第五章 一元函数的导数及其应用（复习讲义）数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用（复习讲义） 1、导数概念及其意义 ①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景, 知道导数是关于瞬时变化率的数学表达, 体会导数的内涵与思想。 ②体会极限思想。 ③通过函数图象直观理解导数的几何意义。 2、导数运算 ①能根据导数定义求函数 , 的导数。 ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则， 求简单函数的导数; 能求简单的复合函数 (限于形如 ) 的导数。 ③会使用导数公式表。 3、导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性; 对于多项式函数, 能求不超过三次的多项式函数的单调区间。 ②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大 (小) 值、最大 (小) 值；对于多项式函数, 能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大 (小) 值; 体会导数在研究单调性、极大 (小) 值、最大 (小) 值中的作用。 知识点01导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的　斜率　，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）. 知识点02基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝　0　 f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝　αxα－1　 f（x）＝sin x f'（x）＝　cos x　 f（x）＝cos x f'（x）＝　－sin x　 基本初等函数 导数 f（x）＝ex f'（x）＝　ex　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　axln a　 f（x）＝ln x f'（x）＝　　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　 知识点03导数的运算法则 （1）[f（x）±g（x）]'＝　f'（x）±g'（x）　； （2）[f（x）g（x）]'＝　f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　； （3）［］'＝　　（g（x）≠0）. 知识点04函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）上　单调递增　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）上　单调递减　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）上是　常数函数　 知识点05函数的极值与导数 条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f'（x）　＞　0，右侧f'（x）　＜　0 x0附近的左侧f'（x）　＜　0，右侧f'（x）　＞　0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f（x0）为极　大　值 f（x0）为极　小　值 极值点 x0为极　大　值点 x0为极　小　值点 知识点06函数的最值与导数 （1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条　连续不断　的曲线，那么它必有最大值和最小值； （2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的　最小值　，f（b）为函数的　最大值　；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的　最大值　，f（b）为函数的　最小值　. 题型一 导数的计算 【例1】下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项. 【详解】，则，故A正确； ，则，故错误； ，则 ，故C正确； ，则，故D错误． 故选：AC 【变式1-1】下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用导数的运算法则计算并判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 【变式1-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】由基本初等函数的导数公式结合复合函数的求导法则逐项计算即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5）. 【变式1-3】求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【分析】（1）根据导函数的基本公式和加法法则求解即可． （2）根据导函数的基本公式和复合函数求导法则求解即可. （3）方法一：根据乘法法则求解即可；方法二：先化简函数，再根据导数运算法则求解即可. （4）结合导数运算法则，根据复合函数求导法则求解即可. 【详解】（1）由得． （2） ． （3）方法一： ． 方法二：因为 ， 所以 ． （4）令， 则 ， 所以 ． 题型二 导数的几何意义 【例2】曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进行求解即可. 【详解】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 【变式2-1】已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题图可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B. 【变式2-2】若直线与函数的图象相切，则 ． 【答案】 【分析】设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线与曲线相切，从而可得切点坐标，代入，可求得的值． 【详解】设直线与函数图象的切点为， ， ， ，， ， ，又在直线上， ，． 故答案为：． 【变式2-3】写出与曲线和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或 【分析】分别设出切线与两曲线的切点，根据导数的几何意义列方程，解方程可得答案. 【详解】设切线 与 在点 处相切， 则：， 将 代入第一个方程：， 设切线 与 在点 处相切， 则：， 将 代入第一个方程： ， 联立， （1）与（2）联立得：， 再把（3）式两边取对数得：， 代入到（4），得： ， 解得：或， 再分别代入到（1）和（3）中， 得：或. 故答案为：或 题型三 利用导数研究函数的单调性 【例3】函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再分析各项中的的符号，进而即可得到答案． 【详解】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 【变式3-1】函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】对函数求导，应用导数的区间符号判断函数的单调区间. 【详解】由，，则， 所以，则时，，时，， 所以时，，时，， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 【变式3-2】已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-3】已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得，即可求得在上的单调增区间，再由函数的奇偶性即可得到在上的单调增区间，即可得到结果. 【详解】因为时，则， 又，则，即， 所以， 令，即，即， 又，则，解得， 令，即，即， 即，解得， 所以在单调递增， 又为奇函数， 当时，在单调递增， 所以的单调增区间为. 故答案为： 题型四 利用导数研究函数的极值 【例4】已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设得有变号零点，再等价转化为有两个不同的实数根即可求解. 【详解】由题可得有变号零点， 有两个不同的实数根， 所以或. 所以满足题意的a的取值范围是. 故选：C 【变式4-1】若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用导数讨论的单调性及极值情况，即可求得的值. 【详解】， 当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以. 所以为的极大值点，或为的极大值点. 因为，所以不是的极大值点， 为的极大值点，且，， 解得. 故选:C. 【变式4-2】已知是函数的极大值点，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导，令，求解，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】， 令，得或， ①当，即时，则当时，， 当或时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； ②当，即时，则， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时，则当时，， 当或时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上：的取值范围是. 【变式4-3】若函数有且仅有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为与图象有两个不同的交点，利用导数求出的单调性，画出图象即可. 【详解】， 因函数有且仅有2个极值点，则有两个变号零点， 则与图象有两个不同的交点， 因， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，；时，， 则的图象如图：    结合图象知，，即， 故实数的取值范围是. 故答案为： 题型五 利用导数研究函数的最值 【例5】函数的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / 【分析】先求解出，然后分析出的单调性，根据单调性以及区间端点处的函数值可求解出在上的最大值和最小值. 【详解】因为，令，解得或(舍)， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 又因为，， 所以， 故答案为：；. 【变式5-1】若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值与最值结合隐零点计算即可. 【详解】易知的定义域为， 不难发现在区间内单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一使得，即， 所以当时，；当时，． 所以在区间上单调递减，在区间内单调递增， 所以的最小值为， 所以，所以，解得. 故选：B 【变式5-2】已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，然后分类讨论利用导函数与函数单调性的关系结合条件即得. 【详解】由得， 当时，在上单调递增，的最小值为，不符题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，解得. 故选：A. 【变式5-3】函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，结合导数与函数最值的关系，即可求得答案. 【详解】设，得， 当时，，即在上单调递减， 此时； 当时，令，即，解得； 令，即，解得； 故在上单调递减，在上单调递增， 结合在上单调递减且，可知在上单调递减，在上单调递增， 故时，取到最小值， 故函数的最小值为， 故答案为： 题型六 利用导数证明不等式 【例6】证明下列不等式： (1)ex＞1＋x，(x≠0)； (2)ln x＜x＜ex，(x＞0). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造，利用导数研究的单调性并确定最小值，即可证明； （2）构造、，利用导数研究它们在上的单调性，即可证结论. 【详解】（1）由题意，等价于，令， 所以，，而， 所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增； 故在上恒成立，即， 所以，，(). （2）由题设，等价于，等价于， 令，则，而， 所以，当时，，在上单调递减；当时，，在单调递增； 故在上恒成立，即， 所以，当时，， 令，则，而， 所以，当时，，在单i调递增， 故在上恒成立，即， 所以，当时，， 综上，，(). 【变式6-1】（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 【答案】（1）递增区间为，无递减区间；（2）证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可得解； （2）由，得，则要证，只需证明，令，构造函数，求出函数的最小值即可得证. 【详解】（1）， 求导得， 由，得， 令函数，则， 函数在上单调递增， 则当时，，即， 因此函数在上单调递增， 所以函数在上的递增区间为，无递减区间； （2）由，得， 则要证，只需证明， 令，即证， 令，求导得， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 又， 则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则， 所以当时，. 【变式6-2】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 【答案】(1) (2)详情见解析 【分析】（1）求出函数的导数 ，利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）判断函数的单调性，可得函数的最大值为，从而得证. 【详解】（1）当 时， ， 函数求导得则 故曲线 在点 处的切线方程为 , 整理得 ． （2）注意到 时， ， 故 ，故 单调递增； 时， 单调递减． 所以函数的最大值为. 故 ． 【变式6-3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)证明见解析 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）当时，要证，即证，构造函数，其中，利用导数法证明出即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 所以函数的增区间为，无减区间. （2）当时，要证，即证， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，则，即， 故原不等式得证. 题型七 利用导数研究不等式恒成立问题 【例7】已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值为1，没有极小值 (2) 【分析】（1）求导，即可得函数的单调性，进而可求解极值， （2）就的符号分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意可知的定义域为R，且， 令时，， 则的关系为 0 ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，取到极大值为1，没有极小值． （2）若，即恒成立， 设，则， ①当时，则恒成立，符合题意； ②当时，则，可知在上单调递增， 因为，所以不恒成立； 当 时，的关系为 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 可知的最小值为，则， 因为，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是 【变式7-1】已知函数，. (1)若，求的图象在x=1处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数来求函数在某点处的切线即可； （2）利用同构思想，结合单调性转化研究不等式恒成立，从而利用分离参变量法来求参数范围即可. 【详解】（1）由题意得，则， 所以，， 即的图象在x=1处的切线方程为. （2）可化为，即， 令，则，故在上单调递增， 由等价于，根据单调递增可得， 即，令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即，所以的取值范围为. 【变式7-2】已知函数，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出斜率即可； （2）分离参数后，利用导数求出函数的最值即可得解. 【详解】（1）由题意得，.，， ∴函数在点处的切线方程为； （2）， ∴代入得，，， 设，，令解得， ∴可得函数在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的最大值为，，解得． ∴综上，的取值范围为． 【变式7-3】已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，即可得出所求切线的方程； （2）求得，分、两种情况讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）由参变量分离可得，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为； 当时，由可得，由可得， 此时函数的单调递增区间为，单调减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为. （3）对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 题型八 利用导数研究函数的零点（方程的根） 【例8】已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题等价于有两个相等的实数根，构造函数，由导数求解单调性，即可求解. 【详解】关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有两个不相等的实数根， 令，则 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 又，且时，， 所以，故实数的取值范围为. 故答案为： 【变式8-1】已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，作出图象，令，，由数形结合即可求解. 【详解】． 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值． 作出函数的图象如图，    令，则方程，化成， 即，解得或， 显然有1个实数解，应该有2个实数解， ，实数的取值范围为． 故答案为：. 【变式8-2】已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，判断其单调性，作出其大致图象，数形结合，将关于的方程有三个不等的实根转化为有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内，结合二次方程根的分布，求得答案. 【详解】由题意得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则， 又时，，时，， 可知函数的图象如下图所示， 令，，由方程有三个不等的实根， 即有两个不等的实根， 即有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内， 令，， 则有两个不等的实根，设为， 则，所以不妨令， 则，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式8-3】若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】变形给定方程可得，构造函数数形结合求出的范围. 【详解】方程化为， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ，因此原方程等价于，令， 依题意，方程在内有两个不同的实数解， 即直线与函数在上的图象有两个交点， 而函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，于是， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型九 导数的实际应用 【例9】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据给定函数模型写出解析式. （2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值. 【详解】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 【变式9-1】某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 【答案】(1)，其中 (2)100件 【分析】（1）根据题意分别写出当与时的函数解析式即可； （2）利用二次函数求最值与基本不等式求最值分析即可得出. 【详解】（1）当时， ； 当时， ， 所以，其中. （2）当时， 当时，取得最大值900万元； 当时， ， 当且仅当，即时， 取得最大值950万元， 所以当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950万元 【变式9-2】某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） (1)求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【答案】(1)答案见解析； (2)10万件. 【分析】（1）根据年利润的计算公式，结合已知条件求出年利润关于年产量的函数解析式； （2）分别讨论不同区间内函数的最大值，进而得出年利润最大时的年产量. 【详解】（1）由 题当时，该企业生产该电子产品年利润为万元， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，，则； 综上，； （2）当时，对求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递增， 则当时，取得最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当，即时等号成立， 综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件. 【变式9-3】某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元. (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的. 【答案】(1)，定义域为 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意，利用体积公式求出和的关系，然后求解建造费用，化简即可得到关于的函数表达式，结合实际意义求解定义域即可； （2）利用导数，判断函数的单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案. 【详解】（1）设容器的容积为，由题意知， 故，由于， 因此，整理得， 所以建造费用. 因此，定义域为. （2）由（1）得， 由于，所以， 当时，. 令，则， 所以. ①当，即时，当时，； 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，也是最小值点. ②当，即时， 当时，，函数在上单调递减， 所以是函数的最小值点. 综上所述，当，建造费用最小时； 当，建造费用最小时. 基础巩固通关测 一、单选题 1、下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB：根据基本初等函数的导函数运算求解；对于CD：根据复合函数的导函数运算求解. 【详解】对于选项A：若，则，故A错误； 对于选项B：若，则，故B错误； 对于选项C：若，则，故C正确； 对于选项D：若，则，故D错误； 故选：C. 2、曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导函数，再点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 3、已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（    ）    A． B． C．在处取得最小值 D．在处取得极大值 【答案】A 【分析】根据导函数的图像可知原函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据图象可知：当或时，， ，故在处取得极大值，在处取得极小值，因此，故BCD错误， 由于函数在单调递减，故，A正确， 故选：A 4、函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【详解】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 5、下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【详解】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D 6、若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等价转化为在上恒成立，计算即可. 【详解】由题可知：函数在上单调递减，则在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立，所以. 故选：A 7、已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【答案】A 【分析】对求导，令，，求出的单调性，即可求出的极值. 【详解】，令，解得， ，，单调递增；，，单调递减， 因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 故选：A. 8、已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 【答案】B 【分析】根据极值点的定义得到，然后用导数研究原函数的单调性判断即可. 【详解】由，所以， 由题可知：， 当时，， 令，则；令，则或. 所以函数在单调递增，在单调递减. 对A，所以在处取得极小值，，错误； 对B，，所以，正确； 对C，当时，，所以错误； 对D，是函数的极大值点，错误； 故选：B 二、多选题 9、已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系，极值点的定义及导数的几何意义判断选项正误． 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 10、已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 【答案】AB 【分析】先求出，再利用判别式判断得到其正负，进而判断A，先求出，再结合的单调性判断B，证明判断C，利用是增函数得到其无极值判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 而，则，即是增函数，故A正确， 对于B，由题意得，结合已知得是增函数， 则有且仅有1个零点，故B正确， 对于C，因为， 所以，即， 可得的图象不关于原点对称，故C错误， 对于D，因为是增函数，所以无极值，故D错误. 故选：AB 11、已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B． C．的最大值为 D．有唯一零点 【答案】ABD 【分析】求导判断函数的单调性可知A；利用结合函数单调性可知B；由单调性可知C；判断与特点可知D. 【详解】由，得，当时，在上单调递增，A正确． 当时，在上单调递减，所以， 因为，所以，B正确． 易得在处取得最大值，最大值为，C错误． 令0，得，函数与函数两函数的图象有唯一交点，所以有唯一零点，D正确． 故选：ABD 三、填空题 12、函数在上的最小值为 . 【答案】 【分析】通过求导，推出函数在给定区间上的单调性，即可求得其最小值. 【详解】由求导得：， 因，由可得，由可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值，也是最小值，为. 故答案为：. 13、已知，恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分离参数得，令，，利用导数求出的最小值，得解. 【详解】由条件，可得，令，， 则， 故在单调上递增，即的最小值为，则. 故答案为：. 14、若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【分析】先利用导数来求函数在点处的切线，再利用直线与二次曲线相切，则判别式等于0，即可求出参数的取值. 【详解】求导得：，当时， ， 所以在点处的切线方程为：， 又由切线也是曲线的切线， 则消得，， 由， 故答案为：. 四、解答题 15、已知是函数的导函数，且． (1)求； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）求导，通过赋值即可求出，进而可求的值； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与两坐标轴的交点即可求出三角形面积. 【详解】（1）由题可知， 令，则，解得． 因为，所以． （2）由（1）可知，， 则所求的切线方程为，即 ， 所以该切线与坐标轴的交点为和， 则所求三角形的面积为． 16、已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 17、已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，即方程， 解得 （2）由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 18、已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间，，单调递减区间. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. 【详解】（1）因为，所以. 又 ，所以. 所以在处的切线方程为：即. （2）因为. 由 或；由 . 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 19、已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 【答案】(1)2 (2)极小值为，无极大值. 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【详解】（1）因为，. 所以，. 由题意 . （2）因为，. 所以，. 由 ；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 能力提升进阶练 一、单选题 1、若函数的极大值点与其一个零点重合，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出函数地零点，再求出导数，并由在各零点处的导数值为0求出，然后验证即可. 【详解】依题意，函数的零点为， 求导得， 当为极大值点时，，解得或； 当为极大值点时，，解得； 当为极大值点时，，解得， 若，，当或时，； 当时，，则为极大值点，符合题意，， 若，，当或时，； 当时，，则为极小值点，不符合题意， 所以. 故选：B 2、若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（   ） A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】由已知不等式变形得出，分、、三种情况讨论，解不等式，结合恒成立可求出的取值范围. 【详解】因为，，不等式， 令，求导得，当且仅当取等号，在上递增， 当时，，恒成立，则； 当时，，由，得或，此时或； 当时，，由恒成立，的取值集合为， 则，此时则，因此正实数t的取值范围是或， 所以的最大值为. 故选：C. 3、已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可． 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 4、已知存在两个正实数m，n（），使，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对两边取自然对数，可得，令，得．设函数，求导，结合函数的单调性可得的范围，进而得的范围． 【详解】对两边取自然对数，可得，则， 令，得． 设函数，则， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为，且， 所以，即． 故． 故选：D． 5、已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题可转化成在上恒成立，通过参变分离结合利用导数求函数的值域求解. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立． 设，，， 所以，函数在是单调递减， ，．． 故的最大值为. 故选：A． 6、若对任意，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由类比分式的减法运算法则、除法和乘法的等价性化简原不等式，通过构过新函数，结合导数的几何意义和直线斜率公式进行运算求解即可. 【详解】由，得，即． 设． 易知， 则有， 显然函数在时，单调递增，于是有， 所以函数单调递增， 于是有，显然有，于是有， 显然当时，， 则直线在的图象的下方，在的图象的上方． 设过原点且与图象相切的直线斜率分别为， 切点分别为． 由，得，解得 同理，由， 得，解得， 所． 故选：D． 7、若函数是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用在恒成立，再结合基本不等式得结论． 【详解】由题意在时恒成立，即恒成立， 又时，，当且仅当时等号成立， 所以， 故选：C 二、多选题 8、关于函数，以下结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．若，则 D．若，则单调递增 【答案】AC 【分析】对函数求导，分析函数的单调性，结合函数解析式即可判断A；通过分析函数解析式结合函数单调性，令趋于正无穷即可判断B，根据导函数，求得时函数的单调性，求出函数的最大值，即可判断C，求求导，根据导函数求得的单调性，即可判断D. 【详解】因为， 令，即，解得或， 当时，，所以在是增函数； 当时，，所以在上是减函数； 当时，，所以在上是增函数， 因为，，且，所以， 所以的最小值为，A正确； ，的极大值为， 当趋于正无穷时，也趋于正无穷， 所以函数无最大值，B错误； 当时，根据导函数有： 当时，，所以在是增函数； 当时，，所以在上是减函数； 所以，C正确； 令，则， 令，即，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减，D错误. 故选：AC． 9、已知a，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知得出，然后构造函数，，，利用其单调性分别判断ABD，用反例判断C． 【详解】因为a，，且，所以， 选项A，易知函数是增函数，所以，即，所以，A正确； 选项B，设，则，在时，，因此时，是增函数，从而，即，所以，B正确； 选项C，若，则满足，但，不成立，C错误； 选项D，由函数是增函数知，D正确； 故选：ABD． 10、对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 【答案】ABD 【分析】利用导数来研究原函数的单调性即可判断A，利用导数求切线方程即可判断B，利用方程的解即可判断C，利用分离参变量构造函数求导来研究函数最大值，即可判断D. 【详解】由题得， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得极大值1，故A正确； 由于，， 所以在处的切线方程为， 整理得：，故B正确； 由，所以只有一个零点，故C错误； 由，可得，构造，求导得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得最大值，所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 11、已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由在恒成立求解. 【详解】函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】若在是增函数，则恒成立；若在是减函数，则恒成立. 12、已知，的最小值为 . 【答案】8 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性进而可知其最值，进而，当且仅当时等号成立，变形即可求的最小值. 【详解】构造函数，求导得， 令得到，令得到， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8， 故答案为：8 13、已知函数在处有极大值，则的单增区间为 . 【答案】和 【分析】运用极值点处导数为0算出的值，结合导数为正，函数单增，导数为负，函数单减，判断此时是否是极大值点和计算单增区间即可. 【详解】， ， 由在处有极大值可知， 即，，解得或， 当时，，令，解得或，令，解得，因此在和上单调递增，在上单调递减， 此时是极大值点，符合题意，单增区间是和； 当时，， 令，解得或，令，解得， 因此在和上单调递增，在上单调递减， 此时是极小值点，不符合题意， 综上，，函数单调增区间是和. 故答案为：和. 四、解答题 14、已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，利用分类讨论即可求出函数的单调性； （2）根据有两个零点得出的范围和函数的单调性，求出最小值的表达式，构造函数并求导得出单调性，即可求出实数a的取值范围； （3）写出函数并求导，得出导函数的单调性，求出函数的单调性，利用零点存在性定理，借助放缩法即可证明结论. 【详解】（1）由题意，，， 在中，， ①当时，，函数在单调递减， ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意及（1）得，，， 在中，， ∵有两个零点， ∴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． ∵当时，；时，， ∴要函数有两个零点，当且仅当． 在中，， ∴函数在单调递增． ∵， ∴当时，， ∴a的取值范围是． （3）由题意，（1）及（2）证明如下，，， 在中，， 在中， ，， ∵为指数函数单调递增，为反比例函数单调递减， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在使得，即，即，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为对勾函数函数在上单调递增， 所以， 所以. 15、已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，无极大值. (2)答案见解析. 【分析】（1）时，求导，利用导数分析函数单调性确定极值即可. （2）求导，利用判别式讨论的零点，根据零点分析的符号即可得到单调性. 【详解】（1），， ， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，无极大值. （2）定义域为，， 当，即时，，在单调递增， 当且，即时， 此时只有一个解， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，有两个解， 所以和时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 16、已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可得； （2）由题问题转化为在上恒成立，设，利用导数判断单调性求出最值得解. 【详解】（1）因为，，， 所以在处的切线方程为，即. （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为. 17、已知函数，其中，. (1)若曲线在处的切线方程为，求，的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若曲线的一条切线是轴，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出函数的导数，由求得；由已知的切线方程求得，进而求得； （2）按和分类讨论，利用导数求出函数的单调区间； （3）切点为，由题意得，求得，设，利用导数求得函数的值域即可. 【详解】（1）由得，， 由题意得，，因为， 所以，解得. 将代入切线方程可得，即，解得， 由题意得，，因为，所以，解得. （2）， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）设切点为，则，即. 所以，， 则， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以的值域为， 故的取值范围为. 18、已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)偶函数 (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可得； （2）由基本不等式可得； （3）求导后分析单调性，结合方程根的个数讨论分析可得. 【详解】（1）显然的定义域为，， ，为偶函数. （2），当且仅当时，取等号， ，所以的最小值为. （3） ，当时，，则在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 若仅一个实数根，则，                                  方程仅有两个不同的实数根，不合题意.                        所以应有两个不同的实数根， 即：方程和共有四个不同的实数根， 每个方程各有2个不同的实数根，所以，， 则，且，所以. 故的取值范围为. 试卷第10页，共10页 试卷第6页，共55页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用（复习讲义） 1、导数概念及其意义 ①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景, 知道导数是关于瞬时变化率的数学表达, 体会导数的内涵与思想。 ②体会极限思想。 ③通过函数图象直观理解导数的几何意义。 2、导数运算 ①能根据导数定义求函数 , 的导数。 ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则， 求简单函数的导数; 能求简单的复合函数 (限于形如 ) 的导数。 ③会使用导数公式表。 3、导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性; 对于多项式函数, 能求不超过三次的多项式函数的单调区间。 ②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大 (小) 值、最大 (小) 值；对于多项式函数, 能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大 (小) 值; 体会导数在研究单调性、极大 (小) 值、最大 (小) 值中的作用。 知识点01导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处切线的　斜率　，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝＝f'（x0）. 知识点02基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝　0　 f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝　αxα－1　 f（x）＝sin x f'（x）＝　cos x　 f（x）＝cos x f'（x）＝　－sin x　 基本初等函数 导数 f（x）＝ex f'（x）＝　ex　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　axln a　 f（x）＝ln x f'（x）＝　　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝　　 知识点03导数的运算法则 （1）[f（x）±g（x）]'＝　f'（x）±g'（x）　； （2）[f（x）g（x）]'＝　f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　； （3）［］'＝　　（g（x）≠0）. 知识点04函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）上　单调递增　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）上　单调递减　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）上是　常数函数　 知识点05函数的极值与导数 条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f'（x）　＞　0，右侧f'（x）　＜　0 x0附近的左侧f'（x）　＜　0，右侧f'（x）　＞　0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f（x0）为极　大　值 f（x0）为极　小　值 极值点 x0为极　大　值点 x0为极　小　值点 知识点06函数的最值与导数 （1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条　连续不断　的曲线，那么它必有最大值和最小值； （2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的　最小值　，f（b）为函数的　最大值　；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的　最大值　，f（b）为函数的　最小值　. 题型一 导数的计算 【例1】下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式1-3】求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 导数的几何意义 【例2】曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】若直线与函数的图象相切，则 ． 【变式2-3】写出与曲线和都相切的一条直线的方程 . 题型三 利用导数研究函数的单调性 【例3】函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数，的单调递减区间为 ． 【变式3-2】已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【变式3-3】已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 . 题型四 利用导数研究函数的极值 【例4】已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式4-2】已知是函数的极大值点，那么的取值范围是 . 【变式4-3】若函数有且仅有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 题型五 利用导数研究函数的最值 【例5】函数的最大值为 ，最小值为 ． 【变式5-1】若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】函数的最小值为 ． 题型六 利用导数证明不等式 【例6】证明下列不等式： (1)ex＞1＋x，(x≠0)； (2)ln x＜x＜ex，(x＞0). 【变式6-1】（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 【变式6-2】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 【变式6-3】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 题型七 利用导数研究不等式恒成立问题 【例7】已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【变式7-1】已知函数，. (1)若，求的图象在x=1处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 【变式7-2】已知函数，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若恒成立，求正实数的取值范围． 【变式7-3】已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 题型八 利用导数研究函数的零点（方程的根） 【例8】已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【变式8-1】已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为 ． 【变式8-2】已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为 . 【变式8-3】若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是 . 题型九 导数的实际应用 【例9】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【变式9-1】某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 【变式9-2】某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） (1)求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【变式9-3】某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元. (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的. 基础巩固通关测 一、单选题 1、下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2、曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3、已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（    ）    A． B． C．在处取得最小值 D．在处取得极大值 4、函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 5、下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 6、若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7、已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 8、已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 二、多选题 9、已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 10、已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 11、已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B． C．的最大值为 D．有唯一零点 三、填空题 12、函数在上的最小值为 . 13、已知，恒成立，则a的取值范围是 . 14、若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 四、解答题 15、已知是函数的导函数，且． (1)求； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 16、已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 17、已知函数，且满足 (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 18、已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 19、已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 能力提升进阶练 一、单选题 1、若函数的极大值点与其一个零点重合，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、若不等式对任意恒成立，则正实数t的最大值是（   ） A． B．e C． D． 3、已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 4、已知存在两个正实数m，n（），使，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5、已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6、若对任意，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7、若函数是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8、关于函数，以下结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．若，则 D．若，则单调递增 9、已知a，，且，则（   ） A． B． C． D． 10、对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 三、填空题 11、已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 12、已知，的最小值为 . 13、已知函数在处有极大值，则的单增区间为 . 四、解答题 14、已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 15、已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 16、已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； 17、已知函数，其中，. (1)若曲线在处的切线方程为，求，的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若曲线的一条切线是轴，求的取值范围. 18、已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 试卷第10页，共10页 试卷第6页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $