率可知，在观测点随机采集1份带菌粒子，其粒数中值直径为Ⅲ级的概率为， 因为， 要使得（6）为，（1），（2），，中的最大值，则一定有， 所以， 所以，所以，化简可得，解得， 不妨取，此时， 所以，且， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 由上可知，（1）（2）（6）（7），所以（6）是最大值，故满足条件． 23．（2025秋•朝阳区期末）某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （Ⅰ）当时，在这100家公司中， 从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； 从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为，设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）当时，可得性能评分不低于80分的公司有家， 其中行业评级为5级的公司有10家， 所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为． 由记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则的可能取值为0，1，2， 可得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以期望为． （Ⅱ）由题意，可得，可得， 所有公司的行业评级总和为， 所以，其取值范围为，， 该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率， 则两家的评级都为2级的概率为，此时， 两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为，平均级别为； 两家的评级都为5级的概率为，平均级别为， 因为，当且仅当时，满足，此时， 又因为且，当且仅当或，满足， 此时， 所以． 24．（2025春•石景山区期末）某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照，，，，，，，，，，，，，分组，绘制成评分频率分布直方图，如图： （Ⅰ）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数； （Ⅱ）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值和评分的中位数的大小关系．（结论不要求证明） 【解答】解：（Ⅰ）因为不低于80分的学生的频率为， 又不低于80分的学生有9人， 所以此次抽取的学生人数为； （Ⅱ）因为，与，的频率之比为， 所以，与，的人数分别为6，3， 所以，3，， 所以的分布列为，，1，2，3， 所以的期望为； （Ⅲ）因为频率分布直方图向左拖尾， 所以测试评分的均值小于评分的中位数． 25．（2025春•朝阳区期末）某鸟禽馆有，，三类鸟，该馆计划为这些鸟建立生态园．为了合理规划，该馆先建设一个小型试验园，包括浆果植物区、昆虫丰富区和水体区，在馆内随机抽取100只鸟放置在小型试验园中进行观察，在某一时刻这些鸟的分布情况见下表： 浆果植物区 昆虫丰富区 水体区 类 30只 2只 18只 类 2只 6只 2只 类 5只 2只 33只 用频率估计概率． （1）从该馆内随机抽取1只鸟，估计这只鸟是类鸟的概率； （2）此刻从小型试验园的昆虫丰富区随机抽取3只鸟，设为其中类鸟的只数，求的分布列和数学期望； （3）为了解该馆内这三类鸟的生存状况，现从馆内随机抽取只鸟进行健康检查，要求其中至少有1只类鸟的概率大于0.5，根据表中数据，写出的最小值．（只需写出结论，参考数据：， 【解答】解：（1）根据题意可知：100只鸟中类鸟的只数为， 所以从该馆内随机抽取1只鸟，这只鸟是类鸟的概率估计为； （2）根据题意可知，2，， 所以的分布列为，，1，2， 所以； （3）的最小值为7．理由如下： 由表格中数据知，随机抽取的100只鸟中类鸟有10只，非类鸟有90只， 故可以估计该馆内随机抽到已知类鸟的概率为，非类鸟的概率为， 则抽到的只鸟都为非类鸟的概率为，， 此时至少有1只类鸟的概率为，即， 则， 两边取对数可得，即， 代入，，则， 则当，故， 所以当至少有1只类鸟的概率大于0.5时，的最小值为7． ( 考点0 6 正态曲线的性质 ) 26．（2024春•城关区校级期末）设两个正态分布，和，的密度曲线如图所示，则有　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小， 故选：． 27．（2020春•东城区期末）设两个正态分布，和，的密度曲线如图所示，则有　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：因为，的密度曲线的对称轴在，的密度曲线的对称轴左侧，故， 因为，的密度曲线比，的密度曲线更瘦长，故，的数据比，的数据更集中， ， 故选：． 28．（2022春•大兴区期末）已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：由图可得，，图象越“瘦高”，则方差越小，即． 故选：． ( 考点0 7 正态分布的概率计算 ) 29．（2023春•通州区期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【解答】解：随机变量服从正态分布，且， 则， ． 故选：． 30．（2025秋•西城区校级期末）已知随机变量，且，则的值为（　　） A． B．0.4 C． D． 【解答】解：由题可得：对称轴为， 所以，即． 故选：． 31．（2020秋•海淀区校级期末）若，则，，已知，，则（　　） A．0.4077 B．0.2718 C．0.1359 D．0.0453 【解答】解：若，则正态分布曲线的对称轴为， 又，， ． 故选：． 32．（2025春•通州区期末）随机变量服从正态分布，，则（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解答】解：根据题意可知，． 故选：． 33．（2025秋•昌平区校级期末）随机变量服从正态分布．若，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【解答】解：因为， 所以． 故选：． 34．（2023春•大兴区期末）设随机变量服从正态分布，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据对称性可知，随机变量服从正态分布，则． 故选：． 35．（2022春•大兴区校级期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（　　） A．0.477 B．0.682 C．0.954 D．0.977 【解答】解：因为随机变量服从正态分布，， 则． 故选：． 36．（2022春•海淀区期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【解答】解：随机变量服从正态分布，且， ． 故选：． ( 考点0 8 根据正态分布的对称性求参 ) 37．（2022春•密云区期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（　　） A．0 B．2 C． D． 【解答】解：， ， 随机变量服从正态分布， ，解得． 故选：． 38．（2021春•朝阳区期末）设随机变量服从正态分布，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：因为随机变量服从正态分布， 所以这组数据对应的正态曲线的对称轴为， 因为，， 则， 所以对称轴． 故选：． ( 考点0 9 正态分布的实际应用 ) 39．（2024春•通州区期末）某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，，则成绩位于，的人数大约是 　　． （参考数据， 【解答】解：因为数学成绩服从正态分布， 所以， 所以成绩位于，的人数大约是． 故答案为：1365． 40．（2024春•石家庄期末）正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．假设随机变量，可以证明，对给定的，是一个只与有关的定值，部分结果如图所示： 通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布，．若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为（　　） A．341 B．477 C．498 D．683 【解答】解：基本服从正态分布，，则，， 则，符合原则， 则， 则1000名考生成绩在的考生人数大约为：． 故选：． 41．（2021春•海淀区校级期末）中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名．则参赛的学生总数约为（　　） （参考数据：，， A．208 B．206 C．204 D．202 【解答】设参赛学生的成绩为，，，， 则 ， （人． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二项分布、超几何分布和正态分布 高频考点概览 考点 01 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 考点 02 二项分布的均值和方差 考点 03 二项分布的最值 考点 04 超几何分布的概率 考点 05 超几何分布的均值和方差 考点 06 正态曲线的性质 考点 07 正态分布的概率计算 考点 08 根据正态分布的对称性求参 考点 09 正态分布的实际应用 考点01 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 1．（2025春•平谷区期末）某射手每次射击击中目标的概率均为，比赛中该射手连续射击3次，则该射手恰好击中目标2次的概率为 　　 ． 2．（2023秋•昌平区期末）某气象台天气预报的准确率为，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•怀柔区期末）某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2022春•西城区期末）将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（2022春•房山区期末）商场举行抽奖活动，已知中奖率为，现有3位顾客抽奖，则恰有1位中奖的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•昌平区校级期末）某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了7次球，则恰有5次投中的概率为（　　） A． B． C． D． 7．（2021春•东城区校级期末）某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（2022秋•东城区期末）某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为 　　；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为 　　． 9．（2025春•朝阳区期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，设为该运动员连续射击3次的中靶次数，则 　　 ． 考点02 二项分布的均值和方差 10．（2025春•大兴区期末）已知随机变量服从二项分布，，则的数学期望是（　　） A． B．1 C．2 D． 11．（2024春•大兴区期末）设随机变量，则　　． 12．（2025春•北京校级期末）一家制造厂有条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立．每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率（即漏检率）为，“次品”被误检测为“良品”的概率（即误接受率）为．被检测为“良品”的产品出货，否则报废．则该制造厂每天出货的产品件数平均为（　　） A． B． C． D． 13．（2022春•大兴区校级期末）已知，则（　　） A．2 B． C． D． 14．（2020春•东城区期末）已知随机变量服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数，的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 15．（2025秋•顺义区期末）某高中举办“京剧脸谱体验展”，通过增强现实技术让学生沉浸式感受京剧文化魅力．为了解全校学生的体验效果，研究团队在三个不同年级中各随机抽取100人作为样本，统计其体验时长，并通过问卷方式调查认知度提升效果．已知体验时长（单位：分钟）分为三段，，，各段人数及认知度显著提升人数如下表： 人数年级 体验时长 体验时长 体验时长 认知度 显著提升 高一年级 55人 30人 15人 70人 高二年级 40人 45人 15人 50人 高三年级 25人 30人 45人 30人 假设三个年级人数相同，以频率估计概率． （1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生为高二年级学生且体验时长的概率； （2）从全校所有“认知度显著提升”的学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中高二年级学生的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设学生的认知提升度只受年级与体验时长的影响，且当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等，当“体验时长”时，高一学生“认知度显著提升”的概率为；高三学生“认知度显著提升”的概率为，判断，的大小关系．（结论无需证明） 16．（2025秋•西城区校级期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． （1）若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： （2）若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 17．（2025秋•石景山区期末）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况： 日期 步数 职工 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 职工甲 8566 19891 16820 5207 13022 11860 15524 职工乙 11845 10577 9780 4872 17022 9655 12396 （Ⅰ）从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率； （Ⅱ）从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？（结论不要求证明） 在9月1日至9月7日中，职工甲步数小于职工乙步数的有2天，职工甲步数大于职工乙步数的有5天， （Ⅲ）根据题意，从第4天开始，职工乙连续三天的步数的波动最大，其方差最大． 18．（2025秋•昌平区期末）某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到排队的概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． （1）求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率； （2）设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为（单位：分钟），求的分布列及数学期望． 考点03 二项分布的最值 19．（2022春•通州区期末）若，则取得最大值时，（　　） A．4 B．5 C．6 D．5或6 20．（2025春•通州区期末）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球5个，其余为黑球，每次随机摸1球．若不放回地摸球，第一次摸到白球，则第二次又摸到白球的概率为 　　 ；某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中有放回地随机摸取10次，若其中恰有次摸到白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大，该同学应该设置摸到白球的次数为 　　 ． 考点04 超几何分布的概率 21．（2025春•通州区期末）已知8名学生中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为，则（　　） A． B． C． D．1 考点05 超几何分布的均值和方差 22．（2025秋•西城区期末）大气中的微生物一般不以单体存在，常附着在大气尘埃上成为统一体，形成气溶胶粒子悬浮在空气中，称为带菌粒子．科研人员采用六级空气微生物采样器在甲地的三个观测点共采集到24份带菌粒子，带菌粒子的粒数中值直径和采样器的采集范围记录如下： 甲地空气带菌粒子统计表 观测点 粒数中值直径 4.6 5.6 5.6 6.5 6.9 6.8 6.4 5.8 4.5 6.0 4.2 4.4 4.2 6.0 7.1 4.6 2.5 2.0 3.0 3.0 2.3 3.8 4.1 2.8 六级空气微生物采样器 级数 Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 采集范围 假设各份数据的采集互不影响，并用频率估计概率． （Ⅰ）根据上述数据，若在甲地空气中随机采集1份带菌粒子，试估计其粒数中值直径为Ⅱ级的概率； （Ⅱ）在点采集的带菌粒子中随机选出1份，在点采集的带菌粒子中随机选出2份，记这3份中粒数中值直径为Ⅲ级的份数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）为研究带菌粒子的生物特征，计划在点再采集份带菌粒子．记这份带菌粒子中有份的粒数中值直径为Ⅲ级的概率为．试给出的一个值，使得（6）为，（1），（2），，中的最大值．（结论不要求证明） 23．（2025秋•朝阳区期末）某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分 行业评级 公司数 5 10 4 3 2 20 1 10 （Ⅰ）当时，在这100家公司中， 从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； 从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望； （Ⅱ）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为，设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明） 24．（2025春•石景山区期末）某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照，，，，，，，，，，，，，分组，绘制成评分频率分布直方图，如图： （Ⅰ）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数； （Ⅱ）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值和评分的中位数的大小关系．（结论不要求证明） 25．（2025春•朝阳区期末）某鸟禽馆有，，三类鸟，该馆计划为这些鸟建立生态园．为了合理规划，该馆先建设一个小型试验园，包括浆果植物区、昆虫丰富区和水体区，在馆内随机抽取100只鸟放置在小型试验园中进行观察，在某一时刻这些鸟的分布情况见下表： 浆果植物区 昆虫丰富区 水体区 类 30只 2只 18只 类 2只 6只 2只 类 5只 2只 33只 用频率估计概率． （1）从该馆内随机抽取1只鸟，估计这只鸟是类鸟的概率； （2）此刻从小型试验园的昆虫丰富区随机抽取3只鸟，设为其中类鸟的只数，求的分布列和数学期望； （3）为了解该馆内这三类鸟的生存状况，现从馆内随机抽取只鸟进行健康检查，要求其中至少有1只类鸟的概率大于0.5，根据表中数据，写出的最小值．（只需写出结论，参考数据：， 考点06 正态曲线的性质 26．（2024春•城关区校级期末）设两个正态分布，和，的密度曲线如图所示，则有　　 A．， B．， C．， D．， 27．（2020春•东城区期末）设两个正态分布，和，的密度曲线如图所示，则有　　 A．， B．， C．， D．， 28．（2022春•大兴区期末）已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（　　） A．， B．， C．， D．， 考点07 正态分布的概率计算 29．（2023春•通州区期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 30．（2025秋•西城区校级期末）已知随机变量，且，则的值为（　　） A． B．0.4 C． D． 31．（2020秋•海淀区校级期末）若，则，，已知，，则（　　） A．0.4077 B．0.2718 C．0.1359 D．0.0453 32．（2025春•通州区期末）随机变量服从正态分布，，则（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 33．（2025秋•昌平区校级期末）随机变量服从正态分布．若，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 34．（2023春•大兴区期末）设随机变量服从正态分布，则（　　） A． B． C． D． 35．（2022春•大兴区校级期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（　　） A．0.477 B．0.682 C．0.954 D．0.977 36．（2022春•海淀区期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 考点08 根据正态分布的对称性求参 37．（2022春•密云区期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（　　） A．0 B．2 C． D． 38．（2021春•朝阳区期末）设随机变量服从正态分布，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 考点09 正态分布的实际应用 39．（2024春•通州区期末）某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，，则成绩位于，的人数大约是 　　． （参考数据， 40．（2024春•石家庄期末）正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．假设随机变量，可以证明，对给定的，是一个只与有关的定值，部分结果如图所示： 通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布，．若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为（　　） A．341 B．477 C．498 D．683 41．（2021春•海淀区校级期末）中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名．则参赛的学生总数约为（　　） （参考数据：，， A．208 B．206 C．204 D．202 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $