专题11 平行四边形7大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦平行四边形性质与判定，分7大题型系统覆盖从基础应用到综合拓展，结合三角形中位线，形成完整知识网络，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求解|9题|选择/填空，涉及边长、角度、面积计算|从平行四边形边、角、对角线基本性质出发，强化基础计算能力| |性质证明|10题|解答/作图，含无刻度直尺操作|通过证明线段、角关系，深化对性质的理解与应用| |判定|11题|选择/填空/解答，多条件判定|围绕边、角、对角线判定定理，构建判定思路| |判定与性质求解|9题|选择/填空/解答，综合计算|结合性质与判定，解决动态、最值等复杂问题| |性质和判定证明|10题|解答题，多步推理|融合性质与判定，提升逻辑推理与论证能力| |应用|8题|选择/作图/实际应用，含面积等分、网格作图|联系生活实际与图形变换，培养应用意识| |三角形中位线|12题|选择/填空/解答，与平行四边形结合|以中位线性质为桥梁，拓展平行四边形知识体系|

专题11 平行四边形7大题型归类 考点01 利用平行四边形的性质求解 考点02 利用平行四边形的性质证明 考点03 证明四边形是平行四边形 考点04 利用平行四边形的判定与性质求解 考点05 利用平行四边形性质和判定证明 考点06 平行四边形性质和判定的应用 考点07 三角形的中位线 考点01 利用平行四边形的性质求解 1．如图，在中，对角线相交于点，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．在平行四边形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形邻角互补，对角相等的性质，结合已知角度比例即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，平行四边形邻角互补， ∴， 又∵平行四边形对角相等， ∴． ∵， 设，， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，根据三角形三边关系得出，求解作答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， ∴． 4．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴． 5．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 6．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 7．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，，则的周长是__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质，可得，，，可得，即可得的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，相交于点， ∴，，， ∵，， ∴ ， ∴的周长是． 8．若平行四边形的周长为60，两条邻边的比为，则这个平行四边形的较长边为_____． 【答案】21 【详解】解：∵平行四边形对边相等，平行四边形周长为60，两条邻边的比为， 设两条邻边的长度分别为和， 根据平行四边形周长公式可得：， 解得， 因此较长边为． 9．已知平面直角坐标系内，，，，若以为顶点的四边形是平行四边形，则点不可能在第_____象限． 【答案】 三 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行四边形的性质以及点的象限，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论，分别求出点的所有可能坐标，判断其所在象限，即可得到结论． 【详解】已知 ，，，设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，可得 ， 解得 ，， 即， 点在第四象限； ②当为平行四边形的对角线时，同理可得 ， 解得 ，， 即， 点在第二象限； ③当为平行四边形的对角线时，同理可得 ， 解得 ，， 即， 点在第一象限； 因此点不可能在第三象限． 考点02利用平行四边形的性质证明 10．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵点M，N分别为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 11．仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） 如图，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． (1)利用平行四边形的性质（1）画出的中点F； (2)在上画出点H，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接平行四边形的对角线、交于点，连接延长交于点，点F即为所求中点； （2）连接延长交于点，点H即为所求，满足． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∴， ∴， ∵E为平行四边形的边的中点， ∴， ∴； （2）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， 、， ， 在和中， ， ， ． 12．点是的边的中点，请你利用无刻度的直尺，完成以下探究与操作： 操作与证明 (1)如图1，连接对角线，，交于点，连接并延长，交边于点，求证：点是的中点． 拓展与探究 (2)请尝试用无刻度的直尺，在图2的中作出边的中点．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质，及三角形全等，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质以及三角形三条中线交于一点（重心），即可证明结论． 【详解】（1）四边形是， ，，， 点是边的中点， ， ， ， 在和中，，， ， ，， ． ∴点是的中点． （2）连接对角线，，交于点，连接，交于点H，连接并延长交于点G． 四边形是， ，即是的中线， 点是边的中点， ∴也是的中线， 、的交点H是的重心， ∴也是的中线， 即点是边的中点． 13．如图，是的对角线上的两点．有如下三个关系：①，②，③．请你从中选择一个合适的关系作为条件，作为结论，得到一个真命题，然后再证明． (1)你选择 （填序号）作为条件； (2)请你完成证明． 【答案】(1)①或③（写其中一个即可） (2)见解析 【分析】（1）结合题目条件可知①③可以证明，②无法证明． （2）选①时，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，可证，即可得证；选③时，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，可证，即可得证． 【详解】（1）解：选①或③均可． （2）解：选①时，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 选③时，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 【答案】见解析 【分析】根据定理证得即可得到结论． 【详解】证明：如图，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴和互相平分． 15．如图，在中，对角线，相交于点，经过点的直线分别交和于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，，证明，再根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，． ． 在和中， ． ． ． 16．如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，从而可证明，即可得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中, , ∴， ∴． 17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，B，C，P，Q均在格点上，在给定的网格中仅用无刻度的直尺画图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，画线段，使得且； (2)在图②中，画的角平分线； (3)在图③中的直线上找一点M，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质即可得； （2）取格点G，连接，过格点F，连接交于点，可知，是等腰三角形，利用等腰三角形的性质得到点F是的中点，则即为所求； （3）属于将军饮马问题，取格点E，F，连接交于点M，连接，连接交于点G，连接交于点D，可知为小等腰直角三角形的斜边，点D在格点上，利用等腰直角三角形的性质与三角形全等可证得垂直平分，同理，可得垂直平分，所以，，结合对顶角相等，可得． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）解：所作图形如图所示： ； （3）解：所作图形如图所示： ． 18．如图，在中，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，所以，，则有，然后通过等边对等角得，得，从而求证； （）连接，先证明，所以，，由（）知，通过等腰三角形“三线合一”得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（）知， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴ ． 19．如图①，在中，，将沿AC翻折，使点B落在点E处，连结． (1)求证：． (2)如图②，若点E在直线下方，相交于点O，，，求的长． (3)在翻折过程中，若，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)或． 【分析】(1) 利用平行四边形对边相等和翻折性质，通过等量代换即可得证． (2) 由和推出，即；再由翻折性质得平分，从而；在中，过点作高，利用特殊角直角三角形性质和勾股定理即可求出． （3）情况讨论直线与直线的交点的位置：分别利用平行线性质、翻折性质得到直角三角形，再通过含、角的直角三角形边长关系，用表示与，求出比值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 沿翻折，点落在点处， ， ． （2）解：，， ， ， 沿翻折得到， ， ， 在中，，， ， 过点作于点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， ， （3）解：设直线交直线于点，． 情况一如图，在延长线上， ，即， ， ，且在、之间， ， ，即， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ． 情况二，点在线段上，如图 ， ， ，且在、之间， ， ， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ， ． 综上所述，或． 考点03证明四边形是平行四边形 20．已知四边形中，交于点O，下列条件不能推导出四边形是平行四边形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、∵，，即四边形两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，A不符合题意． B、当，时，四边形可以是等腰梯形，无法判定是平行四边形，B符合题意． C、∵四边形内角和为，，， ∴， ∴，同理可得， ∴四边形是平行四边形，C不符合题意． D、∵， ∴，， 又， ∴， ∴，即四边形对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，D不符合题意． 21．如图，在10×10的正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点C在网格所在的坐标平面内的坐标为．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是________． 【答案】或或 【分析】先根据点C的坐标建立平面直角坐标系，根据网格特点分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D，则可求得答案． 【详解】解：∵， ∴点A为坐标原点， 如图，分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线， ∴满足条件的点D的坐标为或或． 22．如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) 【分析】（1）①利用垂直的定义推出，根据平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理，即可证明； ②利用全等三角形性质推出，再结合平行四边形判定定理，即可证明四边形是平行四边形． （2）利用等腰三角形性质推出，结合平行四边形性质进而推出， 利用勾股定理求出，进而即可求出的长． 解题的关键在于熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形性质． 【详解】（1）证明：①于点于点， ， ， ， ， ； ②， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， 同理可得， ， ， ， ． 23．四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点在轴上，已知，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：，， ， 又， ， ， ∴四边形是平行四边形． 24．如图，已知，请用尺规作图法在右侧找一点E，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧的交点即为点E，连接、即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 证明：由作图可知，，， ∴四边形是平行四边形． 25．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明如下：选择②③ ， ， 且满足，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点成中心对称的； (2)在x轴上找一点D，使四边形是平行四边形，画出并写出D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据中心对称的定义作图即可； （2）根据平行四边形的判定方法作图，根据平面直角坐标系即可得到D的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点D即为所求，可知 证明：由图可知，， ∴四边形是平行四边形． 27．已知，按要求完成下列尺规作图（写出简要的作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，B，C分别在射线上，求作； (2)如图②，点O是内一点，求作线段，使P，Q分别在射线上，且点O是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以B、C点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形即为所求； （2）连接，以点O为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，再作，交于P，连接并延长交于Q，则即为所求． 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求； （2）解：如图②，即为所求． 28．如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 29．如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是解题关键． 30．如图，在四边形中，，，，，是的中点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据平行线的性质可知，根据中点的定义可知，可证，根据全等三角形的性质可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； (2)利用勾股定理可得，过点作，根据三角形的面积公式可以求出，利用勾股定理可以求出，根据平行四边形的对边相等可知． 【详解】（1）证明：， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如下图所示，过点作， 平分，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， , 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定、勾股定理． 考点04利用平行四边形的判定与性质求解 31．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 32．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 33．已知四边形四个点的坐标分别为，若一次函数的图像将四边形分成面积相等的两部分，则k的值为____． 【答案】 【分析】先证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点，利用中点坐标公式求得交点坐标，将交点坐标代入一次函数解析式中求得k值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对称中心为对角线的中点，取对角线，其中点坐标为，即， ∵一次函数将四边形分成面积相等的两部分， ∴一次函数图像经过对称中心， 将点代入解析式得， 解得． 34．如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，则，，结合垂直平分线的性质，得到，，过点作，且，则四边形是平行四边形，进而得出，再根据两点间线段最短求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， ，， ， ， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 过点作，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值． 35．如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则，进而说明的最小值为的长；再根据平行四边形的性质以及轴对称的性质可得，，过L作于G，再求得、，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，交于点I，则， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵C点关于的对称点L， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ， 如图：过L作于G， ∴ ， ∴， ∴． 36．如图，在等腰梯形中，，，，的周长为22．求：梯形的周长． 【答案】36 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，，求出，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵的周长为22 ∴ ∴ ∴梯形的周长． 37．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 38．如图，在中，，P是底边上的一动点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，得到，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】证明：∵，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ． 39．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 考点05利用平行四边形性质和判定证明 40．如图，在四边形中，是边的中点，互相平分并交于点．求证：且． 【答案】见详解 【分析】连接，证明四边形为平行四边形，得到，继而推出，四边形为平行四边形，即可得到结论， 【详解】证明：连接， ∵互相平分并交于点，即， ∴四边形为平行四边形， ， 又 ∵为的中点， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，． 41．如图，已知平行四边形，点分别在上，连接． (1)请选择下面的条件或条件，求证：四边形是平行四边形． 条件：分别是的中点； 条件：． (2)若平分，且，求平行四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由平行四边形的判定与性质可得结论； （）由平行四边形的性质和角平分线的定义可求，然后通过周长公式即可求解． 【详解】（1）当选择时， 证明：四边形是平行四边形， ，， 分别是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形； 当选择时， 证明：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， ， ， ， ， ， ，， 平行四边形的周长． 42．如图，，分别为中，的中点，分别连结，交于点，连结，交于点，连结，．求证：与互相平分． 【答案】见解析 【分析】可证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质可判定四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵E为的中点，F为的中点， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 43．如图，在中，点分别是边的中点．求证： 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和判定得出四边形为平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 44．如图，在中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵点E、F分别在上，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 45．如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质可得，，结合已知得出，即可得证． 【详解】证明：连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 46．如图，在中，点E，F分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得，再证明，得，进而证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 47．如图，的对角线、相交于点，延长至点E，延长至点，连接、、、，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，，进而可证，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 48．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 49．如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值． (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）在中，用勾股定理求出；由算出，进而求出底边；过作延长线，利用平行四边形性质得、；求出，再在中用勾股定理求． （2）①由、，得两个直角；利用同角的余角相等，推出一组对应角相等；结合已知，用证三角形全等．②利用平行四边形对角线中点性质，结合直角三角形斜边中线得、；借用前一问全等结论，得、，推一组夹角相等；用证，得、；由等腰直角三角形三边关系，推出数量关系． 【详解】（1）解：∵， 在中，，， 由勾股定理得： 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，，且， ， ，即． 过点作，交的延长线于点， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， 在中： ； （2）解：①在▱中，， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ②连接， 在中，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 考点06平行四边形性质和判定的应用 50．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 51．在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（     ） A．四个内角平分线围成的四边形 B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 【答案】D 【详解】解：A、的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； B、过四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； C、以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； D、以一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，符合题意，选项正确． 52．如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 53．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） (2)在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； (3)在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积为6的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （2）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （3）根据网格的特点构造平行四边形即可． 【详解】（1）如图①，即为所求（答案不唯一）； ∵ ∴是一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） （2）如图②，即为所求（答案不唯一）； ∵ ∴ ∴是一个三边都为无理数的等腰直角三角形 （3）如图，平行四边形即为所求（答案不唯一）． 54．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 55．如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出点A，B的对应点，，连接即可解答； （2）在直线上取格点，连接，并在的延长线上取格点C，使得，连接，并在的延长线上取格点D，使得，连接，，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段为所求． （2）解：如图，为所求． 由作图可得，， ∴四边形是平行四边形， 设直线交于点E，交于点F， ∵在中，，， 又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴直线平分的面积． 56．图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． 图①                           图②                       图③ (1)在图①中，作使点在边上，点、点均在格点上且点不与点、点重合（画出一个即可）； (2)在图②中，作使点为对称中心； (3)在图③中，过点作直线，直线将的面积分成相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）在中，且， 又因为长度为五个网格， 所以长度为五个网格，且点、点均在格点上且点不与点、点重合， 所以如下图所示，即可画出符合题意的图形． （2）因为点是的对称中心， 所以点是对角线的交点， 根据平行四边形性质（对角线互相平分）可得，连接并延长到，使，连接，，即可画出． （3）由性质可得：若直线将的面积分成相等的两部分， 那么直线必过的对角线交点． 所以只需要作出两条对角线，连接点和对角线交点作直线即可． 57．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 【答案】(1)甲同学正确、乙两位同学有问题，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可； （2）取平行四边形对角线也就是的中点，过作直线交于点，交于点，使，连接，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 由题意可得， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 与可能有两个交点，故无法进行判断； （2）解：取平行四边形对角线也就是的中点， 在上任取一点G，连接，；以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H，保证，使得， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ， ， 则四边形是平行四边形且． 考点07三角形的中位线 58．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，于点D．若，，则的长度为（     ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：是的中点，， （线段垂直平分线的性质）， ，是的中点， ， 在中，，， ， ， ，分别是边，的中点， 是的中位线， ． 59．对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 【答案】B 【分析】利用中位线、平移和折叠的性质，先求出空白三角形的面积，再用梯形面积减去空白面积，得到阴影部分的面积．两次操作的阴影面积都等于原三角形面积的一半． 【详解】解：设的面积为S． ∵是的中位线， ∴，且，点E、F分别是、的中点， ∴ 点A到的距离等于点A到距离的一半． ∴． ∴ ． 由平移的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． 又∵ 落在上，与重合， ∴ 操作1中阴影部分面积． ∵是的高，折叠后点与点重合，折痕为， ∴垂直平分． 又∵， ∴，且平分， ∴是的中位线， ∴ ，． 由折叠的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． ∴ 操作2中阴影部分面积： ∵ ，故选项A不正确，不符合题意， ∴ 两个操作中阴影部分的面积均为面积的一半． 综上所述：只有选项B正确，符合题意． 60．如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记各个顶点，由题意可得，是的中位线，根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，标记各个顶点， 由题意可得，为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，D选项符合． 61．如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长为（   ）． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角线互相平分，结合点是的中点可得是的中位线，利用三角形中位线的性质，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】在中，， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵的周长为36， ∴， ∴的周长为：． 62．如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先推导出，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴． 63．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质，证明，所以，进而可以判断①；根据三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形，进而可以判断②；由，进而可以判断③；根据勾股定理，进而可以判断④；证明四边形是平行四边形，所以，进而可以判断⑤． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵点M，N分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述：结论正确的有①②③⑤． 64．如图，在中，、是的中线，与相交于点，点、分别是、的中点，连接．若，，则四边形的周长是___________． 【答案】/14厘米 【分析】先证是的中位线，是的中位线，是的中位线，进而推出四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解： 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ． 、是的中线， 点D、E分别是、的中点， 又点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长． 65．如图，在中，，平分，，点是的中点，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】延长交于点，利用角平分线的定义和垂直的定义证明，根据全等三角形的性质得出，，进而求出的长，最后利用三角形中位线定理求解的长． 【详解】解：如图，延长交于点，如图， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点是的中点.， ， .， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ． 66．如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质结合角平分线的性质证明，，根据三线合一可得是的中位线， 利用中位线定理计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，即，， ， 是的中位线， ． 67．【阅读与思考】 在《四边形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点分别是的中点．   求证： 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ．．． (1)请根据小明的思路补全证明过程： 【拓展与应用】 (2)如图1，在梯形中，中位线，若梯形的高是，则梯形的面积是___________（用含有m和n的式子表示） (3)如图2，在梯形中，，和的平分线相交于点，且点在梯形的中位线上，若梯形的周长为，直接写出的长．    【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点，证明，； （2）过点A作于点H，根据，得出，根据，即可得出答案； （3）先证明，根据等腰三角形的判定得出，同理得出，从而得出，根据梯形的周长为，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点， ∵， ，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点，， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， 综上所述，，； （2）解：过点A作于点H，如图所示： 则， 根据（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ． （3）解：∵是梯形的中位线， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵E为的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵梯形的周长为， ∴， ∴， ∴． 68．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 69．如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，即可根据“”证明； （2）由，，根据三角形的中位线定理得，且，所以． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：的对角线与交于点， ， 由（1）， ∴， 是的中位线， ，且， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题11平行四边形7大题型归类 考点归纳 考点01利用平行四边形的性质求解 考点02利用平行四边形的性质证明 考点03证明四边形是平行四边形 考点04利用平行四边形的判定与性质求解 考点5利用平行四边形性质和判定证明 考点06平行四边形性质和判定的应用 考点07三角形的中位线 考点专练 考点01利用平行四边形的性质求解 1.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BC,BC=√5，BD=6,则AC的长为() D 0 B A.4 B.2 c.4 D.214 2.在平行四边形ABCD中，∠A:∠B=2:3,则∠C的度数为() A.36° B.54° C.72° D.108 3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,如果BD=12,AC=10,BC=m,那么m的 取值范围是() A.10<m<12B.2<m<22 C.1<m<11 D.5<m<6 4.如图，点P为平行四边形ABCD内任意一点，连接PA、PB、PC、PD,如果将△PAB.△PBC、 △PDC、△PDA的面积分别记为S、S2、S、S4,那么以下结论正确的是() 1/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D P S3 S2 B A.S=S B.+S2=S3+S4 C.S,+S3=S2+S4 D.S+S=S2+S3 5.如图，在ABC中，∠BAC=45°，AC=4,P为边AB上一动点，以PA,PC为边作PAQC,则PQ的 最小值为() B A.2 B.4 C.22 D.42 6.如图，在。ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF交AB于点E,交CD于点F,且 BE=号AB,若S。D=16,则阴影部分面积是 D 7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=34,AB=I0,则△OCD的周长 是 B 8.若平行四边形的周长为60，两条邻边的比为3：7，则这个平行四边形的较长边为· 9.已知平面直角坐标系内，O(0,0),A2,6),C(6,0),若以O,A,C,B为顶点的四边形是平行四边形，则 点B不可能在第象限. 考点02利用平行四边形的性质证明 10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点M,N分别为OA、OC的中点，连接 DN,BN,BM,DM.求证：△ADM≌△CBN· 2/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 11.仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） 如图，E为平行四边形ABCD的边AB的中点，点G为BC上一点. D E。 B GC (1)利用平行四边形的性质(1)画出CD的中点F; (2)在AD上画出点H,使得AH=CG. 12.点E是口ABCD的边AB的中点，请你利用无刻度的直尺，完成以下探究与操作： D E 图1 图2 操作与证明 (1)如图1，连接对角线AC,BD,交于点O,连接EO并延长，交边CD于点F,求证：点F是CD的中点， 拓展与探究 (2)请尝试用无刻度的直尺，在图2的。ABCD中作出边BC的中点G,(不写作法，保留作图痕迹). 13.如图，E,F是口ABCD的对角线AC上的两点.有如下三个关系：①LABE=∠CDF,②BE=DF,③ BE∥DF,请你从中选择一个合适的关系作为条件，AE=CF作为结论，得到一个真命题，然后再证明. D B (1)你选择_（填序号）作为条件： (2)请你完成证明. 14.在平行四边形ABCD中，点F、H分别在边AB、CD上，且BF=DH.求证：AC与HF互相平分 DH F B 3/18 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.如图，在▣ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,经过点O的直线分别交AB和CD于点E,F,求 证：OE=OF. B 16.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于点 F.求证：AE=CF. 17.图①、图②、图③均是8x8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A, B,C,P,Q均在格点上，在给定的网格中仅用无刻度的直尺画图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线 表示 图① 图② 图③ (1)在图①中，画线段CD,使得CD∥AB且CD=AB; (2)在图②中，画ABC的角平分线AE; (3)在图③中的直线P9上找一点M,使得LAMP=LBMQ· 18.如图，在口ABCD中，延长BC到点E,使BE=CD,连接AE交CD于点F. (1)求证：AE平分∠BAD; 2I若BC=CE=,EP=3,求ABCD的面积 19.如图①，在口ABCD中，∠B=60°，将ABC沿AC翻折，使点B落在点E处，连结DE. 4/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ① ③（备用图） (1)求证：AD=CE. (2)如图②，若点E在直线AD下方，AE、CD相交于点O,AB=2,AE⊥CD,求BC的长. B)在翻折过程中，若∠DAE=90°，求9的值. BC 考点03证明四边形是平行四边形 20.已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O,下列条件不能推导出四边形ABCD是平行四边形的是(） A.AD∥BC且AB∥CD B.AD∥BC且AB=CD C.∠DAB=∠DCB且∠ABC=∠ADC D.AD∥BC且OB=OD 21.如图，在10×10的正方形网格中，ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上.若点C在网格所在 的坐标平面内的坐标为(-1，·请你在图中找出点D,使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边 形，满足条件的D点的坐标是 22.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC,与BD相交于点O,BM⊥AC于点M,DN⊥AC于点 N,且AM=CN. D B (1)求证：①△AMB≌△CND;②四边形ABCD是平行四边形. (2)若BA=BO=10,DN=8,求AC的长 23.四边形AB0C在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点B在x轴上，己知∠AB0=∠C=120°，且 AC‖BO,求证：四边形ABOC是平行四边形. 5/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 24.如图，己知ABC,请用尺规作图法在AC右侧找一点E,使得四边形ABCE是平行四边形.（保留作 图痕迹，不写作法) A B 25.如图，已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列三个条件：①AB=CD,②AD∥BC,③ OA=OC,请从中选择两个，证明四边形ABCD是平行四边形. D B C 26.如图，在平面直角坐标系中，己知ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,3,B(-4,4,C(-2,. 6 B 4 -6-5-4-3-2-10 23456x 3 4 -6 (1)请画出ABC关于原点成中心对称的△A,B,C,; (2)在x轴上找一点D,使四边形ABCD是平行四边形，画出口ABCD并写出D的坐标. 27.己知∠M4N,按要求完成下列尺规作图（写出简要的作法，保留作图痕迹）， 6/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M M B 图① 图② (1)如图①，B,C分别在射线AM,AN上，求作口ABDC; (2)如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ,使P,Q分别在射线AM,AW上，且点O是PQ的中点. 28.如图，在ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE,ED,过点C作CF∥AE 交ED的延长线于点F,连接AF, B H (1)求证：四边形AFCE是平行四边形， (2)若BC=2CE,ABC的面积为8，求CDF的面积. 29.如下图，△ACD,△ABE,BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB≠AC时，求证：四边形 ADFE为平行四边形. E B 30.如图，在四边形ABCD中，AB=4cm,BC=3cm,∠B=90°，CD‖AB,O是AC的中点，连接D0并 延长，交AB于点E,连接CE, A E B (1)求证：四边形AECD是平行四边形 (2)若CE平分∠ACB,求AD的长. 考点04利用平行四边形的判定与性质求解 31.如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E,过点D作DF∥BE,交BC于点F, ∠CDF=40°，则∠ABC的度数为() 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D A.70° B.75 C.80° D.85° 32.如图，在▣ABCD中，四个内角的角平分线AE,DE,BF,CF交于E,F两点，AE=8,DE=6, DC=15,则EF的长为· B 33.己知四边形ABCD四个点的坐标分别为0,0)，2,0)，3,3)，1,3)，若一次函数y=c+1的图像将四边形分 成面积相等的两部分，则k的值为· 34.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M、N分别在边AC、BC上运动，若满足 AC+CM=8,BC+CN=5,连接BM,AN,则BM+AN的最小值= N M B 35.如图，在ABC和△DEF中，∠ACB=LDFE=90°，∠A=∠EDF=60°，ED在直线AB上运动.若 AC=ED=4,则CE+CF的最小值为. D B 36.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AE∥DC,AD=7,△ABE的周长为22.求：梯形ABCD的 周长 B 8/18 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 37.如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D是AC边上一点，且AD=BD,过点C作DB的平行线，与过 点B所作的BC边的垂线相交于点E. ■ D (1)求证：四边形BDCE是平行四边形： (2)若AC=2BC,AC=8,求CE的长. 38.如图，在△ABC中，AB=AC,P是底边上的一动点，且PE‖AC,PFAB,求证：PE+PF=AB. 39.如图，在平面直角坐标系x0y中，四边形0ABC是平行四边形，A,C两点的坐标分别为(4,0)，(-2,3).将 平行四边形0ABC先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形NPQM, B (1)请求出直线MW的解析式： (2)平行四边形NPQM与平行四边形OABC的重叠部分的形状是 重叠部分的面积是 (3)点E是x轴上一动点，在直线OB上是否存在点D,使得以O,N,D,E为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由. 考点05利用平行四边形性质和判定证明 4O.如图，在四边形ABCD中，M是边BC的中点，AM、BD互相平分并交于点O.求证：AM∥DC且 AM =DC. 9/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 41.如图，已知平行四边形ABCD,点E,F分别在AB,CD上，连接DE,BF, D E (1)请选择下面的条件①或条件②，求证：四边形DEBF是平行四边形. 条件①：E,F分别是AB,CD的中点； 条件②：∠DEA=∠FBA. (2)若DE平分∠ADC,且AD=5,BE=4,求平行四边形ABCD的周长. 42.如图，E,F分别为口ABCD中AD,BC的中点，分别连结AF,BE交于点G,连结CE,DF交于点 H,连结GH,EF,求证：EF与GH互相平分 D B 43.如图，在口ABCD中，点M,N分别是边AB,CD的中点.求证：AN=CM D M 44.如图，在。ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF,求证：四边形BFDE是平行四边形 D 45.如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE=CF,求证：四边形BEDF是 平行四边形 46.如图，在ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，∠BAF=∠DCE,求证：四边形AFCE是平行四 边形. 10/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 47.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,延长OB至点E,延长OD至点F,连接AF、AE、 CF、CE,若BE=DF,求证：四边形AECF是平行四边形. F D 48.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，且LABE=LCDF. E D B (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)连接CE,若CE平分∠DCB,DF⊥BC,DF=4,DE=5,求平行四边形ABCD的周长. 49.如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,AE=EC,连接BD交AE于点M· M B E 图1 图2H (1)如图1所示，AB=√10，BE=1,求BD的值. (2)如图2所示，F是BD的中点，过点E作EG⊥AB于点G,延长GE交DC的延长线于点H,连接FH. ①证明：△AGE≌△EHC. ②直接写出GE,AG,FH的等量关系. 考点06平行四边形性质和判定的应用 50.某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有 AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法中错误的是() 11/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E D 紫 绿 G 红 黄 H 蓝 橙 B C A.红花、绿花种植面积一定相等 B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.红花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等 51.在。ABCD中，AB≠AD,满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是() A.四个内角平分线围成的四边形 B.过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C.以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D.以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形 52.如图，AD∥BE,AD=BC=5,BE=8,△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 B C E 53.图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点.仅 用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上· 图① 图② 图③ (1)在图①中，以线段AB为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形ABC(且为锐角三角形) (2)在图②中，以线段AB为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形ABD; (3)在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积为6的平行四边形AEFG. 54.如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面4发射一束 细光，光束在液面的O处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点S,.当液面上升至马 时，入射点就沿着入射光线的方向平移至Q处，反射光线也跟着向左平移至O2S2处，O,S,交Z于点Q,在 O处的法线交于马点N,O2处的法线为O,M,若S,S2=4.6cm,a=45°，则液面从Z上升至4的高度为 cm. 12/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S M O以 55.如图，在6×8的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段AB绕点0顺时针旋转90°，画对应线段AB. (2)以AB为边画一个格点口ABCD(顶点均在格点上的四边形)，使AB,所在的直线能平分▣ABCD的面积. 56.图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹， --r-r-r-r-r-r-r-r- -r-r-r-r-r-r-r-r- -r-r A..B 4-1-1-1181- 图① 图② 图③ (1)在图①中，作。ABCD使点P在边CD上，点C、点D均在格点上且点P不与点C、点D重合（画出一个 即可)； (2)在图②中，作。ABEF使点P为对称中心； (3)在图③中，过点P作直线P9,直线PQ将。ABGH的面积分成相等的两部分 57.数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,点E,F在对角线BD上， BE=DF.用尺规作EHFG,使得点H,G分别落在边BC,AD上. B (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法， 甲同学的作法： 乙同学的作法： 在AD上任取一点G, 在AD上取一点G,连 连接GE,GF; 接GE,GF, 以点B为圆心，DG长 GF<DF; 13/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为半径作弧，交BC于 以点E为圆心，FG长 点H; 为半径作弧，交BC于 连接EH,FH,则 点H; EHFG即为所求. 连接EH,FH,则 EHFG即为所求. 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因： (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG,使得点H,G分别落在边BC,AD 上，且GH=2EF,请你按下述要求，完成作图. ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹： ②只需作出一种情况即可. 考点07三角形的中位线 58.如图，在ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，CD⊥AB于点D.若AB=12,CD=8,则 DE的长度为() D B A.4 B.5 C.6 D.10 59.对ABC进行下列操作： 操作1：如图1，EF是ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A,E,E的位置，使E,E与BC边 重合； 操作2：作ABC的高AD,将ABC按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF, 对操作1,2中阴影部分面积，下列说法正确的是() A E D F B B D(A) 图1 图2 A.操作2中阴影部分面积大 B.面积均为ABC面积的一半 14/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.面积与△AEF的面积相等 D.操作1中阴影部分面积大 60.如图，某校开设了劳动实践课程，在一块三角形空地中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，则 PQ的长是() 10m 8m 10m Q 8m 10m A.2m B.3m C.4m D.5m 61.如图，口ABCD的周长为36，对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点，BD=12,则△DOE的 周长为(). D A.14 B.15 C.16 D.17 62.如图，在ABC中，AB=AC,BC=8,AD⊥BC,垂足为D,点E是AC的中点，连接DE,若 DE=3,则AD的长度为() A.2W5 B.5√2 C.4 D.11 63.如图，在。ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E,连接CE,∠BEC=90°，点M,N分别是BE,EC的 中点，连接AM,MW,DN.AN交BE于点O.延长AN交DC于点G·则下列结论中：①CE平分∠BCD; ②AM上8E:国8C=24B:@4M+DN2-号BC,⑤0E=DN,正确的有()个 A B A.5 B.4 C.3 D.2 64.如图，在ABC中，BD、CE是ABC的中线，BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的 中点，连接AO.若AO=6cm,BC=8cm,则四边形DEFG的周长是 15/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 65.如图，在ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC,CD⊥AD,点E是BC的中点，若AB=12, AC=10,则DE的长为· D B E 66.如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分∠ADC,CP平分LBCD,AB=8,AD=12 ,则OP的长为 B 67.【阅读与思考】 在《四边形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理.类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做 梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半. 下面是小明对这个定理的证明过程 己知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点. A D E 求i证：EFI/BC,.EF=AD+BC B 图1 证明：如图1，连接AF并延长，交BC的延长线于点G. (1)请根据小明的思路补全证明过程： 【拓展与应用】 (2)如图1，在梯形ABCD中，中位线EF=m,若梯形的高是n,则梯形ABCD的面积是 (用含 有m和n的式子表示) 16/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC和LDCB的平分线相交于点P,且点P在梯形的中位线 EF上，若梯形ABCD的周长为24cm,直接写出EF的长， 图2 68.综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，DE是ABC的中位线，则DE∥BC,且 DE=-BC 2 池塘> 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长DE到点F,使 EF=DE,连接FC,DC,AF,如图③，取BC中点G,连接GE并延长到点F,使EF=GE,连接AF,请 你选择其中一种证法，继续完成证明过程 【实践应用】 (2)如图④，B,C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B,C间的距离： 先在池塘外选一点A,连接AB,AC,然后测出AB,AC的中点D,E,并测出DE的长度为12米，则B, C两点间的距离米 【深入探究】 (3)如图⑤，DE是ABC的中位线，AF是BC边上的中线.DE与AF是否互相平分？请证明你的结论， 69.如图所示，已知E为口ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC,连接AE,分别交BC,BD于点F, G,连接AC交BD于O,连接OF,求证： A E (1)△ABF≌△ECF: 17/18 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)AB=20F. 18/18