第五章 一元函数的导数及其应用知识清单-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学知识清单系统梳理了一元函数的导数及其应用知识体系。从变化率问题引入导数概念，明确瞬时速度与切线斜率的几何意义，进而掌握基本初等函数导数公式、四则运算法则及复合函数求导，最终应用于函数单调性、极值与最值的研究。 知识链路按“概念—运算—应用”逻辑递进，每个模块配有自主诊断习题。通过具体实例抽象导数本质，培养用数学眼光观察现实世界的能力，习题设计注重概念辨析与逻辑推理，帮助学生用数学思维构建知识框架，提升解决实际问题的数学语言表达能力。

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 1．物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度． 2．（1）一般地，设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度. 如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数，我们就说当无限趋近于0时，的 是，这时就是物体在时刻时的瞬时速度，即瞬时速度. （2）瞬时速度与平均速度的关系：从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于 0 时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度． 3．割线斜率与切线斜率 （1）割线：设，是曲线上任意的两点，记，则割线的斜率是． （2）切线：当点P无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线．曲线在点处的切线的斜率为． （3）切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线．这时，割线的斜率k无限趋近于点处的切线的斜率． 5.1.2 导数的概念及其几何意义 课时1 导数的概念 1．函数的平均变化率 对于函数，设自变量x从变化到，相应地，函数值y就从变化到．这时，x的变化量为，y的变化量为 ，我们把比值叫做函数从到的平均变化率． 2．函数在某点处的导数（瞬时变化率） 如果当Δx→ 0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即＝＝. 3．导函数的定义 从求函数在处导数的过程可以看出，当时，是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，就是x的函数，我们称它为的 导函数 （简称导数）．的导函数记作或，即． 【自主诊断】 1．判断正误 （1）在平均变化率中，因变量的增量为正值. （×） （2）平均变化率就是图象上两点,连线的斜率. （√） （3）函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度. （×） （4）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关. （√） 2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为（     ） A．2.1 B．1.1 C．2 D．0 2.A【解析】故选A． 3．设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝ . 3.2 【解析】f′(1)＝＝＝2. 课时2 导数的几何意义 1．导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的 斜率 ．也就是说，曲线在点处的切线的斜率是 ，则切线的斜率 ，相应地，切线方程为 ． 【自主诊断】 1．判断正误 （1）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率. ( √ ) （2）直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点. ( × ) 2．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2.C 【解析】，所以，即，故曲线在点处的切线方程为，即.故选C. 3．函数f(x)的图象如图所示，则（ ） A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．B．f′(2)>f′(1)>f′(3) C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．D．f′(3)>f′(1)>f′(2) 3.C 【解析】由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1). 5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 （为常数） (α为常数） （a＞0，且a≠1） （a＞0，且a≠1） 对几个常用函数的导数的两点说明： (1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的； (2)以上几个常用函数的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导. 5.2.2 导数的四则运算法则 1.两个函数和的求导法则：； 2.两个函数差的求导法则：； 3.两个函数积的求导法则：（1）； （2）； 4.两个函数商的求导法则：. 5.利用导数运算法则的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【自主诊断】 1．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解】（1）方法一：， ∴； 方法二： ； （2）， ∴； （3） ； （4） ． 5.2.3 简单复合函数的导数 1. 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作． 2. 对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为，即对的导数等于 对的导数与对的导数的乘积 ． 3.求复合函数的导数的步骤 注意：①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导； ③计算结果尽量简洁． 【自主诊断】 1. 判断下列结论是否正确.（请在括号内打“√”或“×”） （1）由函数复合而成． （√） （2）函数是复合函数. （×） （3）函数的导数为. （×） （4）函数的导数是. （×） 2．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解】（1），设，， 则． （2）设，， 则． （3）设，， 则． （4）设，， 则． 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 1. 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， （1）若，则在区间内单调递增； （2）若，则在区间内单调递减； （3）若恒有，则在区间内是 常 函数. 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 2.求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，函数在解集所表示的定义域内单调递增； （4）解不等式，函数在解集所表示的定义域内单调递减. 注意：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开. 3.函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降． 看导函数图象时，主要是看图象在 x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性． 解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象． 【自主诊断】 1．判断正误. （1）函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减. ( × ) （2）函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0. ( × ) 2．函数f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．单调性不确定 D．是奇函数 2.A【解析】∵f′(x)＝2－sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 课时1 函数的极值 1. 一般地，对于函数， （1）若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 小 ， 0 ，而且在点附近的左侧 ，右侧 ，就把 a 叫做函数的极小值点， f(a) 叫做函数的极小值． （2）若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 大 ，= 0 ，而且在点附近的左侧 ，右侧 ，就把 b 叫做函数的极大值点， f(b) 叫做函数的极大值. （3）极小值点与极大值点统称为 极值点 ，极小值与极大值统称为 极值 . 注意：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 2．求函数的极值的方法 解方程，当时， （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是 极大值 ； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是 极小值 ． 3．求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； x 左侧 右侧 极大值 （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． x 左侧 右侧 极小值 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 课时2 函数的最大（小）值 1． 对于函数，给定区间， ①若对任意，存在，使得 ≥ ，则称为函数在区间上的最小值； ②若对任意，存在，使得 ≤ ，则称为函数在区间上的最大值． 理解：（1）如果在区间上函数的图象是一条 连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值 唯一 . 2．求在区间上的最大（小）值的步骤： （1）求函数在区间上的 极值 ； （2）将函数的 各极值 与端点处的函数值 f(a), f(b) 比较，其中 最大 的一个是最大值， 最小 的一个是最小值. 注意：（1）若函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点. （2）求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值. 【自主诊断】 1．求下列函数的最值： (1)； (2). 【解】（1）因为， 所以，令，解得或. 当时，变化如下表. 3 0 0 8 极大值 极小值 18 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值18. （2）因为，， 令，又，解得或. 0 0 0 + 0 所以当时，有最小值，；当时，有最大值，. 导数学案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 1．物体在 的速度称为瞬时速度． 2．（1）一般地，设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度 . 如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数，我们就说当无限趋近于0时，的 是，这时就是物体在时刻时的 ，即瞬时速度 . （2）瞬时速度与平均速度的关系：从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于 时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度． 3．割线斜率与切线斜率 （1）割线：设，是曲线上任意的两点，记，则割线的斜率是 ． （2）切线：当点P无限趋近于点 时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的 ．曲线在点处的切线的斜率为 ． （3）切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线．这时，割线的斜率k无限趋近于点处的切线的斜率． 5.1.2 导数的概念及其几何意义 课时1 导数的概念 1．函数的平均变化率 对于函数，设自变量x从变化到，相应地，函数值y就从变化到．这时，x的变化量为，y的变化量为 ，我们把比值 叫做函数从到的平均变化率． 2．函数在某点处的导数（瞬时变化率） 如果当Δx→ 时，平均变化率无限趋近于一个 ，即 ，则称在处 ，并把这个确定的值叫做在处的 （也称为 ），记作或，即＝ ＝ . 3．导函数的定义 从求函数在处导数的过程可以看出，当时，是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，就是x的函数，我们称它为的 （简称导数）．的导函数记作或，即 ． 【自主诊断】 1．判断正误 （1）在平均变化率中，因变量的增量为正值. （ ） （2）平均变化率就是图象上两点,连线的斜率. （ ） （3）函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度. （ ） （4）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关. （ ） 2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为 （     ） A．2.1 B．1.1 C．2 D．0 3．设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝ . 课时2 导数的几何意义 1．导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的 ．也就是说，曲线在点处的切线的斜率是 ，则切线的斜率 ，相应地，切线方程为 ． 【自主诊断】 1．判断正误 （1）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率. ( ) （2）直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点. ( ) 2．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．函数f(x)的图象如图所示，则（ ） A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．B．f′(2)>f′(1)>f′(3) C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．D．f′(3)>f′(1)>f′(2) 5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 （为常数） (α为常数） （a＞0，且a≠1） （a＞0，且a≠1） 对几个常用函数的导数的两点说明： (1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的； (2)以上几个常用函数的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导. 5.2.2 导数的四则运算法则 1.两个函数和的求导法则：； 2.两个函数差的求导法则：； 3.两个函数积的求导法则：（1）； （2）； 4.两个函数商的求导法则：. 5.利用导数运算法则的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【自主诊断】 1．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 5.2.3 简单复合函数的导数 1. 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数和的 函数，记作 ． 2. 对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为 ，即对的导数等于 ． 3.求复合函数的导数的步骤 注意：①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导； ③计算结果尽量简洁． 【自主诊断】 1. 判断下列结论是否正确.（请在括号内打“√”或“×”） （1）由函数复合而成． （ ） （2）函数是复合函数. （ ） （3）函数的导数为. （ ） （4）函数的导数是. （ ） 2．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 1. 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， （1）若，则在区间内 ； （2）若，则在区间内 ； （3）若恒有，则在区间内是 函数. 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“ 优先”原则. 2.求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，函数在解集所表示的定义域内 ； （4）解不等式，函数在解集所表示的定义域内 . 注意：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开. 3.函数图象的单调性可以通过导数的 来分析判断，即符号为正，图象 ；符号为负，图象 ． 看导函数图象时，主要是看图象在 轴上方还是下方，即关心导数值的 ，而不是其单调性． 解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象． 【自主诊断】 1．判断正误. （1）函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减. ( ) （2）函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0. ( ) 2．函数f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．单调性不确定 D．是奇函数 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 课时1 函数的极值 1. 一般地，对于函数， （1）若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ，而且在点附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数的极小值点， 叫做函数的极小值． （2）若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ，= ，而且在点附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数的极大值点， 叫做函数的极大值. （3）极小值点与极大值点统称为 ，极小值与极大值统称为 . 注意：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 2．求函数的极值的方法 解方程，当时， （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是 ； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是 ． 3．求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； x 左侧 右侧 （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． x 左侧 右侧 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 课时2 函数的最大（小）值 1． 对于函数，给定区间， ①若对任意，存在，使得 ，则称为函数在区间上的最小值； ②若对任意，存在，使得 ，则称为函数在区间上的最大值． 理解：（1）如果在区间上函数的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值 . 2．求在区间上的最大（小）值的步骤： （1）求函数在区间上的 ； （2）将函数的 与端点处的函数值 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值. 注意：（1）若函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点. （2）求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值. 【自主诊断】 1．求下列函数的最值： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司 $