第五章 一元函数的导数及其应用概念清单速记表（知识清单，含题型总结和易错提醒）数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学知识清单聚焦“一元函数的导数及其应用”，涵盖变化率、导数概念与几何意义、基本求导法则、函数单调性及极值最值等内容，以概念速记表和高频题型归纳为支架，构建从基础概念到综合应用的学习体系。 清单通过“概念-相关概念”关联呈现知识网络，如将切线斜率与导数、瞬时变化率紧密联系，培养数学思维。设置“易错提醒汇总表”，标注导数定义忽略极限过程等常见错误，设计实际应用题型如利润优化问题，助力学生理解数学语言，教师可据此精准教学，提升学习效率。

第五章 一元函数的导数及其应用概念清单速记表 概念速记表 5.1.1 变化率问题 概念 定义或说明 相关概念 平均变化率 在区间上，函数的平均变化率定义为 割线斜率 瞬时速度 物体在某一时刻的速度，是当时间间隔时平均速度的极限 平均速度、导数 割线 连接曲线上两点的直线 割线斜率、切线 割线斜率 割线的斜率，等于函数在对应区间上的平均变化率 平均变化率、切线斜率 切线 当曲线上一点附近的另一点沿曲线无限趋近于该点时，割线的极限位置 割线、切线斜率 切线斜率 切线的斜率，是当时割线斜率的极限 导数、瞬时变化率 5.1.2 导数的概念及其几何意义 概念 定义或说明 相关概念 导数 设函数在附近有定义，当时的极限存在，则称此极限为函数在处的导数，记作或 瞬时变化率、切线斜率 瞬时变化率 导数的物理意义，描述函数在一点的瞬时变化快慢 导数、瞬时速度 导数的几何意义 函数在点处的导数等于曲线在该点处切线的斜率 切线斜率 5.2.1 基本初等函数的导数 概念 定义或说明 相关概念 基本初等函数的导数 给定基本初等函数的导数公式：1. 常数函数：若，则2. 幂函数：若（，），则3. 正弦函数：若，则4. 余弦函数：若，则5. 指数函数：若（，），则；特别地，，则6. 对数函数：若（，），则；特别地，，则 导数公式、导数运算 5.2.2 导数的四则运算法则 概念 定义或说明 相关概念 导数的四则运算法则 1. 和（差）的导数：2. 积的导数：3. 商的导数：（）4. 常数与函数的积： 导数运算、复合函数 5.2.3 简单复合函数的导数 概念 定义或说明 相关概念 复合函数 设，，则称为由和复合而成的复合函数 复合函数的导数 复合函数的求导法则 设在处可导，在处可导，则复合函数在处可导，且，即 复合函数、导数运算 5.3.1 函数的单调性 概念 定义或说明 相关概念 函数的单调性与导数的关系 在区间内：- 若，则函数单调递增- 若，则函数单调递减 单调区间、导数 稳定点（驻点） 导数为零的点，即满足的点 极值点、单调性 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 概念 定义或说明 相关概念 极值 设函数在点及其附近有定义，如果对于附近的任意，都有（或），则称是函数的一个极小值（或极大值） 极值点、最大（小）值 极值点 函数取得极值的点，包括极大值点和极小值点 极值、稳定点 极值的判定 设函数在点处可导且：- 若在左侧，右侧，则是极大值- 若在左侧，右侧，则是极小值 导数、稳定点 最大值与最小值 在闭区间上连续的函数，其最大值和最小值通过比较该区间内所有极值与端点处的函数值得到 极值、闭区间 高频题型归纳 题型1：平均数的计算 · 例题：甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次/min）如下： 甲组：182, 194, 143, 185, 156 乙组：199, 148, 242, 170, 141 分别计算两组的平均数，并比较哪组成绩更好。 · 易错提醒： 1. 计算平均数时，注意所有数据的和除以数据的个数，不要遗漏数据。 2. 比较两组数据时，如果数据个数不同，不能直接比较总和，必须比较平均数。 1.导数的定义与瞬时变化率 · 题型：利用导数定义求瞬时速度、切线斜率或瞬时变化率。 · 典型问题： · 求物体在某一时刻的瞬时速度（如跳水运动员、自由落体）。 · 求曲线在某点处的切线斜率（如抛物线）。 · 易错提醒： · 忽略极限过程，直接用平均变化率代替瞬时变化率。 · 混淆瞬时速度与平均速度（如 时平均速度为 0，但运动员并非静止）。 · 例题： 求函数在 t = 1s 时的瞬时速度。 解：. 2. 导数的几何意义 · 题型：求曲线的切线方程或分析切线性质。 · 典型问题： · 求曲线 y = f(x))在点处的切线方程。 · 利用切线斜率分析函数变化趋势（如药物浓度变化）。 · 易错提醒： · 切线斜率等于导数值，但切线方程需用点斜式。 · 误认为切线仅与曲线有一个交点（如三次曲线的切线可能与曲线有其他交点）。 · 例题： 求曲线在点 (0, 1) 处的切线方程。 解：，斜率，切线方程为 y = 1. 3. 导数的基本运算 · 题型：利用导数公式和四则运算法则求导。 · 典型问题： · 求基本初等函数（常数、幂函数、指数/对数函数、三角函数）的导数。 · 求和、差、积、商函数的导数（如）。 · 易错提醒： · 积的导数：（易漏 或 。 · 商的导数：（分子顺序易错）。 · 复合函数求导：需用链式法则（如 ）。 · 例题：求 的导数。 解：. 4. 函数的单调性 · 题型：利用导数判断函数单调性或求单调区间。 · 典型问题： · 判断函数 在区间内的单调性（如）。 · 求函数的单调递增/递减区间。 · 易错提醒： · 仅凭的点不能确定单调性，需分析导数符号变化。 · 忽略定义域（如 定义域为）。 · 例题： 求 的单调区间。 解：。 · 当x < -1 或x > 1时，，单调递增； · 当 -1 < x < 1 时，，单调递减。 5. 函数的极值与最值 · 题型：求函数的极值或闭区间上的最值。 · 典型问题： · 求函数 的极值点及极值（如）。 · 求在 [a, b]上的最大值和最小值。 · 易错提醒： · 导数为 0 的点不一定是极值点（如在 x=0 处）。 · 最值需比较端点值与极值（如 在 ([0, 3]) 上，最大值在端点 (x=0)）。 · 例题： 求在 ([0, 3]) 上的最值。 解：极值点：，得（舍去负值）。 端点值：f(0) = 4，f(3) = 19；极值。 最值：最大值 19(x=3)），最小值0.92（ ）。 6. 实际应用问题 · 题型：利用导数解决优化问题（利润最大、成本最小等）。 · 典型问题： · 求容器容积最大时的尺寸（如无盖方盒）。 · 求利润最大时的生产量或价格（如饮料瓶半径）。 · 易错提醒： · 忽略实际约束（如半径 (r > 0)，且不超过最大值）。 · 误将极值点直接当作最值点（需验证端点）。 · 例题： 饮料瓶半径 (r)（单位：cm）的利润函数为（）。求最大利润时的半径。 解：。 · 当0 < r < 2 时，y’ < 0；当 2 < r < 6 时，y’ > 0。 · 极小值在r=2，最大值在端点r=6：分。 7. 导数证明不等式 · 题型：利用导数证明不等式（如）。 · 典型问题： · 证明（）。 · 证明（x > 0）。 · 易错提醒： · 构造函数后，未验证函数在端点或临界点的值。 · 忽略定义域（如 要求x > 0）。 · 例题： 证明：当 x > 0 时，。 解： 设 ，则 （x > 0）。 又 f(0) = 0，故f(x) > 0，即 。 易错提醒汇总 易错点 正确做法 导数定义忽略极限过程 必须计算，而非直接用差商。 切线方程未用点斜式 切线方程为，需明确切点坐标。 积/商导数公式记错 积：；商： 复合函数漏链式法则 对中间变量求导后，需乘以中间变量对自变量的导数（如 ）。 极值点误判 导数为 0 的点需通过导数符号变化判断是否为极值点（如 在 x=0 非极值）。 最值忽略端点 闭区间最值需比较端点值与极值（如在 ([a,b]) 上的最大值可能在 x=a 或 x=b）。 实际问题未考虑约束 变量需满足实际条件（如半径r > 0，且不超过最大值）。 不等式证明未验证端点 构造函数后，需验证在定义域端点或临界点的函数值（如）。 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $