专题09 分式与分式运算11大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 聚焦分式概念到运算的11类核心题型，通过定义辨析、条件分析、性质应用及混合运算的系统训练，渗透分类讨论与转化思想，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式的判断|9题|定义辨析法，整式与分式区分技巧|从概念切入，建立分式认知基础| |分式有无意义的条件|11题|分母不为零法则，值为零的双条件判断|深化对分式成立条件的理解，培养推理意识| |分式的求值|10题|整体代入法，参数转化技巧|连接概念与运算，提升符号意识| |分式值的正负范围|8题|不等式组解法，符号法则应用|结合代数推理，发展运算能力| |约分与最简分式|10题|因式分解法，公因式确定技巧|体现分式性质的应用，培养数学思维| |分式乘除（含乘方）|12题|转化为乘法运算，幂的运算法则|从单一运算到混合运算，构建运算体系| |通分与加减运算|13题|最简公分母确定法，分步通分技巧|完成分式运算闭环，强化模型意识|

专题09 分式与分式运算11大题型归类 考点01 分式的判断 考点02 分式有无意义的条件 考点03 分式的求值 考点04 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 考点05 约分 考点06 最简分式 考点07 分式乘除混合运算 考点08 含乘方的分式乘除混合运算 考点09 最简公分母与通分 考点10 异分母分式加减法 考点11 分式加减乘除混合运算 考点01 分式的判断 1．代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； 综上，分式共有个． 2．在中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断即可，判断分式的核心是看分母是否含有字母，需注意是常数不是字母． 【详解】解：在，分式有、，共2个． 3．在中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：分母含字母，是分式； 分母为常数，不是分式； 分母为常数，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 中分母是字母，属于分式； 分母含字母，是分式； 则分式共有个． 4．若是分式，则可以是（    ） A． B．2026 C．0 D． 【答案】D 【详解】解：∵选项A中是常数，选项B中2026是常数，均不含字母，不符合要求． 选项C中分母为0，分式无意义，不符合要求． 选项D中是含有字母的整式，可满足，符合分式的定义． 5．若是分式，则可以是（  ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义：若中是整式，且中含有字母，，则是分式．逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A选项分母为，分式分母不能为，不符合要求． B选项分母为，是常数，不含字母，不符合分式定义． C选项分母为，是含有字母的整式，符合分式定义． D选项分母为，是常数，不含字母，不符合要求． 6．在式子中，分式的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据分式定义：若都是整式，且中含有字母，则是分式，逐个判断：分式要求分母中含有字母，注意是常数不是字母． 【详解】解：分母含字母，是分式； 分母是常数，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 分母是常数，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 综上，一共有个分式． 7．有理式，，，中，分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．3个 【答案】A 【详解】解：分式有，共1个． 8．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确． ②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． 综上，嘉琪做对①、②、⑤． 故选：B． 9．已知，一次函数的图象过点，则一次函数的解析式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的定义，待定系数法求一次函数解析式等知识．根据得到，，，求出．结合一次函数的图象过点，即可求出一次函数解析式． 【详解】解：∵， ∴，，， 得， ∵， ∴． ∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为． 故答案为：． 考点02分式有无意义的条件 10．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，结合表格信息提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得三个条件： ①当时，y无意义，即时分母为0； ②当时，y无意义，即时分母为0； ③当时，，即时分子为0且分母不为0． A选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，排除A． B选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件②，排除B． C选项：， 时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，C符合题意． D选项：， 时，分子，，不符合条件③，排除D． 11．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断． 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 12．关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 13．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据分母有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 即且． 14．若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， ∴． 15．若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 故答案为． 16．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 17．函数中自变量的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 18．当_________时，分式的值为0． 【答案】2 【分析】分式值为零需满足分子为零，且分母不为零，根据该条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， 依题意得 且. 解方程 ， 因式分解得， 解得或， 解不等式 ， 因式分解得， 解得且， 综上可得． 19．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 【答案】1 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可． 【详解】解：， 不等式组的解集是：， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得：，即整数，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴符合条件的所有整数a的值是，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 20．函数 中，自变量的取值范围是______． 【答案】且， 【分析】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其性质定义． 根据函数解析式，自变量取值范围需满足平方根的被开方数非负、分母不为零以及负指数项底数不为零的条件． 【详解】解：由函数， 平方根部分， ∴要求，解得； 分式分母，解得； 负指数项， ∴要求，即； 综上，自变量的取值范围为且,． 故答案为且,． 21．已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 【答案】当时，分式的值为． 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0，据此求出m、n的值，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：由题意，得，且， 解得． 当时，， 即当时，分式的值为． 考点03分式的求值 22．已知实数，满足，，且，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可知满足相同的二次等式且，可通过对等式作差求出的值，再结合完全平方公式变形计算各选项中的式子，判断结论是否正确． 【详解】∵ ，， ∴， 因式分解得： ， ∵，即， ∴两边同除以得：，故A选项错误； 由 ，，两式相加得：， 将代入得：，故C选项正确； 由完全平方公式 ， 将，代入得：， 解得：，故B选项错误； 对D选项，，将代入得， ∵ ， ∴， 可得 ， 故D选项错误； 综上，答案选C． 23．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 24．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（    ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据递推公式得到数列6个数为一个周期循环的规律，再逐一判断每个结论即可，找到周期规律是解题关键. 【详解】解：∵，，， ∴，，，，，， ∴ 该数列每6个数为一个周期循环. ∵ ， ∴ ，故①正确； ∵，，， ∴，即 ∴，故②正确； ∵ 一个周期内， ∴，解得， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，， 则 ∵ 原式为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∴ 又∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， 舍去，共5个满足条件的整数，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 25．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 26．若实数a，b同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先通过加减消元法求出和的值，再将分式通分，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ； ， ， ； ∵， 将、代入： ． 27．若，则的值是______． 【答案】 【分析】先对已知等式通分整理，得到与的数量关系，再将所求分式变形，利用整体代入法求值． 【详解】解：由分式有意义的条件可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 28．已知，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 29．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到的值，再对所求分式进行化简约分，最后代入计算即可得到结果. 【详解】解：由得，， ∴ . 30．已知． (1)求的值； (2)记，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对已知等式进行变形，然后通过等式两边同时除以来求解的值； （2）对分子分母同时除以，最后整体代入的值以及，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可得， ∴， ； （2）解： ， 由（1）可知，， ∵， ∴ ． 31．如图所示的是小敏同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题． 数学日记：今天在解决一道分式求值题时，我用了两种不同的方法，都得到了同样的结果． 题目：已知，求的值． 方法1：由，得，所以． 代入所求分式： 方法2：直接对原式进行变形，分子分母同时除以…… (1)“方法1”中运用了分式这一章的数学依据是________________________． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若，（、都不为）请直接写出的值． 【答案】(1)分式的基本性质 (2)过程见解析 (3) 【分析】（1）方法1使用了通分和约分运算，依据是分式的基本性质； （2）先分子分母同除以，再将整体代入即可； （3）仿照“方法2”进行计算即可． 【详解】（1）解：分式的基本性质； （2）解：； （3）解：． 考点04求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 32．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 33．如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 34．填空： （1）当______时，分式的值为正； （2）当为______时，分式的值为负； （3）当为______时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 35．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 36．仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负． 【分析】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得， 则有①或 ② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 37．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 38．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 考点05约分 39．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分子分母分别因式分解，再约去公因式得到结果． 【详解】解： ． 40．已知，且，则______． 【答案】2 【分析】由得到，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 41．将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 42．约分：． 【答案】 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 43．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 44．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 45．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是_______________（填写序号即可）； (2)在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． ；；． (3)若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为_____． 【答案】(1)② (2)和 (3)4 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐一判断即可； （2）先将题中给出的三个整式中，能够因式分解的进行因式分解，再根据题意“这个分式不可约分”进行构造即可； （3）根据“和谐分式”的定义，考虑分母能够因式分解，结合a为正整数，可得a的值为4． 【详解】（1）解：对于①：，分子和分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于②：，分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”，符合题意； 对于③：，分母可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于④：，分子可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 综上，“和谐分式”是②． （2）解：∵， ， ∴“和谐分式”有：和． （3）解：∵为“和谐分式”， 不能因式分解， ∴能够因式分解， ∵a为正整数，能够因式分解， ∴或． ∵分式不可约分， 又∵当时，分母为，分式可约分，不满足“和谐分式”定义， 当时，分母为，分式不可约分，满足“和谐分式”定义， ∴． 46．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或． 47．已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 【答案】(1) (2) (3)，思路见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可； （2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可； （3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以，即可． 【详解】（1）解：； （2）由（1）可知：， ∵该分式的值为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以，得， 即：分式可以化简为． 考点06最简分式 48．下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，逐一分析每个选项的分子与分母是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是，最终确定正确选项． 【详解】解：选项A， 分式的分子与分母没有公因式， 该分式是最简分式； 选项B， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式； 选项C， 分式的分子与分母有公因式， 该分式可约分为，不是最简分式； 选项D， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式． 49．下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的性质，对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：当时，分式分母为，分式无意义，即选项A错误； 选项B：当时，分式无意义，故选项B错误； 选项C：当，都扩大倍，分式转变为，即分式的值也扩大三倍，故选项C错误； 选项D：无法再进行化简，故是最简分式，选项D正确． 50．下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的判定，熟练掌握各知识点是解题关键． 根据分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴无论为何值总有意义，故本选项正确，符合题意； B、∵， ∴分式不是最简分式，故本选项错误，不符合题意； C、∵分式值为0， ∴ 解得：，故本选项错误，不符合题意； D∵是常数，分母不含字母 ∴它是整式不是分式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 51．下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【详解】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 52．下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．分式是最简分式 D．分式中的都扩大2倍，分式的值不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件、分式的基本性质、最简分式的定义以及分式值的变化．根据分式的值为零的条件，分式的基本性质，最简分式定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．分式值为零需分子为零且分母不为零，中，分子时，但当时分母，分式无意义，因此x只能为，故A错误； B．分式基本性质要求分子分母同乘同一不为零整式，等式成立需，但选项未说明，故B错误； C．分子与分母无公因式(在实数范围内不可分解)，因此该分式为最简分式，故C正确； D．当x，y都扩大2倍时，新分式为，值为原分式的2倍，因此分式值改变，故D错误． 故选：C． 53．下列说法正确的有（    ） ①分式是最简分式； ②若分式的值为，则； ③根据分式的基本性质，等式成立； ④将分式中的都扩大到原来的倍，分式的值不变． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查分式的相关概念和性质，包括最简分式的定义、分式值为的条件、分式的基本性质以及分式的缩放． 【详解】①∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，正确； ②∵分式值为0需分子为0且分母不为，分子时，但当时，分母，分母为，分式无意义，∴只有时值为，错误； ③∵分式基本性质要求乘除的整式不为，但 可能为（如 ），此时分母，分式无意义，∴等式不一定成立，错误； ④∵将扩大倍后，分式变为，值扩大倍，∴分式的值改变，错误； 综上，只有①正确； 故选：A． 54．下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 【答案】B 【分析】本题考查了分式的相关知识点，根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式值的变化和最简分式的定义逐一判断各选项即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若分式值为0，则且，解得，故原说法错误，不符合题意； B、根据分式的基本性质，可以变形为，故原说法正确，符合题意； C、，故分式中，，都扩大2倍，分式的值扩大倍，故原说法错误，不符合题意； D、分式中分子分母没有公因式，是最简分式，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 55．在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 56．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 考点07分式乘除混合运算 57．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 58．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算乘方，再把除法化为乘法，最后运算乘法化简，即可作答． （2）先进行因式分解，再化简原式，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 59．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的乘除法法则进行计算即可； （2）先通分，然后按同分母分式加减法计算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 60．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照分式混合运算的顺序计算．先算乘方．再算乘除．有括号先计算括号内的．最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 61．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 62．先化简，再找一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】先对分式分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分得到化简结果，再由分式中分母不能为，得到不能取的值后即可选择一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【详解】解： ， 分式中分母不能为， ， 当时，原式．（答案不唯一） 63．计算： (1) (2)． (3)化简求值．先化简：，然后从0，1，2，3中选择你喜欢的值． 【答案】(1) (2) (3)；当时，原式 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算括号里的加减，再计算除法，最后合并同类项即可； （3）先计算除法，再计算加法，最后选取符合要求的的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 可知，即， 当时，原式． 考点08含乘方的分式乘除混合运算 64．若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把所给的等式利用分式的乘除混合运算法则化简，然后结合积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 65．计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 66．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 67．计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 68．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先因式分解、，再按照先乘方再乘除的运算顺序，利用分式的乘除法法则进行化简即可． （2）先因式分解、、，再按照先乘方再乘除的运算顺序，利用分式的乘除法法则进行化简即可． （3）先因式分解、，再按照先乘方再乘除的运算顺序，利用分式的乘除法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的乘除法法则和运算顺序是解题关键． 69．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）先计算乘方，再把除法转化为乘法，最后根据分式乘法法则化简即可． （3）先将因式分解，再按照先乘方再乘除的运算法则化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握并灵活运用分式的乘除法法则是解题关键． 考点09最简公分母与通分 70．把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 71．计算的结果等于（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ， ． 72．分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，可知分式与的最简公分母为． 【详解】解：， 分式与的最简公分母是． 73．分式与的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 74．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 75．约分、通分 (1)； (2)和． 【答案】(1) (2)通分后分别为和 【详解】（1）解： （2）解：最简公分母为， 通分后分别为和 76．通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，以及对分母因式分解和处理互为相反因式的变形技巧是解题的关键． （1）确定各分母系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂，得到最简公分母，再将每个分式的分子分母同乘相应因式，使分母统一为最简公分母； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，注意处理与的符号关系，再通分； （3）确定各分母系数的最小公倍数和字母的最高次幂，得到最简公分母，再对每个分式变形． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． （3）解：最简公分母是， ， ， ． 考点10异分母分式加减法 77．计算 的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形统一分母，将异分母分式化为同分母分式，再合并分子，利用平方差公式分解因式后，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 78．化简 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通分，再进行分式加减运算． 【详解】解： 故选：D． 79．计算：________． 【答案】 【分析】先统一分母，将原式转化为同分母分式的加减，再根据同分母分式加减法则计算，最后约分得到最简结果． 【详解】解： ． 80．定义，即当时，；当时，，则_____． 【答案】 2027 【分析】先推导得到，且，据此对原式两两配对，再加上的值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 原式 ． 81．阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题． 计算： 原式…（第一步） …（第二步） …（第三步） (1)上述计算过程是从第______步开始出现错误； (2)请写出此题正确的计算过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】（1）第二步计算同分母分式加减时，错误去掉了公分母； （2）按照正确的分式加减计算方法计算即可． 【详解】（1）解：第一步对分母因式分解后通分，符合分式运算法则， 第二步计算同分母分式加减时，错误去掉了公分母， 因此计算过程从第二步开始出现错误； （2）解： 82．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 83．已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)， (3)； 【分析】（1）利用“值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算，约分后得到的常数即为值；先对进行通分化简，结合的关系，再利用完全平方公式推导的取值． 【详解】（1）解：① ② 因此，②是关于x的“4值分式”； （2）解：由题意得：， 则， 去分母得：， 整理得：， 则， 解得：； （3）解：由题意得：， ， ， 由于分式与是关于x的“k值分式”， 则； ， ， ， ， ． 考点11分式加减乘除混合运算 84．若，，则a与b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助因式分解，换元，逆用幂的乘方，用作差法比较大小即可． 【详解】解：设，则，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 85．计算： __________． 【答案】 【详解】解： 86．化简： ______ ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 87．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 88．化简： 【答案】 【详解】解： 89．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 90．化简：． 【答案】 【详解】解： 91．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、分式的混合运算以及代数式求值．解题的关键是对原式进行化简，化简时需分别对整式部分和分式部分进行运算，整式部分运用多项式乘法法则，分式部分先对括号内的式子进行通分，再将除法转化成乘法进行约分． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 92．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①已知两对值代入中计算求出与的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出的范围即可； （2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， 解得，； ②解，即， 解得； 解，即， 解得； ∴不等式的解集为， ∵关于m的不等式组恰好有2个整数解， 即， ∴， 解得； （2）解：∵对任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 展开得， 化简得， 再整理得， 由于上式对于任意实数x，y都成立， ∴， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk co m 专题09 分式与分式运算1 考点归纳 考点01分式的判断 考点02分式有无意义的条件 考点3分式的求值 考点04求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 考点05约分 考点06最简分式 考点07分式乘除混合运算 考点08含乘方的分式乘除混合运算 考点09最简公分母与通分 考点10异分母分式加减法 考点11分式加减乘除混合运算 考点专练 考点01分式的判断 1.代数式a+b,,+少，中分式有() 2’2x’x-y’ A.1个 B.2个 C.3个 2.在3四、3中分式的个数有（) 2x4`元xy A.0个 B.1个 C.2个 3.在1,1，+1,3ya+1,1中，分式有（) -,a+ x’2’6’元 m x+y A.1个 B.2个 C.3个 4若x1是分式，则⑧可以是() A. B.2026 C.0 5,若十是分式，则可以是() A.0 C.1-x 6车子是是可中，分个地是〈 A.3 B.4 c.5 1/15 上好每一堂课 1大题型归类 D.4个 D.3个 D.4个 D.x D.π D.6 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.有理式严」 m+小，兰中，分式的个数有《) 1 A.1个 B.2个 C.0个 D.3个 8.嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有() 判断题，对的打”，错的打“×” ①代数式”、m+”都是分式(×) 4 m ②当a=3时，分式m+”无意义(v) a-3 ③若分式-2的值为0，则x=±2(V) x-2 ④式子=什从左到右变形正确心 ⑧分式号是总销分式60 A.②③④ B.①②⑤ C.①② D.③④⑤ 9.已知4+30_6+3C-C+3=m,一次函数y=x+m的图象过点1,3，则一次函数=x+m的解析式是 a+bb+cc+a (a+b+c≠0)」 考点2分式有无意义的条件 10.根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是() -2 -1 0 1 2 y 米 米 … 无意义 无意义 0 A.+2 B.+2 C.x-2 D.x+2 x-1 x+1 x2-1 x2-1 11.根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是() 0 1 0 无意义 A.-1 B.t+1 C.x-1 D.+2 x+1 x-1 x+2 x-1 12关于分式二子，下列说法正确的是《) A.化为最简分式等于 B.分式无意义的条件是x=-2 x-2 2/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.当x=2时，分式的值为零 D.当x=2时，分式无意义 1品.若代数式广+-2八有意义，则的取位花园是() A.x≥1 B.x≥1且x≠2 C.x≠2 D.x>1且x≠2 14.若G x 则x应满足的条件为() √x-6Vx-6 A.x>6 B.x≥0 C.0≤x<6 D.x≥6 15.若分式3的值为零，则x= x-3 16.若式子K中5 2 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 17.函数y=2x3中自变量的取值范围是 x-1 18.当x= 时，分式-4的值为0. x2+x-2 3x-3<21+x) 19.若数a使关于x的不等式组 a+2 x≥ 有宝只有四个整数解，且关于a的代数式。2-a有意 5 义，则符合条件的所有整数a的和为 20.函数y=2x+ +(x-3)2中，自变量x的取值范围是 1-2x 21.已知分式n-,其中m、呢常数，且当x=-1时，分式无意义；当x=-2时，分式的值为0.求 2x+m 当x=1时，分式的值. 考点03分式的求值 22.己知实数m,n满足m=2m+5,n2=2n+5,且m≠n,则下列结论一定正确的是（) A.m+n=-2 B.mn=5 C.m2+n2=14 D.1_1_26 m n 5 23.已知2a+b=5,则5a-(a+2b) 4a-62的值为() 4.2 B c.2 D.4 5 9 24.给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a,第二个数记为42，第三个数记为4，以此类推，第n 个数记为4，n为整数》.已0a,了+4，并规定：02，如：4气Q:。以下器 a, 论中，正确的个数为() 3/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①a2025=x+4; ②若g=3,则3r-3 8x-6-2 ③若4a42a…a2s=8,则a1=4 1 4-的值为整数，则满足条件的整数x共有6个. ④若4224-1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 25.若广行则的雀为 x+y 25.若实数a,b同时满足a6+2a+26=5,ab-2a-26=1,则上+2的值为 a b 27.若+=3，则2-3w+4y 的值是 x 2y x+2xy+2y 28.已知2=18,3°=12，则1+ 1 的值为 a+1b+1 、4(x-2y)+6y的值. 29.已知2x+y-5=0,求代数式4xy 30.已知2a2+8a=-2. )求a+1的值： 2记T=a+ma+1,当m=9时，求T的值. 2a3+ma2+2a 31.如图所示的是小敏同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题. 数学日记：今天在解决一道分式求值题时，我用了两种不同的方法，都得到了同样的结果. 题目：已知上+-3，求2a-3ab+2 的值 a b a+2ab+b 方法1：由上+=3，得4+b=3,所以a+b=3b. a b ab 代入所求分式： 2a-3ab+2b 2(a+b)-3ab 2x3ab-3ab 6ab-3ab 3ab 3 a+2ab+b (a+b)+2ab 3ab+2ab 5ab5ab 5 方法2：直接对原式进行变形，分子分母同时除以b… (1)“方法1”中运用了分式这一章的数学依据是 (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整， B)若上-=2，（a、b都不为0)请直接写出30-5ab-3边的值. a b 2a+2ab-2b 4/15 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点04求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 32.分式6-3x的值为正数的条件是() A.x<2 B.x<2且x≠0 C.0<x<2 D.x>2 宝.如果分式5一的值是正数，那么的取值围是，若分式2的值为整数，则的整数值为 2-3x 34.填空： (1)当x 时，分式1 的值为正； -x+5 (2)当x为 时，分式2 ,的值为负； 2 (3》当为时，分式二的值为正整数。 35.已知分式2x+b (a,b为常数)满足表格中的信息. x-a x的取值 1 2 分式的值 无意义 0 (1)a=-,b=-: (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围. 36.仔细阅读下面例题，解答问题， 例题：当：取有省时，分式一的值为正？ 解：依题意，得 -x>0 2x-1 2x-1<0 则有(1) 2x-1>0或(2) 1-x>0 1-x<0 解不等式组(1)，得<x<1; 2 解不等式组(2)，得不等式组无解. :不等式的解集是！<x<1. :当<x<1时，分式的值为正。 2 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式2x一4的值为负？ x+3 37.阅读理解： 材料：为了研究分式上与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： .4 -3 -1 0 1 2 3 4 -0.25 -0.3 -0.5 -1 无意义 1 0.5 0.3 0.25 从表格数据观察，当x>0时， 随着的增大， 上的值随之减小，若x无限增大，则二无限接近于0；当 x<0时，随着x的增大， 上的值也随之减小 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式.如果 分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式.任何一个假分式都可以化为一个整式与一个 真分式的和.例如： 1957 x-2x-2 -2 根据上述材料完成下列问题： 1)当x>0时，随若x的增大，2+的值增大或减小：当x<0时，随着x的增大，3x+1的值_（增大或 减小)： (2)当x>-3时，随着x的增大， 的值无限接近一个数，请求出这个数 3)如果分式2r'的值为整数，求x的整数值： x-1 (4)当0<x<1时，直接写出代数式3x一4值的取值范围是 x-2 38.阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的 分数，叫做“假分数”.类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等 于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为”真分式”.如：一1 x+1 。这样的分式就是假分式：再如：3,2x这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式， x+1 x+1’x2+1 类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）. 如：-1-x+)-2=1-2 x+1x+1 x+1 解决下列问题： 分式三是（填真分式”或假分式”，将假分式+6化为带分式为 x+3 6/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2)如果分式+1 的值为整数，求满足条件的整数x的值； x-3 3)若分式2+1的值为m,直接写出m的取值范围是 x2+1 考点05约分 39.化简a2-3a的结果是（) a2-6a+9 A.a B.a C.a D.a a-3 3-a a+3 a+3 40.已知2-1=1，且x≠y,则y- x v y-x 41.将下列分式化简 (1)36abc 6abe2 (2)4-2a+1 1-a2 42.约分：a2-10a+25 a2-25 43.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式 的巧整式”.例如4r-8r_4x(x-2)=4x,则称分式4-8r是巧分式”，4x为它的巧整式”.根据上述 x-2 x-2 x-2 定义，解决下列问题 (1)下列分式中是“巧分式”的有（填序号）： ①-2r3r+2,②2x+5,③-y (x-1)(x+2) x+3 x+y 2若分式-4r+m(m,n为常数)是一个巧分式”，它的巧整式"为x-7,求m,n的值. x+n a m+n+p 44.定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样b，2m的分式称 c+d n+p 11 为繁分式。利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简日时，繁分式的分子分母同乘 11 a b b得到b-a 2t 3 ;若实数m,n满足m+n=- b+a 2+2’mn=- 2+2 (1)m+n (用含t的式子表示)： mn 7/15 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,612 2t+ 2求证：不论1取何值，分式合号化简后都为一个定值，并求出该定值。 -t+ n m 45.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”. (1)下列分式：①-1 x2+1 :②a6 0262:③r+y ②0-2b @(a+·其中"和谐分式”是 (填写序 号即可)； (2)在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”， 写出所有结果 m2-n2;m2+2mn+n2;m-n. )若a为正整数，且。x+1为和谐分式，a的值为 x2+ax+4 46.一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例 如： ①+1_(x-+2-1+2 x-1x-1 x- ②2--4+4-x+2x2到+4=x+2+4 x-2 X-2 x-2 -2 仿照上述方法，试将分式2r-1化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式： x+1 2)若分式P-4x+2的值为整数，请求出整数x的值。 x-2 机贤分品 (1)化简该分式： (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； )(证移)类比上迟分式，设计一个分式，使其化简后为牛名并说明设计思路。 考点06最简分式 48.下列分式中，最简分式是（) A.x+1 B.x+1 c. 2x D. 2x-3 x2+1 x2-1 6-4x 49.下列说法正确的是() A分式的值为0，测的值为1 8/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com B.分式a的分子、分母都乘以m,分式的值不变 b c.分式2g中的X,y都扩大3倍，分式的值不变 x+v D。分式产1是最简分式 50.下列说法正确的是() A无论x为狗值2总有意义 B.分式1-x是最简分式 x-1 c.分式-9值为0，则x的值为3D.代数式，x是分式 x+3 4+元 r+2+:②a-b 51.下列各式中：①，x+y ;③+y (b-a° +少2；国m+n 5π 式有() A.2个 B.3个 C.4个 D 52.下列说法正确的是() A,分式=4的值为零，则x的值为±2 x-2 B.根据分式的基本性质，等式m=m n nx2 C,分式x+1 x2+1 是最简分式 0.分式3”，中的餐扩大2信，分式的能不变 53.下列说法正确的有（) ①分式x+1是最简分式： x2+1 ②若分式x-9 x2+2x-3 的值为0，则x=±3； ③根据分式的基本性质，等式m=mx成立： n nx ④将分式3x2的V都产大到原来的3倍，分式的值不变 A.1个 B.2个 C.3个 D 54.下列说法正确的是() A.若分式-4值为0，则x的值为±2 x-2 9/15 上好每一堂课 ⑤5x+!,是分式并且属于最简分 5个 4个 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.根据分式的基本性质，”可以变形为 mx2+1 n nx2+1 C.分式，，中，x,y都扩大2倍，分式的值不变 3x+2y 0.分式x+1 x2+1 不是最简分式 55.在分式，36，+，m-,+四，a+b-C中，最简分式有_个. 3+3a’a2-b' m+n 2x c-a-b 56.阅读理解： 材料1：为了研究分式1与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： X -4 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.25 -0.3 -0.5 -1 无意义 1 0.5 0.3 0.25 x 从表格数据观察，当x>0时， 随着x的增大， 1的值随之减小，若x无限增大，则二无限接近于0；当 :<0对，随若的蜡大，的值也骑之诚小 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式.如果 分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式.任何一个假分式都可以化为一个整式与一个 真分式的和。例如： 2x+12x-4+4+1_2x-2)+5_20x-2+5=2+5 x-2x-2 x-2x-2x-2 x-2 根据上述材料完成下列问题： 1)当x>0时，随着x的塔大，2+的值增大或减小：当x<0时，随着x的塔大，3+的值-（增大或 减小)： 2当>-3时，着的增大，生的佰无限接近一个数，请求出这个数 )当0<r<1时，直接写出代数式3x-4 值的取值范围是_ x-2 考点07分式乘除混合运算 57.计算：，x-1÷x2-1 x2-4x+4x2-4 58.计算： 10/15 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)x+2 x2-2x x2-4x2-4x+4 59.计算： (1)30.ab2.66 b-aba (2)1+x2-3x x-1x2-1 60.计算： '3y（z 23x+1 x2+4x+4 (x+1 x+1 61.计算： 1 x+y 2)-y 2x-2yx; a2b）3 -cd 62.先化简a-1 a2-2a+1a2-1 ,再找一个你喜欢的数作为a的值代入求值. a+2a2-4a-2 63.计算： a+1 化简求值，先化简：一-4，÷=2+-，然后从0,1,2,3中选泽你喜欢的X值. x2+4x+4x2+2xx-1 考点08含乘方的分式乘除混合运算 =3,则ab4=() A.6 B.9 C.12 D.81 65.计算或化简： {{〔j: 11/15 可学科网·上好课 WW m2-4m+4 m2-4 66.化简： j(i 67.计算： jw 68.计算： a26 3)x-1 69.计算： a8{0j(-2ar. G w 考点09最简公分母与通分 0把分式2g- 1 和(+1通分， A.最简公分母是(x-2(x+1)2 B. x+1 C.(x-2(x+1(x-2x+1 D. 1计软。的益果等于（入 A.3 B.、3 x-2 w.zxxk.com 上好每一堂课 下列结论错误的是() 1 x+1)2 x-2(x-2(x+1) 2x-2 (x+1)2(x-2(x+1)2 -3 D.3 x+2 12/15 命学科网·上好课 WW 72.分式、1 3a 与 的最简公分母是 2a+2batb 7乃，分式22与2的量简公分每为一 74.阅读下列解题过程，回答下列问题： 23 例如：求y'w 2的最简公分母. 解：第一步：1， 23 第二步：2,2,3 第三步：x2y2,2y,3x. '的最简公分母是xy. 23 请用以上方法解决下列问题： 1)求C,只，力的最简公分母： ab’bc’ac 3 1 2求2x,6可·4的最简公分母。 75.约分、通分 (1)4ab2c 12a'bc: 1 1 2)-2x和2-4 一和 76.通分： (1)4▣，7b 5b'2c’10ac 3 (2) 1 2a2-4’4-2a a2 b 3)2a6’6e'3de 考点10异分母分式加减法 244x的结果等于() 77.计算，x2 A. 8,1 C. x-2 x+2 8化箱+0的买是（) w.Zxx k com x+2 D.x-2 13/15 系一每丁 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.a+1 B.a-1 C.a-1 D.a+1 a+1 a-1 79.计算：3+7-2x x-22-x 顶古字.可。 1 fi-20261+1-2021++-2+-+f0+/+++0+/(026J- 81.阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题. 计算：，m」 mnw m m-n m+nm-川m+nj(m-n…（第一步) 原式= =m+m-n.(第二步) =2m-n…（第三步) (1)上述计算过程是从第 步开始出现错误； (2)请写出此题正确的计算过程 82.计算： 1)2r-3x-1 x-2x-2 (2a+b "a-b'b-a 83.已知分式A与B,当存在A与B的差为常数k,则称分式A与B为关于x的k值分式”.例如A=2x x-1 ，B=2 因为1B2x-2-22,所以4与B为关于x的2值分式. x-1x-1x-1 (1)下列_（填序号）是关于x的“4值分式” 0品与品 ②4r-1与」 1 2x+1 化法分式P-t与Q=+曾是关于的2值分式求。与6的在： x2-1 法分式人22x+专R4x-列关于的分，出k的值：若此时A空B 1-x x-1 使得A+iB+1 A B =1成立，请直接写出A2+B2的值. 14/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点11分式加减乘除混合运算 84.若a= 202511+1 b= 2025222+1 ,则a与b的大小关系为() 2025222+1’ 2025333+1 A.axb B.azb C.a<b D.a≤b 85.计算： a2-a 86.化简： 1,x2-2x+1.x-1 x+1x2-1°x+1 87.化简： a2-4 1-a-2÷a2-4a+4 88.化简： .a2-4 9无化商考求：2z-如+-小其中x-产-份 90.化简： a-a .a2-4a+4 a-1 a-1 9无化，再：2-2小-24引+》 其中x=+ 92.对，y定义一种新运算A,规定：△x=+ x+3y (其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常 的四则运算，例如：△(0,1=ax0+b×1_b 0+3×13 (1)已知△(1，-1=1，△(2,1)=4 ①求a、b的值： ②若关于m的不等式组 A(-3m,m+≤6恰好有2个整数解，求实数p的取值范围. △(6m,1-2m<p (2)若△(xy)=△(y,x)对任意实数x,y都成立（这里△(x,y),△(y,x)都有意义），则a、b应满足怎样的关 系式？ 15/15