专题1相交线与平行线易错题型专项训练（15大题型）2025-2026学年人教版七年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦相交线与平行线15大易错题型，针对性拆解概念混淆、判定误用等高频问题，以题载理构建从基础概念到综合应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|题型1-3（12题）|角度计算、垂线理解、距离辨析|从对顶角/邻补角计算到垂线性质，夯实几何基础概念| |三线八角与平行公理|题型4-5（8题）|角的识别、公理应用|通过图形识别建立位置关系认知，强化平行公理理解| |平行线判定与性质|题型6-11（24题）|判定应用、性质探究、综合证明|判定与性质双向应用，结合实际问题提升推理能力| |平移及其应用|题型12-15（16题）|性质计算、作图、实际问题|从平移性质到作图与实际应用，体现几何直观与应用意识|

专题1相交线与平行线易错题型专项训练 【温馨提示】本专题梳理相交线与平行线 15 大易错题型，聚焦概念混淆、判定误用、角度计算疏漏等高频问题，针对性拆解易错点，强化解题思路，帮助规避失分陷阱，夯实几何基础。 题型1 利用对顶角、邻补角求角度 题型9 平行线的性质在生活中的应用 题型2 垂线定义的理解 题型10 根据平行线判定与性质求角度 题型3 点到直线的距离 题型11 根据平行线判定与性质证明 题型4 同位角、内错角、同旁内角的识别 题型12 定义、命题、定理 题型5 平行公理和推论的应用 题型13 利用平移的性质求解 题型6 平行线的判定 题型14 利用平移的性质解决实际问题 题型7 根据平行线的性质探究角的关系 题型15 平移（作图） 题型8 根据平行线的性质求角的度数 题型1 利用对顶角、邻补角求角度 1．如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知比例求出 的度数，再利用对顶角相等得出 的度数，最后根据 即可求解． 【详解】解：， 与 的度数之比为 ， ， 直线 、 相交于点 ， ， ， ， ． 2．如图，直线，相交于点O，若，则等于______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．如图，直线，相交于点，平分，射线在内部． (1)若，求的度数； (2)若，，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)与垂直，理由见解析 【分析】（1）由对顶角相等，邻补角互补求出，，由角平分线的定义得出，即可求出的度数； （2）先求出，再根据对顶角相等得到，根据平角的定义求出的度数，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ． ． （2）解：，理由如下： ，， ． ． 平分， ． ． ． 4．如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)与垂直，理由见解析 【分析】（1）根据对顶角定义直接求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义可得的度数； （3）根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义可得． 【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是； （2）平分，， ， ， 的度数为； （3）与垂直，理由如下： 平分，平分， ，， 又， ， ． 题型2 垂线定义的理解 5．如图所示，王师傅为了检验门框是否垂直于地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅锤线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（     ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】解：根据题意，所用数学知识为：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 6．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则____． 【答案】 【分析】由对顶角相等可得，由垂线的定义可得，作差即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，进而根据即可求解； （2）设 ，由角平分线的定义得到，因此 ．由，得到，即可列出方程，求得，因此，根据对顶角相等即可解答． 【详解】（1）解：和是对顶角， ． 平分， ， （2）解： ， 设 ． 平分， ， ． ， ， ， ， 解得， ， ， ． 8．如图，直线与相交于点O，． (1)若，说明与的位置关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型3 点到直线的距离 9．某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴小明最终的跳远成绩是线段的长度． 10．如图，点A，B，C在直线l上，点P为直线l外一点，连接，且，若，，，则点P到直线l的距离是________． 【答案】4 【分析】根据“直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”进行解答． 【详解】解：垂线段最短，于点B，， 点到直线的距离是． 11．点是直线l外一点，、、为直线l上的三点，，，，则点到直线l的距离为（   ） A．小于 B．等于 C．等于 D．不大于 【答案】D 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，点P到直线l的距离即为点P到l的垂线段的长度． 又已知，，，是给出的线段中长度最短的， ∴点P到直线l的距离，即不大于． 12．如图，已知点O在直线上，点E，F是直线外的点，连接，，，且，过点E作于点M，则点E到的距离是线段_________的长度． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴点E到的距离是线段的长度． 题型4 同位角、内错角、同旁内角的识别 13．如图，在所标识的角中，同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同位角的定义进行判断，即：两条直线（被截直线）被第三条直线（截线）所截时，形成的八个角中，位于被截直线的同侧，且位于截线的同侧的两个角叫作同位角． 【详解】先确定被截直线和截线，找到在被截直线同侧和截线同侧的两个角就是同位角，观察图形发现，与是同位角，与是同旁内角，与是对顶角，与是内错角． 14．如图，直线被直线所截，与是内错角的是（   ） A． B． C． D．没有 【答案】C 【详解】解：如图所示，与是内错角的是． 15．如图所示，与是同旁内角的角为__________． 【答案】 【详解】解：与是同旁内角的角为． 16．如图，①和是___角；②和是___角．（选填“同位”、“内错”、“同旁内”、“对顶”、“邻补”） 【答案】 内错 同位 【详解】解：①和是内错角； ②和是同位角． 题型5 平行公理和推论的应用 17．下列说法中，正确的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．连接两点的线段是两点间的距离 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】根据相关公理和定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵A选项缺少“同一平面内”的前提，正确结论为同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴A错误，该选项不符合题意； ∵两点间的距离是连接两点的线段的长度，不是线段本身， ∴B错误，该选项不符合题意； ∵相等的角不一定是对顶角，例如两个位置独立的直角相等，但不是对顶角， ∴C错误，该选项不符合题意； ∵根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， ∴D正确，该选项符合题意． 18．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：由题意可知，当时，；当时， ， 点，，在同一直线上 其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 19．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 20．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 题型6 平行线的判定 21．斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组在安全的前提下测得，验证了斑马线是由一组平行线组成的．这种验证方法依据的基本事实是（     ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：，且为同位角， 根据同位角相等，两直线平行，判定直线是平行的． 22．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：①， ． ②， ． ③， ． ④， ． 综上，能判定的条件有①③④． 23．如图，，，，为的平分线． (1)请问与平行吗？试说明理由； (2)请问与平行吗？试说明理由； 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，根据同位角相等，两直线平行，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】（1）解： ； 因为，所以， 因为，所以，所以； （2）；理由： 因为，所以， 因为为的平分线，所以， 因为，所以，所以． 24．根据解答过程填空． 已知：如图，，平分交于点F，．求证：． 证明：∵ ∴（ ）， ∴ ∵平分（已知）， ∴（ ）， ∴ ∵， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴ 【答案】证明过程见详解 【分析】根据平行线的判定方法，角平分线的定义，平行线的性质进行作答即可． 【详解】证明：∵ ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴． 题型7 根据平行线的性质探究角的关系 25．如图，已知，截于点A、B，①若平分，则；②若平分，则；③若，则平分；④若，平分，则平分．则上述结论正确的是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】①利用角平分线的性质以及平行线的性质求解； ②利用角平分线的性质以及平行线的性质求解； ③根据垂直无法得出结论； ④根据平行线的性质求出相关角的度数，根据角平分线的定义可得结论． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①选项符合题意； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②选项不符合题意； ③根据，无法得出平分，故③选项不符合题意； ④∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分，故④选项符合题意． 26．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）过拐点作平行线，利用内错角相等，将大角拆成两个分别等于和的小角，得到数量关系； （2）过两个拐点分别作平行线，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，将目标角拆分为两部分，再用含，，的式子表示． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，， ， ． 27．已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，可得，可证明，从而可证明； （2）求出，由可得，由平分平分，求出，再根据三角形外角的性质可得结论； （3）分类讨论，过拐点作平行线：过R作，过Q作，然后设参，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （3）解：设， 过R作，过Q作， 则，， 第一种情况：如图，当点Q在线段上时， 则，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：如图，当点Q在点E上方时， 此时， 则， ∴， ∵， ∴； 第三种情况：如图，当点Q在点F下方时， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 28．综合与实践： 课题 探究一副三角尺中的平行线问题 素材背景 利用平行线的性质探究一副三角板摆放不同位置涉及的数学问题 素材 如图1是一副三角尺，，，，， 问题解决 任务图 (1)如图2，将两个三角尺如图摆放，使点和点重合，点在上，与相交于点，则的度数为______度； (2)如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点，探究与有怎样的数量关系？ (3)将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合，当点在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行时，的度数所有可能的值（直接写出答案，如图4提供了其中一种情况）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)的度数所有可能的值是或或或或 【分析】（1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）当；；；；五种情况时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或或或， 理由如下：依题意有以下5种情况： ①当时，如图4①所示： 则， ∴； ②当时，如图4②所示： 则， ∴； ③当时，如图4③所示： 则； ④当时，如图4④所示： 则， ∴， ∴； ⑤当时，设与交于点，如图4⑤所示： 则， ∴， ∴． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或． 题型8 根据平行线的性质求角的度数 29．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过F作，根据平行线的性质分别求出，，即可得解． 【详解】解：过E作，过F作， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ． 30．如图所示，直线，点，分别在直线，上，点为直线与之间的一点，连接，，，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为________． 【答案】或 【分析】分两种情况画图讨论：分别过点和点作，，可得，根据，可得，情况一，根据平行线的性质可得；情况二，根据平行线的性质可得．进而得到结论． 【详解】解：分两种情况画图讨论：分别过点和点作，， ， ， ， ①如图1， ， ，， ， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ， ， ，， ， ②如图2， ， ，，， ， ， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ， ， ，， ． 综上所述：的度数为或． 31．已知：如图，，C为上一点，平分，，，求的大小． 【答案】 【分析】首先求出，然后根据角平分线的概念得到，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴． 32．问题背景：直线、、两两相交，交点分别为点、、，，点在直线上，过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)探究：如图1，当点在线段上时，求的度数； (2)应用：如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，的度数是否发生改变？请说明理由； (3)拓展：当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，度数发生改变，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，； （2）根据平行线的性质可得，，从而得出的度数； （3）根据题意先画出图形，同（2）的求解即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解：，度数发生改变； 理由： ，， ，， ； （3）如图所示， ，， ． ， ， ． 题型9 平行线的性质在生活中的应用 33．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】C 【分析】本题考查平行线的实际应用，两次拐弯后行驶方向与原方向相反，说明最终路线与原路线平行且方向相反，结合角度关系分析即可得到答案． 【详解】解：∵两次拐弯后行驶方向与原来方向相反，∴最终行驶路线与原路线平行，且方向相反． 选项A，第一次向左拐，第二次向右拐，最终方向与原方向相同，不符合题意； 选项B，第一次向右拐，第二次向左拐，最终方向与原方向不平行，不符合题意； 选项C，第一次向左拐，第二次向左拐，总拐弯角度和为，最终方向与原方向相反，符合题意； 选项D，第一次向左拐，第二次向右拐，最终方向与原方向不相反，不符合题意． 故选C． 34．林湾乡修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿（     ）方向修建，可以保持与的方向一致． A．北偏西 B．南偏东 C．北偏东 D．南偏西 【答案】C 【分析】延长至点G，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据平角的定义可得，最后根据方位角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长至点G， 由题意得：， ∴，， ∴， ∵要使与的方向一致，即， ∴， ∴， 即水渠从C村沿北偏东方向修建，可以保持与的方向一致． 35．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 【答案】 137 【分析】 根据题意得出 ，，利用平行线的性质分别求出 和 的度数，进而求和． 【详解】解：由题意可知， ，． ， ． ， ． ， ． . ， ． ． 36．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，求的度数． 【答案】 【分析】过作，过作，得到，根据两直线平行，内错角相等得到，，代入计算即可． 【详解】解：过作，过作， 由题意可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型10 根据平行线判定与性质求角度 37．如图所示的是由4条线段，，，组成的“鱼”形图案，若，，，则的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】B 【分析】根据判定，再利用平行线的性质及对顶角相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图， 设的对顶角为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 38．如图，在四边形中，，，P是上一点，连接，E是延长线上一点，连接，且，．若，则的度数为________． 【答案】 54 【分析】首先根据同旁内角互补判定，利用平行线的性质求出的度数，再根据利用平行线的性质得出与的关系以及与的关系，最后通过角的和差计算得出结果． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 39．如图，已知，点为平面内一点，平分，过点的直线交于点，． (1)试问直线和有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，请试着求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平分，得，由，得，再由，证得，进而得，最后，由，得； （2）由，得，再由，得，代入数据即可求得的度数． 【详解】（1）解：，理由： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．丹东六中“创客”团队新建了一个名为“启航”的智慧钟楼模型，钟楼模型顶部分别有三个表盘，如图1，每个表盘上各有一根象征学校精神的指针，不仅是装饰，更是全校电铃和广播系统的逻辑触发器．其中指针（德育指针）速度是，指针（教学指针）速度是， 指针（特色指针）速度是． (1)如图2，指针，指针指向12点钟方向，指针指向6点钟方向，连接，，则， ，有怎样的数量关系，请说明理由． (2)在（1）的条件下，若，三个指针同时按照顺时针方向分别绕着A， B， C旋转，经过分钟同时停止运动． ①当t值是多少时，； ②是否存在某一时刻，使，若存在请直接求出t值；若不存在，说明理由． (3)在（1）的条件下，指针 和指针同时按照顺时针方向分别绕着B，C旋转，经过分钟同时停止运动，当 时， ？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)①45     ②存在，t的值为或，理由见解析 (3)30 【分析】(1)延长至G，根据题意知，得，再由，代入后可得结论； (2)①首先，根据题意得，然后，进行两种情况分析讨论可知，两指针同向平行不存在，故当两指针反向平行时，即，可得， 解得即可； ②根据题意进行两种情况的分类讨论：第一种情况：当两指针反向平行时， 得，进而得，再得，，，最后，由，得，解方程即可；第二种情况：当两指针同向平行时，同第一种情况解题方法找准等量关系，列出方程解答即可； (3)根据题意知初始置时，且指针方向相反，可知垂直时两指针夹角为或，然后，列出关于t的方程，分别解方程并分析即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，延长至G， 根据题意知， ∴， ∵，即， ∴； （2）①解：根据题意知，又知， ∴， ∴， 根据题意知两指针同向平行不存在， ∴当两指针反向平行时，即，且，可 得 ， 解得， ∴当t的值是时，； ②解：存在，理由如下： 第一种情况： 如图2，两指针同向平行，当 顺时针旋转至，顺时针旋转至时，， 即，过B作， 则， ∴， 根据题意知，，， 由 (1)知 ， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得； 第二种情况： 如图3，两指针反向平行，当顺时针旋转至，顺时针旋转至时，， 即，过B作， 则， ∴， 根据题意知，则， 由(1)知 ，又知， ∴， ∴， 同理(1)可得， ∴， 整理，得， 解得． 综上，存在t的值使，t的值为或； （3）解：根据题意知初始置时，且指针方向相反，顺时针的旋转角度为，顺时针旋转的角度为． ∵， ∴垂直时两指针夹角为或． ①根据题意，得，即， ∴或，解得或 (不符合题意，舍去)； ②根据题意，得，即或， 解得(不符合题意，舍去)或(不符合题意，舍去)； 综上，当时，． 【点睛】本题解题的关键在于充分掌握旋转的性质、平行线的性质，能够根据实际情况分两指针同向平行及反向平行两种情况进行分类讨论． 题型11 根据平行线判定与性质证明 41．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 【答案】B 【分析】根据平行线的判定与性质可判断①②，结合角平分线定义及平行线性质可判断③，通过角度计算可判断④⑤． 【详解】解：， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， ， ， 平分，故③正确； 在延长线上取点M， ， ，， 比的余角小， ， ， 解得， ，，故④正确； 为的平分线， ， ，即， ， ，即， ，故⑤错误， 综上可知，结论正确的序号是①②③④． 42．如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 【答案】①②③ 【分析】由角平分线的定义，结合，可判断；由，结合平行线的性质，可判断；由角平分线的定义，结合平行线的性质，可判断；由，可得，，结合，可判断． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴正确， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴正确， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴错误， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴正确． 43．请补全下面的证明过程及括号内的相应依据． 如图，平分，，． 求证：． 证明：平分 （________） （已知） ________（________） （________） （________） 又+（________）= （________） （________） 【答案】角平分线的定义；，等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】根据平行线的判定和性质补充证明过程即可． 【详解】证明：平分 （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 又+（）= （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等）． 44．已知：过内一点作交于点，作交于点 (1)如图1，求证： (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，点，在射线上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，求的度数（证明过程中不能直接用三角形内角和） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行线的性质得出，，即可得出结论； （2）过点作平分，由角平分线定义得出，，，证出，得出，，即可得出结论； （3）设，则，，得出，，求出，过点作，过点作，由平行线的性质得出，，，，求出，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ，， ； （2）证明：过点作平分，如图2所示： 则， 射线，射线分别平分和， ，， ， ， ，， ； （3）解：平分， ， 设，则，， ∵ ∴ ， ， ， ， 过点作，过点作，如图3所示： ， ，， ，，，， ，， ． 题型12 定义、命题、定理 45．下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、平行线相关定理，逐个判断命题真假，统计真命题个数即可得到结果． 【详解】解：①∵点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，不是垂线段本身， ∴①是假命题； ②∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴②是真命题； ③∵只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不成立， ∴③是假命题； ④∵垂直于同一条直线的两条直线平行的结论仅在同一平面内成立，结论不成立， ∴④是假命题； ⑤∵根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行， ∴⑤是真命题； 综上，真命题共2个． 46．命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 【答案】 两个角的和为 这两个角互为补角 【详解】解：命题“和为的两个角互为补角”的条件是：两个角的和为，结论是：这两个角互为补角． 47．写出一个的值，使命题“”是假命题，这个值可以是______． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质：正数和零的绝对值等于它本身，确定命题为真时的取值范围，取该范围外的任意值即可得到符合要求的解． 【详解】解：若成立，则． 即当时，命题为真命题， 要使命题为假命题，只需满足，如（答案不唯一）． 48．某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 【答案】 3 4 【分析】（1）先确定每支球队共比赛4场，结合积分规则分析最低积分1分的组成，即可得到负场数； （2）要使排名第三的球队积分最低，需让前两名积分尽可能高，再结合各队积分均不同的条件，构造验证得到第三的最低积分． 【详解】解：每两支参赛球队均要比赛一场，每支球队共比赛场． （1）已知积分最低的球队积1分，根据积分规则，1分只能是 ，即该队0胜1平3负，因此负场数为3． （2）设五支球队按积分从高到低为，其中积1分，要使积分最低，需让积分尽可能高． 安排四战全胜，积分；负于，战胜，积分，满足积分不同． 再安排比赛结果：负于，平，得1分，符合要求；负于，平，得分；负于，平，胜，得分． 此时积分排序为 ，所有积分均不同，符合题意． 若积3分，则第四位只能是2分，无论如何安排，都会出现积分重复或第三名为更高积分的球队，因此最低积4分． 题型13 利用平移的性质求解 49．如图，沿射线方向平移得到，若，，则平移的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移前后对应点之间的距离等于平移距离，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵沿射线方向平移得到， ∴点的对应点为点， ∴平移的距离为线段的长， ∵，， ∴， ∴平移的距离为． 50．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】B 【分析】由平移的性质可得，，，则，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：由平移的性质可得：，，， ∴，， ∴． 51．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 【答案】29 【分析】根据平移的性质得到，，再根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∵的周长为， ∴， ∴ ∴四边形的周长． 52．如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 题型14 利用平移的性质解决实际问题 53．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移性质得到绿化区的总长是，根据长方形的面积公式计算即得． 【详解】解：绿化区的面积是：． 54．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 花圃长米，宽米，道路宽米， 种花部分可拼接为长（米），宽（米）的长方形， 种花的面积是（平方米）． 55．某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直且任何地方水平宽度一致的道路，即（如图所示），余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为________ 【答案】 【分析】根据题意知：道路的宽为，由平移的性质知草坪的长为，宽为，最后由长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴草坪面积为． 56．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 题型15 平移（作图） 57．在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形摆放的位置如图所示，现将三角形平移，使点对应点，点对应点，点对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形的面积________． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）点A的对应点为点D，先向左移2格，再向上移1格，同理可得点E，F，连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如（1）图，． 58．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【详解】（1）解：找出对应点 然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到：， ∴线段扫过的面积为16． 59．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 【答案】(1)，， (2)作图见详解，三角形的面积为7 (3)作图见详解， 【分析】（1）根据题中的图形利用平面直角坐标系特征分别找出对应的点A，B，C的坐标即可； （2）根据题中平移的方式找出平移后点A、B、C的对应点，，，并依次连接即可画出，利用割补法求出的面积即可； （3）先作出对应的图形，利用平行线的性质结合图形求出点D的横坐标，再观察点A，C的坐标，找出对应规律后，从而求得点D的纵坐标，进而得出点D的坐标． 【详解】（1）解：根据图象可知， ，，． （2）解：如图所示，即为所求： ∴． （3）解：如图所示，点D为所求： ∵轴，， ∴， ∵点D为线段的交点，，， 从点A到点C，横坐标增加了，纵坐标减少了， ∴横坐标每增加1，则纵坐标减少， ∵，点D的横坐标比点A的横坐标增加了1， 由横坐标每增加1，则纵坐标减少可知， ∵， ∴， ∴． 60．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)向右平移4个单位，向下平移1个单位 (3)8 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置； （2）利用平移的性质即可求解． （3）线段在平移过程中扫过部分是两个平行四边形的面积之和． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位． （3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1相交线与平行线易错题型专项训练 【温馨提示】本专题梳理相交线与平行线 15 大易错题型，聚焦概念混淆、判定误用、角度计算疏漏等高频问题，针对性拆解易错点，强化解题思路，帮助规避失分陷阱，夯实几何基础。 题型1 利用对顶角、邻补角求角度 题型9 平行线的性质在生活中的应用 题型2 垂线定义的理解 题型10 根据平行线判定与性质求角度 题型3 点到直线的距离 题型11 根据平行线判定与性质证明 题型4 同位角、内错角、同旁内角的识别 题型12 定义、命题、定理 题型5 平行公理和推论的应用 题型13 利用平移的性质求解 题型6 平行线的判定 题型14 利用平移的性质解决实际问题 题型7 根据平行线的性质探究角的关系 题型15 平移（作图） 题型8 根据平行线的性质求角的度数 题型1 利用对顶角、邻补角求角度 1．如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点O，若，则等于______． 3．如图，直线，相交于点，平分，射线在内部． (1)若，求的度数； (2)若，，与垂直吗？请说明理由． 4．如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 题型2 垂线定义的理解 5．如图所示，王师傅为了检验门框是否垂直于地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅锤线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（     ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则____． 7．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 8．如图，直线与相交于点O，． (1)若，说明与的位置关系； (2)若，求的度数． 题型3 点到直线的距离 9．某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 10．如图，点A，B，C在直线l上，点P为直线l外一点，连接，且，若，，，则点P到直线l的距离是________． 11．点是直线l外一点，、、为直线l上的三点，，，，则点到直线l的距离为（   ） A．小于 B．等于 C．等于 D．不大于 12．如图，已知点O在直线上，点E，F是直线外的点，连接，，，且，过点E作于点M，则点E到的距离是线段_________的长度． 题型4 同位角、内错角、同旁内角的识别 13．如图，在所标识的角中，同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．如图，直线被直线所截，与是内错角的是（   ） A． B． C． D．没有 15．如图所示，与是同旁内角的角为__________． 16．如图，①和是___角；②和是___角．（选填“同位”、“内错”、“同旁内”、“对顶”、“邻补”） 题型5 平行公理和推论的应用 17．下列说法中，正确的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．连接两点的线段是两点间的距离 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 18．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 19．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 20．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 题型6 平行线的判定 21．斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组在安全的前提下测得，验证了斑马线是由一组平行线组成的．这种验证方法依据的基本事实是（     ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 22．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 23．如图，，，，为的平分线． (1)请问与平行吗？试说明理由； (2)请问与平行吗？试说明理由； 24．根据解答过程填空． 已知：如图，，平分交于点F，．求证：． 证明：∵ ∴（ ）， ∴ ∵平分（已知）， ∴（ ）， ∴ ∵， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴ 题型7 根据平行线的性质探究角的关系 25．如图，已知，截于点A、B，①若平分，则；②若平分，则；③若，则平分；④若，平分，则平分．则上述结论正确的是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 27．已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 28．综合与实践： 课题 探究一副三角尺中的平行线问题 素材背景 利用平行线的性质探究一副三角板摆放不同位置涉及的数学问题 素材 如图1是一副三角尺，，，，， 问题解决 任务图 (1)如图2，将两个三角尺如图摆放，使点和点重合，点在上，与相交于点，则的度数为______度； (2)如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点，探究与有怎样的数量关系？ (3)将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合，当点在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行时，的度数所有可能的值（直接写出答案，如图4提供了其中一种情况）． 题型8 根据平行线的性质求角的度数 29．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．如图所示，直线，点，分别在直线，上，点为直线与之间的一点，连接，，，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为________． 31．已知：如图，，C为上一点，平分，，，求的大小． 32．问题背景：直线、、两两相交，交点分别为点、、，，点在直线上，过点作交直线于点，过点作交直线于点． (1)探究：如图1，当点在线段上时，求的度数； (2)应用：如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，的度数是否发生改变？请说明理由； (3)拓展：当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出的度数． 题型9 平行线的性质在生活中的应用 33．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 34．林湾乡修建一条灌溉水渠，如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，水渠从村沿（     ）方向修建，可以保持与的方向一致． A．北偏西 B．南偏东 C．北偏东 D．南偏西 35．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 36．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，求的度数． 题型10 根据平行线判定与性质求角度 37．如图所示的是由4条线段，，，组成的“鱼”形图案，若，，，则的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 38．如图，在四边形中，，，P是上一点，连接，E是延长线上一点，连接，且，．若，则的度数为________． 39．如图，已知，点为平面内一点，平分，过点的直线交于点，． (1)试问直线和有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，请试着求出的度数． 40．丹东六中“创客”团队新建了一个名为“启航”的智慧钟楼模型，钟楼模型顶部分别有三个表盘，如图1，每个表盘上各有一根象征学校精神的指针，不仅是装饰，更是全校电铃和广播系统的逻辑触发器．其中指针（德育指针）速度是，指针（教学指针）速度是， 指针（特色指针）速度是． (1)如图2，指针，指针指向12点钟方向，指针指向6点钟方向，连接，，则， ，有怎样的数量关系，请说明理由． (2)在（1）的条件下，若，三个指针同时按照顺时针方向分别绕着A， B， C旋转，经过分钟同时停止运动． ①当t值是多少时，； ②是否存在某一时刻，使，若存在请直接求出t值；若不存在，说明理由． (3)在（1）的条件下，指针 和指针同时按照顺时针方向分别绕着B，C旋转，经过分钟同时停止运动，当 时， ？ 题型11 根据平行线判定与性质证明 41．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 42．如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 43．请补全下面的证明过程及括号内的相应依据． 如图，平分，，． 求证：． 证明：平分 （________） （已知） ________（________） （________） （________） 又+（________）= （________） （________） 44．已知：过内一点作交于点，作交于点 (1)如图1，求证： (2)如图2，射线，射线分别平分和，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，点，在射线上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，求的度数（证明过程中不能直接用三角形内角和） 题型12 定义、命题、定理 45．下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 47．写出一个的值，使命题“”是假命题，这个值可以是______． 48．某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 题型13 利用平移的性质求解 49．如图，沿射线方向平移得到，若，，则平移的距离为（） A． B． C． D． 50．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 51．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 52．如图，将向右平移，得到． (1)若，，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 题型14 利用平移的性质解决实际问题 53．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 54．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 55．某校为了美化校园，在长方形场地上修筑两条互相垂直且任何地方水平宽度一致的道路，即（如图所示），余下部分作草坪，根据图中数据，则草坪面积为________ 56．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 题型15 平移（作图） 57．在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形摆放的位置如图所示，现将三角形平移，使点对应点，点对应点，点对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形的面积________． 58．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 59．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 60．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $