江西吉安市白鹭洲中学2026届高三考前强化训练数学B

**基本信息** 高三数学三模卷，以智能协作机器人训练、出行平台动态调价、希尔密码等真实情境为载体，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、圆锥外接球、向量夹角|仿生蝴蝶设计考向量夹角余弦值| |多项选择|3/18|三角函数性质、函数图像交点|考三角函数平移与对称中心| |填空|3/15|抛物线焦半径、样本方差、解三角形|结合样本数据计算方差| |解答|5/77|概率统计（动态调价）、立体几何、椭圆、函数导数、希尔密码|希尔密码题融合数学文化与逻辑推理，动态调价问题体现数据应用意识|

高三年级强化训练（B) 数学·答案 1.B 【详解】由题得A={yy>0},则A⌒B=. 2.D 【分析】根据复数除法乘法运算求解」 【详】器用：片可 故选：D 3.D 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为r,则有2=1+(3-) 则该圆锥的外接球表面积了=42=100元 . 9 4.A 【详解】由题图，知A(0,-2),C(3,0),又B(-1,3),所以OB-OC 则cos(OB-OC,OA (OB-0C)0A-63 0B-0cOA5x25· 5.D 【分析】由y=女+的单调性，可得f(y)在R上是单调递减函数， x+1 【详解】因为y=-口+在(0，+∞)上是单调递减函数， x+1 若∫(x)在R上是单调函数，则y=ax2-2x+5,x≤0是减函数， a>0 所以a=0或 >0 ,所以0≤a≤2 a am2+1≤5 故选：D. 6.B 【详解】由题意得，t(m=t(m-t(n+1)=50e0m+10-50eo1m-o1 ≈5e01n<0.5, 则e1n<0.1,则-0.1n<-2.3,得n>23, 答案第1页，共11页 解一 (1,3)(3,0)=(4,3) 求解即可. -10=50e01r1e0） 故达到停止训练条件的迭代次数至少为24. 7.B 【分析】根据题意，得到 3女，构造等比数列，求出21， 141 a. 3可，得出数列{a}的 通项公式，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由a+1 3an 4,+1,可得 1-中142，即1-2= 1-2 +13a33a 3 a 所以数列 1-2是以2-2=-1为殖项，3为公比的等比数列， a 1-2=-1 所以 2 1 -1，即 3,可得a=、3-1 1 1 Γ23-1-124.3-1-2 根据指数函数单调性知，可得数列{a}是单调递减数列 8.A 【分析】根据切线的性质和双曲线的定义可得O、O2的横坐标为α，设直线PQ的倾斜角为 0,则∠PR月=-0，得到5am9,5=2am?,进而可得内切圆面积之和最小值时0= tan 2 再求△OO,面积即可. 【详解】根据题意PM=PN,EB=FN,AM=AB, 因为A在y轴上，所以A=A引， 所以P-PF=PM+AM+A-（PN+FN） =AM+A-EN=AB+AF-EB=2AB=2a,解得a=5, 设两内切圆半径分别为1,3，P、PE耳至与圆O分别相切于点R,S,T, 由切线长定理得P-PF=PR+R-(（PS+|SF) 答案第2页，共11页 -|PR+|TR-（IPR+|TE) TR-TE =2a 而T+T=2c,两式相加得T=a+c, 所以T是双曲线的右顶点(a,0),OT⊥x轴，所以O的横坐标为a,同理可求得O的横坐 标为a, 则T=c-a=7-5=2, 设直线2的倾斜角为O,则∠P耳=兀-0， sin π8 2 2cos 在Rt△OTZ,Rt△O,TF中有5=2tan -2 π , coS sin tan- 2 同理可得5=2ta2' 设m=tan2e、 所以公+5=4 +m=4m+≥8，m-8, ,1）、 2 m n 显然，当π 4,即m=1,万=5=c-a=2时， 2 △P耳的内切圆与△QFF,的内切圆的面积之和取最小值8π， 此时△R00面积为7lQO=(c+ax2(c-a)=c2-d=49-25=24. 9.AC 【分析】根据三角恒等变换化简∫(x),利用正弦型三角函数的性质逐项判断即可得答案 【详解】f(x)=V3sin2.x+cos2.x=2 3 1 -sin 2x+cos 2x =2sin 2x+- 2 6/1 答案第3页，共11页 所以f(N)的最小正周期T=2亚=，故A正确： 函数y=2sm2x的图象向左平移乃个长度单位得到函数 6 y=2m2+2n2x+到)，故B不正： 对于函数f(x),由于 (12=2sin 2x 5 5π =2sinn =0, 126) 所以函数f(x)的图象关于点 厂5r,0中心对称，故C正确： 12 所以函数f(田)在区间36) ππ 上单调递增，故D错误 10.AC 【分析】设A(:,t),B(s,t),根据条件得出AB=5-=e-nt+1,构造函数 f(t)=e-ht+l(t>0)研究其单调性、最值即可. 【详解】设A(x,t),B(x2,t),则t=e+1=lnx,即x=nt-l,x=e, 则AB=6-=e-lt+1, 记f0=e-hr+1>0.则f=e- 令80=f0=e-则80=e+片>0， 则g(t)=∫(t)在(0，+o)上单调递增， 因j@)e-10f(日5-2<0， 所以存在4=公，使得了W)-0,尉e 6=-, 则f(t)>0得t>:∫(t)<0得0<t<t, 则∫(t)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增， 则/06)416》 因t→0时，e→1，nt→-o,则f(t)→+0， 故h到没有最大值，且：满足e=时，M有最小值f)) 则AC正确，BD错误. 答案第4页，共11页 故选：AC 11.AC 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公 式，对各个选项分析，即可求解 【详解】由第1列数4,42,4,4，…成等差数列，设公差为d, 又由4=2,40=8，可得4+d=2,4+3d=8,解得4=-1，d=3, 则第一列的通项公式为4=-1+(k-1)×3=3k-4, 又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列， 可得4+4+.+4=2+4+8+5+10+20+40+80=169，所以A正确，B错误； 又因为每一行的最后一个数为4,44,4g,416,, 且452=2025，可得a026是a0s的后一个数，且426在第46行第1列，所以C正确： 由题设可知第i行第j个数的大小为(3i-4)×21, 当i=1时，4=-1≠2026，与题意不符， 当i≥2时，令(3i-4)×2y-1=2026=1013×2,若j=1,则3i-4=2026无整数解； 若j=2,则3i-4=1013即i=339;若j≥3，无整数解，故D错误 故答案为：AC 12.3 【分析】由题意可得=1，可求得抛物线方程，由(，23)在抛物线上，可求 【详解】由题意知2=1，所以p=2,所以y=4x, 2 又因为x,2W3)在抛物线上，所以4x==12,解得=3. 故答案为：3. 3.n的 【详解】样本数据的均值x= 13.15511 因为∑(2x-92-∑(4x2-36x+81)=4∑2-36∑x+5×81=45, 1 所以42g2-36x+5x81=45,解得2-35， 2 i=1 2 所这组股事的方金r-这4-时-字-5x片铅s侣门子 答案第5页，共11页 14. 221 7 【分析】先对©04+Cc0B=3,进行通分，并应用正弦定理及同角三角函数的商数关系 acosC bcosC anA十tan Btan C,再利用诱导公式及两角和的正切公式，将其转化为 1 1 3 式计算得出 1 1 的关系式，最后用换元法，结合基本不等式计算求解得到最小值 tanA tan B 【详解】ccos4+ccosB =3,得b cosA+cosB=3, acosC bcosC ab cos C 由正弦定理得， sin Bsin CcosA+sin AsinC cosB=3, sin Asin B cos C 化简得，+13 tan A tan B tan C 若tmC<0,则c为钝角，且，1十，1。<0， tan A tan B 则tanA,tanB中至少有一个小于零， 即A,B中至少有一个钝角，与一个三角形中至多有一个钝角矛盾，所以tnC>0. 1 1 因为tanC=tan[r-(A+B)]=-tan(A+月=，tanA-tamB_tan B tanA 1-tanAtanB 1-1 1 tan B tan 4 1 1 3 tan B tan A 1.1 所以 tan B tan d. 1-11 tan B tan 4 令、1 =L, 1。=n,则m+n>0,且(m+m×m+”-3,即3m=3-(m+n2. tanA tan B 1-m 因为m2+P≥2，所以(m+mP≥4，即3m≤3(m+0 4 所以3-+r<3m生m,即0m+n号。 4 所以m+n≥ 2W21 所以、1 1 tan4 tanB 的最小值为22 7 @器 @号 【详解】(1)设事件A表示“出行目的为工作通勤”，A表示“出行目的为接驳交通枢纽”，A 答案第6页，共11页 表示“出行目的为其他”，事件B表示“乘客接受动态调价” 由题意得：4)=06-子P4)0104)-03高 Pa4)=8P)-号Pa4)-号 由全概率公式：P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A).代入计算： 33,1.4,319.4.341 P(B)=号×10+i0×3+10250502010 41 故该订单乘客接受动态调价的概率为 100 (2)由贝叶斯公式：P4B)=P4),CB4代入计算： P(B) 339 P(41B)=510=50=9x1009x218 41 4150414141 100100 8 故在接受动态调价的条件下，该订单出行目的为工作通勤的概率为 41 16.(1)证明见解析 腰 【详解】(1)四边形ABCD为菱形，∠DAB=T,E为棱BC的中点，所以DE L BC 又DE⊥平面ABCD,如图：以E为原点EC,ED,ED所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直 角坐标系 设AB=2则A(N5,-2,0),D(N5,0,0)A10,-2,BB0,-1,0)D0,0,) AD=(0,2,0),A4=（-V5,0,3),BD1=(0,1,V5),BA=（V3,-1,0), mAD=2y=0 设平面ADA的法向量为i=(x,y,)则 m4=-Vx+52=0'令x=1易得m=10,1). i.BA=3a-b=0 设平面ABD,的法向量i=(a,b,c),则 i.BD=b+√3c=0 令a=√5，则i=(5,3,-3) 所以mi=√5-√5=0，所以平面ADA⊥平面ADD, 即平面ABD⊥平面ADD 答案第7页，共11页 ZA D B a由w府a(1同9-(1-(19 「pDB=√5x-1=0 设平面BDF的法向量P=(:,1,),则 p.nF-- V3 25+525=0 令x=-V5,则万=(-V5,3,35) 平面ADD与平面B,DP的夹角的余弦值为c0sm= m或_-√3+35√26 √2x3913 17.(1)证明见解析 (2)(0,V3) 【分析】(1)表示出直线PQ的斜率和方程，联立椭圆方程，再根据韦达定理求解； (2)结合正弦定理面积公式建立关于x,x2,乃，乃的方程，再结韦达定理求解， kk 【详解】1)直线2的斜率k阳-=上=点 。k x3-X1X3-￥X3 立+写-1与=冬，化简得-44 联立42 30, 由4=16-16k 3>0得0<k<5. 由根与系数的关系得+巧=4作}= 3 由于6>0，所以=2 所以g=-- 32 所以直线Q的斜率为定值- 2 (2)sosin-poe--c poo 答案第8页，共11页 oOS-POO)P-(Op.00) =2国+)店+)-(+-G时+5r-2wy 33-=名 非÷ k(-) 2x 因为代-G-4s广=11-写) 所以S= 图-)4-3Vg 2xx2 4k 由(1)知0<k<5,则0<S<5,所以s的取值范围为(0，V3) (2)(-1,0) 【分析】(1)代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可； (2)先根据等差数列得方程x2-(2m+4)x+m2=0有两个不同的实数根，且两根都大于 max0,m,进而对m讨论，结合二次函数根的分布理论可得. 【详解】(1)将(2，-1)代入f()=log。x,可得1og.2=-1,得a= 2, 故f(=1ogx，该对数函数为定义在(0，+∞)上的减函数， 故由f(2x-1)>f(+1可得0<2x-1<x+1,解得号<x<2, 2 故不等式(2x->f+1)的解集为行2） (2)由已知可得2f(x-m)=f(x)+f(4), 即2log。(x-m=log.x+log.4,故x>max{0,m, 答案第9页，共11页 整理可得1og.(x-m)=log.(4x),故(x-m)=4x,得x2-(2+4)x+m2=0, 由题意可知方程x2-(2m+4)x+m2=0有两个不同的实数根，且两根都大于max{0,, 设g(x)=x2-(2+4)x+m2, 当m≤0时，nax{0,m=0,即函数g(x)在区间(0，+o)上有两个零点， (2+4)2-4m2>0 故27+40 2 ,解得-1<m<0, 8(0)=m2>0 当m>0时，max0,心=，即函数g(x)在区间(m,+o)上有两个零点， (2m+4)-42>0 故 21+4、 m ,不等式无解， 2 8(m)=-m(2m+4)+>0 综上可得实数m的取值范围为(-1，O) 19.(1)ec (2)(i)证明见解析：(i)证明见解析 【分析】(1)根据定义计算即可求解： (2)(i)由定义结合三角恒等变换得出f),令f(x)=0,得出x=m,keZ或x=匹+机， 6 k∈Z,结合x∈「0,3]分类讨论即可证明；(i)由平面向量数量积的定义及运算律，余弦定 理，勾股定理逆定理即可证明. 【详解】(1)me对应的数字分别为12,4，则(12,4) 01 =(4,28), 14 28对26的余数为2，所以密文两个字母对应的数字分别为4,2，则密文为“c”, (2)(i)由题意知(V3sinx,1) cosx√3sinr =(3sinxcosx+sinx,3sin x+siny, sinxsinx 所以f)=5mcoa-an文：9n2x-子-cmxm+f升2 2 令f(x)=0,则sin2x+ πV3 32 所以x=k,keZ或x=亚+m,keZ, 6 答案第10页，共11页 若xeQ3引.则东只能取0，从而x=0或x-石 即方程f(x)=0在区间[0,3]上有2个解， 所以f(x)在区间[0,3]上有且仅有2个零点. (i)在△ABC中，A∈(0，)，则由(i)可知A= 6 E△ABc中，AB.ACbc, 由余弦定理得d=b2+c2-2ccos-b+c2-c, 由B-tAG≥BC两边同时平方得c-y.5bc+6≥ad, 2 化简得bt-V3bct-亿2-5c)上0，即b2-V5ct-亿-5c)上0恒成立， 则关于t的二次方程b2-V5ct-亿-5c)=0至多只有1个实数根， 所以△=3c2+4b(b-V3C=(2b√3d≤0， 又(2b-3c)≥0，所以(2b-3c=0. 所以2b=√5c,从而b=√3a,c=2a, 所以c=a+,即C受，得证。 答案第11页，共11页 保密★启用前 高三年级强化训练（B） 数 学 考生注意： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C． D． 3．已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为 A． B． C． D． 4．如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点的坐标为，另一个前尖端点、尾突点均在格点上，则与的夹角的余弦值为 A． B． C． D． 5．已知函数在上是单调函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．某科技企业采用大模型训练一款智能协作机器人，该机器人完成单次精密装配任务所需时间（单位：秒）与训练迭代次数的关系式为.定义“边际时间缩短量”为，当时，继续训练节省的工时收益将低于算力成本，应停止训练.已知，则达到停止训练条件的迭代次数至少为 A．22 B．24 C．26 D．28 7．已知数列的首项，且满足，则数列 A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 8．已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为 A．24 B．25 C．48 D．49 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列关于函数的说法正确的有 A．函数的最小正周期为 B．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数在区间上单调递减 10．若直线与两个函数的图象分别交于点，则 A．取得最小值时， B．取得最大值时， C．的最小值在区间内 D．的最大值在区间内 11．将数列中的所有项排成如下数阵．从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，，则 A． B． C．位于第46行第1列 D．2026在数阵中出现两次 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若抛物线的焦点为，点在抛物线上，则___． 13．已知一组样本数据满足，，则这组数据的方差为___． 14．记△ABC的内角的对边分别为，已知，则的最小值为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某出行平台为缓解A市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，A市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从A市高峰时段所有订单中随机抽取一单． (Ⅰ) 求该订单乘客接受动态调价的概率; (Ⅱ) 已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率． 16．（15分） 如图，在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为棱BC的中点，平面ABCD，且． (Ⅰ) 证明：平面平面; (Ⅱ) 若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分） 已知椭圆与曲线在第一象限内有两个不同的交点和，且． (Ⅰ) 证明：直线的斜率为定值; (Ⅱ) 记为坐标原点，的面积为S，求S的取值范围． 18． （17分） 已知（其中，）． (Ⅰ) 若函数的图象过点，求不等式的解集; (Ⅱ) 若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围． 19． （17分） 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字（，，…，）来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，，记，加密矩阵，加密过程是，其中，，则密文为数字，分别对应的字母，若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，如若得到，则取数字4对应的字母． (Ⅰ) 若加密矩阵，求明文为“me”的希尔密码的密文; (Ⅱ) 若，; （ⅰ）证明：在区间上有且仅有2个零点； （ⅱ）已知分别为△ABC的内角的对边，，且，恒成立，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $